专题4.1 整式【十大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）

专题4.1整式【十大题型】

【人教版2024】

【题型1单项式的判断】...........................................................................................................................................1

【题型2单项式的系数、次数】...............................................................................................................................3

【题型3单项式规律】...............................................................................................................................................4

【题型4多项式的判断】...........................................................................................................................................7

【题型5多项式的项、项数或次数】.......................................................................................................................8

【题型6由多项式的概念求字母的值】.................................................................................................................10

【题型7将多项式按某个字母升（降）幂排列】.................................................................................................12

【题型8整式的判断】.............................................................................................................................................13

【题型9数字类规律探究】.....................................................................................................................................15

【题型10图形类规律探究】.....................................................................................................................................18

知识点1：整式

1

单项式：如2xy2，mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字

3

母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单

独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项

式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

整式：单项式与多项式统称为整式．

【题型1单项式的判断】

【例1】（23-24七年级·广东肇庆·期中）下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，

2322�+3�𝑎�

其中是单项式的是（只填序号）．34��3�6�+3��

【答案】①②③⑦

【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．

【详解】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式

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则是单项式的是①；②m；③；⑦，

232�

故答案为：①②③⑦3．4���

【点睛】本题考查了单项式的定义，熟记定义是解题关键．

【变式1-1】（23-24七年级·内蒙古乌兰察布·期中）下列各式中是单项式的是（）

A．B．C．D．

1�2

�+�−2��+1

【答案】B

【分析】本题考查了单项式的定义，解答本题的关键是要要明确单项式的概念：数字与字母的积称为单项

式．根据单项式的定义，对四个选项逐一进行分析．

【详解】解：A、不是单项式，选项错误，不符合题意；

�+�

B、符合单项式的定义，选项正确，符合题意；

1

−2

C、分母中含有字母，不是单项式，选项错误，不符合题意；

�

�

D、是几个单项式的和，不是单项式，选项错误，不符合题意．

2

故选�：+B1

【变式1-2】（23-24七年级·广东东莞·期中）下列代数式中，全是单项式的一组是（）

．，，．，，．，，．，，

AaB2CD

�−1���122

【答案】B2��3π−23���−��+����2�

【分析】由单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，分别分

析各代数式，即可求得答案．此题考查了单项式的定义．注意准确理解定义是解此题的关键．

【详解】解：A、，，中，是多项式；故错误；

�−1�−1

2��3�3

、，，全是单项式，故正确；

B2

���

�−23

C、，，中，是分式，故错误；

121

���−��

D、，，中，是多项式，故错误．

2

故选�：+B�．���2��+�

【变式1-3】（23-24七年级·江西上饶·期中）下列代数式中：a，，，，0，单项式有个．

12�+�

�πr2

【答案】3

【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练

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掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键．

【详解】解：单项式有a，，0，共3个．

2

故答案为：3．πr

【题型2单项式的系数、次数】

【例】（七年级山东青岛期中）单项式的系数是，次数是．

223-24··22

3π��

4

【答案】3

9π

【分析】本题考4查单项式的系数、次数，解答的关键是熟知单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母

的指数的和是单项式的次数，注意是一个常数．

根据单项式系数和次数定义解答即可�．

【详解】解：单项式的系数是，次数是，

223

3π��9π

44

故答案为：，3．

9π

4

【变式2-1】（23-24七年级·北京西城·期中）写出一个只含有字母x，y，系数为的三次单项式．

【答案】−2

2

【分析】单−2项�式�：数字与字母的积是单项式，单个的数或单个的字母也是单项式，其中的数字因数是单项式

的系数，所有字母的指数和是单项式的次数，根据定义可得系数为-2，两个字母的指数和为3，从而可

得答案.�,�

【详解】解：单项式只含有字母x，y，系数为，次数为3，

这个单项式∵为或（任意写一个即−可2）

22

∴故答案为：−2��−2��,

2

【点睛】本题−考2�查�的是单项式的定义，单项式的系数与次数的含义，根据定义熟练的写出符合要求的单项式

是解本题的关键.

【变式2-2】（23-24七年级·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；

③次数为5，则这样的单项式共有（）−3

A．5个B．6个C．7个D．8个

【答案】B

【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数

的和，按要求写出即可．

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【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，

333222222

共有6个．−3���−3���−3���−3���−3���−3���

故选：B．

【变式】（七年级全国假期作业）（）已知关于，的单项式与的次数相同，

2-324-25··13

2�+1210��

求的值；��−3���7

（2�）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式．

2�2

(�+2)�−2����

【答案】（1）；（2），，

14

【分析】本题考�查=了2单项式，�单=项2式�的=次0数是4�字母指数的和．

（1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案．

（2）根据单项式的定义列方程求解即可．

【详解】解：（）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是，

1334

2�+1210��10��

，∵��−3���77

解∴2得�+1+；2=4

1

�=2

（2）是关于的四次单项式，

2�2

∵(�，+2)�，−2�，�

∴解2得�=4，�=0．�+2≠0

单项式�是=2�．=0

4

4�

【题型3单项式规律】

【例3】（15-16七年级·湖北武汉·期末）观察下面的一列单项式：，，，，，根据你

2345

发现的规律，第个单项式为，第个单项式为．−�2�−4�8�−16�…

【答案】8�

8��−1�

【分析】根据符1号28的�规律：(−为1奇)数2时，�单项式的系数为负，为偶数时，系数为正；系数的绝对值的规律：

第个对应的系数的绝对值�是．指数的规律：第个对应的�指数是，进而解答即可．

�−1

【详�解】解：由系数及字母两部2分分析的规律：��

①系数：，得系数规律为，

��−1

②字母及其−1指,2数,−：4,8,−16⋯，得到字母−规1律2为，

2345�

综合起来规律为�,�,�,�，,�⋯�

��−1�

−12�

第4页共20页.

第个单项式是，第个单项式为，

788��−1�

∴故答8案为：2，�=128�．�−12�

8��−1�

【点睛】本题1考28查�了单−项1式2的知�识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式

的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．

【变式3-1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律，，，

5273

�3�−2�3�−

，，按照上述规律，第2024个单项式是（）

94115

4�5�⋯⋯

A．B．C．D．

40472025404920244049202440452024

2023�−2024�2024�−2024�

【答案】B

【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键．

�+12�+1�

�(−1)��

通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第个单项式为，把代入即可求解．

�+12�+1�

�(−1)���=2024

【详解】解：第1个单项式：，

1+13

3�=−1×1�

第2个单项式：，

522+12×2+12

−2�=−1×2�

第3个单项式：，

733+12×3+13

3�=−1×3�

第4个单项式：，

944+12×4+14

−4�=−1×4�

第5个单项式：，

1155+12×5+15

5�=−1×5�

第6个单项式：，

1366+12×6+16

，−6�=−1×6�

第⋯个单项式：；

�+12�+1�

�−1��

第2024个单项式为：，

2024+12×2024+1202440492024

∴−12024�=−2024�

故选：B．

【变式3-2】（23-24七年级·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此

1223345263

2�−3�4�−5�6�−7�

规律，第2024个单项式为．

【答案】

/2

202422024�

【分析】本−2题02主5�要考−查20数25字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．根据每个单项式的

第5页共20页.

系数为分数，且分数的分子与单项式的个数相同，分母多1；再根据每个单项式的字母为a，且指数是1，2，

3重复出现；最后再根据一正一负的规律写出答案．

【详解】解：，

2024+1

，−1=−1

20242024

2024+1=2025，

2024÷3=674……2

∴第2024个单项式为，

20242

−2025�

故答案为：．

20242

−2025�

【变式3-3】（24-25七年级·全国·假期作业）观察下列关于的单项式：，，，，

2233445

(1)直接写出第个单项式：___________；���−3��5��−7��…

(2)第个单项5式的系数和次数分别是多少？

(3)系数20的绝对值为的单项式的次数是多少？

【答案】(1)2023

56

(2)系数是9�，�次数是

(3)−3941

2025

【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键．

（1）根据所给的式子，直接写出即可；

（2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解；

�+1��+1

（3）由题意可得�，(求−出1)(2�−，1再)�由�（2）的�规=律2求0解即可．

【详解】（1）解：2�第−51个=单20项2式3为�=，1012

56

故答案为：；9��

56

（2）解：9�，�，，，

2233445

第个单∵项�式�为−3��5��−7��，…

�+1��+1

∴第�20个单项式为(−1)(2�，−1)��

2021

∴第20个单项式的系−3数9�是�，次数是41；

（∴3）解：系数的绝对值为−320923，

∴∵

2�−1=，2023

∴�=1012

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次数为．

∴1012+1012+1=2025

【题型4多项式的判断】

【例4】（23-24七年级·内蒙古包头·期末）下列式子：，其中是多项式的有（）

22𝑎𝑎−�

2��,3��−2�,2,4,−�,π

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】A

【分析】本题考查了多项式即几个单项式的和，根据定义判断即可．

【详解】根据题意，是多项式的是，共2个，

2ab−c

3xy−2y,π

故选A．

【变式4-1】（23-24七年级·河北廊坊·期末）下列各式中是多项式的是（）

A．B．C．D．

112

2��2�2�−2

【答案】D

【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题．

【详解】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意．

1

2��

B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意．

2�

C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意．

1

2

D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意．

2

故选：D．x−2

【变式4-2】（23-24七年级·全国·课后作业）下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，

1223�−�

−43���−�52�>1−�

⑦，⑧中，是单项式的有，是多项式的有．（填序号）

2

【答0案.5】+��−1①②⑥；③④⑦；．

【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成

的式子。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不

含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式．

【详解】解：单项式有：，，

1

−43��−�

多项式有：，，

223�−�

�−�50.5+�

第7页共20页.

是不等式，是分式，故不属于整式；

2

故2�答>案1为：①②⑥；�−③1④⑦．

【点睛】本题考查单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出

判断．

【变式】（七年级上海嘉定阶段练习）在代数式，，，，，，，下

4-323-24··22

212��2�+�1

列结论正确的是（）1−3��+�033�5−2

A．有个多项式，个单项式B．有个多项式，个单项式

C．有2个多项式，3个单项式D．有3个多项式，2个单项式

【答案】A2433

【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式

是关键．

【详解】解：在代数式，，，，，，中，

22

212��2�+�1

1−3��+�033�5−2

多项式有：，，共计个，

2

2�+�

1−3�52

单项式有：，，，共计个，

2

2xy1

故选：A．03−23

【题型5多项式的项、项数或次数】

【例5】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A．多项式是五次三项式B．多项式的常数项是

323211

2−�+3�−4��−2�+55

．多项式的次数是．单项式的系数为

C2D32

22��

【答案】B3��+5�−23

【分析】本题考查了单项式以及多项式的相关定义，熟记相关定义是解本题的关键．单项式中的数字因数即

为单项式的系数；单项式中所有字母的指数和即为单项式的次数；多项式中每个单项式即为多项式的项，

多项式中次数最高的单项式的次数即为多项式的次数．据此解答即可．

【详解】解：A.多项式是三次三项式，故本选项说法错误，不符合题意；

32

2−�+3�

B.多项式的常数项是，本选项说法正确，符合题意；

3211

−4��−2�+55

C.多项式的次数是3，故本选项说法错误，不符合题意；

2

3��+5�−2

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单项式的系数为，故本选项说法错误，不符合题意．

D.3

2��2

故选：B．33

【变式5-1】（23-24七年级·上海青浦·期中）写出一个只含字母的二次三项式，如果它的二次项系数为3，

常数项和一次项系数互为相反数，那么这个二次三项式可以为�（只需写出一种情况）．

【答案】（符合条件即可）

2

【分析】3根�据+二�次−三1项式和多项式的系数、次数、常数项的有关概念，只含字母x及相反数的概念，即可得

出答案．

本题考查了多项式及相反数．关键是能根据多项式的系数、次数、常数项的有关概念写出多项式．

【详解】解：∵这个只含字母的二次三项式，常数项和一次项系数互为相反数，

∴常数项可以是，则一次项�系数为1，

∵它的二次项系数−1为3，

∴这个二次三项式可以是：．

2

故答案为：．（答3�案+不�唯−一1）

2

【变式5-2】（32�3-2+4�七−年1级·河北廊坊·期末）有一组按规律排列的多项式：，，，，…，

233547

则第2023个多项式是（）�−��+��−��+�

A．B．C．D．

20234047202340472023404520234045

【答案】�D+��−��+��−�

【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．

【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，，，

234�

第二项依次是，，，，�，���，…�

357�2�−1

得到第n个式子−�是：�−��…．(−1)�

��2�−1

当时，多项�式+为−1�

20234045

故选�=：2D0．23�−�

【点睛】此题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项

式的规律是解决这类问题的关键．

【变式】（六年级下黑龙江哈尔滨期中）已知多项式，其中五次项系数的和与常数项

5-323-24··532

−5�+5��−8

的差是．2

【答案】

4

第9页共20页.

【分析】本题主要考查了多项式的次数与多项式的项和常数项，熟练掌握多项式的相关知识是解答本题的关

键．根据多项式的次数，多项式的项以及常数项的定义求解即可．

【详解】解：∵多项式，

532

−5�+5��−855532

2=−2�+2��−4

∴多项式的五次项系数为和，常数项为，

532

−5�+5��−855

2−22−4

∴五次项系数的和与常数项的差为，

55

故答案为：．−2+2−−4=4

4

【题型6由多项式的概念求字母的值】

【例6】（23-24七年级·山东德州·期中）已知有理数a和有理数b满足多项式A，

3�+22

是关于x的二次三项式，则，；�=�−1�+�−�+

【�答�−案�】1�=�=

【分析】本题主要考查−多3项式，根据多项式的定义解决此题．

【详解】解：由题意得，，．

，或�−1=0�+2=1

∴当�=1�时=−3�=−1

2

∵�关=于−x1的二�次=三−项�式−，�当时，，是二次二项式，

2

∴舍去�=−1�=−�−1

�=−，1．

∴故�答=案1为：�1=，−3．

【变式6-1】（23−-234七年级·湖南娄底·期末）如果多项式与多项式（其

222

中a，b，c是常数）相等，则，4�，−7�+6�−．5�+2��+��+�

【答案】-312�=�=�=

【分析】先化简多项式，然后再根据两个多项式相等得到对应项的系数相等，从而

22

求出a、b、c的值．4�−7�+6�−5�+2

【详解】解：，

222

∵4�−7�+6�与−多5�项+式2=−3�+�相+等2，

222

∴4�−7�+6�−5�+2，��+��+�

22

∴a−=3-�3，+b=�1+，2c==2，��+��+�

故答案为：-3；1；2．

第10页共20页.

【点睛】本题考查多项式的化简，理解两个多项式相等的含义是解题的关键．

【变式6-2】（23-24七年级·广东惠州·期中）如果代数式的值与x的取值无关，那么的值

3

是．2��+4�−9�

【答案】

【分析】代−8数式的值与x无关，则合并同类项后x前面的系数为0，由此可算出m的值．

【详解】解：2��+4�−9（

代数式2��+4�−的9值=与x2的�取+值4)无�关−9

∵2��+4�−9

∴解2得�+4=0

�=−2

33

∴故�答案=为(：−2)．=−8

【点睛】本题−考8查了求代数式字母系数的问题，根据题意列出正确的等式解出字母系数是解决本题的关键．

【变式6-3】（23-24七年级·山东济宁·期中）已知关于x的多项式

432

不含项和项，则当时，这个多项式的值为．�+��−�−2�+�+1�−𝑎�+1

32

【答案�】��=−1

【分析】本0题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得

，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这

−�−2=0

��

一项�的+系1=数0为零”是解题的关键．

【详解】解：多项式不含项和项，

32

∵，��

−�−2=0

∴

解得：�+1=0，

�=2

原多项�式=为−1，

4

∴当时，�+2�+1

原式�=−1

4

=−1+2×−1+1

=1；−2+1

=故答0案：．

0

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【题型7将多项式按某个字母升（降）幂排列】

【例7】（23-24七年级·上海青浦·期中）将多项式按字母的升幂排列

321412

得．��−2�+3��+4��

【答案】

214123

−2�+3��+4�+��

【分析】按照字母m的指数从小到大的顺序排列重新排列即可．

【详解】解：．

321412214123

��−2�+3��+4�=−2�+3��+4�+��

故答案为：．

214123

【点睛】本题−考2�查了+多3�项�式+的4重�新+排�列�，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大

的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此

题还要注意分清按m还是n的降幂或升幂排列．

【变式7-1】（23-24七年级·陕西渭南·期中）把按字母的升幂排列后，其中的第二

3232

项是（）2��−��−��−3�

A．B．C．D．

2332

【答案】A−��2��−��−3

【分析】本题考查了多项式的重新排列，先按y的升幂排列，再找出第二项即可．我们把一个多项式的各项

按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排

列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列．

【详解】解：∵多项式按字母的升幂排列为：，

32322323

∴其中的第二项是2�．�−��−��−3�−3−��−��+2��

2

故选：A．−��

【变式7-2】（23-24七年级·河南周口·期中）多项式是次项式，并

2235

将这个多项式按的降幂排列．3��−��−3��+�−1

【答案】五�五

3225

【分析】此题考查了多项式的知−识3�，�属−于�基�础+题3�，�解+答�本−题1的关键是掌握多项式次数及项数的判断方法．多

项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项

式的项数，再由y的幂，按照降幂排列即可．

【详解】解：多项式最高次项是，最高次数是5次，有5个单项式组成，

5

�

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故此多项式是五次五项式；

按y的降幂排列为：．

3225

故答案为：五；五；−3��−��+3��+�−1．

3225

【变式7-3】（23-24七−年3x级y·河−南xy南+阳3·x期y中+）x把−多1项式按y的降幂排列正确的是（）

2233

A．B．4��−5��+�−�

32233223

C．−�−5��+4��+�D．�−5��+4��+�

32333223

【答案】4A�−5��−�+��−5��−5��−�

【分析】本题考查了多项式的降幂排列．先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列．

【详解】解：多项式的各项为，，，，

22332233

按y的降幂排列为4��−5��+�−�．4��−5���−�

3223

故选：A．−y−5xy+4xy+x

【题型8整式的判断】

【例8】（23-24七年级·重庆万州·期末）在式子，0，，，中，整式有个．

21x+1

−4xy�+�−2a+3b2

【答案】4

【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．

【详解】解：在式子，0，，，中，整式有：，0，，，共4个．

21x+12x+1

−4xy�+�−2a+3b2−4xy−2a+3b2

故答案为：4．

【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键．

【变式8-1】（23-24七年级·辽宁丹东·期中）下列说法中，正确的有（）

①系数是；

3��3

②5的次5数是；

22

③−2�和都是整式4；

��

④多�−项�式2是三次四项式．

2

A．个−��+2𝑎−B�．+2个C．个D．个

【答案】1C234

【分析】本题考查单项式、多项式、整式，解题的关键是掌握：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；几个单项式的

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和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次

数叫做多项式的次数，多项式通常说成几次几项式；单项式和多项式统称为整式．据此判断即可．

【详解】解：①系数是，说法正确；

3��3

②的次数5是，原5说法不正确；

22

③−2�和都是整式2，说法正确；

��

④多�−项�式2是三次四项式，说法正确，

2

∴正确的有−��个+．2𝑎−�+2

故选：C．3

【变式8-2】（23-24六年级上·山东烟台·期末）对代数式，，，，，判断正确

23�2�2

的是（）−5𝑎π�+�+1−2���+�

A．只有个单项式B．只有个单项式

C．有