2025届沈阳市20中高三数学（上）第三次模拟考试卷附答案解析

届沈阳市20中高三数学（上）第三次模拟考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z1、z2满足z1+z2=A.22 B.1 C.22.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，A.−12 B.−23 C.3.在半径为2的圆C上任取三个不同的点A，B，P，且|AB|=22，则PA⋅PBA.2+2 B.2+22 C.4.已知正四棱台下底面边长为42，若内切球的体积为323πA.49π B.56π C.65π D.130π5.已知数列{an}的前n项和为Sn，anA.45×(48−1) B.456.当n∈N时，将三项式(x2+x+1)n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

(x2+x+1)0=1

(x2+x+1)1=x2A.1 B.−1 C.2 D.−27.已知f(x)=memx−lnx(m≥0)，若f(x)有两个零点，则实数A.(0,1e) B.(0,1e28.已知a>e2，b>0，c>0，当x>0时，(exx−A.e327 B.127 C.e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c则下列说法正确的是(

)A.AC⋅CB>0，则△ABC是锐角三角形

B.若cos2A+cos2B−cos2C=1，则△ABC是直角三角形

10.若实数x，y满足x2−4xy+y2A.|x−y|≥2 B.|x−y|≤12 C.x2+y11.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AB=AA1=2，∠BAD=60∘，M为线段A.若μ=1时，三棱锥P−DBC的体积为定值

B.若λ=12时，有且仅有一个点P，使得PD⊥PB1

C.若λ+μ=12，则|PN|+|PC|的最小值为3

D.若λ=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若命题“∃x∈R，都有mx2−2mx−4>0”是假命题，则实数m的取值范围为______13.曲线y=lnx与曲线y=12e14.已知函数f(x)=2x−3x−2−ex，g(x)=2x−3x−2−lnx的零点分别为x1，x2，且x1>2，x2>2，则x1−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知Sn=an+1−1.

(1)求{an}16.(本小题15分)

已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N，M分别是线段B1C1和线段DD1上的动点，且C1N=λC117.(本小题15分)

某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.

(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；

(2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)；

(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=3tanC.

(Ⅰ)若C=π4，b=tanB，求△ABC的面积S；

(Ⅱ)求证：2a2−219.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(1−ax)+12x2(a≠0).

(1)证明：当a=1时，f(x)只有1个零点；

(2)当a<0时，讨论f(x)的单调性；

(3)若a=−1答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵z1+z2=z1z2，

又∵z1−=1−i，

∴z1=1+i，

2.【答案】B

【解析】解：∵Sn=(2Sn+1)Sn+1，

∴Sn=Sn+1+2Sn⋅Sn+1,1Sn+1−1Sn=2，

∴1S1=1a1=1，

∴{1Sn3.【答案】D

【解析】解：在△ABP中，由正弦定理，

得ABsin∠APB=APsin∠ABP=BPsin∠BAP=2r=4，

即22sin∠APB=4，所以sin∠APB=22，

又∠APB∈(0,π)，所以∠APB=π4或3π4，

当∠APB=π4时，设∠ABP=θ(0<θ<3π4)，则∠BAP=3π4−θ，

由APsin∠ABP=BPsin∠BAP=4，得AP=4sinθ,BP=4sin(3π4−θ)，

所以4.【答案】C

【解析】解：由题意知正四棱台ABCD−A1B1C1D1下底面边长AB=42，所以令其内接球半径为r，

因此4π3r3=323π，所以r3=8，解得r=2，

取AB，CD，A1B1，C1D1的中点E，F，E1，F1，

所以四边形EFF1E1内切圆即为正四棱台内接球的截面大圆，

所以四边形EFF1E1是等腰梯形，EE1=12(EF+E1F1)，又因为EE12=[12(EF−E1F1)]2+(2r)2，

[12(EF+E1F1)]5.【答案】A

【解析】解：由题可得数列{an}为类周期数列，且以T=4变化，

而a1=2cosπ2=0,a2=22cos6.【答案】A

【解析】解：依题意，“广义杨辉三角形”构造方法为：

第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的，缺少的数计为0)之和，

所以“广义杨辉三角形”的第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，

“广义杨辉三角形”的第6行为1，6，21，50，90，126，141，126，90，50，21，6，1，

“广义杨辉三角形”的第7行为1，7，28，77，161，266，357，393，357，266，161，77，28，7，1，

在(x2+x+1)7的展开式中，x6的系数为266，x7的系数为357，

则(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中，x77.【答案】A

【解析】解：若f(x)有两个零点，则f(x)=memx−lnx=0有两个解，等价于mxemx−xlnx=0(x>0)有两个解，

令g(t)=tet，则原式等价于g(mx)=g(lnx)有两个解，

即mx=lnx(x>0)有两个大于零的解．

令ℎ(x)=lnxx(x>0)，则ℎ′(x)=1−lnxx2，

当0<x<e时，ℎ′(x)>0，当x>e时，ℎ′(x)<0，

所以ℎ(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且ℎ(e)=18.【答案】A

【解析】解：当x>0时，原不等式化为(exx−a)(x2−bx+c)≥0恒成立，

令f(x)=exx−a，g(x)=x2−bx+c，求导得f′(x)=ex(x−1)x2，

由f′(x)<0，得0<x<1；由f′(x)>0，得x>1，

函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

而f(1)=e−a<0，当x→0时，f(x)→+∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，

则函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点，记为x1，x2(0<x1<x2)，

显然当x<x1或x>x2时，f(x)>0，当x1<x<x2时，f(x)<0，

要使f(x)g(x)≥0恒成立，则x1，x2也是g(x)的两个零点，

于是b=x1+x2，c=x1x2，由e9.【答案】BCD

【解析】解：A，因为AC⋅CB>0，因此CA⋅CB<0，

故cosC<0，因为0<C<π，

因此C为钝角，故A错误；

B，因为cos2A+cos2B−cos2C=1，

因此1−sin2A+1−sin2B−(1−sin2C)=1，

整理得sin2C=sin2A+sin2B，由正弦定理得c2=a2+b2，

所以△ABC为直角三角形，故B正确；

C，因为A+B<π2，

所以0<B<π2−A<π2，

因此sinA+sinB<sinA+sin(π210.【答案】AC

【解析】解：因为x2−4xy+y2=6，

所以y=4x±16x2−4(x2−6)2=2x±3x2+6，

当y=2x+3x2+6时，x−y=−3x2+6−x，

令μ=−3x2+6−x，

可得μ′=−6x23x2+6−1，

当x<−1时，μ′>0，函数μ=−3x2+6−x在(−∞,−1)上单调递增，

当x>−1时，μ′<0，函数μ=−3x2+6−x在(−1,+∞)上单调递减，

所以μmax=−3×12+6+1=−2，无最小值，

则|x−y|≥2，

当y=2x−3x2+6时，x−y=3x2+6−x，

可得x−y=3x2+6−x，

令μ=3x2+6−x，

可得μ′=6x23x2+6−1，

当x<1时，μ′<011.【答案】ACD

【解析】解：对于选项A：当μ=1时，B1P=λBC，故点P在B1C1上运动，而B1C1//平面DBC，

所以三棱锥P−DBC的体积为定值．故A正确；

对于选项B：当λ=12时，取BC中点记为E，连接EN，易得点P在EN上运动，

当P与点E，N重合时，由勾股定理可得|PB1|2+|PD|2=|DB1|2，所以PD⊥PB1，故B错误；

对于选项C：当λ+μ=12时，取BC中点记为E，取BB1中点记为F，连接EF，

则点P在线段EF上运动，易得点C关于直线EF的对称点为C′，连接NC′，

此时点N、E、C′三点共线，故点P与点E重合时取得最小值为3，故C正确；

对于选项D：当λ=0，μ=12时，P为BB1的中点，

过点P作DM的平行线交AB于点E，过点M作DE的平行线交B1C1于点F，

即可得到截面MDEPF，易知12.【答案】[−4,0]

【解析】解：由题意可得，∀x∈R，都有mx2−2mx−4≤0是真命题，

当m=0时，不等式为−4≤0恒成立，符合题意；

当m≠0时，要使得mx2−2mx−4≤0恒成立，则m<0Δ=4m2−4m(−4)≤0，解得−4≤m<0；

综上，实数m的取值范围为[−4,0].

故答案为：[−4,0].13.【答案】2x−2【解析】解：设f(x)=lnx，g(x)=12ex2的公切线为l：y=kx+b，

且l：y=kx+b与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，

由f′(x)=1x，得k=1x1，则1x1⋅x1+b=lnx1，即1+b=lnx1①．

由g′(x)=1ex，得k=1ex2，则1ex22+b=12ex22，即b=−12ex22②．

易得1x1=1ex2，即x1=ex2③，将②③代入①，可得x22−2elnx2=0，

令ℎ(x)=x2−2elnx，则ℎ′(x)=2x−14.【答案】2

6

【解析】解：函数y=2x−3x−2与两函数y=ex，y=lnx图象的交点的横坐标即为f(x)和g(x)的零点，

反比例函数y=1x的图象关于直线y=x对称，

函数y=2x−3x−2=2+1x−2的图象，可以由y=1x的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，

则对称直线为y=(x−2)+2=x，

所以函数y=2x−3x−2=2+1x−2的图象关于直线y=x对称，

又函数y=ex与y=lnx互为反函数，图象关于直线y=x对称，

当x1>2，x2>2时，有点(x1,ex1)与点(x2,lnx2)关于直线y=x对称，

则有2+1x1−2=ex1=x2，2+1x2−2=lnx2=x1，

所以x1−15.【答案】解：(1)当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(an+1−1)−(an−1)=an+1−an，

∴an+1=2an(n≥2)，

∴等比数列{an}的公比q=2.

当n=1时，由Sn=an+1−1得【解析】(1)根据an=Sn−Sn−1(n≥2)得等比数列公比为2，结合条件计算a1=2的值，得到{an}的通项公式．16.【答案】解：(1)证明：因为A1A⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，

所以A1A⊥AD，A1A⊥AB，又AD⊥AB，

所以AB，AD，AA1两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图，

因为AB=AA1=2，AD=DC=1，

则D1(0,1,2)，C1(1,1,2)，B1(2,0,2)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

所以C1B1=(1,−1,0)，

因为C1N=λC1B1=λ(1,−1,0)，

所以N(λ+1,−λ+1,2)，

所以D1N=(λ+1,−λ,0)，

又CB1=(1,−1,2)，DD1=(0,0,2)，DM=λDD1=λ(0,0,2)，

所以M(0,1,2λ)，CM=(−1,0,2λ)，

设平面CB1M的法向量为n=(x,y,z)，

所以n⋅CM=x−y+2z=0n⋅CB1=−x+2λz=0，

令z=1，则n=(2λ,2λ+2,1)，【解析】(1)建立空间直角坐标系，由已知长度分别求出D1N和平面CB1M的法向量，利用法向量同时垂直于直线和平面证明即可；

(2)求出B17.【答案】解：(1)设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，

则P(AB)=C41C21C62=815，P(A)=C41C21+C22X012P281E(X)=0×25+1×815+2×115=23.

(3)设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，

则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(【解析】(1)由条件概率的计算公式即可求解；

(2)参加活动的女教师人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望．

(3)根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得Y=15−3X，即可求得E(Y).

本题考查超几何分布、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，tanA=3tanC=3tanπ4=3，

则sinA=31010,tanB=−tan(A+C)=−tanA+tanC1−tanAtanC=−3+11−3×1=2，

则sinB=255，所以b=tanB=2,a=bsinAsinB=2×31010255=322，【解析】本题考查了正弦定理和