第15讲 整式的规律探究（人教版）（解析版）

第15讲整式的规律探究

【人教版】

·模块一数列型的规律探究

·模块二数表中的规律探究

·模块三图形中的规律探究

·模块四恒等式中的规律探究

·模块五课后作业

模块一数列型的规律探究

【例1.1】（2023·云南昆明·七年级期末）按一定规律排列的单项式：−3푏2，5푎2푏2，−7푎4푏2，9푎6푏2，

−11푎8푏2，…，第8个单项式是（）

A．−17푎8푏14B．17푎14푏2C．−15푎7푏14D．152푎14푏2

【答案】B

【分析】本题考查了单项式规律探索，由题意得出第푛个单项式是(−1)푛×(2푛+1)푎2(푛−1)푏2，再求出当푛=8

时的式子即可，得出规律是解此题的关键．

【详解】解：由题意可得：

−3푏2=(−1)1×(2×1+1)푎2×(1−1)푏2，

5푎2푏2=(−1)2×(2×2+1)푎2×(2−1)푏2，

−7푎4푏2=(−1)3×(2×3+1)푎2×(3−1)푏2，

9푎6푏2=(−1)4×(2×4+1)푎2×(4−1)푏2，

−11푎8푏2=(−1)5×(2×5+1)푎2×(5−1)푏2，

……，

∴第푛个单项式是(−1)푛×(2푛+1)푎2(푛−1)푏2，

当푛=8时，(−1)8×(2×8+1)푎2×(8−1)푏2=17푎14푏2，

故选：B．

579

【例1.2】（2023六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于푥的单项式，探究其规律，푥2，푥3，푥4

3푥−23−4

11

，푥5，按照上述规律，第个单项式是（）

5⋯⋯2024

第1页共28页.

4047404940494045

A．푥2025B．−푥2024C．푥2024D．−푥2024

2023202420242024

【答案】B

2푛+1

【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第푛个单项式为(−1)푛+1푥푛是解题的关键．

푛

2푛+1

通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第푛个单项式为(−1)푛+1푥푛，把푛=2024代入即可求解．

푛

3

【详解】解：第1个单项式：3푥=(−1)1+1×푥，

1

52×2+1

第2个单项式：−푥2=(−1)2+1×푥2，

22

72×3+1

第个单项式：푥3=(−1)3+1×푥3，

333

92×4+1

第4个单项式：−푥4=(−1)4+1×푥4，

44

112×5+1

第5个单项式：푥5=(−1)5+1×푥5，

55

132×6+1

第个单项式：−푥6=(−1)6+1×푥6，

666

⋯，

2푛+1

第푛个单项式：(−1)푛+1푥푛；

푛

2×2024+14049

∴第个单项式为：(−1)2024+1푥2024=−푥2024，

202420242024

故选：B．

【例1.3】（2023七年级·湖北随州·期末）连续正整数包含着无穷的规律，引导人们不断探索．将连续正整

数1，2，3，4，5，6，…，按如图数阵排列．观察发现，每行的最大的数与行数有一定的规律，那么这个

数阵从上到下第6行的最大数是．若用数(푚,푛)表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个

数字，如（4，6）表示15，则数1000用数对表示为．

【答案】36，（32，39）

【分析】根据所给图形分析找规律即可；

第2页共28页.

【详解】由图可知，第一行1个数字，第二行3个数字，第三行5个数字，可知第n行最大的数为푛2，

∴第6行最大的数为62=36；

1000=312+39，

31行的时候最大值为961，

第32行时从左往右依次增加，

即数1000用数对表示为（32，39）；

故答案是：36；（32，39）；

【点睛】本题主要考查了数字规律题，准确分析计算是解题的关键．

4816

【变式】（七年级北京期中）一组按规律排列的式子：−2，，−，，，按照上述规律，它

1.12023··357…

的第n个式子（n为正整数）是．

푛

【答案】(−2)

2푛−1

【分析】根据题目中的式子，可以发现分母的数字是一些连续的整数，从1开始，分子a的指数是一些连

续的整数，奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，从而可以写出第n个单项式．

4816

【详解】解：一列式子为：−2，，−，，，

∵357…

(−2)푛

∴第n个式子为：，

2푛−1

푛

故答案为：(−2)．

2푛−1

【点睛】本题考查了数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，写出

第n个单项式．

23

【变式1.2】（2023七年级·湖北十堰·期末）对于不为零的实数a，b，现有一组式子：푏，–푏，0，

2푎4푎2

45

푏，–푏，0……，则第2019个式子是（）

8푎316푎4

202120211347

A．0B．푏C．–푏D．–푏

22020푎202022020푎202021346푎1346

【答案】A

【分析】观察该组式子可以发现每三个一循环，且最后一个都为0，再根据2019是3的倍数可得结果.

【详解】解：根据题意得：每三个式子中最后一个式子为0，

而2019÷3=673，

即第2019个式子是：0.

第3页共28页.

故选A.

【点睛】本题考查了代数式的规律，解答本题的关键仔细观察所给式子的特点，总结出规律，从而推出第n

个式子．

【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）观察下面有规律的三行单项式：

x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①

﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②

2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③

（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为_______；

（2）第二行第n个单项式为________；

（3）第三行第8个单项式为________；第n个单项式为___________．

【答案】（1）128x8；（2）（﹣2）nxn；（3）﹣129x9；（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1．

【分析】（1）通过观察很容易得到第一行数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子

即可；

（2）通过观察很容易得到第二行数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可；

（3）通过观察很容易得到第三行数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可．

【详解】解：（1）因为第一行的每个单项式，数字因数后面都是前面的2倍，字母次数与这个单项式是第

几个有关，根据这个规律可得第一行第8个单项式为128x8

故答案为：128x8；

（2）因为第二行的每个单项式，数字因数后面都是前面的（﹣2）倍，字母次数与这个单项式是第几个有

关，根据这个规律可得第n个单项式为（﹣2）nxn

故答案为：（﹣2x）n；

（3）通过观察第三行的这组单项式，这组单项式符合（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1，第8个单项式是﹣129x9；

第n个单项式为（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1．

故答案为：﹣129x9；（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1．

【点睛】本题考查对单项式系数和次数的掌握，解题关键是找出规律并归纳公式．

模块二数表中的规律探究

【例1.1】（2023七年级·安徽亳州·阶段练习）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”

形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若

第4页共28页.

其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（）

A．푚=2，푛=2B．푚=8，푛=0C．푚=4，푛=4D．푚=6，푛=1

【答案】D

5

【分析】本题考查了日历中的数字规律，代数式求值，根据题意找到规律2푚+푛+1+7=2푛+푚+5−1

2

是解题关键．

【详解】解：∵月历横排相邻的两个数字相差1，竖排两个数字相差7，

5

∴2푚+푛+1+7=2푛+푚+5−1，

2

整理得：2푛+푚=8，

当푚=2，푛=2时，2푛+푚=2×2+2=6≠8，故A不符合题意；

当푚=8，푛=0时，2푛+푚=2×8+0=16≠8，故B不符合题意；

当푚=4，푛=4时，2푛+푚=2×4+4=12≠8，故C不符合题意；

当푚=6，푛=1时，2푛+푚=2×1+6=8，故D符合题意；

故选：D．

【例1.2】（2023·湖北十堰·中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行

第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）

A．2025B．2023C．2021D．2019

第5页共28页.

【答案】B

【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的

数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．

【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，

∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，

∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，

故选：B．

【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．

【例1.3】（2023七年级·贵州贵阳·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，푥

的值为（）

A．12B．16C．64D．76

【答案】D

【分析】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元

一次方程的性质，从而完成求解．

结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案．

【详解】第一个正方形左上角数字为：1，

第二个正方形左上角数字为：2，

第三个正方形左上角数字为：3，

…

第n个正方形左上角数字为：n；

最后一个正方形左上角数字为：6，

∴푛=6；

第一个正方形右上角数字为：2=2×1，

第二个正方形右上角数字为：4=2×2，

第三个正方形右上角数字为：6=2×3，

第6页共28页.

…

第n个正方形右上角数字为：2푛；

第一个正方形左下角数字为：2=21，

第二个正方形左下角数字为：4=22，

第三个正方形左下角数字为：8=23，

…

第n个正方形左下角数字为：2푛，

∴最后一个正方形左下角数字为：푎=26=64，

第一个正方形右下角数字为：4=2+2，

第二个正方形右下角数字为：8=4+4，

第三个正方形右下角数字为：14=6+8，

…

第n个正方形右下角数字为：2푛+2푛，

∵푛=6，

∴푥=12+64=76，

故选：D．

【变式1.1】（2023七年级·广东梅州·期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则

2023应在（）

A．A处B．B处C．C处D．D处

【答案】B

【分析】此题考查探究规律类型，解题的关键是明确数的位置的变化规律，观察题目信息与图形信息，根

据图象规律可知，5、6、7、8所占的位置正好分别是1、2、3、4的位置，也就是以4个数为一组循环；接

下来再用2023除以4，最后再根据余数来确定2023的位置即可．

【详解】解：由题意得：在퐴位置的数被4除余2，在퐵位置的数被4除余3，在퐶位置的数被4整除，在퐷

位置的数被4除余1；

2023÷4=505⋯3，

第7页共28页.

∴2023应在3的位置，也就是在퐵处．

故选：B．

【变式1.2】（2023七年级·浙江绍兴·期末）如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第12个图中

푚=．

【答案】804

【分析】本题考查了图形类规律探索，根据已知图形找出一般规律是解题关键．根据题意图形归纳总结每

个图形中四个数字的规律，据此即可得出答案．

【详解】解：由图形可知，左上方数字按0、2、4……排列，则第푛个图中，左上数字为2푛−2，

右上方的数字按1、2、3……排列，则第푛个图中，右上数字为푛，

左下方的数字按3、6、9……排列，则第푛个图中，左下数字为3푛，

右下方的数字为每个图形中左下数字和左上数字的乘积，再加上右上数字，

∴第12个图中，左上方的数字为2×12−2=22，右上方的数字为12，左下方的数字为3×12=36，

∴푚=22×36+12=804，

故答案为：804．

【变式1.3】（2023七年级·江苏·假期作业）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出

现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图

②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．

【答案】35/243

【分析】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现“1”规律是解题关键．先根据给出

的图②和图③找出出现“1”规律，然后根据规律即可得解．

【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0，

第8页共28页.

∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，

即前8行中“1”的个数为9×3=27（个），

同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为27×3=81（个），

前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为81×3=243（个），

故答案为：243．

模块三图形中的规律探究

【例1.1】（2023七年级·全国·假期作业）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个

正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，

得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（）个正方形．

A．29B．30C．32D．33

【答案】D

【分析】本题主要考查图形规律，根据图形得到代数表达式即可，根据题意可知，将图①操作1次得到

1+4=5个正方形，操作2次得到1+4×2=9个正方形，每操作1次增加4个正方形，由此得到规律，操

作n次得到(1+4푛)个正方形，据此解答．

【详解】解：图①操作1次得到1+4=5个正方形；

操作2次得到1+4×2=9个正方形；

即每操作1次增加4个正方形，

由此得到规律，操作n次得到(1+4푛)个正方形，

那么，像这样操作8次，可以得到(1+4×8)个正方形，

1+4×8

=1+32

=33（个）

即像这样操作8次，可以得到33个正方形；

故答案为：D

【例1.2】（2023七年级·山东济宁·期末）找出以下图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量

是（）个

第9页共28页.

A．2024B．3035C．3036D．2023

【答案】C

【分析】根据图形的变化规律归纳出第푛个图形中黑色正方形的数量即可．本题考查了图形的变化规律，解

题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律，解决问题．

푛

【详解】当为偶数时第个图形中黑色正方形的数量为个；

푛푛(푛+2)

푛+1

当푛为奇数时第푛个图形中黑色正方形的数量为(푛+)个，.．

2

当푛=2024时，黑色正方形的个数为2024+1012=3036（个）,

故选：C．

【例1.3】（2023七年级·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中

线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即1，

4

111711111

已知++=，根据这个几何图形的规律求得++++…+的值为（）

248824816299

111

A．1B．1−C．1+D．1−

299299298

【答案】B

11111111111

【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：=1−，+=1−，++=1−，……++⋯+

22222222222323222

11

=1−，由此发现规律，即可求解．

2푛2푛

【详解】结合图形可知：

11

=1−，

22

111

+=1−，

22222

1111

++=1−，

2222323

……

第10页共28页.

1111

++⋯+=1−，

2222푛2푛

1111

则：++⋯+=1−

222299299

故选：B．

【点睛】本题考查分数乘方的应用，根据题意得到规律，掌握有理数乘方的的运算是解题关键．

【变式1.1】（2023·湖南娄底·七年级期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2024个图案中的

“”的个数是（）

A．6073B．6072C．6071D．6070

【答案】A

【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．

根据题意可推导一般性规律为：第푛个图案中“”的个数是4+3(푛−1)=3푛+1，然后计算求解即可．

【详解】

解：由题意知，第1个图案中“”的个数是4，

第2个图案中“”的个数是7=4+3，

第3个图案中“”的个数是10=4+3×2，

第4个图案中“”的个数是13=4+3×3，

……

∴可推导一般性规律为：第푛个图案中“”的个数是4+3(푛−1)=3푛+1，

当푛=2024时，3푛+1=6073，

故选：A．

第11页共28页.

【变式1.2】（2023七年级·四川成都·期末）用火柴棒按下图中的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒的

数量为（）

A．5푛B．5푛+1C．4푛+1D．4푛+5

【答案】C

【分析】此题主要考查图形规律探究，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数值等条件，认真

分析，找到规律．

分别数出三个图形中火柴棒的根数，发现第几个图形中火柴棒的根数为4与几的乘积加1．如第二个图形中

火柴棒的根数为4×2+1=9．即可求得搭第푛个图形需火柴棒的根数为4푛+1．

【详解】解：第一个图形中火柴棒的根数为4×1+1=5；

第二个图形中火柴棒的根数为4×2+1=9；

第三个图形中火柴棒的根数为4×3+1=13；

…，

可以发现第几个图形中火柴棒的根数为4与几的乘机加1．

所以，搭第푛个图形需火柴棒的根数为4푛+1．

故选：C．

【变式1.3】（2023·江西·七年级期末）三角形三边上的点数分布如图所示，可以发现图①中有4个点，图②

中有10个点，图③中有19个点，……按此规律可知，图푛中点的个数是.

【答案】3푛(푛+1)+2

2

【分析】本题考查找规律，正确找到规律是解题的关键．观察图象可得图①中点的个数，图②中点的个数，

图③中点的个数，⋯⋯，依此类推图푛中点的个数是1+1×3+2×3+3×3+⋯+푛×3，据此计算即可解

题．

【详解】解：由题知，

第12页共28页.

图①中有1+1×3=4个点，

图②中有1+1×3+2×3=10个点，

图③中有1+1×3+2×3+3×3=19个点，

⋯⋯，依此类推，

图푛中点的个数是1+1×3+2×3+3×3+⋯+푛×3=1+3(1+2+3+⋯+푛)，

푛(푛+1)

=1+3×，

2

3푛(푛+1)+2

=．

2

故答案为：3푛(푛+1)+2．

2

模块四恒等式中的规律探究

【例1.1】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）观察下列各组等式：

（1）4×12−12=4×1−1；

（2）4×22−32=4×2−1；

（3）4×32−52=4×3−1；…

根据上述规律，第2021个式子的值是（）

A．8080B．8081C．8082D．8083

【答案】D

【分析】本题考查了数字类的规律以及字母的值求代数式的值，根据现有的式子结构，得出第푛个式子为4푛2

−(2푛−1)2=4푛−1，把푛=2021代入4푛2−(2푛−1)2=4푛−1，计算化简即可作答．

【详解】解：∵（1）4×12−12=4×1−1；

（2）4×22−32=4×2−1；

（3）4×32−52=4×3−1；

…

以此类推

∴第푛个式子为4푛2−(2푛−1)2=4푛−1

把푛=2021代入4푛2−(2푛−1)2=4푛−1

即4×20212−(2×2021−1)2=4×2021−1=8084−1=8083

故选：D

【例1.2】（2023七年级·贵州黔东南·期中）观察下列等式：31+1=4,32+1=10,33+1=28,34+1=82,35

第13页共28页.

+1=244，探究计算结果中的个位数字的规律，猜测32015+1的个位数字是（）

A．4B．0C．8D．2

【答案】C

【分析】本题考查了数字类规律探究；根据3푛的前几个数的尾数规律，4次一循环，进而即可求解．

【详解】31的尾数为3，32的尾数为9，33的尾数为7，34的尾数为1，35的尾数为3，36的尾数为9，…，

而2015=4×503+3，

所以32015的尾数为7，则32015+1的个位数字是8．

故选：C．

【例1.3】（2023七年级·广东珠海·期末）观察下列两个等式：

11+21+2+31+2+3+4

===；

22+42+4+62+4+6+8

44+84+8+124+8+12+16

===；

77+147+14+217+14+21+28

利用上面的规律，式子5+10+15+20+⋅⋅⋅+5푛可化简得．

3+6+9+12+⋅⋅⋅+3푛

52

【答案】/1

33

【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字和算式之间的联系，得出规律是解题的关键．根据已知的式

子得出规律即可求解．

11+21+2+31+2+3+41+2+3+4+⋯+푛

【详解】解：∵====，

22+42+4+62+4+6+82+4+6+8+⋯+2푛

44+84+8+124+8+12+164+8+12+16+⋯+4푛

====，

77+147+14+217+14+21+287+14+21+28+⋯+7푛

5+10+15+20+⋅⋅⋅+5푛5

∴=，

3+6+9+12+⋅⋅⋅+3푛3

故答案为：5．

3

23242

【变式1.1】（2023七年级·浙江嘉兴·期末）观察下面的等式：푎=1+=，푎=1+=，푎=1+=

11122233

526

，푎=1+=，…，根据其中的规律，解决下列问题：

3444

(1)【尝试】写出关于푎6的等式．

(2)【归纳】写出关于푎푛的等式．

(3)【运用】计算푎1⋅푎2⋅푎3⋅ ⋅⋅⋅ ⋅푎18⋅푎19⋅푎20的值．

28

【答案】푎=1+=

(1)666

第14页共28页.

2푛+2

푎=1+=

(2)푛푛푛

(3)231

【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．

（1）类比给出的4个等式，写出第6个等式即可

（2）按照（1）的规律进而得出第n个等式；

（3）利用得到的规律化简求值即可．

23242526

【详解】（1）解：푎=1+=，푎=1+=，푎=1+=，푎=1+=

∵111222333444

2728

푎=1+=,푎=1+=

∴555666

23242526

（2）解：푎=1+=，푎=1+=，푎=1+=，푎=1+=，…，

∵111222333444

2푛+2

푎=1+=

∴푛푛푛

3456푛+1푛+2(푛+1)(푛+2)

（3）解：푎⋅푎⋅푎⋅푎⋅…⋅푎=××××⋅⋅⋅××=，把푛=20代入，得푎⋅푎⋅…⋅푎

1234푛1234푛−1푛21220

(20+1)×(20+2)

==231．

2

【变式1.2】（2023七年级·安徽·专题练习）观察以下等式：

1

第个等式：12=×1×2×3，

16

1

第个等式：12+22=×2×3×5，

26

1

第个等式：12+22+32=×3×4×7，

36

1

第个等式：12+22+32+42=×4×5×9，

46

…

按照以上规律．解决下列问题：

(1)写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第푛个等式（用含푛的式子表示）；

2222

(3)计算：1+2+3+…+2023=．

1+2+3+…+2023

1

【答案】12+22+32+42+52=×5×6×11

(1)6

第15页共28页.

1

12+22+32+…+푛2=푛(푛+1)(2푛+1)

(2)6

(3)1349

【分析】本题考查数式的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，

并能灵活运用规律解题．

（1）观察所给算式，可以发现左边为从1开始，序号个连续整数的平方和，等式右边是4个数的积，这四

个数分别为：1、与序号相同的数、比序号大的数、序号的倍加，据此可以写出第个等式；

61215

（2）根据（1）中发现的规律，用代数式表示出这些数，并写出等式即可；

（3）利用（2）中的等式，将12+22+32+…+20232写成乘积形式，同样将分母也写成乘积形式，约分即

可得到答案．

1

【详解】（）解：第个等式：12=×1×2×3，

1∵16

1

第个等式：12+22=×2×3×5，

26

1

第个等式：12+22+32=×3×4×7，

36

1

第个等式：12+22+32+42=×4×5×9，

46

1

第个等式为：12+22+32+42+52=×5×6×11，

∴56

1

故答案为：12+22+32+42+52=×5×6×11；

6

（2）解：由（1）总结出规律，可知第푛个等式为：

1

12+22+32+…+푛2=푛(푛+1)(2푛+1)；

6

2222

（3）解：1+2+3+…+2023

1+2+3+…+2023

1

×2023×2024×4047

=6

1

2×2023×2024

1

×4047

=6

1

2

=1349．

故答案为：1349．

【变式1.3】（2023七年级·安徽安庆·期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法

第16页共28页.

1111

求和：+++⋅⋅⋅+，它的值是（）

1×22×33×42020×2021

上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如

11

1−=

21×2①

111

−=

232×3②

111

−=

343×4③

111

−=

454×5④

……

（1）继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到什么结果？你能写出下面的求和公式

吗？

1111

+++⋅⋅⋅+．

1×22×33×4푛×(푛+1)

．．2020．2019．1

A1B2021C2020D2021

【答案】B

【分析】规律为分母为两个连续自然数的乘积，分子是1，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规

律求解即可．

1111

【详解】解：1−=，即=1−，

∵21×21×22

111111

−=，即=−，

232×32×323

111111

−=，即=−，

343×43×434

111111

−=，即=−，

454×54×545

……

111

=−，

2020×202120202021

1111

+++⋅⋅⋅+

∴1×22×33×42020×2021

1111111

=1−+−+−+⋯+−

2233420202021

1

=1−

2021

第17页共28页.

2020

=，

2021

故选：B

【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键．

模块五课后作业

1．（2023·江西九江·七年级期末）以下是按一定规律排列的单项式：2푎,3푎2,4푎3,5푎4,6푎5,⋅⋅⋅，依此规律，第

푛个单项式是（）

A．푛푎푛B．푛푎푛−1C．(푛+1)푎푛D．(푛+1)푎푛−1

【答案】C

【分析】本题考查单项式的规律探究，根据系数与次数两个方面总结可得第n个单项式．

【详解】解：按一定规律排列的单项式：2푎,3푎2,4푎3,5푎4,6푎5,⋅⋅⋅，

依此规律，第푛个单项式是(푛+1)푎푛，

故选：C．

2．（2023七年级·全国·假期作业）根据下面图形的规律，第11个图中有（）个．

A．33B．36C．39

【答案】B

【分析】

本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中的个数，得到变化规律：图形n中有(3푛+3)个

，进而可求解．

【详解】

解：根据题意，图形1中有6个，可以写成：3×1+3；

图形2中有9个，可以写成：3×2+3；

图形3中有12个，可以写成：3×3+3；

…

第18页共28页.

依次类推，图形n中有(3푛+3)个，

∴第11个图中有3×11+3=33+3=36个．

故答案为：B．

3．（2023七年级·全国·假期作业）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形

数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．

从上图中可以发现：

任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4=1+3．把“正方形数”36写

成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（）．

A．36=10+26B．36=12+24C．36=15+21D．36=16+20

【答案】C

【分析】本题主要考查了数字（图形）变化的规律，观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、

36、49…；都是平方数；三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；从“三角

形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可.

【详解】图1：正方形数是4，4＝1＋3；

图2：正方形数是9，9＝3＋6；

图3：正方形数是16，16＝6＋10；

图4：正方形数是25，25＝10＋15；

图5：正方形数是36，36＝15＋21.

故选：C.

4．（2023·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物

的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②

有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子

的个数是（）

第19页共28页.

A．20B．22C．24D．26

【答案】B

【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．

【详解】解：由图可得，

第1种如图①有4个氢原子，即2+2×1=4

第2种如图②有6个氢原子，即2+2×2=6

第3种如图③有8个氢原子，即2+2×3=8

…，

∴第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2+2×10=22；

故选：B．

5．（2023·湖北武汉·七年级期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三

角形数阵解释二项式(푎+푏)푛展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近600年，此三角形被后人称为“杨

辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如2=1+1，

10=4+6，．．．，若从第三行的“2”开始，按箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，

10，5，…，则这列数中第24个数是（）

A．56B．42C．28D．8

【答案】A

【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从2开始的第7行的第3个数，观察可得由从2

开始的第7行的数依次为8，28，56，70，56，28，8，由此即可得出答案．

【详解】解：∵1+2+3+4+5+6=21<24，1+2+3+4+5+6+7=28>24，

第20页共28页.

∴第24个数在从2开始的第7行的第3个数，

观察可得：由从2开始的第5行的数依次为：6，15，20，15，6，

由从2开始的第6行的数依次为：7，21，35，35，21，7，

由从2开始的第7行的数依次为8，28，56，70，56，28，8，

∴第24个数为56，

故选：A．

233

6．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知：퐴5=5×4=20，퐴5=5×4×3=60，퐴6

44

=6×5×4=120，퐴6=6×5×4×3=360，……观察并找出规律，计算퐴7的结果

【答案】840

【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性-数字的变化，找出规律进行计算即可．

2334

【详解】解：퐴5=5×4=20，퐴5=5×4×3=60，퐴6=6×5×4=120，퐴6=6×5×4×3=360，

观察发现，每个式子都是从下面的数字开始递减的连续整数的积的形式，而因数的个数就是上面的数字，

4

∴퐴7=7×6×5×4=840，

故答案为：840．

1573

7．（2023七年级·黑龙江绥化·期中）观察下列单项式：、푎2、푎3、푎4、푎5⋅⋅⋅⋅⋅⋅，按此规律写出第푛

2푎−4−52

个单项式是．

2푛−1

【答案】（−1）푛+1푎푛

푛+1

【分析】本题考查了单项式的知识及数字变化的规律，熟练掌握单项式的知识并准确找出规律是解题的关

键．

1573

【详解】首先只看系数，各项系数依次为、、、、…

2−14−52

2푛−1

所以第푛项系数为（−1）푛+1

푛+1

各项单项式的字母依次为푎、푎2、푎3、푎4、푎5…所以第푛项单项式的字母为푎푛；

2푛−1

所以该单项式第푛项为（−1）푛+1푎푛

푛+1

2푛−1

故答案为：（−1）푛+1푎푛．

푛+1

8．（2023七年级·河南周口·期中）如图，每个三角形中的三个数之间有相同的规律，根据此规律，最后一

个三角形中푦与푛之间的关系式为．

第21页共28页.

【答案】푦=2푛푛

【分析】此题主要考查了数字规律性问题．注意根据题意找到规律푦=2푛푛是解题的关键．

【详解】解：解：∵观察可知：各三角形中左边第一个数的数字规律为：1，2，…，n，

右边第二个数的数字规律为：2，22，…，2푛，

下边第三个数的数字规律为：1×2，2×22，…，3×23，

∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是푦=2푛푛．

故答案为：푦=2푛푛．

9．（2023七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13

个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．

【答案】111

【分析】本题考查了数与形的规律，能总结出一般规律是解题关键．列出给出的几幅图的点数依次为3，7，

13，21，⋯，分析这些数我们可以得到3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1，⋯据此总结规律求解

即可．

【详解】观察题图可知：

图①中点的个数为3=1+2=1×2+1；

图②中点的个数为7=1+2+4=2×3+1；

图③中点的个数为13=1+2+4+6=3×4+1；

图④中点的个数为21=1+2+4+6+8=4×5+1；

图n中点的个数为1+2+4+6+8+⋯+2푛=푛(푛+1)+1；

当푛=10时，图中点的个数有1+2+4+6+⋯+20=10×11+1=111（个）点，

故答案为：111．

10．（2023七年级·全国·假期作业）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列

队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密．

队形1234…

第22页共28页.

图示……

（1）观察点子图，补充下面等式．

2=1×2

2+4=2×3

2+4+6=3×4

2+4+6+8=×

（2）照这样，第8个队形需要人；第n个队形需要人；第个队形有56人．

【答案】4572푛(푛+1)7

【分析】本题考查了数字类规律，解答此题的关键是，根据所给的式子，找出规律，再根据规律解答即

可．通过观察发现，第1个点子图是用1×(1+1)，第2