专题2.13 有理数的运算全章专项复习【3大考点14种题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题2.13有理数的运算全章专项复习【3大考点14种题型】

【人教版2024】

【考点1有理数的加法与减法】...............................................................................................................................1

【题型1利用拆项结合法计算多个有理数的加法】...............................................................................................1

【题型2绝对值与有理数加减的综合】...................................................................................................................2

【题型3有理数加减法的实际应用】.......................................................................................................................3

【考点2有理数的乘法与除法】...............................................................................................................................4

【题型4有理数的乘法运算】...................................................................................................................................4

【题型5多个有理数相乘】.......................................................................................................................................5

【题型6有理数的乘法分配律的应用】...................................................................................................................6

【题型7有理数的除法运算】...................................................................................................................................6

【题型8有理数的混合运算】...................................................................................................................................7

【题型9倒数】...........................................................................................................................................................8

【题型10理数的混合运算在生活中的应用】...........................................................................................................9

【考点3有理数的乘方】.........................................................................................................................................11

【题型11有理数的乘方】.........................................................................................................................................11

【题型12利用非负性解决问题】.............................................................................................................................12

【题型13科学记数法】.............................................................................................................................................13

【题型14利用乘方进行规律探究】.........................................................................................................................14

【考点1有理数的加法与减法】

1.有理数的加法

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较

大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，

仍得这个数。

加法运算律：①交换律a+b=b+a；②结合律(a+b)+c=a+(b+c)。

2.有理数的减法

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)。

【题型1利用拆项结合法计算多个有理数的加法】

【例1】（23-24七年级·重庆·阶段练习）计算

第1页共15页.

222

9+99+999+1

【变3式1-13】（23-324七年级·河南南阳·阶段练习）提升计算：

(1)

(2)−2.4+−3.7+−4.6+5.7

23+−17+6+−22

(3)

1133

+4++8+6+−8+−8+−6

【变式1-2】（2024七年级·浙江·专题练习）计算：

(1)；

(2)−1+−2+−4+−8；+8

3+−1+−3+1+−4

(3)；

13

−12+1.25+−8.5+104

(4)．

119

−2.25+−5.1+4+−48+−10

【变式1-3】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算：

(1)；

4131

17+−23+7+3

(2)；

44413

−13+−17+13+−17

(3)．

2111

−43+−33+62+−24

【题型2绝对值与有理数加减的综合】

【例2】（23-24七年级·湖北咸宁·期末）已知、、、、，满足下列条件：，，

，，以此类推�，0�1�的2值�是3�4⋯．�0=0�1=−�0+1

【�变2=式−2-�11】（+22024�七3年=−级·�全2国+3·专⋯题练习）如果数�轴20上23表示a，b两数对应点的位置如图所示，那么

的计算结果为．2�−3�−

2�−3�−�−�

【变式2-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）已知

，则的最大值是，最小值是(�+1+．|�−2)(�−2+�+1)(�−3+�+

【1变|)式=326-3】（�23+-224�七+年3�级·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，

．若，则���（用含，�的�式子�表示）．

��=2��2�+�=2�−3�−�−3�|2�+3�+3�|=��

第2页共15页.

【题型3有理数加减法的实际应用】

【例3】（23-24七年级·河北保定·阶段练习）某校图书馆以每天借出50册图书为标准，超出的部分用正数

表示，不足的部分用负数表示．上星期该图书馆借出图书的部分数据如下表所示，上星期五到上星期日分

别借出图书56册、43册、59册．

星期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

记录数值

−2+10+6−8

(1)补全上面的表格；星期四借出______册图书；

(2)求上星期借出图书最多的一天比借出图书最少的一天多多少册图书；

(3)求上星期共借出图书多少册．

【变式3-1】（23-24七年级·吉林·阶段练习）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下（“”表示进库，“”表

示出库）：+−

，，，，，，．

(+13)经1过−这31天，−仓16库管−理38员结+算1发4现仓−库20还有+货25品吨，那么天前仓库里有货品多少吨？

(2)如果进出7的装卸费都是每吨元，那么这天要付40多0少元装卸费7？

【变式3-2】（23-24七年级·北京8东城·阶段练习7）现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、

吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加�工1厂�都2需�要3吨原材料7．从每12个仓库1运1

送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（�单1位�：2元�吨3）：10

1/

�1�2�3

（）

�17t126

（）

�212t042

（）

3

现�在要11让t每个3仓库1清仓、5每个加工厂都得到足够的材料，

（1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运吨到；

（2）考虑各种�3方案10，运费�最1低为1�2元�．17�2�2�2

【变式3-3】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护，境内高

铁线路呈东西走向，全长近，某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行

驶记录如下（单位：）：200k、m、、、、、．

km−90−38+20−70+120+100−125

第3页共15页.

(1)此时，这辆巡护车辆司机如何描述他现在的位置？通过计算说明；

(2)已知每千米耗油升，如果管务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？

0.08

【考点2有理数的乘法与除法】

1.有理数的乘法

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。

2.有理数的除法

1

除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：aba。

b

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

3.有理数的混合运算

混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内

的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

【题型4有理数的乘法运算】

【例4】（2024七年级·浙江·专题练习）计算：

(1)；

7

−12×−4

(2)；

−8×1.25

(3)；

73

10×−14

(4)；

38

−16×−9

【变式4-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算：

(1)；

1

4×−8

(2)；

11

−2×−3

(3)；

1

−4×12

(4)．

1

−0.6×−13

【变式4-2】（2024七年级·浙江·专题练习）计算：

(1)；

32

2×−3

第4页共15页.

(2)；

25

−24×8

(3)；

56

−3×−27

(4)．

38

−4×−7

【变式4-3】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算：

(1)；

3

−3.75×−15

(2)．

5

−10.8×27

【题型5多个有理数相乘】

【例5】（23-24七年级·全国·课后作业）计算：

(1)；

−5×8×−7×−0.25

(2)；

5812

−12×15×2×−3

(3)．

5832

−1×−4×15×2×−3×0×−1

【变式5-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）计算：

(1)；

(2)−18×−49×0×−13×；−49

−5×−8×−7×−0.125

(3)；

123

−4×−13×−4×5

(4)．

35

−5×−6×−6

【变式5-2】（23-24七年级·全国·课后作业）计算：

(1)；

−1×−2×3×−4

(2)；

1

−2×3×−22×0×2024

(3)．

12

−2×−3×−3

【变式5-3】（2024七年级·全国·专题练习）计算：

(1)．

(2)−2×7×(−4)×(−2.5)．

293

3×(−7)×(−24)×(+14)

(3)．

5

(−4)×499.7×7×0×(−1)

第5页共15页.

【题型6有理数的乘法分配律的应用】

【例6】（23-24七年级·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：

(1)；

12

−12×−7×3

(2)

4

−5×8×−15×−1.25

(3)；

357

−48×−4+6−12

(4)．

3338

0.7×11−6.6×7−1.1×7+0.7×11

(5)

23

−3924×−12

(6)．

333

4.61×7−5.39×−7+3×−7

【变式6-1】（23-24七年级·广东东莞·期中）简便计算：

(1)；

−85×(−25)×4

(2)．

111

9+6−2×−18

【变式6-2】（2024七年级·江苏·专题练习）用简便方法计算：

(1)；

1

−2×−7×+5×−7

(2)．

7

−0.25×−9×4×−18

【变式6-3】（23-24七年级·河南许昌·开学考试）简便计算

(1)

(2)12.5×13−1.97−3.03

0.125×3.2×0.25

【题型7有理数的除法运算】

【例7】（2024七年级·浙江·专题练习）计算

(1)；

+48÷+6

(2)；

21

−33÷52

(3)；

(4)4÷−2．

【变0式÷7-−11】0（002024七年级·全国·专题练习）计算：

(1)

−36÷9

第6页共15页.

(2)

42

−5÷−5

(3)

1

(−0.5)÷(−4)

(4)

1

(−1.25)÷4

(5)

4

7÷(−12)

(6)

96

(−3.2)÷5

(7)

9

(−14)÷2.5

【变式7-2】（23-24七年级·全国·假期作业）计算：

(1)

−12÷−3

(2)

11

23÷−16

(3)

1

0÷−1112

(4)

1

−12÷−12÷−100

【变式7-3】（2024七年级·全国·专题练习）计算：

(1)；

33

−3÷−4÷−4

(2)；

1

−12÷−4÷−15

(3)；

28

−3÷−7÷0.25

(4)．

13

−22÷−5÷−10

【题型8有理数的混合运算】

【例8】（2024·河北·模拟预测）数学课上，老师给出如下运算程序：

运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结

果，运算程序停止．

(1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果；

(2)当输入后，经−过3一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值．

�

第7页共15页.

【变式8-1】（23-24七年级·云南红河·阶段练习）下面是小明的计算过程，仔细阅读，并解答下面的问题：

13

−13÷−1−×6

32

269

=−13÷−−×6

666

13

=−13÷−×6

6

=−13÷−13

(=1)1小明的计算过程是（填“正确”、“错误”），错误出现在第步，错误原因是

(2)写出正确的解题过程．

【变式8-2】（23-24七年级·广东汕头·阶段练习）对于四个数“”及四种运算“”，列算式

解答：−8,−2,1,3+,−,×,÷

(1)在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，可以带括号，使运算结果等于没选

的那个数．

(2)利用加、减、乘、除、乘方运算，可以带括号，每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．

【变式8-3】（23-24七年级·江苏常州·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我

们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把

一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的“完美指标”是

1+2+5

．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”，如8的“完美指标”是÷

4

10=51+2+4÷8=

，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．

7474

8585

(1)试计算6的“完美指标”；

(2)试计算7和9的“完美指标”；

(3)试找出16、17、18三个自然数中，最“完美”的数．

【题型9倒数】

【例9】（23-24七年级·广东韶关·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，则

20072008

（）�≠0�+�+𝑐−

�2009

�A．1=B．C．2D．

【变式9-1】（23-24七年级−·湖1南长沙·阶段练习）已知：a是最大的负整数−，2b是绝对值最小的数，c是倒数

第8页共15页.

等于本身的正数，试回答问题：

(1)请直接写出a，b，c的值；

(2)若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A到C之间运动时，

请化简式子：.

�+1−1−�+2�−3

【变式9-2】（23-24七年级·湖南娄底·期中）仔细阅读下面的材料，计算：

12112

30÷3−10+6−5

分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；

2112

3−10+6−5

解：原式的倒数是：

21121

3−10+6−5÷30

2112

=−+−×30

31065

2112

=×30−×30+×30−×30

31065

=20−3+5=12

故=原10式．

1

=10

请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．

11322

−42÷6−14+3−7

【变式9-3】（23-24七年级·重庆秀山·期末）阅读下列文字，并回答：

每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个

484

11=4+11

自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如

113

4=2+4

；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数

413

3=1+31=34,2,1,3

组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所

48484113413

生成的自然数组为，请回答：1111=4+114=2+43=1+31=3

4,2,1,3

(1)所生成的自然数组为{}

50

13

(2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？

2,3,1,4

【题型10理数的混合运算在生活中的应用】

【例10】（23-24七年级·浙江丽水·期末）因疫情防控需要，一辆货车在早上8：00从甲地出发运送防疫物

资到距离乙地，后货车到达离甲地的服务区休息，此时一辆轿车正从甲地急送防疫专家

到乙地．1303：0k0m0货车以原�来h的速度继续行驶，1910：km00轿车在距离甲地处追上了货车，两车继续向

150km

第9页共15页.

乙地行驶．

（1）货车的速度是．

（2）轿车比货车早k到m达/h乙地．

【变式10-1】（23-24七年h级·四川眉山·期末）某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规

则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒

数加1的和的相反数．如第1位同学报（），第2位同学报，第3位同学报……这样

111

1+1−(2+1)(3+1)

得到的50个数的乘积为．

【变式10-2】（23-24七年级·江苏南京·开学考试）天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南A、B、C

三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶10元，小瓶2.5元．为了抢占市场，分别

推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶；B超市一律打九折；C超市购买满30元就能全部打八折．下

表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中．

顾客甲乙丙丁

购买情况10小瓶5大瓶4大6小1大2小

选择商场

所花钱数(元)

【变式10-3】（23-24七年级·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容

器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，

22

甲容器中30有cm水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个8容0c器m都注满水时停止注水，32已0c知m每

3

个容器每分钟注48水0cm．

3

1600cm

容器甲容器乙容器丙

(1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间；

第10页共15页.

(2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间．

3cm

【考点3有理数的乘方】

1.乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。

如：n读作的次方（幂），在n中，叫做底数，叫做指数。

aaaaanaan

n个a

性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。

2.科学记数法

定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方

法叫做科学记数法。用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。

【题型11有理数的乘方】

【例11】（23-24七年级·山东威海·期中）比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接．

，，，．<

23

222232

�=−−3�=−3�=−−3�=−3

【变式11-1】（23-24七年级·湖南株洲·期中）计算的结果是（）

2019

220202022

−3×1.5×(−1)

A．B．C．D．

2323

32−3−2

【变式11-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识

别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到

右一次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，

3210

（规定�）如�图�2第�一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为�×2+�×2+�×2+�×2，

03210

表示该2生=为15班的学生．0×2+1×2+0×2+1×2=5

(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．

(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，

并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”

12−

第11页共15页.

或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示

的班级编号范围．

【变式11-3】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用～这十个数字来表示数，满

十进一，09

例：；

21

计算机21常2=用2二×进1制0来+表1示×字10符+代2码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，

例：二进制数10010转化为十进制数：

4321

1×2+0×2+0×2+1×2+0

=16；+2

=其他18进制也有类似的算法…

(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；

(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；

(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一

位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已

经出生的天数．

【题型12利用非负性解决问题】

【例12】（23-24七年级·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中

点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝．对数

2

轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使�+�+(的�−值2最0小22，)则=x0的值为．

【变式12-1】（23-24七年级·四川内江·期中）若�−�、+满�足−�+�−c，则（）

2�

A．B．9C．�6�|�−2|+D�．+3=0�=

【变式1−2-92】（23-24七年级·湖南岳阳·期中）请观察下列算式，找出规律−并6填空．

，，，．

11111111111

1×2=1−22×3=2−33×4=3−44×5=4−5

则第10个算式是________，第个算式是________．

�

第12页共15页.

根据以上规律解读以下两题：

（1）求的值；

1111

1×2+2×3+3×4+⋯+2019×2020

（2）若有理数，满足，试求：的值．

1111

��|�−2|+|�−4|=0��+(�+2)(�+2)+(�+4)(�+4)+⋯+(�+2016)(�+2016)

【变式12-3】（23-24七年级·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路

悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.

乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均�为�米

/秒.、、�、�表示的数分别是、、、，且满足��80.

22

���������+100+�−1500+�−1700=0

(1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；

(2)�从=此刻开始算�起�，甲动车A处有个在座�位�上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距

离等于米？

(3)从此刻10开0始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距

离与点M到点C的距离之和等于米？

(4)两车同时运行，若甲动车A处的1乘70客0记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上

的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好、同时在五峰山长江大桥

上？如存在，请直接写出t的值.��

【题型13科学记数法】

【例13】（2024·河北·模拟预测）河北省物产丰富，土地辽阔，土地面积约为19万平方千米．将19万用科

学记数法表示为，关于m的描述，下列说法正确的是（）

�

A．m为负数1.9×10B．

C．m等于19万的整数位数D．�当=m4增加1时，原数扩大为原来的10倍

【变式13-1】（2024·全国·模拟预测）中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截

至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数科学记

数法表示为（）29%

A．B．C．D．

891011

【变式1134-22】×（102024七年级1·4江.2苏×·专10题练习）已知1.42×10是一个7位数0.1，42则×10，原数

�

为．2.73×10�=

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【变式13-3】（23-24七年级·全国·单元测试）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒可做

83

次运算（用科学记数法表示）．4×104×10

【题型14利用乘方进行规律探究】

【例14】（23-24七年级·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他

23100

令，在等式两边同乘12+得2，+2+2+⋯+2，因此