专题2.3 有理数的乘除法【十大题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题2.3有理数的乘除法【十大题型】

【人教版2024】

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】................................................................................................................2

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】........................................................................................................2

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】....................................................................................................3

【题型4有理数乘法的实际应用】........................................................................................................................4

【题型5有理数的混合运算】................................................................................................................................5

【题型6有理数四则运算的实际应用】................................................................................................................6

【题型7利用倒数法求解有理数的除法】............................................................................................................7

【题型8化简分数】................................................................................................................................................9

【题型9与有理数乘除有关的新定义问题】........................................................................................................9

【题型10有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】....................................................................................10

知识点1：有理数的乘法

1.有理数的乘法

有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）

两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。

即：ab=ab；ab=ab；a(b)=-ab；；(a)b=-ab；；0c0。

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。

多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积

为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。

多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。

2.有理数乘法运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：abba。

乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

即：abcabca(bc)。

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乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再

把积相加。即：a(bc)abac。

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】

【例1】（23-24七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数

有()

A．1个或3个B．1个或2个C．2个或4个D．3个或4个

【变式1-1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）若푎−푏<0，푎푏>0，那么这两个数（）

A．都是正数B．都是负数C．一正一负D．符号不能确定

【变式1-2】（23-24七年级·重庆江津·阶段练习）已知푎>푏>푐，且푎+푏+푐=0，那么乘积푎푐的值一定是

（）

A．正数B．负数C．0D．不能确定

【变式1-3】（23-24七年级·安徽宣城·期末）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成

立的是（）

A．푎푏>0B．푎+푏>0C．(푎−1)(푏−1)>0D．(푎+1)(푏−1)>0

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】

13243520212023

【例2】（七年级全国假期作业）计算：(−1×2)×(−×)×(−×)×(−×)×…×(−×

23-24··22334420222022

20222024

)×(−×)．

20232023

57

【变式2-1】（七年级全国课后作业）计算15×，最简便的方法是（）

23-24··716

5727110757

A．×B．×C．×D．×

15+71616−71671610+5716

【变式2-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）用简便方法计算：

(1)(−7.5)×(+25)×(−0.04)；

1

(2)×1.25×．

−420(−8)

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【变式2-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）用简便方法计算：

17

19×；

(1)18(−9)

(2)0.618×97+3×0.618．

知识点2：倒数

1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。

2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）0没有倒数。（3）互为倒数的

两个数的乘积一定是1，即a，b互为倒数，则ab1；反之亦然．

3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。

（1）非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】

【例3】（23-24七年级·重庆·期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为．

【变式3-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是

它本身，乙说：一个数b的倒数也是它本身，则a-b=

1

【变式3-2】（七年级四川成都期末）若a，b互为相反数，푎+1的倒数是−，则b的值为．

23-24··4

【变式3-3】（23-24七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知푎，푏互为相反数，푐，푑互为倒数，푚的绝对值等于

4，푝是数轴上原点表示的数．

(1)分别直接写出푎+푏，푐푑，푚，푝的值；

푎+푏

푝−푐푑++푚的值是多少？

(2)푐푑

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【题型4有理数乘法的实际应用】

【例4】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，

且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有种不

同的着色方法．

【变式4-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）某商店将一种取暖器先提价20%，然后宣传打八五折销售，

取暖器的现价（）

A．和原来一样B．比原来降了C．比原来涨了D．无法判断

【变式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，

也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自

半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根

据题意，第三日蒲生长的长度为尺．

【变式4-3】（23-24七年级·山东临沂·期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付

费元．（游客只能在公园售票处购票）

购票张数1～29张30～60张60张以上

每张票的价格20元18元16元

知识点3：有理数的除法

1

1）有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a¸ba×，(b¹0)。

b

有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值

的商。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

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【题型5有理数的混合运算】

【例5】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）计算

2122

(1)−÷÷×

5−3−3553

1712

(2)1÷+÷

−83|5−3|

【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题．

13

计算：(−15)÷(−3−)×6

32

25

解：原式(−15)÷(−)×6第一步

=6……

=(−15)÷(−25)……第二步

3

−第三步

=5……

解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程．

411414

【变式5-2】（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）计算：×2+×−1×．

−54−452−5

11

【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）老师布置了一道练习：计算÷×12．

(−16)4−3

嘉嘉和淇淇的解答过程如下：

嘉嘉的解答过程

淇淇的解答过程

解：原式=÷1×12（第

(−16)−1211

解：原式=÷−×12（第一步）

(−16)43

一步）

=−64−4（第二步）

=(−16)÷(−1)（第二步）

=−68（第三步）

=16（第三步）

(1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步；

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②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步．

(2)把正确的解题过程写出来．

315

(3)计算：×÷14．

(−24)4+6−8

【题型6有理数四则运算的实际应用】

【例6】（23-24七年级·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降

0.6℃．已知山脚的温度是8℃．

(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；

(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是−1℃，此时他距山脚有多高？

【变式6-1】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度

平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7

万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？

【变式6-2】（23-24七年级·四川成都·期中）小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.

如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：

+12,−13,+15,+11,−17,−11,0,−13.

请通过计算说明：

（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？

（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？

（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75

元，按他的预计第二次售价可获利多少元？

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【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20

立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级

气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8

倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．

1月2月3月4月5月6月7月

气表读数（立方米）433450468485500514535

（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．

（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？

（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，

比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？

【题型7利用倒数法求解有理数的除法】

【例7】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：

푎푏1

材料一：乘积为的两个数互为倒数，如和，即若设푎÷푏=푥，则푏÷푎=；

1푏푎푥

材料二：分配律：(푎+푏)푐=푎푐+푏푐；

利用上述材料，请用简便方法计算：1÷111．

−603−4+12

【变式7-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用

1

分配律．对于下面这道计算题：−÷1223，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的

426−7+3−14

1223112231223

倒数：÷−=×(−42)=−×42+×42−×42+×42＝﹣7+12﹣28+9

6−7+3−14426−7+3−1467314

11137

＝﹣14，所以原式＝﹣请你仿照以上小明的做法计算：÷

14−241−12−8+12

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【变式7-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．

计算：1÷11．

−155−3

1

解：方法一：原式=1÷35=1÷2=．

−1515−15−15−152

11

方法二：原式的倒数为：11÷1=11×=×−×=−3+5=2

5−3−155−3(−15)5(−15)3(−15)

1

故原式=．

2

用适当的方法计算：1÷2112．

−303−10+6−5

【变式7-3】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料：

1

计算：÷111．

603−4+12

11111111111

解法：原式÷−÷+÷=×3−×4+×12=．

①=603604601260606060

14311111

解法②：原式=÷=÷=×6=．

6012−12+126066010

1111111111

解法③：原式的倒数为÷=×60=×60−×60+×60=20−15+5=10，

3−4+12603−4+123412

原式1

∴=10

11111

解法④：原式=÷=1÷=

60×603−4+12×60(20−15+5)10

(1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法是错误的；

13521

(2)在正确的解法中，选择一种解法计算：−÷

427−14+3−6

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【题型8化简分数】

【例8】（23-24七年级·全国·专题练习）化简下列分数：

−21；

(1)7

3；

(2)−36

−54；

(3)−8

−6．

(4)−0.3

【变式8-1】（23-24·上海杨浦·三模）下列分数中，能化为有限小数的是（）

．1．3．1．5

A12B12C15D15

−1254−3−5

【变式8-2】（23-24七年级·全国·课后作业）化简下列各分数：=，=，1=，

5−36−2−0.2

=．

|푥||푥푦|

【变式8-3】（七年级全国专题练习）如果푦<0<푥，则化简+．

23-24··푥푥푦=

【题型9与有理数乘除有关的新定义问题】

【例9】（23-24七年级·河北石家庄·期中）在数轴上，把原点记作点푂，表示数1的点记作点퐴．对于数轴

上任意一点푃（不与点푂，点퐴重合），将线段푃푂与线段푃퐴的长度之比定义为点푃的特征值，记作푃，即푃=

푃푂

．例如：当点푃是线段푂퐴的中点时，因为푃푂=푃퐴，所以푃=1．如图，点,,为数轴上三个点，点

푃퐴푃1푃2푃3푃1

1

表示的数为−，点表示的数与点表示的数互为相反数，点表示的数为2．

4푃2푃1푃3

(1)点푃2表示的数为：___________；

(2)求푃1,푃2,푃3的值，比较푃1,푃2,푃3的大小，并用“<”连接；

1

若数轴上有一点푀满足푂푀=푂퐴，求푀．

(3)3

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푎+2푏2+2×3

【变式9-1】（七年级湖南岳阳期末）定义新运算⊗：푎⊗푏=，如：2⊗3=，则

23-24··“”푎2

(4⊗2)⊗(−1)=．

1푏

【变式9-2】（23-24七年级·甘肃陇南·期中）如果对于任何有理数푎、푏定义运算“Δ”如下：푎Δ푏=÷，

푎−2

11

如2Δ3=÷3=−，求Δ4的值．

2−23(−2Δ7)

【变式】（七年级四川成都期中）在数轴上有理数，1分别用点，表示，我们称点是

9-323-24··a1−푎AA1A1

点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点

A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有

1

理数为