高考数学真题分类练习专题16 平面向量数量积及其应用

专题16平面向量数■积及其应用

十年大数据*全景展示

年份题号考点考查内容

利用平面向量数量积计算向量夹角与模问题及命题

理10平面向量的综合应用

2011课标真假的判定

文13平面向量数量积性质的应用利用平面向量数量积处理向量垂直问题

理13平面向量的定义及利用平面向量数量积处理向量模

2012课标平面向量数量积性质的应用

问题

文15

理13平面向量数量积的概念及其

卷1平面向量数量积的概念及运算法则

几何意义

文13

2013

理13平面向量数量积的概念及其

・佳2平面向量数量积的运算法则

几何意义

文14

平面向量数量积的概念及其

隹1理15中点公式的向量形式及向量的夹角的概念

几何意义

2014

文4

卷2平面向量数量积性质的应用利用平面向量数量积处理向量模问题

理3

卷1理5平面向量的综合应用主要与双曲线结合考查平面向量数量积的坐标运算

2015平面向量数量积的概念及其

卷2文4平面向量的坐标运算、平面向量数量积

几何意义

卷1理13平面向量数量积性质的应用平面向量的坐标运算及平面向量模公式

2016平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂

卷2理3平面向量数量积性质的应用

直问题

平面向量数量积的概念及其平面向量的数量积的坐标运算及利用平面向量数量

卷3理3文3

几何意义积求夹角

平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂

卷1文13平面向量数量积性质的应用

直问题

卷1理13平面向量数量积性质的应用利用平面向量数量积计算模

理2理12平面向量的综合应用与平面图形有关的平面向量数量积的最值问题

利用平面向量数量积的坐标运算及利用向量数量积

卷1文13平面向量数量积性质的应用

处理垂直问题

2017

卷2文4平面向量数量积性质的应用利用平面向量数量积的模

卷3理12平面向量的粽合应用向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质

平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理

卷3文13平面向量数量积性质的应用

垂直问题

平面向量数量积的概念、几

2018卷2理4文4平面向量的数量积及其运算律

何意义及其运算律

理7

卷1平面向量数量积性质的应用平面向量数量积处理垂直与夹角问题

文8

2019卷2理3平面向量的综合应用平面向量的减法运算、模公式、平面向量数量积

卷3理13平面向量的综合应用平面向量数量积处理模与夹角问题

卷3理13平面向量数量积性质的应用平面向量坐标的模公式及夹角公式

理14平面向量数量积及其运算向量模长的计算

卷1

平面向量垂直充要条件的坐标形式，平面向量数量积

文14平面向量数量积的应用

的应用

2020

理13平面向量数量积的应用向量夹角公式，应用向量数量枳处理垂直问题

卷2

平面向量数量积定义及性质

文15平面向量数量积的定义和运算性质，应用平面向量数

量积处理向量垂直

平面向量夹角，公式，平面向量数量积的计算以及向量

卷3理6平面向量数量积及其运算

模长的计算

大数据分析*预测高考

考点出现频率2021年预测

考点51平面向量数量积的概念及其

7/242021年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合

几何.意义

重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数

考点52平面向量数量积性质的应用9/24量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中

档题或难题，题型为选择或填空.

考点53平面向量的综合应用8/24

十年试题分类*探求规律

考点51平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律

1.（2020全国in理6）已知向量满足同=5,同=6,。/=-6,则8s（。，0+方）=（）

n19-17、19

A.且B.---C.—D.—

35353535

【答案】D

【思路导引】计算出7R+很）、B+4的值，利用平面向量数量积可计算出cos<2£+另〉的值.

【解析】•.，4=5,|同=6,£石=-6，「•々,（a+B）=W-^=52-6=19.

2

+2ab+b=225—2x6+36=7，因此

___a\a+b\1919

cos<a,a+b>==——=—.故选D.

忖.1+15x735

2.（2020山东7）已知P是边长为2的正六边形ABCDfiF内的一点，则Q通的取值范围是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）C.（-2,4）D.（-4,6）

【答窠】A

【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到Q在而方向上的投影的取值范围是

(-1,3),利用向量数量积的定义式，求得结果.

【解析】解法一：血的模为2,根据正六边形的特征，可以得到而在而方向上的投影的取值范围是

(-1,3).结合向量数量积的定义式，可知存.存等于标的模与存在而方向上的投影的乘积，所以

Q.通的取值范围是(一2,6),故选：A.

解法二：如图，建立平面直角坐标系A-xy,由题意知A(0,0),B(2,0),C(3,石),广(一1,6),设P(x,y),

则一1<X<3,；4P,AB=(x,y)・(2,0)=2x,・•・一2<2x<6,・•・/.福的取值范围是(一2,6).

3.(2018•新课标II,理4)已知向量。，5满足|万|=1,①5=-1,则济(2。-5)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】向量［满足|=La»b=-l,则彳〈2日一〃)=21一日石=2+1=3,故选8.

uuv1Jiuin'J31

4.（2016新课标，理3）已知向量期=（］,空-）”8C=（-^-，5）,贝I］/ABC=

(A)30°(B)45°•(C)60°(D)120°

【答案】A

15/35/31

,^7抑万一x----+-----x-fz

【解析】由题意，得cosNA3C=丝上=2_2_2_2.=组，所以NA3C=30。，故选A.

\BA\\BC\1x12

5.(2017北京)设%〃为非零向量，则“存在负数4,使得机=为1”是“〃八〃〈0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为帆,〃为非零向量，所以帆〃=|机||〃|cosv/n,〃>v0的充要条件是cosv〃z,〃>v0.因为

2<0,则由=可知肛〃的方向相反，<m,n>=180,所以cosv/w,〃x0,所以“存在负数人,

使得wi=2〃”可推出“机•〃v0”；而“2•〃<0可推出cos<m,w><0,但不一定推出，制,n的方向相反，

从而不一定推得“存在负数;I，使得旭=几鹿、'，所以“存在负数2,使得雁二/〃''是"加力<0''的充分而不

必要条件.

6.(2013湖北)已知点A(-1,1)、8(1,2)、。(-2,-1)、0(3,4),则向量通在历方向上的投影为

3>/23x/15「3五门3屈

AA.-----BD.-------C.--------D.---------

2222

【答案】A

【解析】AB=(2,1),CD=(5,5),则向量而在向量方方向上的射影为

…二卒毕=毕咏书塔"

|CD|J52+525V22

7.(2011辽宁)已知向量”=(2,1),b=(-l,k),a\2a-b)=0,贝：无=

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】D

【解析】•••2。-6=(5,2—攵)，由。(2«—〃)=0,得(2,1)・(5,2—攵)=0,・・.10+2—4=0,解得&=12.

8.(2015山东)已知菱形ABC。的边长为*ZABC=60\则丽・丽=

32323232

A.——aB.——aC.—aD.—a

2442

【答案】D

【解析】由菱形ABC。的边长为a,48C=6O°可知N8AD=180—600=120',

BDCD=(AD-AB)•(-AB)=-ABAD+ABLS120+/=/

9.(2015四川)设四边形ABC。为平行四边形，|福|二6,|而|=4.若点M,N满足

丽=3碇，丽=2耐则丽晨两=()

A.20B.15C.9D.6

【答案】C

【解析】AM=AB+」AD,NM=CM—CN=一一AD+-AB,所以=

443

^-(471B+3AD)-(4AB-3AD)=^(16JB2-9AD2)=-^(16X36-9X16)=9,选C.

10.(2014天津)已知菱形ABC。的边长为2,?BAD120',点瓦厂分别在边8C,DC上，BE=ZBC,

DF=/.iDC.若通?而1,CEiCF-则丸+〃二

1c2_5>7

A.-B.-C.-D.—

23612

【答案】C

【解析】因为？BAD120'，所以福?而|4|舸|COS120。=-2,因为5石=/BC,所以

AE=AB+lADtAF=niAB+ADf因为冠？而1,所以(而+/而兴"词AD)=1,即

325

21+2m-Im--①，同理可得/m-I-tn=---②，①+②得/+m=—.

236

11.(2012天津)在△ABC中，/A=90°,48=1,设点P,Q满足衣=/1血，Ag=(l-/l)AC,.若

BQCP=-2,WU=()

A.-B.—C.-D.2

333

【答案】B

【解析】如图，设通=瓦/=工，则忖=1,，=24.£=0,又丽=BA+AQ=-5+(1-2)C,

CP=CA+AP=-c+Ab,・•・丽•丽=[-^+(l-Z)c]*(-c+2b)=(2-l)|c|2-2|S|2=

2

4(2-l)-2=-2,即34=2,4=一，选B.

3

12.(2020全国I文14)设向量°=(1,一1),力=(/n+l,2加一4),若a上b,则加二

【答案】5

【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的竺标表示，求得结果.

【解析】由°JLb可得2石=0,XVa=(l,-l),5=(m+l,2m-4),

••ab=\-(m+1)+(-1)-(2m-4)=0,即机=5,故答案为：5•

13.12020全国H理13)已知单位向量的夹角为45°,Aa-A与。垂直，则4=

【答案】叵

2

【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数2的值.

【解析】由题意可得：H=lxlxcos45=白，由向量垂直的充分必要条件可得：(工一。二=0,

即：k/二X=k电=b，解得：k上,故答案为：—.

222

14.(2020全国I理14)设°,方为单位向量，且|。+目=1,贝ij|a-4=.

【答案】G

【思路导引】整理已知可得：\a+b\=yl(a+b)2，再”利用31为单位向量即可求得加包=—1，对|。-可变

形可得：|…=一%.力十时,问题得解.

【解析】•・・。，6为单位向量，・・・同=网=1,

:.十］=+2a•b+=d2+2ab=1，解得：2a-b=~1.

,一司=J(a_b)~=J同〜-2a+=y/3’故答案为：石｝.

15.(2019•新课标HI,文13)已知向量4=(2,2),5=(—8,6),则cosv),b>=.

【答案】—立

10

【解析】由J题知，d石=2x(—8)+2x6=T,|d|=JF万"=2应，|1|=/守+6?=10,

r-4^2

cos<a,b>=-T=------=--------.

2V2xJ010

16.(2014新课标I,理15)已知A,B,C是圆O上的三点，若4。=耳(48+AC),则48与AC的夹

角为.

【答案】90°

【解析】・・・Z0=L(而+/)，JO为线段BC中点，故BC为。。的直径，

2

・・・N6AC=90°,・••福与恁的夹角为90°.

17.(2013新课标I,理13文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60。，。=〃+(1—1)万，若"c=0,则后.

【答案】2

【解析】b*c=b・|/a+(l-r)b]=ra・b+U-f)〃2=—f+l-，=l——r=0,解得，=2.

22

18.(2013新课标U,理13文14)已知E方形ABC的边长为2,E为CD的中点，则亚•丽=.

【答案】2

【解析】AE.BD=(AD+-^B)*(AD-AB)=|AD|2--|^B|2=4-2=2.

22

19.(2011江苏)已知勺，％是夹角为:江的两个单位向量，。=4-20，b=kei+e2,若Q-b=0,

则2的值为.

【答案】-

4

【解析】由题意知ab=(el-2e2)(ke^e2)=0,即如：+马0-2•遂？-2嬉=0,即

A:+cos--2^cos--2=0,化简可求得％二』.

334

20.(2017天津)在八48。中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若诙=2反，

AE=AAC-AB(AeR),且而•荏=-4,则4的值为.

3

【答案】—

11

.一-1-2___1-2一一一

【解析】AB-AC=3x2xcos60(,=3,AD=-AB+-AC,则通而=(-AB+-AC)(AAC-AB)

3333

=^x3+—x4--x9--x3=-4,解得；l=±.

333311

21.（2014天津）已知菱形43。。的边长为2,/84。=120。，点石，F分别在边BC、DC上,BC=3BE,

DC=ADF.若亚•酢=1,则;l的值为.

【答案】2

【解析】因为?BAD120°,菱形的边长为2,所以AB2AD-2.因为

AE2AF氟+g而崎万J通，由赤?"八所以2+1一2（1+5）=1'解得a二2.

考点52平面向量数量积性质的应用

1.（2020全国II文5）已知单位向量。4的夹角为60。，则在下列向量中，与b垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断

即可.

【解析】由已知可得：«J>=|a||Z||cos600=lxlxl=l.

A：:（a+2b）=〃•力+2b~='+2x1=2工0,.,.本选项不符合题意；

22

8：:（2«+8）1=2。・〃+/=2X~^+1=2工0,，本选项不符合题意：

2

,13

C：*.*（a—2b）b=ab—2b"=—2x1=—w0,，本选项不符合题意；

22

D：V（2b-b）b=2ab-b2=2xl-l=0,J本选项符合题意.故选D.

2

2.（2019•新课标I,理7文8）已知非零向量1,〃满足|m=2出|,且5-5）_15,则万与b的夹角为（）

【答案】B

--2—>2

22

［解析】(d—5)J_5,，(a-b)»b-a»b-b=\a||/?|cos<a,b>-b=0,..cos<ayb>=叱L="'I=-,

I〃I闻2|■可2

v<a,b>G［0,^］,/.<a,b>=—,故选B.

3

3.(2017•新课标II,文4)设非零向量1,5满足|〃+5|=|口-加则()

A.albB.\a\=\b\C.allbD.\a\>\b\

【答案】A

【解析】•.•非零向量B满足|。+5|=|江一5|,「.3+5)2=(万一5尸，BPa2+b2+2ab=a2+P-2ab,：.

a^b=0)aYb,故选A.

4.(2016新课标，理3)已知向量。=(1,机)，6=(3,-2),且(a+6)_Lb,则席=()

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

【答案】D

【解析】由题知/b=(4,加一2),所以S+b)•人4x3-2(〃L2)=0,解得m=8,故选D.

5.(2014新课标H,理3文4)设向量,石满足|0+在|=J记，\a-h\=46,则展()

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

22

［解析］:|a+5|=Vi5,\a-b\=y/bf/.(a+b)=10...①，(a-b)=6....②.

由①-②得：ab=\,故选A.

6.（2018北京）设Q,力均为单位向量，则1a—3司=|3a+b|”是的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】•・1。-3瓦=的+砧・•・（"3加2=（3。+力了，6a.6+»2=

9a2-^6ab+b2,又|。|二|"=1,，。力二。，・・.a_L〃：反之也成立，故选C.

7.(2016年山东)已知非零向量雁满足4|〃”=3|〃|,cos<m,w>=^.若+则实数，的

值为()

99

A.4B.—4C.—.D.—

44

【答案】B

【解析】由n±(tm+n)可得n-(tm+n)=0,即tinn+n2=0,所以

t/Jw21«|2&1〃1&丫4

t=--------=------------------------------=------------------z-=—3-----=—3x—=—4.故选B.

w3

mn|m|-|n|cos<m,n>|m|x|/r|x-Il

8.（2015重庆）若非零向量Q,8满足同二—^瓦且（。-〃）J_（%+2力），则。与力的夹角为（）

【答案】A

【解析】由题意0—杨・（3£+%）=3『一£/一涕2=0,即3同一同归际夕一2停=0,所以

20、2&V24

3x（—）2一一—cos<9-2=0,cos6>=—,6>=-,选A.

3324

9.（2015陕西）对任意向量。溥，下列关系式中不恒成立的是

A.B.|a—5日|。|一|川|

C.（a+b）2=|a+|2D.（a+b）（a-b）=a2-b2

【答案】B

【解析】对于A选项，设向量。、力的夹弟为凡・..|a/|二|Q||》|coseW|0|S|,，A选项正确；对于B

选项，•・•当向量。、方反向时，|。-川2||。|一传||,・・・B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量

模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出（。+3-（。-切=/-『，故

D选项正确，综上选B.

10.（2015安徽）A48c是边长为2的等边三角形，已知向量。，力满足方=〃，AC=2a+b,则下歹U

结论正确的是（）

A.|4=1B.aLbC.ab=\D.（4a-b）_L8c

【答案】D

【解析】如图由题意，BC=AC-AB=（2a+b）-2a=bf故|引=2,故A错误；［23|二2|£|=2,所

以|3|二1,XABAC=2a（2a+^）=4|a|2+2^=2x2cos60°=2,所以-1,故氏C错误；设

氏。中点为。，则通+*=2而，且而J_而，所以（45+5）1.阮，故选D.

D

11.（2014山东）已知向量。=（l,、/5）,b=（3,〃7）.若向量的夹角为王，则实数，"=（）

6

A.2yliB.6C.0D.一百

【答案】B

【解析】由题意得立=cos¥="3：、励，两边平方化简得6鬲=18,

262X\/9+AW2

解得加=JJ,经检验符合题意.

12.（2014重庆）已知向量。二（2,3）,1=（1,4）,c=（2,l）,且（2。一3》）_Lc,则实数女=

915

A.----B.0C.3D.—

22

【答案】C

【解析】•・•〃—3b=（2攵-3,-6）,（2a-3b）1c,所以（2。—3b）-c=2（22—3）—6=0.解得2=3,选

C

13.（2012陕西）设向量（1,cos。）与b=（-1,2cos6＞）垂直，则8s2。等于

V21

A.—B.-C.0D.-1

22

【答案】C

【解析】•・•G•L瓦.,.£石=0,.,.-l+2cos2e=0,.•.cos20=28s26-l=o.正确的是c.

14.（2012浙江）设。，力是两个非零向量

A.若|a+b|=|a|—|W，则。_1〃

B.若。工b,则用+b|=|a|-|b|

C.若|。+川=|。|一|力|,则存在实数;I,使得6=及

D.若存在实数4,使得）二为，则|。+川=|。|—|b|

【答案】C

【解析】因为|。+川二|。|一|川二>|。『+2aHS|2=m『-2|a|s|+s|2,而=-|a||b伊0,所以。，力不

垂直，A不正确，同理B也不正确：因为。》=-|。||力|,则cosv〃,b>=-l,所以。,力共线，故存在实数

4,使得办二勿，C正确；若6二。，则;1=1,此时|。+6|=2|。隹0,。|—|例，所以D不正确.

15.（2019•新课标HI,理13）已知万，B为单位向量，且日石=0,^c=2a-\f5h,则cosvl,c>=.

【答案】-

3

【解析】Va»c=a*（2a-y[5b）=2a2-45a*b=2,c2=（2a-\[5b）2=4a2-4y/5a»b+5b2=9,

lIo-a»c2

：]C\=3»/.cos<cr,c>------=—.

\a\\c\3

16.（2017•新课标I,理13）已知向量万，B的夹角为60。，|川=2,出|=1,则|d+力|=___.

【答案】2G

【解析】向量4，5的夹角为60。，且|。|=2,|川=1,（〃+涕）2=12+413+4户

=22+4x2xlxcos600+4xl2=12,：\a^2b\=2y/3.

17.（2017•新课标I,文13）已知向量1=（一1,2）,b=（m,l）,若向量M+B与不垂直，则加=.

【答案】7

【解析】•.•向量1=（一1,2）,5=（加,1）,,+5=（-1+肛3）,•.•向量a+B与a垂直,

/.（a+b）»d=（-1+m）x（-1）+3x2=0,解得TM=7.

18.（2017•新课标川，文13）已知向量"=（一2,3）,5=（3,a）,且则机=

【答案】2

【解析】,向量值二（一2,3）,5=（3,〃。，且MJ_5,万石=-6+3/〃=0,解得帆=2.

19.（2016新课标,理13）设向量。=（m，1）,M1，2）,且|0+即=同2+肝，贝叫=.

【答案】-2

【解析】由|。+例2=|@2+仍产得，0.6=（）,所以6+2=0,解得机=一2.

20.（2016•新课标I,文13）设向量日=（x,x+l）,3=（1,2）,且则X=.

【答案】-2

3

-_2

【解析】•;d工5,a»b=0,即x+2（x+1）=0,x=——.

21.（2012课标，理13）已知向量a,方夹角为45°,且|a|=l,|2a—加二丽，则|。|=.

【答案13&

【解析】平方得4，一4。访+〃=]o,即2|2-20仍|-6=0,解得|b|=3夜或一五

（舍）

22.（2011新课标，文13）已知〃与方为两个不共线的单位向量，k为实数,若向量a+b与向量垂

直，贝|」女=.

【答案】1

【解析】与力为两个不共线的单位向量,1=1,I。1=1,且。与力夹角。不为0也不为乃，:.cos6w±l,

又二,向量〃与向量・力垂直，二（a+b）•（ka・b）=ka2+（k—1）a•b-b2=A:—1+（A：-1）cos0-

（々一1）（1+cos0）=0,AA:-1=0,：,k=\.

23.（2017山东）已知G，e?是互相垂直的单位向量，若与G+&2的夹角为60,则实数；I的值

是.

【答案】—

3

[解Ur](5/3^1—^2)*(e[+^^2)=+y/3Aci,€->—C],0一=>/3—A,

22

|\/3ei—e21=yj(y/3ei—e2)=yj3e^-2\/3el-e2+e2=2,

222

I%+Ae21=J(q+&2)2={e：+2Ae}-e2+2e2=x]\+A,,

V3-2=2xVl+/t2xcos600=V14-22,解得：2=—.

3

24.(2015湖北)己知向量砺_L而，|丽|=3,则35.丽=.

【答案】9

【解析】因为砺JL砺，1砺1=3,所以砺•丽=3•(苏+丽=|苏f+E•丽=|苏|2=32=9.

25.(2014四川)平面向量。=(1,2),6=(4,2),c=ma+b(mwR),且。与。的夹角等于。与力的夹

角，贝ij加=.

【答案】2

【解析11?=(m+4,2m4-2),因为cos(2,、)=-「，cos(2,1)=="一,所以-」=一」”,

'/\c\-\a\\/©网\c\-\a\\c\-\b\

又|行|二2141,所以2c•〃=c•B,即2Km+4)+2(2m+2)]=4(/n+4)+2(2/n+2)n加=2

26.(2013北京)已知向量。，》夹角为45",月|2a—b|=Ji6“则|b|=—.

【答案】忖二3五

【解析】|22一5卜屈=(2£-坂)2=1004+|邛-4恸cos45°=100。卜3夜

27.(2012湖北)已知向量2:(1,0),b=(1,1),则

:I)与2a+b同向的单位向量的坐标表示为______

(II)向量力一3a与向量。夹角的余弦值为________

【答案】(I)岑取，噜[(][)-乎

【解析】(I)由0=(1,0)1=(1,1),得2°+〃=(3,1).设与2/z+〃同向的单位向量为c=（%y）,则

_3>/io

f+/=i、八献汨x~io'功(3>/i(‘‘噜）.即与2a同向的单位向量的坐标为

〈且x,y>0,解得<,_故。=

[3y-x=0,V10110

y=---.

U10

’3715M、

io7io.

\/

(II)由0=(1,0),6=(1』),得b-3a=(-2,1).设向量b-3a与向量a的夹角为。，则

(八3〃卜。_(-2,1)4,0)2石

同一V5X1-5-

28.(2012安徽)若平面向量%力满足：|2a—^W3；则〃/的最小值是______.

9

【答案】

【解析】|2«-/?|<3<=>4«2+V<9+4a»b,

4a+b〜>4|^||/?|>-4a»b=>9+4a*b>-Aa*b=a*b>.£

-8

29.(2011安徽)已知向量a,〃满足3+2。>3-仍=-6,且问=1.，网=2,则a与b的夹角为_____.

【答案】-

3

【解析】设0与b的夹角为。，由题意有（。+2切・（。-»=/+。/-2川=—7+2以对夕=-6,所以

cos(9=-,因此owew乃，所以。=£.

23

考点53平面向量的综合应用

1.(2019•新课标II,理3)已知通=(2,3),AC=(3,r),|BC|=1,则福•配=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析】•.•丽=(2,3),AC=(3j),BC=AC-Al=(lj-3),v|5C|=l-3=0即而=(1,0),则

福•前=2,故选C.

2.(2017•新课标H,理12)已知AABC是边长为2的等边三角形，尸为平面ABC内一点，贝lj西•(而+前)

的最小值是()

34

A.-2B.--C.--D.-1

23

【答案】B

【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则40,"),B(-l,0),C(l,0),

设P(x,y)，则PA=(-x,y/3-y),PB=(-\-x,-y),PC=(l-A：,-y),则

PA^PB+PC)=2x2-20y+2y2=2[x2+(y-争.•.当％=(),y=，时，取得最小值2x(~)=~,

故选3.

3.(2017•新课标HI,理12)在矩形中，AB=\,4)=2,动点P在以点C为圆心且与5。相切的

圆上.若丽=2而+〃而，则4+〃的最大值为()

A.3B.2夜C.x/5D.2

【答案】A

【解析】如图：以A为原点，以AB,AQ所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系，

则A(O,O),B(1,O),ZX0,2),C(l,2),•.•动点P在以点C为圆心且与班>相切的圆上，

设圆的半径为r,・.BC=2,8=1,=弄=6，：BC・CD=：BD・r,:/=忑，

二圆的方程为@一1)2+()，—2尸=1，设点P的坐标为(^cosd+l,竽sinJ+2),

vAP=AAB+^AD,「.(平cosS+l,孚sin夕+2)="1,0)+〃(0,2)=(2,2从)，

2y2^/52>/5

：.—5^―cos^+1=A,—^―sin。+2=2//，，4+〃二—cos0+-^-sin0+2=sin(0+e)+2,其中tan0=2,

1<2+//<3故；〃的最大值为故选

v-l<sin(6>+^)<ltA,1+3,A.

4.(2015新课标I,理5)已知M(xo，yo)是双曲线C：'一丁二1上的一点，后、F?是C上的两个焦点,

若班•MF2<0,则yo的取值范围是()

，202近、小、/2石2石、

【C)(------,-----)(D)(-----»-----)

3333

【答案】A

【解析】由题知片(一百,0),名(8,0),日一义=1，所以砥•丽二(一石一毛，一片)•(百一天,一%)

=片+¥-3=3火-1<0,解得邛<%<当,故选A.

5.(2011新课标，理10)已知。与方均为单位向量，其中夹角为。，有下列四个命题

：\a+b\>\<=>^e[0,)p2：\a+b\>\<=>^e(^,乃]

p3：\a-b\>\<=>^eio,y)p4：\a-b\>]<=>^e(y,TC]

其中真命题是

(A)P],p4(B)Pi，p3(C)生，P3(D)P3,p4

【答案】A

【解析】由|。+川>1得，/+2。・》+。2>1,即Q•b>一1,即85。=丝2>-2,

2\a\\b\2

2

V6>e[0,乃],J。£[0,-y),

由I。一R>1得，/+即即cos9=*<1,乃］,・・・。£(三，乃］,

2\a\\b\23

故选A.

6.(2016年天津)已知AA3C是边长为1的等边三角形，点RE分别是边A