高考数学（文）专题五 概率与统计

专题五概率与统计

小题增分专项统计与统计案例、概率

命I题I分I析

卷全国卷3年高考

年份全国I卷全国II卷全国川卷

古典概型概率的实际意

2020样本方差

回归分析义应用・14

古典概型.14

2019系统抽样16样本的频率与样本的频率(3

概率・》4

互斥事件的概

统计图的识别

2018古典概型・15率工

与分析

抽样方法・TM

修命题规律

统计与统计案例、概率的选择题、填空题涉及的内容较为简

单，主要有概率、抽样方法、统计图表的应用、用样本的数字特

征估计总体的数字特征、线性回归及统计案例。试题属基础题，

分值一般为5分。

明•考点考点整合•_____________________扣.要点

一、统计与统计案例

1.抽样方法

抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽

样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点

和适用范围。

2.统计中的四个数字特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据。

(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的

数据。如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为

中位数U

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即1=：(汨+乃+…+

光〃)。

(4)方差与标准差。

S2=~[(X1—~X)2+(X2-T)2H-----\-(Xn~~X)2]，

AZ

S=y：[(X1-1)2+(m-1)2-1-----|-(心-H)2]o

3.直方图的两个结论

(1)小长方形的面积=组距><频薪率=频率。

(2)各小长方形的面积之和等于k

4.回归分析与独立性检验

(1)回归直线£=猿+2经过样本点的中心(工，J),若x取某

一个值代入回归直线方程;=乐+3中，可求出y的估计值。

(2)独立性检验。

对于取值分别是｛不，忿｝和｛》，经｝的分类变量X和丫，其样

本频数列联表是:

y】为总计

X1aba+b

工2cdc+d

总计a+cb+dn

贝"心=(〃+勿(：篙%)3+0(其中+"c+d为样本

容量)。

二、概率

1.古典概型的概率

小八T~八一A中所含的基本事件数

(1)A式：P(A)-n-基本事件总数。

(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限

个；每个基本事件出现的可能性相等。

2.几何概型的概率

⑴P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)°

(2)几何概型应满足两个条件：①试验中所有可能出现的结果

(基本事件)有无限多个：②每个基本事件出现的可能性相等。

3.概率的性质及互斥事件的概率

(1)概率的取值范围：O〈P(A)W1。

(2)必然事件的概率：P(A)=1。

(3)不可能事件的概率：P(A)=Oo

(4)若A,B互斥,则尸(AU3)=P(A)+P(B),特别地P(4)+

P(A)=lo

精析精研重点攻关__________________________e考向探究e

考向一抽样方法

【例1】(1)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调

查，人数如下表所示：

不喜欢喜欢

男性青年观众3010

女性青年观众3050

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取〃人作进

一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人,

则n等于()

A.12B.16

C.20D.24

解析由题意得，30+]0+3o+5o=员=不解得〃=24°

答案D

(2)某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心

理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调

查，若抽到的最大学号为48,则抽到的最小学号为。

解析由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取

8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48,它

是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6

号。

答案6

方法悟通

系统抽样和分层抽样中的计算

(1)系统抽样

①总体容量为M样本容量为〃，则要将总体均分成〃组，

每组那个(有零头时要先去掉)。

②若第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体

NN

编号依次为Z+],…，k+(n—l)—o

(2)分层抽样

按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比=总

体中各层的数量之比。

【变式训练1](1)福利彩票“双色球”中红球的号码可以

从01,02,03,…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下

所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第

9列的数字开始，从左到右依次读取两位数字，则第四个被选中

的红色球号码为()

8147236863931790126986816293506091337585613985

0632359246225410027849821886704805468815192049

A.12B.33

C.06D.16

解析被选中的红色球号码依次为17,12,33,06,32,22,所以第

四个被选中的红色球号码为06。故选C。

答案C

(2)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进

行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数

如下表所示：

最喜爱喜爱一般不喜欢

4800720064001600

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100

人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样

时，每类人中应抽选的人数分别为()

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

解析因为抽样比为王儡=4,所以每类人中应抽选的人

数分别为4800X^=24,7200X=36,6400X^7=32,1

^yJxJ^\J\J

600X200=8°故选D。

答案D

(3)某班共有学生56人，学号依次为1,2,3,…，56,现用系

统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2,30,44的同

学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为o

解析由题意得，将56人按学号从小到大分成4组，则分段

间隔为14,所以抽取的学号依次为2,16,30,44,故还有一位同学

的学号为16o

答案16

考向二用样本估计总体

【例2】（l）ETC的中文翻译是电子不停车收费系统。2019

年3月，李克强总理在《政府工作报告》中提出，两年内基本取

消全国高速公路省界收费站，实现不停车快捷收费。如图是

2015—2019年中国ETC累计用户数量情况统计图。则下面结论

中错误的是（

A.2015—2019年中国ETC累计用户数量与时间成正相关

B.2019年中国ETC累计用户数量约是2015年的8.1倍

C.2019年中国ETC累计用户数量呈爆发式增长，较2018

年同比增长约166.5%

D.2016—2018年，中国ETC每年新增用户的数量成递增数

列

解析对于A,根据统计图得，2015—2019年中国ETC累

计用户数量与时间成正相关，所以A正确。对于B,根据统计图

2（）400

得于示■仁8.1,所以B正确。对于C,2019年中国ETC累计用户

数量为20400万辆，2018年中国ETC累计用户数量为7656万

辆，2019年较2018年同比增长100%义——市八——^166.5%,

所以C正确。对于D,2016年的新增用户数量为2006万辆，2017

年的新增用户数量为1379万辆,2018年的新增用户数量为1756

万辆，易知每年新增用户的数量不成递增数列，所以D错误。故

选D。

答案D

（2）（2020.天津高考）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单

位：mm）,将所得数据分为9组：［5.31,5.33）,［5.33,5.35）,…，

［5.45,5.47）,［5.47,5.49］,并整理得到如下频率分布直方图，则在

被抽取的零件中，直径落在区间［5.43,5.47）内的个数为（）

A.10B.18C.20D.36

解析由题知［5.43,5.45）与［5.45,5.47）所对应的小矩形的高分

别为6.25,5.00,所以［5.43,5.47）的频率为（6.25+5.00）X0.02=

0.225,所以直径落在区间［5.43,5.47）内的个数为80X0.225=18。

故选B。

答案B

・法悟通

（1）用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意几点。

_频率

①频率分布直方图的纵轴是猛，而不是频率。

②在频率分布直方图中，每个小长方形的面积才是相应区间

的频率。

③最高的小长方形底边中点的横坐标是众数。

④平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交

点的横坐标是中位数。

（2）对于其他的统计图表，要注意结合问题背景分析其所表达

的意思，进而解决所给问题。

【变式训练2]（1）某地气象局把当地某月（共30天）每一天

的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图。假设该月温

度的中位数为九.，众数为mo,平均数为工，则（）

频数

iOp

8

6.3

血曲行一

345678910温度

==

A.mciriQ=xB.mcm（）<x

C.mc<m（）<xD.x

解析由题图知众数恤=5,由中位数的定义知，温度的中

位数人是第15个数与第16个数的平均值，由题图知将数据从小

到大排第15个数是5,第16个数是6,所以偿=5.5,三=1X（2X3

V-/

+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8+2X9+2X10）^5.97,所以

mo<mc<xo故选D。

答案D

（2）（202。南充市适应性考试）某贫困村经过一年的精准扶贫，

该村农民的经济收入增加了一倍，实现翻番，全村已经实现脱贫。

为更好地了解该村的经济收入变化情况，统计了该村精准扶贫前

后农民的经济收入构成比例，得到如下饼状图：

精准扶贫前经济精准扶贫后经济

收入构成比例收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.精准扶贫后，种植收入减少

B.精准扶贫后，其他收入增加了一倍以上

C.精准扶贫后，养殖收入增加了一倍

D.精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经

济收入的一半

解析设精准扶贫前经济收入为加，则精准扶贫后经济收入

为2m,精准扶贫前养殖收入为0.25加，种植收入为0.7加，第三产

业收入为0.03加,其他收入为0.02加，精准扶贫后养殖收入为0.5加,

种植收入为0.88机，第三产业收入为0.52机，其他收入为0.1根，

所以种植收入增加了，A错误。

答案A

（3）已知样本X”及，…，X2019的平均数和方差分别是1和4,

若y=0+仅i=l,2,…,2019）的平均数和方差也分别是1和4,

则ab=o

ci=1,ci=-1,

解析由题意得[,彳解得二八或7c所

[4G-=4,g=0[b=2,

b

以a=lo

答案1

考向三相关关系与独立性检验

【例3】（1）（202。南昌市模拟）已知一组样本数据（即，y）,

（、2，竺），（工3，力），…，（%6，/），用最小二乘法得到其线性回归

方程为$=—2x+4,若X”必如…，的平均数为1，贝(Jy+

h+y3H--------H,6=()

A.10B.12

C.13D.14

解析回归直线过样本点的中心（1,7）,因为工=i,所以

y=-2Xl+4=2,所以），］+刃+为+…+*=6义2=12。故选B。

答案B

⑵为了判断高中生是否选修理科与性别的关系，现随机调查

了50名学生，得到如下的2X2列联表:

选修理科选修文科总计

男131023

女72027

总计203050

50X(13X20-10X7)2

根据表中的数据，得到片的观测值k=

23X27X20X30

Q4.844,若？（烂23.841）弋0.05,P（y25.024）~0.025,则认为

高中生是否选修理科与性别有关系出错的可能性约为（）

A.2.5%B.5%

C.1%D.10%

解析因为4.844>3.841,P（烂23.841户0.05,所以认为是

否选修理科与性别有关系出错的可能性约为5%o

答案B

法悟通

（1）在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点

图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系,

则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点

的中心（工，7）,应引起关注。

（2）独立性检验问题，要确定2X2列联表中的对应数据，然

后代入心求解即可。

【变式训练3］（1）节能降耗是企业的生存之本，所以要树

立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最

好的管理来实现节能效益的最大化。为此某国企进行节能降耗技

术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:

年号X12345

年生产利润w千万元0.70.811.11.4

预测第8年该国企的年生产利润约为（）

（参考公式及数据：回归直线6=%+?的斜率和截距的最小二

nn

X(^―)(y/~~y)Yxiyi—n'x'y

乘估计分别为£=+-----------==--------------，a=J-^

E(X/-~X)2>?一1工2

5__5

x，xy=1.7,5x2=10)

A.1.88千万元B.2.21千万元

C.1.85千万元D.2.34千万元

.,.-1+2+3+4+5—

解析由已知可z仔x=-------------------=3,y=

0.7+0.8+1+1.1+1.4A1,7,A_A—

-------------5-------------=U。=元=0.17,则〃=y~bx=1—

0.17X3=0.49,所以年生产利润与年号的回归方程为£=0.17X+

0.49,当无=8时，$=0.17X8+0.49=1.85。故选C。

答案C

（2）随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列

联表:

单位：人

满意不满意总计

男102030

女15520

总计252550

附表和公式如下:

尸（心/）0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

心=*八二八,其中n=a+b+c+d为样本容

（a十b）（c-ra）（a-rc）（b十a）

量。

根据以上数据可知（）

A.有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

B.有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

C.有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

D.有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

封“力50X（10X5-20X15）21

解析由于K?=等…2八乂”』,333>6.635,所以

ZjAZ3AJUAZU

有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关，故选Co

答案C

考向四古典概型与几何概型

【例4】（1）班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这5个人中随

机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的暇率为（）

A工B1

105

「3卜2

C,10D,5

解析从5个人中随机抽取3个人，所有的情况为（甲，乙，

丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），

（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，

T,戊），共10种。记“甲、乙同时被抽到“为事件A,则A包

含的情况有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），共3种，

3

故P（A）=正。

答案C

（2）（2020•福州市质量检测）2020年初，我国突发新冠肺炎疫

情。面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕

夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人

救治之中。为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队

开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课。

今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，

每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅

导2次的概率为（）

A.B.

C.1D.,

解析由题意得所有不同方案有（甲，乙，乙，乙）,（乙，甲,

乙，乙），（乙，乙,甲，乙），（乙，乙,乙，甲），（甲,甲，乙，

乙）,（乙，乙，甲,甲）,（甲，乙，乙,甲）,（乙，甲,甲，乙），

（甲,乙，甲，乙）,（乙,甲，乙，甲）,（乙,甲，甲，甲），（甲,

乙，甲，甲），（甲,甲，乙，甲），（甲,甲，甲，乙），共14个,

其中甲恰好辅导2次的方案有（甲，甲,乙，乙），（乙，乙，甲，

甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲,乙）,（甲，乙，甲，乙）,

号斗故选C。

（乙，甲，乙，甲），共6个，故所求的概率为

答案c

（3）（202。安徽江淮十校第一次联考）勒洛三角形是定宽曲线

所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研

究的。其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为

圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的

曲边三角形就是勒洛三角形。如图所示，现要在勒洛三角形中随

机取一点，则此点在正三角形A8C内的概率为（）

A.2T

2（兀一小）

2兀一3小

D.2（兀+市）

兀X

解析可令BC=2,则以5为圆心的扇形面积S晶彩ABC=—^~

27r|

=父，ZVIBC的面积S&IBC=5X2X2X方-=小，由题图可知，勒

洛三角形的面积为3个扇形ABC的面积减去2个正三角形ABC

的面积，3-2^/3=271-2^3,所以在勒洛三甬形中随机取

一点，此点在正三角形A8C内的概率是271yl5=2（7t故

选B。

答案B

法悟通

（1）求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件的总数和所

求事件包含的基本事件的个数。计数时要正确分类，做到不重不

漏。

(2)计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件

发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示

所需要的区域。

【变式训练4】(1)我国古代有着辉煌的数学研究成果，其

中的《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《数书九章》《缉古算

经》有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这5

部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。某中学拟从这

5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所

选2部专著中至少有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率

为()

3八9

A-5B-To

c・t

D・W

解析记这5部专著分别为4,B,C,D,E,其中4,B,

。产生于汉、魏、晋、南北朝时期，则从这5部专著中选择2部

的所有可能情况为(A,B),(A,Q,(A,£>),(A,E),(B,Q,(B,

Q),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种，所选的2部专

著都不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的情况只有(3,4这1种,

根据对立事件的概率公式可知所选2部专著中至少有1部是汉、

10

魏、晋、南北朝时期的^率为1一面=而。故选B。

答案B

(2)阳马是底面为长方形，有一条侧棱与底面垂直的四棱锥。

在阳马P-A5c。中，PC为阳马5co中最长的棱，AB=1,AD

=2,PC=3,若在阳马P-A5CD的外接球内部随机取一点，则该

点位于阳马内的概率为()

14

A.B.

27Tl27Tl

C,2771

解析根据题意，可知PC即为阳马P-ABCD的外接球的直

4

径，故外接球的体积V球=铲乂yo由题意知，%_L平面

ABCD,则《。=［必2+=52+4。2,所以3=7以2+1+22,所以

14

%=2,则阳马尸-A3C。的体积丫阳马P_A6CQ=WX1X2X2=1,所

4

38

以所求概率P=o="°故选Co

7712/兀

T

答案c

重点增分专练（十二）统计与统计案例、概率

A级基础达标

一、选择题

1.（202。贵阳市适应性考试）为了保障人民群众的身体健康,

在防控新型冠状病毒期间，贵阳市市场监督管理局加强了对市场

的监管力度，为了考察生产口罩的某工厂生产的600个口罩是否

合格，利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，

编号分别为001,002,…，599,600,再从中抽取60个样本，如下

提供随机数表的第4行到第6行：

322118342978645407325242064438122343567735

78905642

844212533134578607362530073286234578890723

68960804

325678084367895355773489948375225355783245

77892345

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数字，则得到

的第5个样本编号为（）

A.578B.324C.535D.522

解析从第6行的第6个数开始的三位数分别为

808,436,789,535,577,348,994,837,522,・・・,符合条件的编号分另U为

436,535,577,348,522,…，第5个样本编号为522。

答案D

2.（2020,成都诊断性检测谋校随机抽取100名同学进行“垃

圾分类”的问卷测试，测试结果显示这100名同学的得分都在

[50/00]内,按得分分成5组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100],得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得

分的中位数为（）

0.015

0.010

0.005

5060708090100得分

A.72.5B.75

C.77.5D.80

解析频率分布直方图中左边第一个小长方形的面积为

0.010X10=0.1,左边第二个小长方形的面积为0.030X10=0.3o

设这100名同学的得分的中位数为x,则0-70）X0.040=0.5—0.3

-0.1,所以x=72.5。

答案A

3.（2020•合肥市教学质量检测）“一带一路”是“丝绸之路经

济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与

沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包

容的命运共同体。自2013年以来，“一带一路”建设成果显著。

如图是2013—2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况

统计图，下列描述错误的是（）

A.这五年，2013年出口额最少

B.这五年，出口总额比进口总额多

C.这五年，出口增速前四年逐年下降

D.这五年，2017年进口增速最快

解析由题图可知，这五年，2013年出口额最少，出口总额

比进口总额多，2017年进口增速最快，故A,B?D正确；而这

五年，出口增速2013年到2014年是递增的，故C错误。故选C。

答案C

4.设。为正方形A8CQ的中心，在O,A,B,C,。中任

取3点，则取到的3点共线的概率为()

解析根据题意作出图形，如图所示，在0,A,B,C,D

中任取3点，有10种可能情况，分别为(。45),(。40,(OAD),

(OBO,(OBD),(OCO),(ABQ,(ABD),(ACD)f(BCD),其中

取至U的3点共线有(OA。和(08D)这2种可能情况，所以在O,A,

21

B,C,D中任取3点，则取至I的3点共线的概率为正=5。故选

Ao

答案A

5.(2020.沈阳市质量监测)沈阳市为推进垃圾分类工作的实

施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动。现对沈阳市甲、乙

两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每

户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图：

甲乙

954

8153

31636

7776631712455578889

6642081456

30934

通过茎叶图比较甲、乙两个小区成绩的平均数及方差大小

()

A.九甲vx乙,s%<siB.x甲〉％乙,端vs%

C.x甲vx乙,s^>slD.x甲,x乙,昂>比

解析由茎叶图知，乙小区成绩低的户数少于甲小区，且成

绩大多高于甲小区，所以乙小区成绩的平均数大于甲小区。因为

乙小区成绩分布比较均匀，所以乙小区成绩的方差比甲小区小。

故选C。

答案c

6.已知a£{—2,0」,2,3},一{3,5},则函数/(%)=(/—2)e'

+〃为减函数的概率是()

3门3

A-ToB-5

C.ID.|

解析函数/(x)=(〃2—2)e，+Z?为减函数，则。2—2v0,

<a<y/29且与b无关。又{一2。1,2,3},故只有。=0,a=\

满足题意，所以函数/(x)=(〃-2)8+匕为减函数的概率是|。故

选C。

答案C

7.意大利数学家斐波那契的《算盘书》中记载了一个有趣的

问题：已知一对兔子每个月全生一对兔子，而一对兔子出生后在

第三个月就开始生小兔子。假如没有发生死亡现象，那么兔子对

数依次为1』,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，这就是著名的斐波那

契数列，它的递推公式是an=an-[+an-2(n^39n^N*),其中a\

=1,念=1。若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这

个数是偶数的概率为()

133

A-3Too

_67_

D,W0

解析由题意知，斐波那契数列从第1项起每3项有1个偶

数，且偶数是3项中的最后一项，所以前100项中有33个偶数,

33

所以所求概率P=血。故选B。

答案B

8.如图所示，在△ABC中，AB=AC=3,ZBAC=\20°9在

NR4C内作射线AM交BC于点M,则BMv小的概率为()

1

A

*4-

I

D.

2

解析由题易知N4BC=30。。当时，在△A8M中,

AM=yjAB2+BM2-2AB-BMcos30°="+3-2义3乂6乂坐=

30。1

小,即BM=AM,则ZBAM=30°,故小的概率尸=而不=於

141/I

故选A。

答案A

9.如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8,三角形内的

空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一

点，则该点落在阴影部分的概率为（）

上

3兀「।3兀

A・石B.1一记

一3兀-43兀

C・yD・1-§■

解析因为直角三角形的面积5A=1X6X8=24,又三个半

19兀9兀

径为3的扇形的面积为5X71X32=7,所以S阴影=24一丁，则该

点落在阴影部分的概率P=~^=1-TTo

SAlo

答案B

10.（2020.江西红色七校联考）下表是鞋子的长度与对应码数

的关系

长度/cm2424.52525.52626.5

码数383940414243

已知人的身高y（单位：cm）与脚长x（单位：cm）线性相关且回

归直线方程为$=7x—7.6。若某人的身高为173cm,据此模型，

估计其穿的鞋子的码数为（）

A.40B.41

C.42D.43

173+7.6

解析当y=173时，x=­亍二=25.8,对照表格可估计码

数为42o

答案C

二、填空题

11.为了了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美

国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m

的样本进行分析。若总体中的中国人有400人、美国人有300人、

英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，

则样本容量m=o

解析根据分层抽样的概念得到抽取的三个国家的人的比例

为4：3：3,设从中国人中抽取x人，则从美国人中抽取。-10)

Y4

人，从英国人中抽取。一10)人，根据比例得到士示=?即x=

40o则从中国人中抽取40人，从美国人中抽取30人，从英国人

中抽取30人，共100人。

答案100

12.某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]

内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

405060708090100成绩/分

解析由题意可得40X(0.015+0.030+0.025+0.005)X10=

30,则成绩不低于60分的人数为30。

答案30

13.某市去年外出务工返乡创业人员中有1000人收入(单位:

万元)在区间[1,41]内，从这1000人中随机抽取100人，得到这

100人年收入的频率分布直方图如图所示。这些数据区间是[1,5],

(5,9],…，(37,41]o调查发现这1000个返乡创业人员中有600

人接受了职业技术教育，其中340人的个人年收入超过17万元。

(1)根据题中数据完成下列2X2列联表;

已接受职业未接受职业

总计

技术教育技术教育

个人年收入超过17

340

万元

个人年收入不超过

17万元

总计6001000

⑵根据(1)中表格数据计算可知,.(填“有”或“没

有”)99%的把握认为该市返乡创业人员的收入与创业人员是否

接受职业技术教育有关。

n(ad—be?

附：心=,〃=a+O+c+d。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(烂2女0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析(1)根据题意，这1000名返乡创业人员中年收入超过

17万元的人数是1000X[1-(0.010+0.020+0.030+0.040)x4]=

600,其中已接受职业技术教育的人数是340,由此填写2X2列

联表如下:

已接受职业未接受职业

总计

技术教育技术教育

个人年收入

340260600

超过17万元

个人年收入

260140400

不超过17万元

总计6004001000

1OOPX(340X140-260X260)2

600X400X600X400

^6.944>6.635,所以有99%的把握认为该户返乡创业人员的收入

与创业人员是否接受职业技术教育有关。

答案（1）详见解析（2）有

B级素养落实

14.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，

赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称

“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三

角形再加上中间的一个小正方形组成的）。类比“赵爽弦图”，可

类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的

一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形。设=2AF=2,

若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概

率是（）

c今D.唠

解析在△48。中，AO=3,BD=1,Zy4DB=120°,由余

弦定理，得AB=币萨“炉工而筋嬴而二恒,所以%二

所以所求概率为铲叱=偌。=今。

y/13S^ABCIW13

答案A

15.某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质

量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量

（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。

根据该折线图，下列结论正确的是o（填序号）

①月接待游客量逐月增加；

②年接待游客量逐年增加；

③各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份；

④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性

更小，变化比较平稳。

解析①折线图整体体现了上升趋势，但存在2017年9月接

待游客量小于2017年8月接待游客量的情况，故并不是逐月增加,

因此①错误；②折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可

发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接待游客量逐年增

加，因此②正确；③根据折线图可发现，每年的7,8月份接待游

客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高峰期大致在

7,8月份，因此③正确；④根据折线图可知，每年1月至6月的极

差较小，同时折线波动幅度较小；7月至12月极差明显大于1月

至6月的极差，同时折线波动幅度较大，说明1月至6月变化比

较平稳，因此④正确。

答案②③④

大题增分专项概率与统计大题考向探究

命I题I分I析

卷全国卷3年高考

年份全国I卷全国II卷全国III卷

用样本估计总

样本频率的计算、用样本估计总

体、相关系数

2020平均值的计算和用体、独立性检

的计算、抽样

样本估计总体.27验，T18

方法・T18

用样本估计总频率分布直方

2019独立性检验•「7体、平均数与图、样本的平

标准差・口9均数・「7

频率分布表、频率

折线图、线性茎叶图的应用

分布直方图及用频

2018回归模型问及独立性检

率估计概率、平均

题・r8验工8

数的计算.「9

/命题规律

概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多以交汇性

的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图（频率分布直方图与茎

叶图）择一与概率、方差相交汇来考查；二是两图（频率分布直方

图与茎叶图）择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中

精析精研重点攻关

。考向探究Q

考向一用样本估计总体

［例I］由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线

下的销售受到影响，造成了一定的经济损失，现将A地区200家

实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示。

0.00G20

0.00015

0.00003

200040006000800010000

月经济损失/元

(1)求。的值；

(2)求A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数

以及中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)不经过计算，直接给出A地区200家实体店月经济损失的

平均数工与6000的大小关系。

解(1)依题意，(0.00015+0.00020+^+0.00003X2)X2

000=1,

解得4=0.00009o

(2)由题图可知，A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济

损失的众数为3000,

第一个小矩形的面积$=0.3,第二个小矩形的面积S2=0.4,

故所求中位数在［2000,4000)内，得所求中位数为2000+

0.5—0.3

0.00020=3000°

(3)7<6000o

解决样本估计总体问题的一般思路

(1)识图，即发现已知频率分布直方图或茎叶图中所包含的信

息U

(2)转化，即对题设中文字语言所包含的信息深入分析，并对

图中所包含的信息进行提取分析。

(3)计算，结合相关知识进行运算。

【变式训练1］对参加某次数学竞赛的1000名选手的初赛

成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图。

(1)根据直方图完成以下表格:

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90J00]

频数

(2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表)；

(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何

确定进入复赛选手的成绩？

解(1)填表如下：

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数50150350350100

(2)平均数为55X0.05+65X0.15+75X0.35+85X0.35+

95X0.1=78,方差？=(-23)2X0.05+(-13)2