专题1.2 有理数和数轴【九大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）

专题1.2有理数和数轴【九大题型】

【人教版2024】

【题型1有理数的相关概念】................................................................................................................................2

【题型2有理数的分类】........................................................................................................................................4

【题型3数轴的三要素及其画法】........................................................................................................................6

【题型4用数轴上的点表示有理数】....................................................................................................................8

【题型5利用数轴比较有理数的大小】................................................................................................................9

【题型6数轴上两点之间的距离】......................................................................................................................11

【题型7数轴上的整点问题】..............................................................................................................................12

【题型8数轴中点的简单移动】..........................................................................................................................13

【题型9应用数轴解决实际问题】....................................................................................................................15

知识点1：有理数的相关概念

1）整数：正整数、0、负整数统称为整数。

2）分数：正分数、负分数统称为分数。

1

正分数：像，0.24，50%等这样的数叫作正分数；

3

1

负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数；

2

有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。

q

3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为

p

0）。

正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；

负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；

整数和分数统称为有理数。

4）有理数的两种分类：

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【题型1有理数的相关概念】

【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（）

A．自然数就是非负整数B．正数和负数统称为有理数

C．零是最小的有理数D．有最小的正整数，没有最大的负整数

【答案】A

【分析】本题考查了有理数，根据有理数的相关知识逐一判断即可．

【详解】解：A．自然数就是非负整数，则A正确，故A选项符合题意；

B．正有理数和负有理数以及0统称为有理数，则B错误，故B选项不符合题意；

C．没有最小的有理数，则C错误，故C选项不符合题意；

D．1是最小的正整数，−1是最大的负整数，则D错误，故D选项不符合题意，

故选A．

【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（）

A．所有整数都是有理数B．所有小数都是有理数

C．所有分数都是有理数D．휋不是有理数

【答案】B

【分析】本题考查了有理数的概念．熟练掌握有理数的概念是解题的关键．

根据有理数的概念进行判断作答即可．

【详解】解：由题意知，所有整数都是有理数，A正确，故不符合要求；

有限小数，无限循环小数是有理数，B错误，故符合要求；

所有分数都是有理数，C正确，故不符合要求；

휋不是有理数，D正确，故不符合要求；

故选：B．

【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（）

A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类

B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合

C．0既不属于整数也不属于分数

D．整数和分数统称为有理数

【答案】D

【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可．

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【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意；

B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意；

C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意；

D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；

故选：D．

【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中：

①0是最小的整数；

②有理数不是正数就是负数；

③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；

④非负数就是正数；

휋

不仅是有理数，而且是分数；

⑤−2

⑥带“−”号的数一定是负数；

⑦无限小数不都是有理数；

⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；

其中错误的说法的个数为（）

A．7个B．6个C．5个D．4个

【答案】B

【分析】根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答．

【详解】解：因为负数小于0，0不是最小的整数，故①是错误的；

因为0是有理数，但0既不是正数，也不是负数，故②是错误的；

因为正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数，故③是错误的；

因为非负数包括0和正数，故④是错误的；

휋

因为不是有理数，故是错误的；

−2⑤

因为带“−”号的数可以是−0，但−0=0，0不是负数，故⑥是错误的；

因为无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故⑦是正确的；

因为正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧是正确的；

其中错误的说法的个数为6个，

故选：B．

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【点睛】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，难度较小；正数比0大，0比负数大；有理数的分类

有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．

【题型2有理数的分类】

9

【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：−5，0，，−0.2，10%，8，其中说法错误的是

2

（）

9

A．−5，0，8都是整数B．分数有，−0.2，10%

2

9

C．正数有，10%，8D．−0.2是负有理数，但不是分数

2

【答案】D

【分析】本题主要考查了有理数分类的知识，解题关键是理解并掌握有理数分类的相关知识．根据有理数

分类的相关知识逐项分析判断即可．

【详解】解：A.−5，0，8都是整数，该说法正确，不符合题意；

9

B.分数有，−0.2，10%，该说法正确，不符合题意；

2

9

C.正数有，10%，8，该说法正确，不符合题意；

2

D.−0.2是负有理数，也是分数，本选项说法不正确，符合题意．

故选：D．

【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数-107.987及下列判断：

①这个数不是分数，但是有理数；

②这个数是负数，也是分数；

③这个数不是有理数；

④这个数是负小数，也是负分数.

其中正确判断的序号是．

【答案】②④

【分析】根据有理数的概念和分类即可作出判断.

【详解】解：-107.987是一个负有理数，故③错误；这个数也是一个小数和分数，故②④正确，①错误；

故答案为②④.

【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，有理数分为整数和分数（小数）；也可以分为：正数、0、负数.

解题的关键是掌握有理数的分类.

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π22

【变式】（七年级上四川南充阶段练习）在−，3.1415，0，−0.333…，−，2.010010001…中，

2-223-24··37

非负数的个数（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】B

【分析】本题考查了非负数的定义，解题的管计划司掌握非负数的定义．根据“零和整数统称为非负数”，即

可求解．

【详解】解：非负数有：3.1415，0，2.010010001…，共3个，

故选：B．

【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：−7，3.5，−3.14，

131

휋，0，，0.03，−3，10，25%．

172

正有理数集合{…}；

非负整数集合{…}；

整数集合{…}；

正分数集合{…}．

1313

【答案】，，0.03，，25%；，；−7，，；，，0.03，25%

3.517100100103.517

【分析】

本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注

意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据正有理数，非负整数，整数，正分数的定义可得

出答案．

13

【详解】解：正有理数集合3.5，，0.03，，25%，；

{1710…}

非负整数集合{0，10，…}；

整数集合{−7，0，10，…}；

13

正分数集合3.5，，0.03，25%，．

{17…}

1313

故答案为：3.5，，，，25%；，；−7，，；3.5，，，25%．

170.0310010010170.03

知识点2：数轴

1）数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．

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原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。

2）数轴的画法

①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；

②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；

③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。

3）有理数与数轴的关系

①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。

②数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数。

③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。

④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。

注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。

【题型3数轴的三要素及其画法】

【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般

规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可．

【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；

B、正确；

C、不正确，错误原因：缺少正方向；

D、不正确，错误原因：缺少了原点．

故选：B．

【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直

线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（）

A．数轴是以小明所在的位置为原点

B．数轴采用向北为正方向

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5

C．小刚所在的位置对应的数有可能是−

3

D．小颖和小红间的距离为7

【答案】C

【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两

点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断．

【详解】解：A.小明所在的位置表示数0，故此项结论正确；

B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确；

5

C.小刚所在的之位置对应的数在−3与−2之间，而−在−2与−1之间，故此项结论错误；

3

D.小颖和小红间的距离为2−(−5)=7，故此项结论正确；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根

据图形提供的信息解题是解题的关键．

【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（）

A．原点位置可以是数轴上任意一点

B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向

C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取

D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm

【答案】D

【分析】数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向；依据上述知识，

对给出的选项进行判断，即可得到答案．

【详解】解：数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向，

故选项D不正确．

故选：D．

【点睛】本题考查数轴，掌握数轴的相关知识是解题的关键．

【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分

别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B

对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为．

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【答案】−2

【分析】由퐴퐶长度是6.4厘米求出数轴的单位长度是0.8厘米，再由퐴퐵的长度是2.4cm，即可求解．

【详解】解：∵6.4÷[3−(−5)]=0.8cm，

∴数轴的单位长度是0.8厘米，

∵2.4÷0.8=3，

∴在数轴上퐴,퐵的距离是3个单位长度，

∴点B所对应的数b为−5+3=−2．

故答案为：−2．

【点睛】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米．

【题型4用数轴上的点表示有理数】

【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负

数：．

【答案】−3

【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离

大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一

【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为−3，满足“到原点的距离大于2，还是负

数”

故答案为：−3

【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，푂퐴=푂퐵，则点B表示的数是

（）

11

．．−2024．．−

A2024BC2024D2024

【答案】B

【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即

可．

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【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，푂퐴=푂퐵，

∴푂퐵=2024，

∴点B表示的数是−2024，

故选：B．

【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（）

A．−1B．0C．1D．2

【答案】B

【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，根据题意可得点A表示的数是−1，再根据有

理数加法计算法则求解即可．

【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是−1，

∴比数轴上的点A表示的数大1的数是−1+1=0，

故选：B．

【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么푎=．

【答案】±4

【分析】本题考查了数轴以及数轴上的点表示的数；根据数轴特点可直接得出答案．

【详解】解：在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么푎=±4，

故答案为：±4．

【题型5利用数轴比较有理数的大小】

【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（）

A．푎<0B．푏>0C．푎>0D．푎<푏

【答案】C

【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，

进行判断即可．

【详解】解：由图可知：푏<−1<0<푎<1；

故选C．

【变式5-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）比较大小：有理数푎在数轴上的位置如下图所示，则푎

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0．

【答案】<

【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，根据有理数푎在数轴上的位置可以直接判断．

【详解】解：根据有理数푎在数轴上的位置，可知푎<0，

故答案为：<．

【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．

1

−3，+1，2，−1.5

2

（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：．

1

【答案】（1）见解析；−3<−1.5<+1<2；（2）负有理数

2

【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的

点表示数是解题的关键．

（1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的

数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”号连接起来即可；

（2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数．

【详解】解：（1）数轴表示如下：

．

1

−3<−1.5<+1<2．

∴2

（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数．

故答案为：负有理数．

【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点푃表示的数可能是（）

7531

A．−B．−C．−D．−

2222

【答案】B

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【分析】本题考查数轴，根据点P在数轴上的位置即可求解．

【详解】解：由数轴可知点푃表示的数在−3和−2之间，

7531

∵−<−3<−<−2<−<−，

2222

5

∴四个选项中的数只有−在−3和−2之间，

2

故选B．

【题型6数轴上两点之间的距离】

【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为−3，퐴퐵=7，则点B

表示的数为．

【答案】4

【分析】根据平移规律计算，−3+7=4，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题

的关键．

【详解】根据平移规律，得，−3+7=4，

故点B表示的数是4，

故答案为：4．

【变式6-1】（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）在数轴上，表示−5的点到原点的距离是（）

A．5B．−5C．10D．−10

【答案】A

【分析】本题考查的是数轴，根据数数轴上表示−5的点到原点的距离为5进行解答即可．

【详解】解：数轴上表示−5的点到原点的距离为5．

故选：A．

【变式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如图，点퐴、퐵在数轴上对应的数分别是−2和3，则퐴퐵的长度为．

【答案】5

【分析】本题考查数轴上两点间的距离，熟记距离公式是解题的关键．根据数轴上两点间的距离公式计算

解题．

【详解】解：퐴퐵=3+2=5，

第11页共18页.

故答案为：5．

【变式6-3】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）正方形퐴퐵퐶퐷的边长퐴퐵=2，其顶点A在数轴上且表示的

数为−1，若点E也在数轴上且퐴퐵=퐴퐸，则点E所表示的数为（）

A．−3B．3C．−3或1D．−3或3

【答案】C

【分析】本题主要考查有理数与数轴及两点间距离．分类讨论，根据两点间距离及点的位置判断出点所表

示的数即可．

【详解】解：由题意得퐴퐵=퐴퐸=2，

当点E在点A的左边时，点E所表示的数为−1−2=−3，

当点E在点A的右边时，点E所表示的数为−1+2=1，

故选：C．

【题型7数轴上的整点问题】

【例7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，请根据图中的数值，判

断墨迹盖住部分的整数有个．

【答案】9

【分析】根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于−6而小于−1，大于0而小于6，再写

出其中的整数即可解答．

【详解】解：由数轴可知比−6大比−1小的整数有−5，−4，−3，−2，

比0大比6小的整数有1，2，3，4，5，

∴墨迹盖住部分的整数有9个．

故答案为：9．

【点睛】考查了数轴．理解整数的概念，能够首先结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件

求解是解题关键．

【变式7-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示2.5和−1.13之间的整数有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

【答案】A

【分析】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．根据题意找出满足条件的

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所有整数即可求解．

【详解】解：如图所示：

在数轴上表示2.5和−1.13两点之间的整数有−1，0，1，2，共4个．

故选：A．

【变式7-2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判

断墨迹盖住的整数个数是（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【分析】根据数轴上有理数的表示求解即可．

【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有−2、−1、0，共3个，

故选：B．

【点睛】本题考查了数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题关键．

【变式7-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所

有整数个数为．

【答案】13

【分析】根据题意得到被盖住的整数为−10,−9,−8,−7−6,−5,7,8,9,10,11,12,13，再相加即可求解．

【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为−10,−9,−8,−7−6,−5,7,8,9,10,11,12,13，

∴被盖住的整数的个数为13，

故答案为：13

【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键

【题型8数轴中点的简单移动】

【例8】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的

数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（）

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A．2휋B．2휋+1C．2휋−1D．4휋

【答案】B

【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，A、B两点的距离即为半径为1个单位长度的圆的周长，

据此得到퐴퐵=2휋，再由A点在数轴上表示的数是1，可得点B表示的数是2휋+1．

【详解】解：∵半径为1个单位长度的圆滚动一周所走的距离为2π，

∴퐴퐵=2휋，

∵A点在数轴上表示的数是1，

∴点B表示的数是2휋+1，

故选：B．

【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点퐴表示的数是1，则点퐵表示的数是．

【答案】2

【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，根据数轴，可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运

动3个单位到达点B，列式计算即可得到点B表示的数．

【详解】解：由图可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，

∵点퐴表示的数是1，

∴1−2+3=2，

∴点퐵表示的数是2，

故答案为：2．

【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是9

（1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为．

（2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是．

【答案】75或13

【分析】（1）根据数轴上的距离确定原来点N表示的数；

第14页共18页.

（2）分两种情况根据平移求得现在点表示的数．

【详解】（1）解：9−6+4=7，

（2）当点M在数轴上向左移动4个单位长度表示的数是9−4=5；

当点M在数轴上向右移动4个单位长度表示的数是9+4=13；

故答案为：7；5或13．

【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，点的平移，解题的关键是掌握点在数轴上平移的规则“左减右

加”．

【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点퐴在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，若将

点A向右移动5个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时点퐴表示的数是．

【答案】0

【分析】由数轴的概念，即可解决问题．

【详解】解：∵点퐴在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，

∴点퐴表示的数是−4，

∴将点퐴向右移动5个单位长度后表示的数是+1，

∴再向左移动1个单位长度后点表示的数是0．

故答案为：0．

【点睛】本题考查数轴的概念，用数轴上的点表示数．解题的关键是掌握数轴的三要素．

【题型9应用数轴解决实际问题】

【例9】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续

向西骑行2km到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称．

(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、

B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？

(2)邮递员一共骑行了多少千米？

【答案】(1)作图见解析，C村离A村有8km

(2)邮递员一共骑行了20千米；

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【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用；

（1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答；

（2）列出加法算式计算即可；

【详解】（1）解：如下图：

퐴퐶=5−(−3)=8km

答：C村离A村有8km；

（2）解：3+2+(5+5)+5=20km，

答：邮递员一共骑行了20千米

【变式9-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继

续向东走了3km到达