概率论与数理统计课程教案

第一章随机事件与概率

课题：第1讲

一、教学目的：

1.使学生了解本门课程的基本内容、重要性与作用。了解研究生入学考试对木门课的要求。

2.理解随机试验、样本空间、随机事件等概念，掌握随机事件的关系与运算。

二、教学重点：

1.随机事件的概念

2.随机事件的关系和运算，通过举例让学生理解.

三、教学难点：

理解随机试验、样本空间、随机事件等概念，举例说明解决.

四、教具、教学素材准备：

黑板,＜＜概率统计引论》、＜＜概率论与数理统计教程＞＞,v〈概率论讲义＞＞。

五、教学方法：讲授法为主

六、教学时数:3学时

七、教学过程：

引入：（20分钟）

1.概率论的简单含义：

人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：

一类是必然的necessity,inevitability,如同性电荷互相排斥；纯水加热到100必然沸

腾等

一类是偶然的chanciness,casulness,chance,fortuity,randomly。如掷一枚硬币，

可能出现正面或反面两种结局，但究竟出现哪种结局事先无法确定。

概率一词的英文是probability,Probable意指可能，-ility意指程度（largeor

small?）o因此，probability可认为是“可能性的大小”，翻译成中文就是概率，但也有不

同时期或者不同的资料翻译成或然率或者几率的。而在不同的学科中乂有不同的称呼，如产品

合格率，犯罪率，出生率，离婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等

等,

2.概率论的产生和发展

概率论产生于十七世纪，本来是随着保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请

求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两

个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了a（a＜m）

局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一

台机械加法计算机。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结

果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

随机试验（45分钟）

样本空间（15分钟）

随机事件（35分钟）

举例（20分钟）

八、课程小结（5分钟）

九、作业（5分钟）

十、教学后记：

讲义

随机试验

在进行个别试验或观察使其结果具有不确定性,但在大量的重复试验中其结果又具有统计

规律性的现象,称为随机现象为对随机现象加以研究所进行的观察或实验,称为试验.若一个

试验满足下列三个特点：

(1)在相同的条件下可以重复进行；

(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以知道试验的所有可能结果；

(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，则称这一试验为随机试验，记为E,

例如：例1.I：抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现的情况.

例1.2:掷一颗筛子,观察出现的点数.

例1.3:对某一目标发射一发炮弹,观察弹着点到目标的距离.

例1.4:记录电话交换台在上午9时到10时接到的电话呼唤次数.

例1.5:测试某种型号的灯泡的寿命.

寺寺.

样本空间

在一个试验中，不论可能的结果有多少个，总可以从中找出这样一组基本结果,满足：

(1)每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果；

(2)任何事件，都是由其中的一些基本结果所组成.

随机试验中的每一个基本结果称为样本点，记为3

随机试验E的全体样本点组成的集合称为试验E的样本空间，记为Q

随机事件

1.定义

在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果，称为随机事件,简称事件.随机事件可表述

为样本空间中样本点的某个集合，一般记为A,B,C……等等.

所谓事件A发生，是指在一次试验中，当且仅当A中包含的某个样本点出现.

在每次试验中•定发生的事件称为必然事件.样本空间。包含所有的样本点，每次试验它

必然发生，它就是一个必然事件.必然事件用。表示，它是样本空间。自身的一个子集.

在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，记为“，它是样本空间的一个空子集.

2.随机事件之间的关系及运算

事件是一个集合，因此事件之间的关系及其运算可用集合之间的关系

及运算来处理.卜面我们讨论事件之间的关系及运算

⑴事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件3发生，即A中的样本点一定属于B,则

称事件A包含于B,记为AUB.

若Au3,且3uA,则称事件A与事件B是相等的，记为A=B

⑵事件的和，积，差

事件A与事件B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和，记为.事件的和

也称为事件的并.事件A与B的和是由A与B的样本点合并而成的事件.

00

类似的，可列个事件4A，&A，飞A,的和可记为Ua曰,或n个事件

A，4,4,…A〃的和可记为t4

事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积，记为，也可简写为.

事件的积也称为事件的交.事件A与B的积是由A与B的公共的样本点所构成的事件.

8

类似的，可列个事件A，&，4,…的积可记为/=1,n个事件4，4,4，…4的积可记为

AA

I=I

事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与B的差，记为.事件A与B的差是由

属于A而不属于B的样本点所构成的事件.

⑶事件的互不相容(互斥)

若AcB=°,则称事件人与事件B是互不相容的，或称A与B是互斥

的,A与B互不相容，是指事件A与事件B不能同时发生，例如，基本事件是

两两互不相容的.

⑷对立事件

若，且，则称事件A与事件B互为对立事件，或称A与B互为逆事

件,A与B对立，是指事件A与事件B既不能同时发生又不能同时不发生，即

在每次试验中,A与B有且仅有一个发生.A的对立事件记为.显然，

由定义可知，对立事件必为互不相容，反之，互不相容的两个事件未必我对立事件.

以上事件之间的关系及运算可以用文氏图来直观地表示。

3.事件的运算律

设A为事件，则有

交换律：A<JB=B\JA；Ac\B=BcyA

结合律.=AC(BCC)=(ACB)CC

.炉粒AU(BCC)=(AUB)C(AUC)Ac(8uC)=(AcB)u(BcC)

T7THU•；

德摩根(DeMorgan)律：儿8=^耳八。8=利豆

课程小结：

第一部分建立概率论的基本的各个术语和概念，常用的公式和基本的定理，这样后继课

程就可以继续在专业领域中使用这些基础知识。

第二部分为数理统计，即研究怎样从大量的随机的看似杂乱无章的数字中获得统计结果

的技术。但由于课时有限，不能讲解。

作业:习题1.1：1,2

课题：第2讲

一、教学目的：

1.掌握频率的基本性质；

2.概率的统计定义概率的公理化定义

£,（AU&U…U4）=4（A）十力（&）十…十人（4）,

二.概率的统计定义

定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件发生的频率随着试验次数n的增大

而稳定地在某个常数（附近摆动，则称为事件的概率，记为.

三.概率的公理化定义

任何一个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的适用性.概率的频

率解释为概率提供了经验基础，但是不能作为一个严格的数学定义，从概率论有关问题的研

究算起，经过近三个世纪的漫长探索历程，人们才真正完整地解决了概率的严格数学定

义.1933年，前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫，在他的“概率论的基木概念”一书中给出了

现在已被广泛接受的概率公理化体系，第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.

定义3设E是随机试验，§是它的样本空间，对于后的每一个事件A赋于一个实数，记

为P（A）,若P（A）满足下列三个条件：

1.非负性：对每一个事件，有；

2.完备性：；

3.可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有

?（）

^（UIA）=XA-

则称尸（④为事件A的概率.

四.概率的性质

性质1一性质

例题选讲：

频率及其性质

例1（讲义例1）圆周率是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第一

次把它计算到小数点后七位，这个记录保持了1000多年！以后有人不断把它算得更精

确.1873年，英国学者沈克士公布了一个的数值，它的数目在小数点后一共有707位之多！

但几十年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了的608位小数，得到了下表：

数字0123456789

出现次数60626768645662445867

你能说出他产生怀疑的理由吗？

因为是一个无限不循环小数：所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出

现的频率应都接近于0.1,但.7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.

概率的统计定义

例2（讲义例2）检查某工厂一批产品的质量，从中分别抽取10件、20件、50件、100

件、150件、200件、300件检查，检查结果及次品频列入表厂21

抽取产品总件数102050100150200300

次品数〃013571116

次品频率〃/〃00.0500.0600.0500.0470.0550.053

由表1看出，在抽出的n件产品中，次品数随着n的不同而取不同值，从而次品频率

仅在0.05附近有微小变化.所以0.05是次品频率的稳定值.

例3(讲义例3)从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中.现从该池中任意捉来

40条鱼，发现其中两条有记号，问池内大约有多少条鱼？

概率的性质

例4(讲义例4)已知尸(A)=°5P(AB)=0.2,P(B)=0.4求

(1)PM；(2)P(A-%(3)P(A"(4)P(AB)

例5(讲义例5)观察某地区未来5天的天气情况，记"为事件："有'天不下雨"，已

知尸⑷="(4),i=1,2,345.求下列各事件的概率：

(1)天均下雨；(2)至少一天不下雨；(2)至少一天不下雨；

例6某城市中发行2种报纸A,B.经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A报的有45%,订阅

B报的有35%同时订阅2种报纸A,B的有10%.求只订一种报纸的概率

讲解注意：

课堂练习

1设45=0,P(A)=0.6,P(AUB)=0.8求事件8的逆事件的概率.

2设P(A)=0.4,尸(4)=0.3,尸(A(JB)=O.6,求2力一⑶

3.设都出现的概率与A3都不出现的概率相等,且&4)=p,求P(8).

课迤：第3讲

一、教学目的：

1.使学生掌握古典概型、。

2.掌握几何概型。

二、教学重点：

1.计算古典概型的方法，通过举例让学生理解。

三、教学难点：

1.计算古典概型的方法，通过举例让学生理解.

四、教具、教学素材准备：

黑板，《概率统计引论＞＞、＜＜概率论与数理统计教程》，《概率论讲义＞＞。

五、教学方法：讲授法为主

六、教学时数：3学时

七、教学过程：

引入：(1()分钟)

一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1—10.把球搅匀，蒙上眼睛

从中任取一球.因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的，所以我们没有理由认为这

10个球中的某一个会比另一个更容易抽得，也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可能性

均为•

这样一类随机试验是一类最简单的概率模型，它曾经是概率论发展初期主要的研究对象.

一)、古典概型(45分钟)

二)、计算古典概型的方法(20分钟)

三)、几何概型(40分钟)

八、课程小结(5分钟)

九、作业(5分钟)

习题1.2:8,10。

十、教学后记：

讲义

一、古典概型

我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。

1.随机试验只有有限个可能的结果；

2.每一个结果发生的可能性大小相同.

因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象

旦在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为：

在古典概型的假设下，我们来推导事件概率的计算公式.设事件包含其样木空间中

个基本事件，即

A={q}U{q}U…U{qJ

则事件4发生的概率

»八p/l、—、kA包含的基本事件数

=二仪列］«）二厂s中基本事件的总数.

称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.这就把求古典概率的问题转化

为对基本事件的计数问题.

二、计算古典概率的方法

基本计数原理：

1.加法原理：设完成一件事芍种方式，其中第一种方式有种方法，第二种方式有种

方法，……，第种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的

方法总数为.

2.乘法原理：设完成一件事有个步骤，其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种

方法，……，第个步骤有种方法;完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事

的方法总数为.

3.排列组合力法

排列公式：（2）组合公式；（3）二项式公式.

三、几何概型

古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型.这里我们进一步研究样本空间

为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型一几何概型.

a）设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为“（S）；

b）向区域上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入内任何部分区

域的可能性只与区域的面积成比例，而与区域的位置和形状无关.向区域上随机投

掷一点，该点落在区域的的事件仍记为，则概率为，其中为常数，而，于是得

,从而事件的概率为

P（A）=M@

MS）几何概率（*）

注：若样本空间S为一线段或一空间立体，则向S“投点”的相应概率仍可用（*）式确定，

但应理解为长度或体积.

例1（讲义例1）一个袋子中装有10个大小相同的球，其中3个黑球,7个白球.求

从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；

从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.

例2（讲义例2）将标号为1,2,3,4的四个球随意地排成一行，求下列各事件的概率:

（1）各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的顺序；

（2）第1号球排在最右边或最左边；

（3）第1号球与第2号球相邻；

（4）第1号球排在第2号球的右边（不一定相邻）.

例3（讲义例3）将3个球随机放入4个杯子中，问杯子中球的个数最多为1,2,3的概

率各是多少？

例4（讲义例4）将15名新生（其中有3名优秀生）随机地分配到三个班级中，其中一班4

名，二班5名，三班6名，求：

每一个班级各分配到一名优秀生的概率；

3名优秀生被分配到一个班级的概率.

例5（讲义例5）在r2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又

不能被8整除的概率是多少？

例6一个袋子中装有个球，其中个黑球，个白球，随意的每次从中取出一个球

（不放回），求下列各事件的概率：

（1）第'次取到的是黑球；

（2）第'次才取到黑球；

（3）前i次中能取到黑球.

例7（讲义例6）某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正

点是报时一次，求他（她）等待时间短于10分钟的概率.

例8（讲义例7）（会面问题）甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等

候另一人20分钟，过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任怠时刻到达，试计算一人

能够会面的概率.

课堂练习

1.设有件产品，其中有件次品，现从中任取件，求其中有件次品的概率.

课题：第4讲

一、教学目的：

1.条件概率的定义。

2.乘法公式。

二、教学重点：

1.掌握条件概率的计算，乘法公式;，通过举例让学生理解。

三、教学难点：

1.计算条件概率，通过举例让学生理解。

四、教具、教学素材准备：

黑板，＜＜概率统计引论〉、”概率论与数理统计教程〉，＜〈概率论讲义〉。

五、教学方法：讲授法为主

六、教学时数：3学时

七、教学过程：

引入：（10分钟）

在实际问题中，常常需要计算在某个事件B已发生的条件下,，另一个事件发生的概率。在

概率论中，称此概率为事件已发生的条件下事件发生的条件概率，简称为对的条件

概率，记为o一般地，因为增加了“事件已发生”的条件，所以。

条件概率的定义（45分钟）

举例（15分钟）

乘法公式（35分钟）

举例（30分钟）

八，课程小结（5分钟）

九、作业（5分钟）

习题1.3:37页4,8o习题1.4X8页4,6,8

十、教学后记：

讲义

性质：⑴=0；

⑵若，，…，是两两互不相容事件，则

…U4）=P（A）+P（4）…尸（4）；（有限可加性）

⑶设A,B是两个事件，若，则

P（3-A）=P（B）-P（A）P（3）NP（A）

（4）对于任一事件A,有

⑸对于任一事件A,有=1-

（6）对于任意两事件A、B,有

（加法公式）

上式可以推广为：

产（AU8UC）=P（A）+P（B）+P（C）—P（AB）—P（BC）—P（GA）+P（ABC）

产（AU4U…UA）=鲁尸⑷_总尸（9）.焉/（MA）

i+（T）”（A4A）

条件概率

在实际问题中，常常需要计算在某个事件B已发生的条件下,，另一个事件发生的概率。

在概率论中，称此概率为事件已发生的条件下事件发生的条件概率，简称为对的条件

概率，记为。一般地，因为增加了“事件已发生”的条件，所以。

某工厂有职工500人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为40人与10人。现从中人

选一名职工，试问：该职工为技术优秀的概率是多少？已知选出的是女职工，她为技术优秀的

概率是多少？

解设表示选出的职工为技术优秀的事件，表示选出的是女职工的事件。

40+1011

P(A)=P(A|fi)=—

⑴500io⑵25025

显然，。这是因为限制在已发生的条件下求的概率的缘故。

另外，可由

推得一般情况下条件概率的定义.

设实验的基本事件总数为:事件所包含的基本事件数为，事件所包含的基本事

件数为，则有

由比可得条件概率的定义。

定义设为两个事件，且，则称为事件发生的条件下事件A发生的条件概率，记为

根据条件概率定义，不难验证它符合概率定义中的三个条件，即

若事件是两两互不相容的，则

P（0AI3）=巨aAI8）.

i=l/-I

条件概率既然是一个概率，对于事件A而言，它也就满足概率的一般性质。条件概率是

概率论中一个很重要、很基本的概念。必须很好地理解和掌握它。

条件概率也可利用“缩减样木空间”的方法来计算。如求，可把事件所包含的基本事

件作为样本空间，在这个“小”的样本空间中求事件发生的概率。

例某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的

这种动物活到25岁的概率。

解设表示这种动物活到20岁以上的事件，表示这种动物活到25岁以下的事件，则由题

设且

得…）二镭嗯喈二。・'

乘法定理

设有事件和，若,或，则由条件概率定义，得

P(A8)=P(A)P(B|A),或P(AB)=P(B)P(A\B).

一股地，设事件若，则有

P(AlA2...An)=P(Al)P(A21A)P(aIA4)……P(/I…A”7).

事实上，由

有P(At)>尸(A&)2P(AlA2A.)>.....>P(AlA2...An_l)>0,

故公式右边的每个条件概率都是有意义的，于是由条件概率定义可得

「(“(A?|A)P(&|A&)••…P(A,IAA--4-i)

P（AA）P（AAA）P（44....A“）

-r（/I.）-----t--2-------l--2--i-•---------------

p（A）P（A,A2）P（A-T）

课题：第6讲

一、教学目的：

1.掌握两个事件的独立性。

2.了解有限个事件的独立.性。

3.掌握相互独立性的性质。

4理解伯努利概型。

二、教学重点：

1.两个事件的独立性，相互独立性的性质。

2.伯努利概型，举例说明解决。

三、教学难点：

相互独立性的性质，举例说明解决.

四、教具、教学素材准备：

黑板,vv概率统计引论＞＞、《概率论与数理统计教程》,＜＜概率论讲义＞＞。

五、教学方法：讲授法为主

六、教学时数:3学时

七、教学过程：

引入：(10分钟)

两个事件的独立性(20分钟)

有限个事件的独立性(30分钟)

相互独立性的性质(30分钟)

例题(15分钟)

伯努利概型(20分钟)

例题(10分钟)

八、课程小结(5分钟)

九、作业(5分钟)

习题1.4:48页14,15

十、教学后记：

讲义

两个事件的独立性

定义若两事件只，台满足

P(AB}=

则称A8独立，或称A3相互独立.

注：当，时，，相互独立与，互不相容不能同时成立.但与既相互独立又互不相

容(自证).

定理1设，是两事件，且，若，相互独立，则.反之亦然.

定理2设事件A.8相互独立，则下列各对事件也相互独立：

A与豆，彳与8,彳与否.

有限个事件的独立性

定义设AaC为三个事件.若满足等式

P(A8)=P(A)P(5),

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C),

则称事件相互独立.

对〃个事件的独立性.可类似写出其定义:

定义设4，42,…，4是〃个事件，若其中任意两个事件之间均相互独立，则称

…，4两两独立.

相互独立性的性质

性质1若事件人，人,…,凡(〃之2)相互独立，则其中任意叔个事件也相互独立；

由独立性定义可直接推出.

性质2若〃个事件…4(〃之2)相互独立，则将4,4，…，4中任意

个密件换成它们的对立事件，所得的〃个事件仍相互独立；

对时，定理2已作证明，一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.

性质3设是个随机事件，则

A，&，…，,相互独立.4两两独立.

即相互独立性是比两两独立性更强的性质，

伯努利概型

设随机试验只有两种可能的结果：事件发生(记为)或事件不发生(记为),则称这

样的试验为伯努利(BermouHIi)试验.设

P(A)=p,P(X)=I-p,(0<p<l),

将伯努利试验独立地重复进行〃次，称这一串重复的独立试验为〃重伯努利试验，或简称

为伯努利概型.

注：〃重伯努利试验是一种很重要的数学模型，在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:

事件A在每次试验中发生的概率均为〃，且不受其他各次试验中A是否发生的影响.

定理3(伯努利定理)设在一次试验中，事件A发生的概率为则在〃重贝努里

试验中，事件A恰好发生Z次的概率为

P{X=k}=C：p1"p)…，伏=0.1,

推论设在一次试验中，事件A发生的概率为〃(°<〃<立则在〃重贝努里试验中，事件

A在第4次试验中的才首次发生的概率为

注意到“事件A第左次试验才首次发生”等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中“事

件A在前上一1次试验中均不发生而第火次试验中事件A发生”，再由伯努利定理即推得.

例题选讲：

两个事件的独立性

例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记人={抽到K},8={抽到的

牌是黑色的｝,问事件4、8是否独立？

注：从例1可见，判断事件的独立性，可利用定义或通过计算条件概率来判断.但在实际应

用中，常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

例2已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个球,今从甲、乙两袋中各取出一球,

设｛从甲袋中取出的是偶数号球｝,｛从乙袋中取出的是奇数号球｝,｛从两袋中取出的都是

偶数号球或都是奇数号球｝,试证两两独立但不相互独立.

课题：第6讲

一.教学目的：

L使学生掌握随机变量的定义，引入随机变量的意义.

2.理解随机变量的分布函数，分布函数的性质.

3.理解概率分布。

二、教学重点：

1.掌握随机变量的定义。

2.理解分布函数的性质及其求法。

举例说明解决.

三、教学难点：

1.分布函数的性质及其求法，举例说明解决.

四、教具、教学素材准备：

黑板,＜＜概率统计引论》、＜＜概率论与数理统计教程》,《概率论讲义

五、教学方法：讲授法为主

六、教学时数：3学时

七、教学过程：

引入：（20分钟）

在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验

的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验结果.因而被称为随机变量.与普通

的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但再以研完其取值的统计规律性.

本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.

随机变量（20分钟）

分布函数（35分钟）

概率分布（35分钟）

八、课程小结（10分钟）

九、作业（5分钟）

习题2.1:73页5,6,7

十、教学后记：

讲义

随机变量概念的引入

为全面研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，需将随机试验的结果数量化,

即把随机试验的结果与实数对应起来.

1.在有些随机试验中，试验的结果本身就由数量来表示.

2.在另一些随机试验中，试验结果看起来与数量无关，但可以指定一个数量来表示之.

随机变量的定义

定义设随机试验的样本空间为S,称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(e)为

随机变量.

随机变量与高等数学中函数的比较：

(1)它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取

哪个值；

(2)因试验结果的出现具有一定的概率，故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定

的概率.

引入随机变量的意义

随机变量的引入，使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.

由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机

事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数

学中常量与变量的关系.

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律

的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究，使人们可利用数学

分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.

随机变量因其取值方式不同.通常分为离散型和非离散型两类.而非非离散型随机变量中

最重要的是连续型随机变量.今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.

例1在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1元钱，出现反面时输1元

钱.则其样本空间为5=(正而，反面}，记赢钱数为随机变量X,则X作为样本空间S的实值

函数定义为

1,e=正面,

X(e)=4,

e=反面.

例2在将一枚硬币抛掷三次，观察正面”、反面了出现情况的试验中，其样本空间

S={HHH、HHT,HTH,THH,HTT、THT,TTH,77T};

记每次试验出现正面”的总次数为随机变量X,则X作为样本空间S上的函数定义为

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT

~3222iiio-

易见，使X取值为2({X=2})的样本点构成的子集为A=

故类似地，有

随机变量的分布函数

定义设X是一个随机变量，称

F[x)=P(X<x)(-oo<x<+oo)

为X的分布函数.有时记作X~FCr)或

分布函数的性质

1.单调非减.若，则；

2.

3.右连续性.即

课题：第8讲

一、教学目的:

1.使学生掌握离散型随机变量及其概率分布。

2.理解常用离散分布.

二、教学重点：

1.掌握离散型随机变量及其概率分布。

2.理解二项分布，通过举例说明解决.

三、教学难点：

1.二项分布的计算，证明并举例说明解决.

四、教具、教学素材准备：

黑板,〈V概率统计引论>>、《概率论与数理统计教程”,<<概率论讲义

五.教学方法：讲授法为主

六、教学时数:3学时

七、教学过程：

引入：要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须且只需知道X的所有可能取

值以及X取每一个可能值的概率每个随机变量都有自己的分布。今天介绍几种常用

分布。（5分钟）

离散型随机变量X（50分钟）

二项分布（25分钟）

泊松分布（45分钟）

其他常用分布（15分钟）

八、课程小结（5分钟）

九、作业

习题2.4:101页7,8

十、教学后记：

讲义

离散型随机变量及其概率分布

定义设离散型随机变量X的所有可能取值为凡（，=1,2,…），称

P{X=xJ=p"=12…

为X的概率分布或分布律，也称概率函数.

常用表格形式来表示X的概率分布：

P.PlPl…Pn

常用离散型随机变量的分布

0-1分布

若随机变量X的分布律为

P（x=k）=pkQ-p）"k,k=0,1,（0<p<1）,

则称X服从以p为参数的0-1分布。

0-1分布的分布律也可写成

X10

PP1-0

若某个随机试验的结果只有两个.如产品是否合格.试验是否成功.掷硬而是否出现正面

等，它们的样本空间为，则总能定义一个服从0-1分布的随机变量

V[1,当他发生时；

[0,当代发生时。

也就是说，它们都可以用(0-1)分布来描述，只不过对不同的问题参数P的值不同而已.

可见,0-1分布是经常遇到的一种分布。

二项分布

若随机变量X的取值为0,1,2,•一〃且

p(x=k)=C：p&qi,k=0,1,2,…,n

其中，则称X服从以为参数的二项分布或贝努利分布，

记为X

容易证明P(X=k)=C”4N0,且fP(x=幻=力C：pkqi=(p+qy=1.

A=0«=0

注意到正好是二项式的展开式的一般项，因此称该随机变量服从二项分布。

特别，当时二项分布为。这就是0-1分布，故当X服从0-1分布时，常记为。

易见在n重贝努力试验中事件A发生的次数X是服从而二项分布的随机变量。又由

P(X=k)_C：p*尸_〃!/L(〃-女)!•〃、">_(，Lk+l)p_(n+l)p-kp

P(X=k-l)~-〃!/(一一1)1(〃一女+1)!•尸J/"""^"k^~

(/i+l)〃一女(1-g)%+(〃+1)〃一&[(n+\)p-k

kqkpkq

知当时单调增加，时单调下降，因此可知当k在附近时达最大值，也就是说，在

n重贝努力试验中，事件A发生[(n+l)pl次的概率最大，通常称为n次独立重复试验中最可能

成功的次数.

泊松分布

若随机变量X所有可能取值为0,1,2，•:而

尸(*=幻=刀1,左=0,1,2，…，

k\

其中是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为。

易知，

力(X=«)f%J1八].

*=0A=0尤4=0K-

具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的。例如，在每个时段内电话交换台收到的

电话的呼唤次数、某商店在一天内的顾客数、在某时段内的某放射性物质发出的经过计数器的

(粒子数等。泊松分布也是一种常见的重要分布。

离散型随机变量及其概率分布

例1某篮球运动员投中篮圈的概率是09求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.

例2设随机变量X的概率分布为：

P[X=K}=a—,k=0,1,2,…，2>0

A!

试确定常数

二项分布

例3已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3

个中恰有2个次品的概率.

例4某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的

概率.

例5设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设

备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台;

其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发牛.故隙时不能及时维修的概率的大小.

几何分布

例6某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是〃，求所需射

击发数X的概率分布.

泊松分布

例7某一城市每天发生火灾的次数X服从参数之二°-8的泊松分布，求该城市一天内发

牛.3次或3次以上火灾的概率.

二项分布的泊松近似

例8某公司生产的一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为0.01.问现在这300件

产品经检验废品数大于5的概率是多少？

课题：第8讲

一、教学目的：

1.使学生掌握连续型随机变最及其概率分布.

2.理解常用续型分布.

二、教学重点：

1.掌握正态分布。

2.理解指数分布，均匀分饰。

举例说明解决.

三、教学难点：

1.正态分布，证明并举例说明解决.

四、教具、教学素材准备：

黑板,《概率统计引论》、＜＜概率论与数理统计教程》,＜＜概率论讲义

五、教学方法：讲授法为主

六、教学时数：3学时

七、教学过程：

引入：（5分钟）

许多随机变量的取值是不能一个一个地列举出来的且它们取某个值的概率可能是零。例如,

在刎试灯泡的寿命时，可认为寿命X的取值充满了区间，事件表示灯泡的寿命正好是，

在实际中，测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是xOo也就是说，事件

发生的频率在零附近波动，自然可认为。

由于有许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，故我们转而讨论

随机变量X的取值落在某一个区间里的概率，即取定，讨论。因为，所以对任何一个实

数x,只需知道，就可知X的取值落在任一区间里的概率了。为此，我们用来讨论随机变量

X的概率分布情况。

连续型随机变量及其概率密度（25分钟）

正态分布（45分钟）

指数分布，均匀分布（40分钟）

八、课程小结（5分钟）

九、作业（5分钟）

习题2.5:115页18,19

十、教学后记：

讲义

连续型随机变量及其概率密度

定义如果对随机变量X的分布函数〃（处,存在非负可积函数/（幻,使得对于任意实数工

有

r(x)=p{x<x}=£/m

则称X为连续型随机变量，称八幻为X的概率密度函数湎称为概率密度或密度函数.

关于概率密度的说明

1.对一个连续型随机变量，若已知其密度函数，则根据定义，可求得其分布函数，同时,

还可求得的取值落在任意区间上的概率：

P[a<X<b}=F（b）~F（a）=jf（x）dx

2.连续型随机变最取任一指定值的概率为（）.

3.若在点处连续，则

Ff(x)=f(x)

(1)

常用连续型分布

均匀分布

定义若连续型随机变量X的概率密度为

1

a<x<b

f{x}=\b-a

0.其它

则称X在区间（〃力）上服从均匀分布，记为X~U（a,b）.

指数分布

定义若随机变量X的概率密度为

&弋x>0,A>()

/(A)=

0,其它.

则称X服从参数为4的指数分布.简记为X~«%）•

正态分布

定义若随机变量X的概率密度为

](可

f(x)=e2<r：,-oo<x<oo.

其中和都是常数，则称服从参数为和的正态分布.记为

注：正态分布是概率论中最重要的连续型分布，在十九世纪前叶由高斯加以推广，故又常

称为高斯分布.

一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作

用（作用微小），则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如，产品的

质量指标，元件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差,

信号噪声、农作物的产量等等，都服从或近似服从正态分布.

标准正态分布

正态分布当〃二°，。=1时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常用以幻和

①⑴表示：

（、14

标准正态分布的重要性在于，任何•个•般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准

正态分布.

VA7Z2、y=^^~N（0J）.

定理设X~N（4，b）,则o

标准正态分布表的使用：

（1）表中给出了工＞°时①⑴的数值，当天＜°时，利用正杰分布的对称性，易见有

中（一4）=1一中（x）;

(2)若X〜MO」),则

P{〃<X工与=①S)—①(4)；

V2、y=^^~N(0,l),

(3)若'~"(〃,°),则b故x的分布函数

X-U

尸(x)=P{X<x]=P\——二4

(7

P[a<X<b}=pV^-<Y<

例题选讲:

连续型随机变量及其概率密度

例I设随机变量X的密度谑数为

—V1-x2,-1<x<1

f(x)=J兀

0,其它

求其分布函数FM

例2（讲义例1）设随机变景X具有概率密度

kx,0＜x＜3,

/（x）=«2--,3＜x＜4,

2

0,其它.

⑴确定常数伫（2）求邓勺分布函数F（x）;（3）求尸{I＜X＜7/2}.

课题：第10讲

一、教学目的：

1.熟悉指数分布，均匀分布。

2.掌握离散型随机变量的函数的分布。

二、教学重点：

1.离散型随机变量函数的分布。

举例说明解决。

三、教学难点：

1.指数分布的计算。

四、教具、教学素材准各：

黑板,＜＜概率统计引论＞＞、＜＜概率论与数理统计教程*v〈概率论讲义＞＞。

五、教学方法：讲授法为主

六、教学时数:3学时

七、教学过程：

引入：（5分钟）

指数分布（50分钟）

均匀分布（40分钟）

离散型随机变量函数的分布。（20分钟）

举例（20分钟）

八、课程小结（5分钟）

九、作业（5分钟）

习题2.6:123页2,3

十、教学后记：

讲义

一、指数分布

若随机变量X的密度函数为

,、x＞（）;

则称服从指数分布，记为，其中参数。

指数分布常被用作各种“寿命”分布，如电子元器件的寿命、动物的寿命、电

话的通话时间等都可假定服从指数分布。

二、均匀分布

若随机变量X的密度函数为

1,

-------,a<x<b\

p(x)=<b-a

0,其它.

则称X服从在区间(a,〃)上的均匀分布，记为X~口(出加。

2.6随机变量函数的分布

一、随机变量的函数

定义如果存在一个函数g(x),使得随机变量x,y满足：

Y=g(X)

则称随机变量y是随机变量x的函数.