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文档简介
专题2.11绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】
【人教版2024】
【题型1根据绝对值的非负性求值】.......................................................................................................................1
【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】...........................................................................................................3
【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】...........................................................................................................5
【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】.....................................................................................................10
【题型5利用绝对值的性质化简求值】.................................................................................................................12
【题型6利用绝对值的意义分类讨论问题】.....................................................................................................15
�
【题型7利用分类讨论思想解决多绝对|�|值问题】.................................................................................................18
【题型8绝对值中最值问题】.................................................................................................................................24
知识点:绝对值
(1)正数的绝对值等于它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值等于它的相反数;
注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为:
a(a0)
a0(a0)a(a0)
a
a(a0)或a(a0);
aa
1a01a0
(3)a;a;
aa0
(4)是重要的非负数,即,非负性.
【题型1根据绝对值的非负性求值】
【例1】(23-24七年级·四川成都·期中)若,则.
20222022
【答案】2021�+2+2023�−1=0�+�=
【分析】本1题考查了非负数的性质,代数式求值,由,可得,
20222022
,进而由非负数的性质得到�,+2≥,0即�可−求1出≥、0的值2,02再1把�+、2的值≥代0入
2023�−1≥0�+2=0�−1=0����
第1页共27页.
代数式计算即可求解,掌握两个非负数的和为,这两个非负数均为是解题的关键.
【详解】解:∵,,00
2022
∴�+2,≥0�−1≥,0
2022
∵2021�+2≥02023�−1,≥0
2022
∴2021�+,2+202,3�−1=0
∴�+2=,0�−,1=0
∴�=−2�=1,
20222022
故答�案+为�:.=−2+1=1
【变式1-1】1(23-24七年级·全国·单元测试)若|a|+|b|=|a+b|,则a、b满足的关系是.
【答案】a、b同号或a、b有一个为0或同时为0
【详解】∵|a|+|b|=|a+b|,
∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0,或同时为0,
故答案为a、b同号或a、b有一个为0,或同时为0.
【变式1-2】(23-24七年级·广东汕头·期末)已知,则.
1220192020
�−2+(�+2)=0��=
【答案】
1
2
【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得、b的值,然后将转化为的形式可求得.
2019202020192019
【详解】∵���(��)⋅�
12
�−2+(�+2)=0
∴-2=0,=0
1
��+2
解得:a=2,
1
�=−2
===
2019202020192019201911
��(��)⋅�(−1)×(−2)2
故答案为:
1
2
【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性,解题关键是利用非负性,先得出、b的值.
【变式1-3】(23-24七年级·上海黄浦·期中)若,则a
11
|�−1|+|��−2|=0(�+1)(�+1)+(�+2)(�+2)+⋯+
=.
1
(�+2022)(�+2022)
【答案】
1011
2024
【分析】本题考查了有理数的混合运算,以及非负数的性质,利用非负数的性质求出a与b的值,代入所求
第2页共27页.
式子中拆项后,抵消即可求出值是解本题的关键.
【详解】解:∵,
2
∴,�−1+,��−2=0
解得�−:1=0,��−2=0
∴�=1�=2
111
�+1�+1+�+2�+2+…+�+2022�+2022
111
=++⋯+
2×33×42023×2024
111111
=−+−+⋯+−
233420232024
11
=−
2,2024
1011
=2024
故答案为:.
1011
2024
【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】
【例2】(23-24七年级·河南郑州·阶段练习)若满足方程,则等于()
A.B.C�.2019−�D=.2019+��−2020
【答案】D�−2020−�−2020�+2020−�+2020
【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.
【详解】当时,,不符合题意;
当时�,≥20192019−�=,�符−合20题19意;
当�≤0201时9−,�=2019+�,不符合题意;
所以0<�<20192019−�=2019−�
�≤0
故�选−D2020=−�+2020
【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减,熟练掌握以上知识点是解题关键.
【变式2-1】(23-24七年级·广西贵港·期中)有理数在数轴上的对应点如图所示,则化简代数式
的结果是()�,�,��−�−
�+�+�−�
A.B.C.D.
2�−�+��−��+�−�−�
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【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负,利用绝对值的代数意义化简,去括号合并同类
项即可得到结果.
【详解】解:由数轴可得a<0,b<0,c>0,且
∴a-b<0,a+b<0,b-c<0|�|<|�|<|�|
∴
=|�−�|−|�+�|+|�−�|
=−(�−�)+(�+�)−(�−�)
=−�+�+�+�−�+�
故�选+C�
【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较,解答此题的关键是明确它们各自的计算
方法,利用数形结合的思想解答.
【变式2-2】(23-24七年级·广东广州·期中)如图,数轴上点,,所对应的数分别为,,且都不为0,
.若,则���(用含,�的�式子�表示).
��=2��2�+�=2�−3�−�−3�|2�+3�+3�|=��
【答案】/
【分析】本4�题+考4�查4的�是+4线�段的倍分关系,化简绝对值,整式的加减运算,由可得,结
合可得,,,再进一步解�答�即=可2�.�3�=�+2�
【详2解�】+解�:=2�−3�−,�−3��<0�>0�+�>0
∵��=,2��
∴�−�=2(�−,�)
∴3�=�+2�
2�+�=2�−3�−�−3�
=|2�−�−2�|−|�−�−2�|,
=|−�|−,|−2�|,=|�|−|2�|,
∴2�<,0�>,02�+�,>0
∴�<0�>0,�+�>0
∴4�+4�>0.
∴|2�+3�+3�|=|2�+3�+�+2�|=|4�+4�|=4�+4�
第4页共27页.
故答案为:
4a+4b
【变式2-3】(23-24七年级·广东湛江·期中)已知,,,化简
|�|
.�=−��=−1�=�
【�答+案�】+�−�−�−�=
【分析】本−题2�主要考查绝对值的化简,熟练掌握绝对值的化简是解题的关键.根据题意求出,
得到,,,即可得到答案.�≤0,�<0,�≥0
【详解�】+解�:<0�−�≤,0�−�,<0,
|�|
∵�=,−��=−1�=�
∴�≤0,�<,0,�≥0,,
∴则�原+式�<0�−�≤0�−�<0.
故答案为=−:�−�.−�+�+�−�=−2�
−2�
【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】
【例3】(23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试)如图,数轴上A,B,C三点表示的数分别为a,b,c则下列
结论正确的个数是()
①若,,则;②若,则B为AC的中点;③化简
;④�=若−数2轴�上=点3M到��A+,�B,�=C6距离之和�+最�小=,2则�点M与点B重合;⑤若�−,�+�−,�−�点−M�到=
A2�,B,C的距离之和为13,则点M表示的数为5;⑥若�=−2�=0�=4
,则最小值为12134.�+2+�−1�−2+�−5�−6+�−
10=362020�+2021�+2022�
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
【分析】①不知道表示的数字无法确定的值;②根据线段的中点的定义,以及中点公式进行判断;
③根据点在数轴上�的位置,化简绝对值�,�进+行�判�断;④根据两点间的距离公式,以及两点之间线段最短,
进行判断;⑤根据两点间的距离公式,列方程计算进行判断;⑥根据
,得到�+2+�−1�−2+�,−推出
5�−6+,�−10=,36�,+2得到+当�−1=3,�−2+�时−,5=3,�−6+�−10=有4最小值,
−进2而≤求�出≤最1小值2≤即�可≤.56≤�≤10�=−2,�=2,�=62020�+2021�+2022�
【详解】解:①不知道表示的数字无法确定的值,故①错误;
���+��
第5页共27页.
②∵,
∴为�+�的=中2点�,故②正确;
③�由图�可�知:,
∴+�<�<�,故③错误;
④∵�−数�轴上点�−M�到−A,�−B,�C=距�离−之�−和�最+小�,+�−�=0
∴点M与点B重合;故④正确;
⑤设点表示的数为,
当点在�点左边时,�依题意有:,
解得:��−2−�+0−�+4−�=13
11
当点在�点=−右3边;时,依题意有:,
解得:��;�+2+�−0+�−4=13
�=5
综上,点表示的数为或5,故⑤错误;
11
⑥∵�−3,
∴�+2+�−1�−2+�−5�−6+�−10=36,
∴�+2+�,−1=3,�,−2+�−5,=3,�−6+�−10=4
∴−当2≤�≤12≤�≤5时:6≤�≤10有最小值为,故⑥正
确;�=−2,�=2,�=62020�+2021�+2022�−4040+4042+12132=12134
综上:正确的是②④⑥,共3个;
故选A.
【点睛】本题考查整式的加减,方程的应用.熟练掌握数轴上两点间的距离公式,以及绝对值的意义和根据
数轴上点的位置判断式子的符号,是解题的关键.
【变式3-1】(23-24七年级·重庆·期中)下列说法正确的有()
①已知a,b,c是非零的有理数,且时,则的值为1或;
|���||�||�||�|
���=−1�+�+�−3
②已知a,b,c是有理数,且,时,则的值为或3;
�+��+��+�
�+�+�=0���<0|�|+|�|+|�|−1
③已知时,那么的最大值为7,最小值为;
④若�≤4且�+,3则−式�子−4的值为;−7
2�+�−��1
2
�=�|�−�|=3�+110
第6页共27页.
⑤如果定义,当,,时,,的值为.
�+�(�>�)
�,�=0�=���<0�+�<0�>�{��}�−�
A.2个�B−.�(3�个<�)C.4个D.5个
【答案】C
【分析】①由题意可得,,则,,中有一个或三个值为负数,讨论求解即可;②由可得,,
中有一个值为负数,求�解��即<0可;③�根�据�化简绝对值,然后求解即可;④由题意可得���<0或��,�
分别求解即可;⑤根据题意可得,异�号≤,4分两种情况求解即可.�=��=−�
【详解】解:①由可得��,,,中有一个或三个值为负数,
|���|
���=−1���<0���
当,,时,
|�||�||�|
�<0�>0�>0�+�+�=−1+1+1=1
当,,时,
|�||�||�|
故①�<正0确;�<0�<0�+�+�=−1−1−1=−3
②由和得,,中有一个值为负数,
∴���<0,�+�+�=0,���
∴�+�=−��+�=−��+,�=−�
−�−�−�
故②|�|错+误|�|;+|�|=1−1−1=−1
③当时,,,
则−3≤�≤4�−4≤0�+3≥0,此时最大值为7,最小值为
当�+3−时,�−4=�+,3+�−4=2�−1−7
则�<−3�−4≤0�+3<0
故③�正+确3;−�−4=−�−3+�−4=−7
④由可得或
当�时=,��=�与�=−�矛盾,舍去;
2
�=��−�=0|�−�|=3
当时,,且
2
�=−��−�=−2��+�=02�=3
解得或
1111
�=3,�=−3�=−3,�=3
则,
121
��=−9�=9
第7页共27页.
1
�+�−��1
2=9=
1
故�④正+确1;+110
9
⑤由题意可得,异号,
当,�时�,,,
由�<0�可>得0�,=即−��=符�合题意,此时
则�,>�−�>��+�<0�<0<�
当{��,}=�−�时,,
由�>0�可<得0�,=即��=−,�与矛盾,舍去,
综上�>,��>−��+�>0�+�<0
故⑤{正�确�;}=�−�
正确的个数为4
故选:C
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质,新定义问题,解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值
的式子.
【变式3-2】(23-24七年级·安徽滁州·期中)下列结论:
①若,则;
②若�=−3,则�=±3;
③若−�=−,3则�=;3
④若�=�,则�=�;
�
�+�=0�=1
⑤已知、、均为非零有理数,若,,,则的值为2或.
������
其中,正�确�的结�论是(填写序�号<)0.�+�<0�+�+�<0�+�+�−���−2
【答案】①⑤/⑤①
【分析】本题主要考查了相反数,绝对值的意义.利用相反数的意义,绝对值的意义对每个说法进行判断,
错误的举出反例即可.
【详解】解:①若,则,正确,不符合题意;
②若,�则=−3,原�结=论±不3正确,符合题意;
③若−�=−,3则�=±,3原结论不正确,符合题意;
�=��=±�
第8页共27页.
④若,当时,则,原结论不正确,符合题意;
�
�+�=0�≠0�=1
⑤∵a、b、c均为非零有理数,若,,,
∴a、b、c有四种情形:,�<,0�+或�<0,�+�+,�<0或,,或,,
,�<0�<0�<0�<0�>0�<0�<0�>0�>0�<0�<0
�当>0,,时,原式;
当�<0,�<0,�<0时,原式=−1−1−1−−1=,−2
当�<0,�>0,�<0时,原式=−1+1−1−1=−2,
当�<0,�>0,�>0时,原式=−1+1+1−−1=.2
�<0�<0�>0=−1−1+1−1=−2
综上,已知a、b、c均为非零有理数,若,,,则的值为2
������
或.正确,不符合题意;�<0�+�<0�+�+�<0�+�+�−���
故答−2案为:①⑤.
【变式3-3】(23-24七年级·重庆沙坪坝·期末)根据绝对值定义:可将表示为,故化简
��≥0
��=�+
可得,,或四种不同结果,给出下列说法:−��<0
①�化简�+��−�一−共�有−8�种−不�同+的�结果;
②化简�+�+�一共有8种不同的结果;
③若�+�−1,+�+2(为正整数),则当时,.
以上说��法=中2正�−确9的个�数�为=(�1+)�2+…+�����=916�=34
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】C
【分析】①由于、、的结果分别有2种,则的结果共有种;②根据的取
值范围化简绝对|�值|可|�得|当|�|时,|�|+|�|+|�|;当2×2×时2,=8�
;当�时≥1|�|+|�−1|+|�+2|=;3当�+1时0,≤�<1|�|+|�−1|+|�+
2|;=则�+3−2≤�<0的|结�|果+共|�有−14|种+;|�③+根2据|=题−意�可−得1�<−2|�|+,再|�由−1|+|�+2|=−3�+
22
3求出|�的|值+|即�可−1|+|�+2|��=16+(�−4)16+(�−4)=916
【详解�】解:①的结果有两种,的结果有两种,的结果有两种,
∴的|�结|果共有|�|种,故①说法|�正|确;
∴当|�|+|�时|+,|�|2×2×2=8
�≥1|�|+|�−1|+|�+2|
=�+�−1+�+2
第9页共27页.
;
=当3�+1时,
0≤�<1|�|+|�−1|+|�+2|
=�+1;−�+�+2
=当�+3时,
−2≤�<0|�|+|�−1|+|�+2|
=−�+1−�+�−2
=−�−1
当时,;
�<−2|�|+|�−的1结|+果|�共+有2|4=种−情�况+,1−故�②−说�法+错2误=;−3�+3
∴③|�|+|�−1|+|�−2|
∵��=|2�−9|
∴��=�1+�2+…+��
=7+5+3+1+1+3+5+7+⋯+2�−9
2
=16+(�−4)
∵��=916
2
∴解1得6,+(�−4)或=916(舍去)
�=34�=−26
∴故�③=说3法4正确,
∴正确的说法有2个,
故选:C
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律,熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关键
【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】
【例4】(23-24七年级·浙江杭州·期中)若的值是一个定值,则a的取值范围是()
A.B.2�+C.4−5�+1−3�D.或
141414
�=03<�<53⩽�⩽53⩽�⩽5�=0
【答案】D
【分析】根据a的范围,分情况利用绝对值的代数意义化简,使其值为常数,即可得到a的范围.
【详解】解:当a<时,4-5a>0,1-3a>0,
1
3
第10页共27页.
原式=2a+4-5a+1-3a=-6a+5,当a时不合题意;
≠0
当≤a≤时,4-5a≥0,1-3a≤0,
14
35
原式=2a+4-5a+3a-1=3,符合题意;
当a>时,4-5a<0,1-3a<0,
4
5
原式=2a+5a-4+3a-1=10a-5,不合题意,
综上,满足题意a的范围为或.
14
3⩽�⩽5�=0
故选:D.
【点睛】此题考查了绝对值的化简以及整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【变式4-1】(23-24七年级·上海徐汇·阶段练习)已知:,则a的取值范围是
【答案】�−�=0
【分析】利�≥用0绝对值的意义进行求解即可得到答案
【详解】解:因为,
所以,�−�=0
因为一�个=非�负数的绝对值等于它本身,
所以,a的取值范围是,
故答案为:�≥0
【点睛】本题�考≥查0了绝对值的意义,解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负
数的绝对值是它的相反数.
【变式4-2】(23-24七年级·天津河西·期中)当取最小值时,x的取值范围是,最
小值是.|�+2|+|�−3|
【答案】5
【分析】−2⩽�⩽3表示数轴上到-2与3的距离之和,可得出最小值以及x的取值范围;
【详解】�+2+�−3表示数轴上到-2与3的距离之和,
当x的取�值+范2围+为�−3时,取得最小值,
−2≤�≤3�+,2最+小值�−为35;
∴�x+的2取+值�范−围3为≥�+2−�+时3有=最小5值,最小值为5.
故答案为−2;≤5�.≤3
【点睛】本−题2主≤要�≤考3查了绝对值的意义,掌握绝对值的意义在数轴上求最小值是解题的关键.
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【变式4-3】(23-24七年级·四川绵阳·期中)若不等式对一切数x都
成立,则a的取值范围是.�−2+�+3+�−1+�+1≥�
【答案】
【分析】根�≤据7绝对值的几何意义,表示数轴上两点间的距离,即可得到答案.
【详解】解:由题意可得,�−�
表�示−点2+x到�+3,+�,−1,+四�点+1间距=离�的−和2,+�−(−3)+�−1+�−(−1)
∴当x在−和3之−1间是1距离2和最小,
最小值为−11,
∴,1−(−1)+2−(−3)=7
故答�≤案7为.
【点睛】本�题≤考7查绝对值的几何意义:表示数轴上两点间的距离,利用数形结合的思想是解题的关键.
�−�
【题型5利用绝对值的性质化简求值】
【例5】(23-24七年级·浙江宁波·期末)已知有理数,,满足,且,则
.����+�+�=�+�−��≠0�+�−�+
【2答−案�】−10=
【分析】当−8.时,则结合已知条件得到,不合题意舍去,从而
<可得�+�+�≥<0再化简�+代�数+式�即=可�得+到�答+案�,.�=0�+�+�
【详0解,】解�:+当�=0,�0,时,则
�+�+�,≥0�+�+�=�+�+�,
∵�+�+�=�+�−�
∴�+�,+�=�+�−�,
∴�=0,所以不合题意舍去,
∵所�以≠0<
�+�+�0,
∴�+�+�=−�−�−,�,
∵�+�+�=�+�−�
∴�+�−�=−�−�−�,
∴�+�=0,
∴�=−�,
第12页共27页.
<
∴�0,
∴�+�−�+2−�−10=2−�−�−10
=故答2−案�为+:�−10=−8.
【点睛】本题−考8.查的是绝对值的含义,绝对值的化简,同时考查去括号,合并同类项,掌握以上知识是解题
的关键.
【变式5-1】(23-24七年级·福建泉州·期中)若a、b、c为整数,且|a-b|21+|c-a|2021=1,则|a-b|+|b-c|
+|c-a|=.
【答案】2
【分析】因为、、都为整数,而且,所以与只能是0或者1,于是
212021
进行分类讨论�即�可得�出.|�−�|+|�−�|=1|�−�||�−�|
【详解】解:、、为整数,且,
212021
有∵�,��或|�−�|,+|�−�|,=1
∴①若|�−�|=1,|�−�|=0,|�−�|=0|�−�|=1
则|�−�|=,1|�−,�|=0
�−�=±1�=�,
∴|�−�|=|�−�|=|�−�|=1,
∴②|�−�|+|�,−�|+|�−�,|=1+1+0=2
则|�−�,|=0|�−�,|=1
�=��−�=±1,
∴|�−�|=|�−�|=|�−�|=1,
∴故|答�−案�为|+:|2�.−�|+|�−�|=0+1+1=2
【点睛】本题考查的是绝对值的化简,解题的关键是掌握两个相反数的绝对值相等是解题的重点,灵活对绝
对值的化简进行变形.
【变式5-2】(23-24七年级·四川达州·期中)若a、b、c是整数,且,则.
【答案】1�+�+�+�=1�−�=
【分析】本题考查了绝对值,解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性,以及采用分类讨论的思想,根据绝对
值的非负性以及题意,可知当时,则,当时,则,分类讨论计
算即可.�+�=0�+�=1�+�=1�+�=0
第13页共27页.
【详解】解:a、b、c是整数,
,∵是整数,
∴�+��+�,
又∵�+�+�+,�=1,
∵�+�≥0时,�则+�≥0或时,则,
∴当�+�=0,�+时�,=1�+�=1�+�=0
∴则�+�,=0�+�,=1
�=−��=1−�;
∴当�−�=−,�−1+�=1时,
∴则�+�,=0�+�=,−1
�=−��=−1−�;
∴当�−�=−,�+1+�=时1,
∴则�+�=1,�+�,=0
�=1−��=−�
∴当�−�=1−,�+�=1时,
∴则�+�=−,1�+�,=0
�=−1−��=−�,
∴综上�−可�得=:−1−�+�,=1
故答案为:1a.−c=1
【变式5-3】(23-24七年级·山东·课后作业)图表示数在线四个点的位置关系,且它们表示的数分别为p、q、
r、s.若|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9,则|q-r|=?()
A.7B.9C.11D.13
【答案】A
【分析】根据数轴可知p<q<r<s,根据绝对值的性质得:p-r=-10,p-s=-12,q-s=-9,所以q-r=-7,根据绝
对值的性质,得出|q-r|的值.
【详解】观察数轴可得,p<q<r<s,
∵|p-r|=10,|p-s|=12,|q-s|=9,
∴p-r=-10,p-s=-12,q-s=-9,
第14页共27页.
∴p=r-10,p=s-12,
∴r-10=s-12,
∴s=r+2,
∴q-s=q-r-2=-9,
∴q-r=-7,
∴|q-r|=7.
故选A.
【点睛】本题主要考查绝对值性质的运用.解此类题的关键是:先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正
负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,将式子化简,即可求解.
【题型6利用绝对值的意义分类讨论问题】
�
|�|
【例6】(23-24七年级·河南平顶山·阶段练习)已知,且
.则的值为()���<0�+�+�>0
���������
�=|�|+|�|+|�|+|��|+|��|+|��|�
A.0B.0或1C.或或D.或或
【答案】A0−2101−6
【分析】由,,可得、、三个数中有一个负因数,且正因数绝对值的和大于负因数
的绝对值,�由��此<可0得�、+、�+的�符>号0有三种�情况�(�,,或,,或,,
),再根据绝对�值�的性�质分三种情况求得�的<值0即�可>解0答.�>0�>0�<0�>0�>0�>0
【�详<解0】∵,,�
∴、、�三�个�<数0中有�一+个�+负�因>数0,且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值,
∴��,�,或,,或,,,
当�<0,�>0,�>0时,�>0�,<0�>,0�>,0�>0�<0
∴�<0�>0�>0��<0��<0��>0
���������
�=|�|+|�|+|�|+|��|+|��|+|��|
���������
=−�+�+�+−��+−��+��
=−;1+1+1−1−1+1
=当0,,时,,,,
∴�>0�<0�>0��<0��>0��<0
���������
�=�+�+�+��+��+��
第15页共27页.
���������
=�+−�+�+−��+��+−��
=−;1+1+1−1+1−1
=当0,,时,,,,
∴�>0�>0�<0��>0��<0��<0
���������
�=�+�+�+��+��+��
���������
=�+�+−�+��+−��+−��
=1+.1−1+1−1−1
综=上0,当,时,.
���������
���<0�+�+�>0�=�+�+�+��+��+��=0
故选:A.
【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质,正确得到、、的符号有三种情况(,,
或,,或,,)是解决问题�的�关�键.�<0�>0
【�变>式06-1�】>(023�-2<4七0年�级>·浙0江�·期>末0)已�>知0a,�b<,0c为有理数,且,,则
���
的值为()�+�+�=0���<0�+�+�
A.1B.或C.1或D.或3
【答案】A−1−3−3−1
【分析】先根据有理数的乘法法则推出:要使三个数的乘积为负,a,b,c中应有奇数个负数,进而可将a,
b,c的符号分两种情况:1负2正或3负;再根据加法法则:要使三个数的和为0,a,b,c的符号只能为
1负2正,然后化简即得.
【详解】∵
∴a,b,c�中��应<有0奇数个负数
∴a,b,c的符号可以为:1负2正或3负
∵
∴a�,+b�,+c�的=符0号为1负2正
令,,
∴�<0�,>0�>,0
∴�=−��=��=�
���
�+�+�=−1+1+1=1
第16页共27页.
故选:A.
【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则,利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关
键.
【变式6-2】(23-24七年级·江苏无锡·期中)已知,则值为多少()
−4���4|�|�|�|
|3���|=3�+|�|+�
A.1或﹣3B.1或﹣1C.﹣1或3D.3或﹣3
【答案】A
【详解】试题分析:根据绝对值的性质及连乘法则,可判断出x、y、z的符号,再根据正负性即可求值.
解:∵,
−4���4
∴|3���,|=3
∴x�、��y<、0z的符号为三负或两正一负.
当x、y、z均为负值时,
原式=(-1)+(-1)+(-1)=-3;
当x、y、z为两正一负时,
原式=1+1+(-1)=1;
∴值为1或-3.
|�|�|�|
�+|�|+�
故选A.
点睛:本题涉及的知识有绝对值、有理数的乘法.解题的关键在于要利用已知条件结合绝对值的性质、有理
数连乘法则判断出x、y、z的符号,同时要注意利用分类讨论思想.
【变式6-3】(23-24七年级·浙江宁波·期末)如果p,q是非零实数,关于x的方程
始终存在四个不同的实数解,则的值为.||2023�−2024|−�|=−�
�+��−�����
|�+�|+|�−�|+|��|+|�|+|�|
【答案】1
【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解,熟练掌握绝对值的性质,能够确定且是解题
的关键.�<0|�|>|�|
【详解】解:方程,
,即∵|,|2023�−2024|−�|=−�
∴−�>0�<0或,
∴|2023�−2024|−�=�或|2023�−2024|−�=−,�
∴方|2程02始3�终−存2在02四4|个=不�同+的�实|2数0解23,�−2024|=�−�
∵
第17页共27页.
,,
∴�+�>且0�−�,>0
∴�>0|�|>|�|,
�+��−�����
∴|�+�|+|�−�|+|��|+|�|+|�|=1+1−1+1−1=1
故答案为:1.
【题型7利用分类讨论思想解决多绝对值问题】
【例7】(23-24七年级·广东东莞·阶段练习)如图,已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0,且
是的中点,如果�,�则原�点的大致
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