第18讲 解一元一次方程（二）-去括号与去分母（人教版）（原卷版）

第18讲解一元一次方程（二）——去括号与去分母

【人教版】

·模块一利用“去括号”解一元一次方程

·模块二利用“去分母”解一元一次方程

·模块三课后作业

模块一利用“去括号”解一元一次方程

【考点1利用“去括号”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）补全解方程5(푥−4)−3(2푥+1)=2(1−2푥)−1的过程：

解：去括号，得．

移项，得．

合并同类项，得．

系数化为1，得．

【例1.2】（2023七年级·海南海口·期中）已知푦1=2(푥−1)，푦2=4−3푥，若푦1与푦2的值互为相反数，则푥等

于（）

A．3B．−3C．2D．−2

【例1.3】（2023七年级·福建福州·期中）将푦=2푥−1代入3푥−푦=4，去括号后，可得（）

A．3푥−2푥+1=4B．3푥+2푥+1=4

C．3푥+2푥−1=4D．3푥−2푥−1=4

【变式1.1】（2023七年级·河南南阳·阶段练习）在解方程2(푥−1)−3(2푥−3)=0时，去括号正确的是（）

A．2푥−1−6푥+9=0B．2푥−2−6푥−3=0

C．2푥−2−6푥−9=0D．2푥−2−6푥+9=0

【变式1.2】（2023六年级下·上海浦东新·期中）解方程：2(5−푥)=33−3(5푥+1)．

【变式1.3】（2023七年级·全国·课堂例题）当푥取什么值时，式子5(푥+2)的值比2(1−3푥)的值小3？

【考点2去括号解方程的应用】

1

【例2.1】（2023·浙江嘉兴·七年级期末）已知物体自由下落的距离可以表示为푆=푣푡，푣表示物体下落

2底底

第1页共8页.

的末速度，푡表示物体下落的时间，声音传播的速度为340米/秒．若将一块石头从井口自由落下，7秒后听到

它落水的声音，测得푣底=60米/秒，设石头下落的时间为푥，则可列得方程（）

A．30푥=340×7B．30푥=340(7−푥)

C．30(7−푥)=340푥D．30(7+푥)=340×7

【例2.2】（2023七年级·全国·假期作业）小军玩抛硬币的游戏，规则是：将一枚硬币抛起，落下后正面朝

上就向前走8步，反面朝上就后退6步，小军一共抛了10次硬币，结果向前走了52步，有次反面朝

上．

【例2.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺

五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，

不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问

长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为．

【变式2.1】（2023·安徽合肥·七年级期末）端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10

个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元?

【变式2.2】（2023七年级·全国·专题练习）在甲地劳动的有29人，在乙地劳动的有19人．现在从乙地调一

部分人到甲地去支援，使在甲地的人数为在乙地的人数的2倍，应从乙地调多少人到甲地去？

【变式2.3】（2023·江苏无锡·七年级期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟

十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得洒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10

斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒斗．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023·江苏盐城·七年级期末）已知x＝3是关于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么关于x的方

程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝．

【题型2】（2023·陕西西安·七年级期末）小嫄每天早上要到距家1000米的学校上学．某一天，小嫄以80

米/分的速度出发5分钟后，小嫄的爸爸发现她忘了带数学课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小嫄，

并且在途中追上了她．求爸爸追上小嫄用了多长时间？

【题型3】（2023·山东聊城·七年级期末）聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥

青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构

图与结构简式如下：

第2页共8页.

若图(푚)和图(푚+1)的分子中共含有242个C原子，则푚的值．

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·福建莆田·阶段练习）如图，点퐶、퐷为线段퐴퐵上两点，퐴퐶+퐵퐷=6，且

4

퐴퐷+퐵퐶=퐴퐵，设퐶퐷=푡，则关于푥的方程3푥−7=푡−2的解是．

3(푥−1)(푥+3)

【题型2】（2023·河北邢台·七年级期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)求一个暖水瓶与一个水杯的价格分别是多少元？

(2)某商场出售这样的暖水瓶和水杯，为了迎接新年，商场搞促销活动，规定：暖水瓶打八折．若某单位想

要买5个暖水瓶和20个水杯，总共要花多少钱？

【题型3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定

푎⊗푏＝푎푏2+2푎푏+푎．如：1⊗3=1×32+2×1×3+1=16

(1)求2⊗(−1)的值；

(2)若(푎+1)⊗3=32，求a的值；

(3)若푚=2⊗푥,푛=1푥⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．

4

模块二利用“去分母”解一元一次方程

【考点1解含分母的一元一次方程】

1푥−3

【例1.1】（2023七年级·四川遂宁·期中）解方程−=1下面去分母正确的是（）

23

A．1−(푥−3)=1B．3−2(푥−3)=6C．2−3(푥−3)=6D．3−2(푥−3)=1

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푥+22푥+3

【例1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）将方程=的两边乘可得到3=2，

23(푥+2)(2푥+3)

这步变形叫，其依据是．

푥2푥−1

【例1.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）解方程：−=1

64

푥−12푥−1

【变式1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）解方程=3−，去分母时，方程两边乘各分母的最小公

64

倍数（）

A．10B．12C．24D．6

【变式1.2】（2023七年级·福建漳州·期中）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问

题．

푥−1푥−4

解方程：−=1

23

解：去分母，得3(푥−1)−2(푥−4)=1，……第一步

去括号，得3푥−3−2푥+8=1，……………第二步

______，得3푥−2푥=1+3−8，……………第三步

合并同类项，得푥=−4．……第四步

(1)请补充完整题目中的横线部分，这一步的解题依据是______；

(2)这位同学从第______步开始出现错误，具体的错误是______；

(3)求解此方程．

【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）解方程：

2푥−1푥−2

(1)=1−

34

푥−1푥+3

(2)1−=

32

푥+22푥−3

−=1

(3)35

【考点2去分母解方程的应用】

【例2.1】（2023七年级·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：

“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，

大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有푥人，则可列出

一元一次方程为．

【例2.2】（2023七年级·吉林长春·期中）为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计

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划一半的同学参加制作，每天制作面，完成了1以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成

403

任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？

【例2.3】（2023七年级·全国·假期作业）两地相距3600米，甲、乙两人同时从这两地相向而行，15分钟

相遇．如果甲将自己的速度提高2，乙将自己的速度降低1，再从两地同时相向出发，则两人分钟相

51012

遇．那么乙单独行完全程需要多少分钟？

【变式2.1】（2023七年级·全国·假期作业）甲、乙两班的学生于上午8：00出发，到距学校27千米的一个

动物园参观．现有一辆汽车，每次只能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达，合理安排步行和乘车．若

步行速度为4千米/时，汽车速度为60千米/时，那么两个班最早几时几分同时到达？

【变式2.2】（2023七年级·吉林长春·期末）榆树市某中学七年一班全体学生参加社团活动进行分组，原来

每组8人，后来重新编组，每组12人，这样就比原来减少2组，请问七年一班共有多少人？

【变式2.3】（2023·河北石家庄·七年级期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译

文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多

少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（）

甲：设人数为푥人，可列方程5푥+45=7푥+3，

푦+45푦+3

乙：设羊价为푦元，可列方程为=．

57

A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都错

【规律方法综合练】

0.1푥−22+3푥

【题型】（六年级下上海杨浦期中）解方程：푥−=

12023··0.30.6

【题型2】（2023七年级·全国·假期作业）暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20

天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下

的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？

푥

【题型】（七年级山西吕梁阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为

32023··x9024−15=2024푥+푚

2

2−푦2

푥=−6，则关于y的一元一次方程3+15=20242−푦+푚的解为．

21243

【拓广探究创新练】

2푥−1푥+푎

【题型】（七年级江苏扬州阶段练习）小明解方程=−3，由于粗心大意，在去分母时，方

12023··32

程右边的−3没有乘6，由此求得的解为푥=2，试求푎的值，并求出原方程的解．

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【题型2】（2023七年级·江西新余·期中）设[푎]表示不小于a的最小整数，例如：[1.6]=2，−21=−2，

4

[7]=7．

(1)求−33−[2.1]+[−3]的值；

5

3

(2)设{푎}=[푎]−푎，푏={−2.8}+54−41，푐=−33−[2.1]+[−3]，解方程푏푥−1=푐−푥．

5454

【题型3】（2023七年级·广东广州·期中）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个

푥

值就是方程的解（）．已知：关于的方程．

solution푥2푚−푥=3+2

푥

若是方程的解，则的值为；

(1)푥=32푚−푥=3+2푚

푥

若关于的方程的解比方程的解小，求的值；

(2)푥2푚−푥=3+22푚−푥=4푚1푚

2푚푥−3푥푥−푛푥푚+1푥

(3)若关于푥的方程−푥=−푛与−=均无解，求代数式6푚+4푛−2(푚−1)的值．

23346(푛+1)

模块三课后作业

1．（2023七年级·云南昆明·期末）解方程5−2(푥+3)=0，去括号正确的是（）

A．5−2푥−3=0B．5+2푥−3=0C．5−2푥+6=0D．5−2푥−6=0

푥−12푥+1

2．（2023七年级·山西长治·阶段练习）解方程=1−，去分母后正确的是（）

26

A．3(푥−1)=1−(2푥+1)B．3(푥−1)=6−(2푥+1)

C．3푥−1=1−(2푥+1)D．3(푥−1)=6−2푥+1

3．（2023七年级·河南洛阳·期中）已知퐴=2푥+1，퐵=5푥−4，若A比B小1，则x的值为（）

A．2B．−2C．3D．−3

2+푚푥

．（六年级上山东淄博期末）有一关于的方程=푥−1，已知该方程的解为푥=−1，那么的

42023··x3m

值是()

A．−2B．3C．6D．8

5．（2023七年级·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先

做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间

为푥天，则下列方程正确的是（）

푥푥−9푥−9푥푥−9푥+9푥푥+9

A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1

1624162416241624

6．（2023七年级·全国·课后作业）如果2(푥+3)的值与−24互为相反数，那么푥=．

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4푚−5

7．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）当푚=时，代数式的值是5．

3

푥0.5+0.01푥

8．（2023七年级·天津滨海新·期末）将−=1的分母化为整数．

0.70.03

푥푚푥+2

．（七年级福建漳州期中）已知关于푥的方程+=푛有无数个解，则2푚푛的值为．

92023··27

푎−푏

10．（2023六年级下·上海·阶段练习）我们规定两中新运算“*”和“Δ”，其规则为푎*푏=푎푏+푎−푏,푎Δ푏=，

2

则关于푥的方程5Δ(3*푥)=3的解是．

11．（2023七年级·四川乐山·期中）解方程：

(1)2푥−19=7푥+6

5푥−23푥+1

(2)−=1

24

푥−41

12．（2023七年级·福建泉州·阶段练习）若关于푥的方程2푥+5=푎的解和关于푥的方程与−2=的解相同，

32

求字母푎的值．

0.3푥+0.52푥−1

13．（2023七年级·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明