专题2.11 绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】(举一反三)(人教版2024)(解析版)_第1页
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文档简介

专题2.11绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】

【人教版2024】

【题型1根据绝对值的非负性求值】.......................................................................................................................1

【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】...........................................................................................................3

【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】...........................................................................................................5

【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】.....................................................................................................10

【题型5利用绝对值的性质化简求值】.................................................................................................................12

【题型6利用绝对值的意义分类讨论问题】.....................................................................................................15

【题型7利用分类讨论思想解决多绝对|�|值问题】.................................................................................................18

【题型8绝对值中最值问题】.................................................................................................................................24

知识点:绝对值

(1)正数的绝对值等于它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值等于它的相反数;

注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

(2)绝对值可表示为:

a(a0)

a0(a0)a(a0)

a

a(a0)或a(a0);

aa

1a01a0

(3)a;a;

aa0

(4)是重要的非负数,即,非负性.

【题型1根据绝对值的非负性求值】

【例1】(23-24七年级·四川成都·期中)若,则.

20222022

【答案】2021�+2+2023�−1=0�+�=

【分析】本1题考查了非负数的性质,代数式求值,由,可得,

20222022

,进而由非负数的性质得到�,+2≥,0即�可−求1出≥、0的值2,02再1把�+、2的值≥代0入

2023�−1≥0�+2=0�−1=0����

第1页共27页.

代数式计算即可求解,掌握两个非负数的和为,这两个非负数均为是解题的关键.

【详解】解:∵,,00

2022

∴�+2,≥0�−1≥,0

2022

∵2021�+2≥02023�−1,≥0

2022

∴2021�+,2+202,3�−1=0

∴�+2=,0�−,1=0

∴�=−2�=1,

20222022

故答�案+为�:.=−2+1=1

【变式1-1】1(23-24七年级·全国·单元测试)若|a|+|b|=|a+b|,则a、b满足的关系是.

【答案】a、b同号或a、b有一个为0或同时为0

【详解】∵|a|+|b|=|a+b|,

∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0,或同时为0,

故答案为a、b同号或a、b有一个为0,或同时为0.

【变式1-2】(23-24七年级·广东汕头·期末)已知,则.

1220192020

�−2+(�+2)=0��=

【答案】

1

2

【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得、b的值,然后将转化为的形式可求得.

2019202020192019

【详解】∵���(��)⋅�

12

�−2+(�+2)=0

∴-2=0,=0

1

��+2

解得:a=2,

1

�=−2

===

2019202020192019201911

��(��)⋅�(−1)×(−2)2

故答案为:

1

2

【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性,解题关键是利用非负性,先得出、b的值.

【变式1-3】(23-24七年级·上海黄浦·期中)若,则a

11

|�−1|+|��−2|=0(�+1)(�+1)+(�+2)(�+2)+⋯+

=.

1

(�+2022)(�+2022)

【答案】

1011

2024

【分析】本题考查了有理数的混合运算,以及非负数的性质,利用非负数的性质求出a与b的值,代入所求

第2页共27页.

式子中拆项后,抵消即可求出值是解本题的关键.

【详解】解:∵,

2

∴,�−1+,��−2=0

解得�−:1=0,��−2=0

∴�=1�=2

111

�+1�+1+�+2�+2+…+�+2022�+2022

111

=++⋯+

2×33×42023×2024

111111

=−+−+⋯+−

233420232024

11

=−

2,2024

1011

=2024

故答案为:.

1011

2024

【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】

【例2】(23-24七年级·河南郑州·阶段练习)若满足方程,则等于()

A.B.C�.2019−�D=.2019+��−2020

【答案】D�−2020−�−2020�+2020−�+2020

【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.

【详解】当时,,不符合题意;

当时�,≥20192019−�=,�符−合20题19意;

当�≤0201时9−,�=2019+�,不符合题意;

所以0<�<20192019−�=2019−�

�≤0

故�选−D2020=−�+2020

【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减,熟练掌握以上知识点是解题关键.

【变式2-1】(23-24七年级·广西贵港·期中)有理数在数轴上的对应点如图所示,则化简代数式

的结果是()�,�,��−�−

�+�+�−�

A.B.C.D.

2�−�+��−��+�−�−�

第3页共27页.

【答案】C

【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负,利用绝对值的代数意义化简,去括号合并同类

项即可得到结果.

【详解】解:由数轴可得a<0,b<0,c>0,且

∴a-b<0,a+b<0,b-c<0|�|<|�|<|�|

=|�−�|−|�+�|+|�−�|

=−(�−�)+(�+�)−(�−�)

=−�+�+�+�−�+�

故�选+C�

【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较,解答此题的关键是明确它们各自的计算

方法,利用数形结合的思想解答.

【变式2-2】(23-24七年级·广东广州·期中)如图,数轴上点,,所对应的数分别为,,且都不为0,

.若,则���(用含,�的�式子�表示).

��=2��2�+�=2�−3�−�−3�|2�+3�+3�|=��

【答案】/

【分析】本4�题+考4�查4的�是+4线�段的倍分关系,化简绝对值,整式的加减运算,由可得,结

合可得,,,再进一步解�答�即=可2�.�3�=�+2�

【详2解�】+解�:=2�−3�−,�−3��<0�>0�+�>0

∵��=,2��

∴�−�=2(�−,�)

∴3�=�+2�

2�+�=2�−3�−�−3�

=|2�−�−2�|−|�−�−2�|,

=|−�|−,|−2�|,=|�|−|2�|,

∴2�<,0�>,02�+�,>0

∴�<0�>0,�+�>0

∴4�+4�>0.

∴|2�+3�+3�|=|2�+3�+�+2�|=|4�+4�|=4�+4�

第4页共27页.

故答案为:

4a+4b

【变式2-3】(23-24七年级·广东湛江·期中)已知,,,化简

|�|

.�=−��=−1�=�

【�答+案�】+�−�−�−�=

【分析】本−题2�主要考查绝对值的化简,熟练掌握绝对值的化简是解题的关键.根据题意求出,

得到,,,即可得到答案.�≤0,�<0,�≥0

【详解�】+解�:<0�−�≤,0�−�,<0,

|�|

∵�=,−��=−1�=�

∴�≤0,�<,0,�≥0,,

∴则�原+式�<0�−�≤0�−�<0.

故答案为=−:�−�.−�+�+�−�=−2�

−2�

【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】

【例3】(23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试)如图,数轴上A,B,C三点表示的数分别为a,b,c则下列

结论正确的个数是()

①若,,则;②若,则B为AC的中点;③化简

;④�=若−数2轴�上=点3M到��A+,�B,�=C6距离之和�+最�小=,2则�点M与点B重合;⑤若�−,�+�−,�−�点−M�到=

A2�,B,C的距离之和为13,则点M表示的数为5;⑥若�=−2�=0�=4

,则最小值为12134.�+2+�−1�−2+�−5�−6+�−

10=362020�+2021�+2022�

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】①不知道表示的数字无法确定的值;②根据线段的中点的定义,以及中点公式进行判断;

③根据点在数轴上�的位置,化简绝对值�,�进+行�判�断;④根据两点间的距离公式,以及两点之间线段最短,

进行判断;⑤根据两点间的距离公式,列方程计算进行判断;⑥根据

,得到�+2+�−1�−2+�,−推出

5�−6+,�−10=,36�,+2得到+当�−1=3,�−2+�时−,5=3,�−6+�−10=有4最小值,

−进2而≤求�出≤最1小值2≤即�可≤.56≤�≤10�=−2,�=2,�=62020�+2021�+2022�

【详解】解:①不知道表示的数字无法确定的值,故①错误;

���+��

第5页共27页.

②∵,

∴为�+�的=中2点�,故②正确;

③�由图�可�知:,

∴+�<�<�,故③错误;

④∵�−数�轴上点�−M�到−A,�−B,�C=距�离−之�−和�最+小�,+�−�=0

∴点M与点B重合;故④正确;

⑤设点表示的数为,

当点在�点左边时,�依题意有:,

解得:��−2−�+0−�+4−�=13

11

当点在�点=−右3边;时,依题意有:,

解得:��;�+2+�−0+�−4=13

�=5

综上,点表示的数为或5,故⑤错误;

11

⑥∵�−3,

∴�+2+�−1�−2+�−5�−6+�−10=36,

∴�+2+�,−1=3,�,−2+�−5,=3,�−6+�−10=4

∴−当2≤�≤12≤�≤5时:6≤�≤10有最小值为,故⑥正

确;�=−2,�=2,�=62020�+2021�+2022�−4040+4042+12132=12134

综上:正确的是②④⑥,共3个;

故选A.

【点睛】本题考查整式的加减,方程的应用.熟练掌握数轴上两点间的距离公式,以及绝对值的意义和根据

数轴上点的位置判断式子的符号,是解题的关键.

【变式3-1】(23-24七年级·重庆·期中)下列说法正确的有()

①已知a,b,c是非零的有理数,且时,则的值为1或;

|���||�||�||�|

���=−1�+�+�−3

②已知a,b,c是有理数,且,时,则的值为或3;

�+��+��+�

�+�+�=0���<0|�|+|�|+|�|−1

③已知时,那么的最大值为7,最小值为;

④若�≤4且�+,3则−式�子−4的值为;−7

2�+�−��1

2

�=�|�−�|=3�+110

第6页共27页.

⑤如果定义,当,,时,,的值为.

�+�(�>�)

�,�=0�=���<0�+�<0�>�{��}�−�

A.2个�B−.�(3�个<�)C.4个D.5个

【答案】C

【分析】①由题意可得,,则,,中有一个或三个值为负数,讨论求解即可;②由可得,,

中有一个值为负数,求�解��即<0可;③�根�据�化简绝对值,然后求解即可;④由题意可得���<0或��,�

分别求解即可;⑤根据题意可得,异�号≤,4分两种情况求解即可.�=��=−�

【详解】解:①由可得��,,,中有一个或三个值为负数,

|���|

���=−1���<0���

当,,时,

|�||�||�|

�<0�>0�>0�+�+�=−1+1+1=1

当,,时,

|�||�||�|

故①�<正0确;�<0�<0�+�+�=−1−1−1=−3

②由和得,,中有一个值为负数,

∴���<0,�+�+�=0,���

∴�+�=−��+�=−��+,�=−�

−�−�−�

故②|�|错+误|�|;+|�|=1−1−1=−1

③当时,,,

则−3≤�≤4�−4≤0�+3≥0,此时最大值为7,最小值为

当�+3−时,�−4=�+,3+�−4=2�−1−7

则�<−3�−4≤0�+3<0

故③�正+确3;−�−4=−�−3+�−4=−7

④由可得或

当�时=,��=�与�=−�矛盾,舍去;

2

�=��−�=0|�−�|=3

当时,,且

2

�=−��−�=−2��+�=02�=3

解得或

1111

�=3,�=−3�=−3,�=3

则,

121

��=−9�=9

第7页共27页.

1

�+�−��1

2=9=

1

故�④正+确1;+110

9

⑤由题意可得,异号,

当,�时�,,,

由�<0�可>得0�,=即−��=符�合题意,此时

则�,>�−�>��+�<0�<0<�

当{��,}=�−�时,,

由�>0�可<得0�,=即��=−,�与矛盾,舍去,

综上�>,��>−��+�>0�+�<0

故⑤{正�确�;}=�−�

正确的个数为4

故选:C

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质,新定义问题,解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值

的式子.

【变式3-2】(23-24七年级·安徽滁州·期中)下列结论:

①若,则;

②若�=−3,则�=±3;

③若−�=−,3则�=;3

④若�=�,则�=�;

�+�=0�=1

⑤已知、、均为非零有理数,若,,,则的值为2或.

������

其中,正�确�的结�论是(填写序�号<)0.�+�<0�+�+�<0�+�+�−���−2

【答案】①⑤/⑤①

【分析】本题主要考查了相反数,绝对值的意义.利用相反数的意义,绝对值的意义对每个说法进行判断,

错误的举出反例即可.

【详解】解:①若,则,正确,不符合题意;

②若,�则=−3,原�结=论±不3正确,符合题意;

③若−�=−,3则�=±,3原结论不正确,符合题意;

�=��=±�

第8页共27页.

④若,当时,则,原结论不正确,符合题意;

�+�=0�≠0�=1

⑤∵a、b、c均为非零有理数,若,,,

∴a、b、c有四种情形:,�<,0�+或�<0,�+�+,�<0或,,或,,

,�<0�<0�<0�<0�>0�<0�<0�>0�>0�<0�<0

�当>0,,时,原式;

当�<0,�<0,�<0时,原式=−1−1−1−−1=,−2

当�<0,�>0,�<0时,原式=−1+1−1−1=−2,

当�<0,�>0,�>0时,原式=−1+1+1−−1=.2

�<0�<0�>0=−1−1+1−1=−2

综上,已知a、b、c均为非零有理数,若,,,则的值为2

������

或.正确,不符合题意;�<0�+�<0�+�+�<0�+�+�−���

故答−2案为:①⑤.

【变式3-3】(23-24七年级·重庆沙坪坝·期末)根据绝对值定义:可将表示为,故化简

��≥0

��=�+

可得,,或四种不同结果,给出下列说法:−��<0

①�化简�+��−�一−共�有−8�种−不�同+的�结果;

②化简�+�+�一共有8种不同的结果;

③若�+�−1,+�+2(为正整数),则当时,.

以上说��法=中2正�−确9的个�数�为=(�1+)�2+…+�����=916�=34

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】①由于、、的结果分别有2种,则的结果共有种;②根据的取

值范围化简绝对|�值|可|�得|当|�|时,|�|+|�|+|�|;当2×2×时2,=8�

;当�时≥1|�|+|�−1|+|�+2|=;3当�+1时0,≤�<1|�|+|�−1|+|�+

2|;=则�+3−2≤�<0的|结�|果+共|�有−14|种+;|�③+根2据|=题−意�可−得1�<−2|�|+,再|�由−1|+|�+2|=−3�+

22

3求出|�的|值+|即�可−1|+|�+2|��=16+(�−4)16+(�−4)=916

【详解�】解:①的结果有两种,的结果有两种,的结果有两种,

∴的|�结|果共有|�|种,故①说法|�正|确;

∴当|�|+|�时|+,|�|2×2×2=8

�≥1|�|+|�−1|+|�+2|

=�+�−1+�+2

第9页共27页.

=当3�+1时,

0≤�<1|�|+|�−1|+|�+2|

=�+1;−�+�+2

=当�+3时,

−2≤�<0|�|+|�−1|+|�+2|

=−�+1−�+�−2

=−�−1

当时,;

�<−2|�|+|�−的1结|+果|�共+有2|4=种−情�况+,1−故�②−说�法+错2误=;−3�+3

∴③|�|+|�−1|+|�−2|

∵��=|2�−9|

∴��=�1+�2+…+��

=7+5+3+1+1+3+5+7+⋯+2�−9

2

=16+(�−4)

∵��=916

2

∴解1得6,+(�−4)或=916(舍去)

�=34�=−26

∴故�③=说3法4正确,

∴正确的说法有2个,

故选:C

【点睛】本题主要考查了数字的变化规律,熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关键

【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】

【例4】(23-24七年级·浙江杭州·期中)若的值是一个定值,则a的取值范围是()

A.B.2�+C.4−5�+1−3�D.或

141414

�=03<�<53⩽�⩽53⩽�⩽5�=0

【答案】D

【分析】根据a的范围,分情况利用绝对值的代数意义化简,使其值为常数,即可得到a的范围.

【详解】解:当a<时,4-5a>0,1-3a>0,

1

3

第10页共27页.

原式=2a+4-5a+1-3a=-6a+5,当a时不合题意;

≠0

当≤a≤时,4-5a≥0,1-3a≤0,

14

35

原式=2a+4-5a+3a-1=3,符合题意;

当a>时,4-5a<0,1-3a<0,

4

5

原式=2a+5a-4+3a-1=10a-5,不合题意,

综上,满足题意a的范围为或.

14

3⩽�⩽5�=0

故选:D.

【点睛】此题考查了绝对值的化简以及整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式4-1】(23-24七年级·上海徐汇·阶段练习)已知:,则a的取值范围是

【答案】�−�=0

【分析】利�≥用0绝对值的意义进行求解即可得到答案

【详解】解:因为,

所以,�−�=0

因为一�个=非�负数的绝对值等于它本身,

所以,a的取值范围是,

故答案为:�≥0

【点睛】本题�考≥查0了绝对值的意义,解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负

数的绝对值是它的相反数.

【变式4-2】(23-24七年级·天津河西·期中)当取最小值时,x的取值范围是,最

小值是.|�+2|+|�−3|

【答案】5

【分析】−2⩽�⩽3表示数轴上到-2与3的距离之和,可得出最小值以及x的取值范围;

【详解】�+2+�−3表示数轴上到-2与3的距离之和,

当x的取�值+范2围+为�−3时,取得最小值,

−2≤�≤3�+,2最+小值�−为35;

∴�x+的2取+值�范−围3为≥�+2−�+时3有=最小5值,最小值为5.

故答案为−2;≤5�.≤3

【点睛】本−题2主≤要�≤考3查了绝对值的意义,掌握绝对值的意义在数轴上求最小值是解题的关键.

第11页共27页.

【变式4-3】(23-24七年级·四川绵阳·期中)若不等式对一切数x都

成立,则a的取值范围是.�−2+�+3+�−1+�+1≥�

【答案】

【分析】根�≤据7绝对值的几何意义,表示数轴上两点间的距离,即可得到答案.

【详解】解:由题意可得,�−�

表�示−点2+x到�+3,+�,−1,+四�点+1间距=离�的−和2,+�−(−3)+�−1+�−(−1)

∴当x在−和3之−1间是1距离2和最小,

最小值为−11,

∴,1−(−1)+2−(−3)=7

故答�≤案7为.

【点睛】本�题≤考7查绝对值的几何意义:表示数轴上两点间的距离,利用数形结合的思想是解题的关键.

�−�

【题型5利用绝对值的性质化简求值】

【例5】(23-24七年级·浙江宁波·期末)已知有理数,,满足,且,则

.����+�+�=�+�−��≠0�+�−�+

【2答−案�】−10=

【分析】当−8.时,则结合已知条件得到,不合题意舍去,从而

<可得�+�+�≥<0再化简�+代�数+式�即=可�得+到�答+案�,.�=0�+�+�

【详0解,】解�:+当�=0,�0,时,则

�+�+�,≥0�+�+�=�+�+�,

∵�+�+�=�+�−�

∴�+�,+�=�+�−�,

∴�=0,所以不合题意舍去,

∵所�以≠0<

�+�+�0,

∴�+�+�=−�−�−,�,

∵�+�+�=�+�−�

∴�+�−�=−�−�−�,

∴�+�=0,

∴�=−�,

第12页共27页.

∴�0,

∴�+�−�+2−�−10=2−�−�−10

=故答2−案�为+:�−10=−8.

【点睛】本题−考8.查的是绝对值的含义,绝对值的化简,同时考查去括号,合并同类项,掌握以上知识是解题

的关键.

【变式5-1】(23-24七年级·福建泉州·期中)若a、b、c为整数,且|a-b|21+|c-a|2021=1,则|a-b|+|b-c|

+|c-a|=.

【答案】2

【分析】因为、、都为整数,而且,所以与只能是0或者1,于是

212021

进行分类讨论�即�可得�出.|�−�|+|�−�|=1|�−�||�−�|

【详解】解:、、为整数,且,

212021

有∵�,��或|�−�|,+|�−�|,=1

∴①若|�−�|=1,|�−�|=0,|�−�|=0|�−�|=1

则|�−�|=,1|�−,�|=0

�−�=±1�=�,

∴|�−�|=|�−�|=|�−�|=1,

∴②|�−�|+|�,−�|+|�−�,|=1+1+0=2

则|�−�,|=0|�−�,|=1

�=��−�=±1,

∴|�−�|=|�−�|=|�−�|=1,

∴故|答�−案�为|+:|2�.−�|+|�−�|=0+1+1=2

【点睛】本题考查的是绝对值的化简,解题的关键是掌握两个相反数的绝对值相等是解题的重点,灵活对绝

对值的化简进行变形.

【变式5-2】(23-24七年级·四川达州·期中)若a、b、c是整数,且,则.

【答案】1�+�+�+�=1�−�=

【分析】本题考查了绝对值,解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性,以及采用分类讨论的思想,根据绝对

值的非负性以及题意,可知当时,则,当时,则,分类讨论计

算即可.�+�=0�+�=1�+�=1�+�=0

第13页共27页.

【详解】解:a、b、c是整数,

,∵是整数,

∴�+��+�,

又∵�+�+�+,�=1,

∵�+�≥0时,�则+�≥0或时,则,

∴当�+�=0,�+时�,=1�+�=1�+�=0

∴则�+�,=0�+�,=1

�=−��=1−�;

∴当�−�=−,�−1+�=1时,

∴则�+�,=0�+�=,−1

�=−��=−1−�;

∴当�−�=−,�+1+�=时1,

∴则�+�=1,�+�,=0

�=1−��=−�

∴当�−�=1−,�+�=1时,

∴则�+�=−,1�+�,=0

�=−1−��=−�,

∴综上�−可�得=:−1−�+�,=1

故答案为:1a.−c=1

【变式5-3】(23-24七年级·山东·课后作业)图表示数在线四个点的位置关系,且它们表示的数分别为p、q、

r、s.若|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9,则|q-r|=?()

A.7B.9C.11D.13

【答案】A

【分析】根据数轴可知p<q<r<s,根据绝对值的性质得:p-r=-10,p-s=-12,q-s=-9,所以q-r=-7,根据绝

对值的性质,得出|q-r|的值.

【详解】观察数轴可得,p<q<r<s,

∵|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9,

∴p-r=-10,p-s=-12,q-s=-9,

第14页共27页.

∴p=r-10,p=s-12,

∴r-10=s-12,

∴s=r+2,

∴q-s=q-r-2=-9,

∴q-r=-7,

∴|q-r|=7.

故选A.

【点睛】本题主要考查绝对值性质的运用.解此类题的关键是:先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正

负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,将式子化简,即可求解.

【题型6利用绝对值的意义分类讨论问题】

|�|

【例6】(23-24七年级·河南平顶山·阶段练习)已知,且

.则的值为()���<0�+�+�>0

���������

�=|�|+|�|+|�|+|��|+|��|+|��|�

A.0B.0或1C.或或D.或或

【答案】A0−2101−6

【分析】由,,可得、、三个数中有一个负因数,且正因数绝对值的和大于负因数

的绝对值,�由��此<可0得�、+、�+的�符>号0有三种�情况�(�,,或,,或,,

),再根据绝对�值�的性�质分三种情况求得�的<值0即�可>解0答.�>0�>0�<0�>0�>0�>0

【�详<解0】∵,,�

∴、、�三�个�<数0中有�一+个�+负�因>数0,且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值,

∴��,�,或,,或,,,

当�<0,�>0,�>0时,�>0�,<0�>,0�>,0�>0�<0

∴�<0�>0�>0��<0��<0��>0

���������

�=|�|+|�|+|�|+|��|+|��|+|��|

���������

=−�+�+�+−��+−��+��

=−;1+1+1−1−1+1

=当0,,时,,,,

∴�>0�<0�>0��<0��>0��<0

���������

�=�+�+�+��+��+��

第15页共27页.

���������

=�+−�+�+−��+��+−��

=−;1+1+1−1+1−1

=当0,,时,,,,

∴�>0�>0�<0��>0��<0��<0

���������

�=�+�+�+��+��+��

���������

=�+�+−�+��+−��+−��

=1+.1−1+1−1−1

综=上0,当,时,.

���������

���<0�+�+�>0�=�+�+�+��+��+��=0

故选:A.

【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质,正确得到、、的符号有三种情况(,,

或,,或,,)是解决问题�的�关�键.�<0�>0

【�变>式06-1�】>(023�-2<4七0年�级>·浙0江�·期>末0)已�>知0a,�b<,0c为有理数,且,,则

���

的值为()�+�+�=0���<0�+�+�

A.1B.或C.1或D.或3

【答案】A−1−3−3−1

【分析】先根据有理数的乘法法则推出:要使三个数的乘积为负,a,b,c中应有奇数个负数,进而可将a,

b,c的符号分两种情况:1负2正或3负;再根据加法法则:要使三个数的和为0,a,b,c的符号只能为

1负2正,然后化简即得.

【详解】∵

∴a,b,c�中��应<有0奇数个负数

∴a,b,c的符号可以为:1负2正或3负

∴a�,+b�,+c�的=符0号为1负2正

令,,

∴�<0�,>0�>,0

∴�=−��=��=�

���

�+�+�=−1+1+1=1

第16页共27页.

故选:A.

【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则,利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关

键.

【变式6-2】(23-24七年级·江苏无锡·期中)已知,则值为多少()

−4���4|�|�|�|

|3���|=3�+|�|+�

A.1或﹣3B.1或﹣1C.﹣1或3D.3或﹣3

【答案】A

【详解】试题分析:根据绝对值的性质及连乘法则,可判断出x、y、z的符号,再根据正负性即可求值.

解:∵,

−4���4

∴|3���,|=3

∴x�、��y<、0z的符号为三负或两正一负.

当x、y、z均为负值时,

原式=(-1)+(-1)+(-1)=-3;

当x、y、z为两正一负时,

原式=1+1+(-1)=1;

∴值为1或-3.

|�|�|�|

�+|�|+�

故选A.

点睛:本题涉及的知识有绝对值、有理数的乘法.解题的关键在于要利用已知条件结合绝对值的性质、有理

数连乘法则判断出x、y、z的符号,同时要注意利用分类讨论思想.

【变式6-3】(23-24七年级·浙江宁波·期末)如果p,q是非零实数,关于x的方程

始终存在四个不同的实数解,则的值为.||2023�−2024|−�|=−�

�+��−�����

|�+�|+|�−�|+|��|+|�|+|�|

【答案】1

【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解,熟练掌握绝对值的性质,能够确定且是解题

的关键.�<0|�|>|�|

【详解】解:方程,

,即∵|,|2023�−2024|−�|=−�

∴−�>0�<0或,

∴|2023�−2024|−�=�或|2023�−2024|−�=−,�

∴方|2程02始3�终−存2在02四4|个=不�同+的�实|2数0解23,�−2024|=�−�

第17页共27页.

,,

∴�+�>且0�−�,>0

∴�>0|�|>|�|,

�+��−�����

∴|�+�|+|�−�|+|��|+|�|+|�|=1+1−1+1−1=1

故答案为:1.

【题型7利用分类讨论思想解决多绝对值问题】

【例7】(23-24七年级·广东东莞·阶段练习)如图,已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0,且

是的中点,如果�,�则原�点的大致

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