第13讲 整式的加减（2个知识点+7个考点+易错分析）原卷版

第13讲整式的加减（2个知识点+7个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.掌握去括号法则,能准确地去括号

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.会通过去括号、合并同类项将整式化简

模块三核心考点举一反三3.能进行简单的整式加法和减法运算:

模块四小试牛刀过关测4.会运用整式加减解决简单的实际问题

知识点1.去括号（难点）

去括号法则

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

要点归纳：

(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相

乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．

(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定

要注意括号前的符号．

（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．

知识点2.整式的加减（重点）

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

要点归纳：

（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．

（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．

(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母

第1页共12页.

的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．

易错点1.去括号时出现错误

去括号时,括号前面是“_”号时,常忘记改变括号内每一项的符号,出现错误;或者括号前有数字因数,去括号时

没把数字因数与括号内的每一项相乘出现漏乘现象,只有严格按照去括号法则运算,才可能避免上述错误

易错点2.进行整式加减时忽略括号的作用

在多项式加法运算中，整式可以不加括号,在多项式减法运算中,被减式可以不加括号，但减式必须加上括号

考点1.去括号

【例1】下列去括号正确吗？如有错误，请改正．

(1)＋(－a－b)＝a－b；

(2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；

(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y；

(4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.

【变式1-1】（2024•翔安区二模）-2(a-2b)去括号的结果是()

A．-2a+2bB．-2a-2bC．-2a+4bD．-2a-4b

【变式1-2】（2024•凉州区二模）下列去括号正确的是()

A．3(2x+3y)=6x+3yB．-0.5(1-2x)=-0.5+x

1

C．-2(x-y)=-x-2yD．-(2x2-x+1)=-2x2+x

2

【变式1-3】去掉下列各式中的括号：

(1).8m-(3n+5)；(2).n-4(3-2m)；(3).2(a-2b)-3(2m-n).

考点2.去括号后进行整式的化简

【例2】先去括号，后合并同类项：

1211

(1)x＋[－x－2(x－2y)]；(2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)；

2323

(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)；(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}．

第2页共12页.

【变式2-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）化简：

（1）a+-3b-2a=；

（2）x+2y--2x-y=．

【变式2-2】化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．

【变式2-3】（2023秋•长葛市期中）先去括号，再合并同类项

（）（）22

12(2b-3a)+3(2a-3b)24a+2(3ab-2a)-(7ab-1)

考点3.整式的化简求值

11313

【例3】化简求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－.

23232

1

【变式3-1】先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2.

2

11

【变式3-2】（2023秋•襄城区期末）先化简，再求值：5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b)，其中a=，b=．

23

11

【变式3-3】（2024•望城区一模）先化简，再求值：-2(a2b-ab2+b2)+(2a2b-3ab2)，其中a=1，

42

b=-2．

第3页共12页.

考点4.整体思想在整式求值中应用

【例4】已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．

【变式4-1】．（2024春•道里区校级期中）【知识呈现】我们可把5(x-2y)-3(x-2y)+8(x-2y)-4(x-2y)

中的“x-2y”看成一个字母a，使这个代数式简化为5a-3a+8a-4a，“整体思想”是中学数学解题中

的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂

的问题转化为简单问题．

【解决问题】

（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为；（用含x、y的式子表示）

（2）若代数式x2+x+1的值为3，求代数式2x2+2x-5的值为；

【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：

（3）已知a-2b=7，2b-c的值为最大的负整数，求3a+4b-2(3b+c)的值．

【变式4-2】．（2023秋•南召县期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它

在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．

代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x-3的值为_____．

【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，x2+x+3=7则有x2+x=4，

2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2´4-3=5，所以代数式2x2+2x-3的值为5．

【方法运用】

（1）若代数式x2+x+1的值为15，求代数式-2x2-2x+3的值．

（2）若x=2时，代数式ax3+bx+4的值为11，当x=-2时，求代数式ax3+bx+3的值．

【拓展应用】

（3）若3m-4n=-3，mn=-1．求6(m-n)-2(n-mn)的值．

第4页共12页.

【变式4-3】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知a2+2a=2，则代数式

2a2+4a+3=2a2+2a+3=2´2+3=7，-a2-2a=-a2+2a=-2．

请根据以上材料解答下列问题：

(1)若x2-3x=4，求1+2x2-6x的值；

(2)若整式3x2-6x+2的值是8，求整式-2x2+4x+5的值；

(3)当x=1时，多项式px3+qx-1的值是5，求当x=-1时，多项式px3+qx-1的值．

考点5.利用“无关”进行说理或求值

111

【例5】有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－

244

2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知

道这是怎么回事吗？说明理由．

【变式5-1】（2023秋•斗门区期末）（1）已知两个多项式A、B，A=8a+2b，B=5a-b，求A+B的

值．

（2）某位同学做一道题：已知两个多项式A、B，求A-2B的值．他误将A-2B看成2A-B，求得结果

为3x2-3x+5，已知B=x2-x-1，求A-2B的正确答案．

第5页共12页.

6

【变式5-2】．（2023秋•广州期末）（1）已知A=-x+2y-4xy，B=-3x-y+xy．当x+y=，xy=-1

7

时，求2A-3B的值．

（2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式(mx2-x2+3x+1)-(5x2-4y2+3x)的结果中不含x2项？若

不存在，说明理由；若存在，求出m的值．

【变式5-3】．（2023秋•雨湖区期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知x=2023，求整式

2(x2-5x+1)-(-x+2x2-1)+9x的值，小涵观察后提出：“已知x=2023是多余的．”你认为小涵的说法对

吗？请说明理由．

（2）已知整式A=2x2-3kx+x+1，整式A与整式B之差是3x2-2kx+x．

①求整式B；

②若k是常数，且A+2B的值与x无关，求k的值．

【变式5-4】．（2024春•铁西区期中）【典例展示】

若关于x，y的代数式ax+3y-3x-2y+4的值与x无关，求a的值．

解：原式=ax-3x+3y-2y+4

=(a-3)x+y+4

Q代数式ax+3y-3x-2y+4的值与x无关，

\a-3=0，

\a=3．

【理解应用】

已知A=(4x+3)(x-2)-x(1-3m)，B=x2+mx-1，且A-4B的值与x无关，求m的值；

【拓展延伸】

用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被

覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为S1，右下角部分的面积为S2，当AD的长度发生变化时，5S2-2S1

的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．

第6页共12页.

考点6.整式加减的应用

【例6】某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，

调整为按售价的80%出售，又销售了60件．

(1)销售100件这种商品的总售价为多少元？

(2)销售100件这种商品共盈利多少元？

【变式6-1】如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计

算：

(1)窗户的面积是多大？

(2)窗帘的面积是多大？

(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．

第7页共12页.

【变式6-2】做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）:

长宽高

小纸盒abc

大纸盒1.5a2b2c

（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？

（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？

【变式6-3】．（2023秋•成武县期末）已知三角形的第一条边的长是a+2b，第二条边长是第一条边长的2

倍少3，第三条边比第二条边短5．

（1）用含a、b的式子表示这个三角形的周长；

（2）当a=2，b=3时，求这个三角形的周长；

（3）当a=4，三角形的周长为39时，求各边长．

【变式6-4】．（2023秋•社旗县期末）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形

停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为(3a+b)米，宽比长少(a-2b)米．

（1）用含a、b的代数式表示护栏的总长度；

（2）若a=30，b=5，每米护栏造价80元，求建此停车场所需护栏的费用．

第8页共12页.

考点7.整式加减的拓展创新题

【例7】（2024春•高新区期末）对于一个三位自然数M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个

位数字多1，则称M为“儿童数”．如：三位数721，Q7-1=6，2-1=1，\721是“儿童数”．

（1）请你写出一个“儿童数”；(721除外）

（2）将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数127得到差为

594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你

用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果；

（3）设任意一个“儿童数”，百位数字为(a+6)，十位数字为(a+1)，个位数字为a，按照（2）的程序列

式计算，并提出进一步的猜想．

【变式7-1】（2023秋•北流市期末）我们定义：对于数对(a,b)，若a+b=ab，则(a,b)称为“和积等数

333

对”．如：因为2+2=2´2，-3+=-3´，所以(2,2)，(-3,)都是“和积等数对”．

444

（1）下列数对中，是“和积等数对”的是；（填序号）

①(3,1.5)；

3

②(，1)；

4

11

③(-，)．

23

（2）若(-5,x)是“和积等数对”，求x的值；

（3）若(m,n)是“和积等数对”，求代数式4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m2-2n)+6m2的值．

第9页共12页.

【变式7-2】（2023秋•章贡区期末）给出定义如下：我们称使等式a-b=ab+1的成立的一对有理数a，b

为“相伴有理数对”，记为(a,b)．

112212

如：3-=3´+1，5-=5´+1，所以数对(3,)，(5,)都是“相伴有理数对”．

223323

11

（1）数对(-2,)，(-，-3)中，是“相伴有理数对”的是；

32

（2）若(x+1,5)是“相伴有理数对”，则x的值是；

1

（3）若(a,b)是“相伴有理数对”，求3ab-a+(a+b-5ab)+1的值．

2

【变式7-3】（2023秋•播州区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十

位上的数字大m(m为正整数），十位上的数字比个位上的数字大m，则称这个三位数为关于m的“递差

数”．

例如：三位数531，因为5-3=2，3-1=2，所以531是关于2的“递差数”

三位数987，因为9-8=1，8-7=1，所以987是关于1的“递差数”

（1）判断三位数741是否为m的“递差数”，若是，求出m的值；若不是，请说明理由．

（2）若有一个三位数是关于m的“递差数”，其百位上的数字为x，将其个位上的数字和百位上的数字交

换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含m，x的整式表示）．

（3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于m的“递差数”．

一．选择题（共5小题）

1．（2023秋•青龙县期末）化简a-(b-c)正确的是()

第10页共12页.

A．a-b+cB．a-b-cC．a+b-cD．a+b+c

2．（2024•临夏州一模）如图，长方形的长是3a，宽是2a-b，则长方形的周长是()

A．10a-2bB．10a+2bC．6a-2bD．10a-b

3．（2023秋•玄武区校级期末）下列去括号所得结果正确的是()

A．x2-(2x-1)=x2-2x-1B．x2-(-2x+1)=x2-2x-1

C．x2-(-2x-1)=x2+2x+1D．x2-(2x+1)=x2-2x+1

4．（2023秋•游仙区期末）若x-2y=3，则2(x-2y)-x+2y-5的值是()

A．-2B．2C．4D．-4

5．（2023秋•仙居县期末）若A=x2y+2x+3，B=-2x2y+4x，则2A-B=()

A．3B．6C．4x2y+6D．4x2y+3

二．填空题（共7小题）

6．（2024•凉州区二模）多项式36x2-3x+5与3x3+12mx2-5x+7相加后，不含二次项，则常数m的值是．

7．（2023秋•炎陵县期末）去括号，合并同类项得：2a-(2a-1)=．

8．（2023秋•曾都区期末）-[a-(b-c)]去括号应得．

9．（2023秋•阳新县期末）已知|a|=3，|b|=5，且满足ab<0，则2023(a-b)-2024(a-b)=．

10．（2024春•靖江市校级月考）化简：5x-2(x-3y)=．

11．（2023秋•高安市期末）已知a+b=2024，