高考专题复习平面向量-解析版

平面向量

1.1坐标运算

题干中给出向量的点坐标时，可以考虑直接运用坐标运算；题干中没给点坐标，但图形很特殊，例如正方

形、矩形、正三角形、等腰三角形、直角三角形、直角梯形和圆时，也可以考虑建系运用。

4=(玉，)'|)，匕=。2，/)

a+b=(x}+x2,yi±y2)

公式储备:

ab=xlx2^yiy2

若ab,则*iy2=WX或若ab>则a=.

若a_Lh,则a力=0.

LI坐标运算公式运用

例1.(2021全国三卷)已知向量

a=(3,1),b=(l,0).c=a+左机若a_Lc，则A=

10

【答案】

1()

【解析】C=(3+4,1)M-C=0,解得人=-1.

【变式14】(2021全国二卷14)已知向量

a=(l,3),b=(3,4),若(a-痛)_L方，则2=.

【答案】|

【解析】因为〃-动=(1,3)-2(3,4)=(1一343-42),所以由(4一加)_1_力可得,

3(1-32)+4(3-42)=0.解得；1=(.

【变式1・2］设向量〃=(2,1),“是与〃方向相反的单位向

量，则e的坐标为。

【答案】(-苧，-李)

【解析】设未知数求解即可。

【变式1・3】(2021全国新课标10题多选)已知。为坐标

原点，点C(cosa,sina),鸟(cos",一sinb)，A(cos(a+0,sin(a+0),人。,0),则()

A.网=网

B.同=网

C.OAOP3=OPtOP2

D.OAOP\=OP》OP、

【答案】AC

2

【解析1A：of>=(cosa.sin<z)，Og=(cos尸,一sin尸)，所以|OPX|=Vcos'a+sina=1,

IO鸟|=J(cos尸f+(—sin夕)2=1故|。41=|08|，正确：

B：=(cosa-l,sina)»AP2=(cos/?-1,-sin/?)•所以

2222

IAP}|=-J(cosa-1)+sina=vcosa-2costz+1+sina=

J2(l-cosa)=^4sin2y=2|sin^|

，同理|A昨J(cos夕-+sin?尸=21sin§|,故||不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOf}=lxcos(a+y?)+0xsin(a+/?)=cos(a+/?)»

OF[-OP,=cosa•cos/?+sina•(-sin/?)=cos(a+P)'正确;

D：由题意得：Ol\-lxcos<aiOxsintz-costif•OP,OPy-cos^xcos(<ai/?)i(sin尸)xsin(ai/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p)，故一般来说。4O[woq故错误；

故选：AC

例2.已知直角梯形ABC。中，AD//

BC,ZADC=^,AD=2,BC=\tP为腰CO上的动点，则12PA+3阂的最小值为.

【答案】7

【解析】尸（0，月,A（2,0）,6（l,〃），则以=（2,—y）,PB=（l,A—y）,所以2%+3/>8=（7,34一5力，

|2E4+3Pfi|=^72+（3/i-5y）2>7.即12PA+3叫「7

【变式2-1]在平面直角坐标系.iQy中，已知圆

22

C.x+y-6x+5=0t点A8在圆上，且八8=2>/5,则|。4+。网的取值范围是.

【答案】[4,8]

【解析】设A（X[,y）,巩%力），AB中点

x+42

^0=-4^-

2:.OA+OB=2OM

2

由圆C:f+y2-6x+5=0可得：(^-3)2+/=4

.­.C(3.0),C4=r=2

,M在以C为圆心，半径r=l的圆上

:.OM^OC-r=ZOM^OC+r=4

即2W|(W|W4

4<|OA+Ofl|<8

【变式2・2】如图，每个小正方形的边长都是1,

AD=AAB+pAC,则储〃的值为()

【答案】C.

【解析】建系计算即可.

【变式2-3】已知点4氏。在圆/+9=1上运动，且

AB1BC,若点P的坐标为(2,0),则依+?8+冈的最大值为()

A.6B.7

c.8D.9

【答案】B

【解析】由他_L8C可知4C为直径，则尸A+M=2PO,设双如治)，贝I

PA+PB+PC=2PO+PB=(x0-6,y0),又•-5在圆上，.•.呼+城=1,(-14%41)，所以

\PA+PB+P(^=37-12^<49.故|用+P3+PC|47

【变式2-4】已知单位向量。力满足“•〃=(),且

|c-a|+|c-2Z>|=>/5,则卜+24的取值范围是()

A.[1,3]B.[2夜,3]

C.吐,2&

D.

【答案】D

【解析】以a力为基底建立直角坐标系，可知a=(l,O),b=(O.I),设c=(x,y)

,一《+卜一况=J("lj+y2+商+(¥-2『=石

即C(x,y)到A(l,0),8(0,2)的距离和为B|人用=石

二.C在线段AB上，AB直线方程为2x+y-2=0

\c+2^=小+2p+y2,即线段AB匕动点C到定点D(-2,0)的距离

通过数形结合可得：卜+盟由=%“=号=4逐|c+24x=|闭=3

所以『+2］的取值范围是［竽

【变式2-5］(2018届成都零诊16)在平面直角坐标反万

中，已知点P在曲线“：丫=^^之0)上,曲线”与l轴相交于点B,与)轴相交于点0，点52,1)和

点£(L0)满足OD=2CE+/QP(九〃GR),则4+〃的最小值__________。

【答案】；

【解析】点P在曲线C上，设点P(2cosa,sina),a€0,^,曲线C与>轴相交于点B，则5(2.0),与丫

轴相交于点C，则。(0,1).故

.2sina-2cosa

A=----------------------

2cosa+sina.2sina-2cosa+3

OD=(2,1),CE=(1,-1)由题可解得4+4=------------------令

32cosa+sina

4=-------------

2cosa+sina

r,、2sina-2cosa+3、6-3cosa+6sina_..、”「八九］此、由、*小耳।1

/(«)=--------；-----,则/(/=不-------；———>0,「./(a)在0.-二单倜速增，最小值为二

2cosa+sina(zcosa+sina)*2J2

1.2线性运算

1、四心问题及重要结论:

重心：

外心:

内心:

垂心:

2、中点结论：（画图说明）

3、三点共线结论：（画图说明）

4、等和线结论：（画图说明）

1.2.1四心问题

例3.已知△A6C的重心为O,则向量80=（

A.—ABH—ACB.—AB+—AC

33

2|

C.一AB+-ACD.—ABd—AC

3333

【答案】C

【解析】设瓦尸分别是AC,AB,BC的中点，由广。是三角形ABC的重心，

所以8O=28E=2X(AE-A8)=2X15AC-A8)=-248+14C.

3331/J33

故选：C

【变式3/】在W中，。是三角形的外心，过点8作

BG_L4O于点G,AB=8,则AO/1G=（）

A.16B.8

C.24D.32

【答案】D

【解析】如图，

A

C

B

AOAG=AO(AB+BG)=AOAB+AOBG，因为BG_LAO,所以AOAG=AO-A3'又因为0是三角形的

外心，所以|Ab|cos/B4O=1|A%|，

2

-->->1T

所以A。•AG=月。-A8=—|ABF=-x64=32-

22

故选：D

【变式3・2】。是平面上一定点，A6,C是平面上不共线的

+而,〃e[0.xo),则P点的轨迹一定经过、ABC的(

三个点，动点P满足OP=OA+

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】

ABAC

因为同'网分别表示向量AB,AC方向上的单位向量,

AH的方向与的角平分线一致，又因为〃普+

所以N8ACOP=OA+,所以

A8

AB

OP-OA=AP

所以向量AP的方向与的C的角平分线一致，所以P点的轨迹一定经过内心.

故选:B.

【变式3+】已知点0、N、P在ABC所在平面内，且

I0AR。例=jOC|,NA+NB+NC3PAPB=PBPC=PCPA>则点。、N、P依次是、ABC的

()

A.重心、外心、垂心

B.重心、外心、内心

C,外心、重心、垂心

D.外心、重心、内心

【答案】C

【解析】

\OA\=\OB\^OC\，则点O到.ABC的：个顶点距离相等，

是二的夕卜心.

NA+NB+NC=。，:.NA+NB=-NC，

设线段A8的中点为M,则2NM=-NC，由此可知N为A6边上中线的三等分点（靠近中点M）,所以N

是二ABC的重心•

PAPB=PBPC，•.PH（PA-PC）=PBCA=O.

即P8_LC4，同理由尸PC=PCRA，可得PCIAB

所以P是二ABC的垂心.

故选：C.

【变式3・4】已知。是平面上的一定点，A,B,C是平面

上不共线的三个动点，若动点「满足0P=04+2（A3+4C），26（0,+00）,则点尸的轨迹一定通过

△ABC的（）

A.内心B.外心

C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】

由原等式，得OP;以A8+AC），即AP=〃A8+AC），

根据平行四边形法则，知AB+AC=24。（。为8c的中点），

所以点P的轨迹必过△A8C的重心.

故选：C.

【变式3-5】设。为所在平面上一点，动点户满足

°P=-9—+〃戛看―R+―^），其中A&C为4SC的三个内角，则点P的轨迹一定通过

41K的

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

【答案】A

【解析】取5cll।点为M.贝I］。8+OC=2OM.

原式可得°P=°M+〃师嬴+麻嬴）,即

储ABAC、BCABBCAC

MWPD=i一-+匚片一-）,等式左右两边同乘BC可得BCMP=2l（zj—j一-+7—j一-）x，又

ABcosBACcosC|4B|cos8AOcosC

BCAB=-\BC^Ali\cosB,HC-AC=\3C^AC\cosC

•BC(BP+CP)=0'

所以P轨迹一定过外心.

【变式3-6】已知。是平面上一定点，满足

ARAC

OP=OA+^———+———）,2e［0,-HX）,则尸的轨迹一定通过的_（外心、垂心、

|AB|cosB|AC|cosC

重心、内心）

【答案】垂心

【解析】

OP=OA+〃———+———),:,OP-OA=2(———+—^―)

|AB|cos6MClcosC\AB\cosB|AC|cosC

即AK际T际U'8s八网网，cose二耳画，

•.BC(———+———)=一忸］+忸。|=0,———+———)垂直，即

|A818sB|4C|cosC1111|4B|cos«|AC|cosC

APIBC^

•••点尸在8c的局线上，即尸的轨迹过AABC的垂心.

故答案为：垂心

【变式3-7】设。是平面上一个定点，k、B、C是平面

4c儡（440,«o））.则点P的轨迹为

上不共线的三个点，动点P满足。

【答案】/B4c的角平分线

【解析】

ACAB='（信［+尚P'AP=A（e+e，其中q,e?为与AC、A8同向

因为°°一"箴f=°A+'府［’所以“。一°、l2

的单位向量，因此弓+6与44c的角平分线方向向量同向，因为ApLjG+e2同向，所以点P的轨迹为

aAC的角平分线.

1.2.2中点与三点共线结论

例4.在MC中，4。为8C边上的中线，E为A。的中

点，若EB=mAB+nAC，则，■=(

1

A.3B,-3

【答案】C

【解析】

A

由4。为8c边上的中线，E为AO的中点，可得:

131

EB=EA+AB=--(AB+AC)+AB=^AB--AC

»所以巴=一3,

44n

故选：C.

【变式4-1】在./WC中，。是BC的中点，点E在边AC

上，且满足3A£=AC，BE交AD于点/，则BF=（）

3-1

A.—AB4—ACB.-AB--AC

4444

C.—48H—ACD.--AB-^-AC

3333

【答案】A

【解析】

由题设可得如下几何示意图,

设BF=2BE，AF=pAD''''BE=AE-AB=^--AB'

ABF=ABE=^-AA^VAD=AB+AC^，AF…AC),

322

rfa旬“3、4n2AC"(A8+AC)

®AB+BF=AF^i(1-2)A8+—^―=上~----，

•*-BF=-BE=—--AB

444

故选:A.

【变式《2］已知A、3、C三点共线（该直线不过原点

2|

0),且。4=+2nOC(m>0,n>0),则一+一的最小值为()

ntn

A.10B.9

C.8D.4

【答案】C

【解析】因为4、B、C三点共线(该直线不过原点O),且OA=〃Q8+2〃OC(m>0,〃>0)，所以

m+2/i=l

—+l=f—+l\/n+2n)=4+—+->4+274=8

mn\mn)mn

当且仅当例=㈣，即时等号成立.

mn24

故选：C

【变式4.3】已知点M是.ABC的边BC的中点，点E在

边AC上，且EC=2AE，则向量EW=（）

A.-AC+-AB

23

B.—AC4—AB

62

C.—ACH—AB

26

D.—ACH—AB

63

【答案】D

2

【解析】IIIEC=2AE>则EC=qAC

)IO[11

贝|JEM=EC+CM=^AC+-CB=-AC+-(AB-AC)=-AB+-AC

故选：B

【变式4・4］如图，在以BC中，点。满足8O=2OC，过

点。的直线分别交直线4B、AC于不同的两点M、N.T&AB=mAM»AC=nAN＞则的最小

值是（）

A

C.D.3+20

33

【答案】D

【解析】

i2

因为8O=2OC'所以4。=§48+'

因为A8=/〃AM，AC=nANf所以4O=1AM+g4N，

因为M、0、N三点共线，所以巴+2=1，〃?+2/7=3，

33

则_1+_1」1+4切+2〃）=4+&+竺〕$3+2、阵）=上地,

当且仅当2〃2=〃/时等号成立，

故■!■+」的最小值是3+2衣,

mn3

故选：D.

【变式小5】在ABC中，4）=2Q8，E是线段CD上除

2II

去端点外的一动点，设AS=a,AC=b,AE=-xa+yb,则一+一的最小值为___________.

3xy

【答案】4

【解析】

32

因为得：AB=^AD，所以4E=§xA8+yAC=xA£>+y4C，

又因为C,E,D三点共线，则x+y=l,x>Qy>0,所以

_!_+_!_=（_1+_1）（工+）,）=2+2+上22+2,印工=4,当且仅当2=2,即x=y=：时取等号，此时的最小

xyxyyx\yxy>x2

值为4.

故答案为：4.

【变式4-6］已知地8C上的高为2,“为6c

上一动点，满足A8sinB+ACsinC=A"，则AB+AC的最小值是

【答案】8

【解析】

因为A8sinB+4c与山。=4”，〃为BC上一动点，即从H,C三点共线，

山共点的三个向量，终点共线的充要条件得sinB+sinC=l-

ABC中，边BC上的高八。=2,如图:

2222

令A6=c,AC=b,则sin8=-,sinC=—,则一+丁=1,

cbcb

所以AB+AC=Z>+c=(Z>+c)-^—+^=4+—+-y-

当且仅当》=c时取"=",

所以当〃=c时，AB+AC取最小值8.

故答案为：8.

【变式小7】（2019届成都一诊16）已知G为./WC的重

心，过G点的直线与边4B,AC分别相交于点RQ0若4P=/UB，则当ABC与-MQ的面积之比为

w时，实数/.的值为___。

【答案】川成

【解析】由G为的重心可知AG=：48+g4C,又因为AP=/UB以及只G,Q三点共线可得

AG=-L^P+fl--!-U（2,即丝=__=上_。接着分析三角形的面积比值，由于

3AI3A）AC,।32-1

1--------

3义

S.APQ=S..+S,A西=2sM即+二「1S..3=qS八腕+三、J[S.二,由题可知&ABC与■的面积之

jA-IjjjA—1

...20„A1a93T3

比为—，所rri以—।-------=—,解伴a=一或一。

93332-12045

【变式4-8］（多选）如图直线/过/收的重心G（三条

中线的交点），与边AB、4C交于点P、Q,且AP=/UB，AQ=〃AC,直线/将SBC分成两部分,

分别为“闸和四边形PQC8,其对应的面积依次记为Sq”和右边物谈，则以下结论正确的是（）

C.多产的最大值为J

D.警丝丝的最大值为9

'△人加3

【答案】BC

【解析】

因为G是.4?。的重心，所以AG=gAB+：AC，

因为AP=/L4B,AQ=pAC9所以AG=[AP+；A。•

因为P、G、Q三点共线，所以‘-+'-=1，-+-=3,B正确,

323MA〃

因为&A“=；MBAC・$in4，=；,APAQsinA，

所以办SwSsS2-y=»,

因为；1>0,〃>0,所以g+后，即322后，当且仅当4=〃时取等号,

故加边形g=_!__[w2_]=W,C正丽，故选：BC.

SMPQ344

1.2.3等和线

例5.如图，在正六边形械DEF中，点P是CDE内

（包括边界）的一个动点，设人尸=/M8+〃AF（A〃eR）,则4+〃的取值范围是（)

A.[L2]B.[2,3]

C.[2,4]D.[3,4]

【答案】D.

【解析】画图，利用等和线结论即可。

【变式5/】（2017年全国三卷理科12）在矩形ABCD

中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=+,则2+4的最大

值为（）

A.3B.272

C.45D.2

【答案】A.

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.

设A(O」),B(O,O),C(ZO),D(Zl),P(x,力,

易得圆的半径「=专，即圆C的方程是(X—2)2+炉=1，

AP=(x,y-]),AB=(0,-1),AD=(2,0)，若满足AP=AAB+，

则5=2〃，〃/乂=]_),，所以％+〃J_y+1

ly-1=-222

设z=”y+l,即l-y+l-zuO,点P(x,y)在圆(x-2)?+,2=[上,

<2

所以圆心（2,0）到直线;—），+1-z=0的距离d£r，即§而，解得14zW3,

所以z的最大值是3,即义+〃的最大值是3,故选A.

【变式5-2］如图，在直角梯形ABC。中，

ADLAB,AB//DC,AD=DC=l,AB=2t动点P在以点C为圆心，且与直线80相切的圆上或圆内移动,

设AP=2A£)+〃4B(A〃GR),则A+“的取值范围是()

A.(1,2)B.(0.3)

【解析】画图，利用等和线结论即可。

【变式5-3］在三角形ABC中，AD=2DB,AE=2EC,P为

线段上的动点，AP=AAB+JUAC,^JUER»则人+4=()

2

A.।B.-

3

C.-D.2

【答案】B

【解析】

根据题意得点D为线段AB三等分点靠近B点的点，点E为线段AC三等分点靠近C点的点,

所以=AD+DP=AD+xDE=AD+A］AE-AD\

=xAE+[\-x)AD^

=|x4C+|(l-x)AB,

22222

所以〃=§x,4=§(l_.r),所以义+〃=§X+§0-％)=Q.

故选：B.

例6.在“48所在平面上的点。满足PC=xE4+yP8,且

2x+3y=5,请指出点。的位置.

【解析】令PC=5PD=(2x+3y)PD.则PD=--—PA+——PB.

2x+3y2x+3y

即.PO=2工PA+.3ypq其中pa=_LPA,PB[=-PB.

2x+3y2x+3y23

由=1得点4再。共缘即点。在直线A4上.

再由PC=5PD知点C在直线AB,上，其中P\=5PA，PB2=5%.如下图:

【变式6-1】如图,04,Q8是圆。上的三点,且线段CO的延

长线与线段BA的延长线交于圆。外的点D，若0C=mOA+nOB，则m+〃的取值范围是.

【答案】("，一1)

【解析】令OC・20。,则由点D在圆。夕卜，且在CO的延长上可知2<-1.

由比=尤加=mOA+nOB得°D=？04+V°B

AA

由民AO三点共线可得3+：=1=>w4-n=A<-l.

X4

【变式6.2】给定两个长度为1的平面向量。4和。6，

它们的夹角为120.如图所示，点C在以。为圆心的圆弧A6上变动•若OC=xQA+)08其中xyeH,则

x+).的最大值是.

【答案】2

【解析】画图，利用等和线结论即可。

【变式6-3】如图，四边形。钻。是边长为1的正方形,

OD=3,点P为BCD内(含边界)的动点，设OP=aOC"OD(a,BeR),则a+4的最大值等于

【答案】-

3

【解析】画图，利用等和线结论即可。

【变式6・4】在APA8所在平面上的点C满足

。。="<4+)中",且尤+,，=2,请指出点(^的位置.

【解析】令PC=2PD=(x+y)P/j〃lJPD=-^—PA+-^—PH.

x+yk+y

由—+上=1得点A仇。共线，即点。在直线上.

x+yx+y

再由PC=2PD知点C在直线A'B'上，其中RV=2必依'=2?8,如下图:

\

【变式6・5］若是边长为6的等边三角形，点C满足

PC=xPA+yPB，且2x+3y=4,其中.*>0,y>0,则|PC\的取值范围为_____.

【答案】［岑，I2)

［解析］令PC=4PD=(2x+3y)PD，则PD=--—PA+——PB.

2x+3y2x+3y

ep.PD=2xP\+3-VPB.，其中PA=-PA,PB,=-PB.

2x+3y2x+3y23

由丁=i知点。在线段A4上(不含点如下图：

2x+3y2x+3y

由于在APA4中,1班1=3,1|=2,幺尸4=60。,且点D在线段A4上（不含端点A，4），因此

IPH国叨|<|M|,其中PH是边44上的高.又由AB：=（PB「PA）2=PB：+PA2-2PB「PA=7可得

|人用|=".再由5”《=；1P4卜128/&11/42与=；|481|「〃|可得|「〃|=半.所

以.晔iqpO|<3.再由PC=4PD可知U^qPC|<12.

13数量积运算

1.数量积公式：ab=\a\\b\cos6

2.关于公式说几点：

①怎么理解向量夹角（画图说明）

②数量积的正负与夹角的锐钝有什么关系（用充分必要说明）

3.什么是向量的投影：（通过画图推导出投影公式）

a在b上的投影：

b在。上的投影：

4.投影有正负吗？（联想到直线截距有正负吗？）

5.极化恒等式（中线分解）（适用于起点相同，终点相对固定的两个向量的数量积）

ab=-[（a+b）2-（a-b）2]

4

1.3.1巧用投影

例7.已知向量外/>满足,卜训=2岛且小（。+加，则〃在〃方向上的投影为（）

A.3B.-3.

C..空I）.”

22

【答案】B.

【解析】考虑b在°上的投影为所以只需求;由aA.a+b可得:

W'

〃.([+〃)=a+a-h=0'所以a*=-90

【变式7/］若过点P（1J）的直线/与"?：9+y2=4相交

于A"两点，则04的取值范围是。

【答案】［TO］

【解析】本题中因为04,08位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B作直线

的垂线，

垂足为。，通过旋转4B可发现，当08_1_。4时，。4。3=0,A3位于其他位置时，。点始终位于04的

反向延长线上，OAOB=-\OA\\OD\,故。4。8<0,故（QVO8）=0,下面寻找最小值，即|£>。|的最

大值，可得当B在。4上的投影与C市合时，|力4|最大，即为|AC|,此时直线OP即为直线AB。所以

（CMOB）=-\OA\-\OE\=4Hoe1=-r1=-4,进而OAOB的范围是［-4,0］

答案：［-4,0］

【变式7・2】已知=且QAO"的夹角为

150,点C是从。的外接圆上优弧演上的一个动点，则Q4.0C的最大值是

【答案】*

【解析】当MC与04同向时，od在QA上的投影最大.•.（O4OC）、=国收4

在.A08中，|AZ；|2=\0A^+\OB^-2\O^\OB\cosAOB=7.-.|AB|=>/7

.2R=IM=，=2币即R="

sinAOB1

2

二国=|ON|+|N£>|=；10Al+R=；+/

••・3。%=1叫网［+"

【变式7-3］如图，在等腰直角ABC中，AC=BC=2*

点M,N分别是八比8。的中点，P点是.ABC内（包括边界）任一点，则4V.MP的取值范围是

pN

B

【答案】［-3,3］

【解析】因为P点为ABC内任•点,所以很难用定义表示出4V,MP,考虑利用投影定义。由,叫长为

定值，可得4V为卜必乘以MP在AV上的投影，所以只镭找到投影的范围即可。由点P的运动范围

可知，当点尸运动到与点B重合时，投影最大；当点P运动到与点A重合时,投影最小。

AN-MPMAX=ANMB=-(AC+AB)-AB=3,

22

7.ANMPMIN=ANMA=-(AC+AB)i--AB)=-3，

2'2

即可求得AN-MP的范围为［-3,3］

【变式7-4］如图，在ABC中，AB=BC=4,Z4BC=30

,4）是边BC上的高，则AOAC的值等于（

8

【解析】由图中垂直可得：AC在通上的投影为|AD|,所以3/右=卜41只需求出▲械的高即可。

由已知可得|4。|=|4用.5加48。=2,所以AD-AC=\AT^=4

【变式7-5］如图，。为4?C的外心

回=4,AC=2."AC为钝角，”是边8C的中点，则4W.A。的值为（)

B

M

B.5

C.61).7

【答案】B.

【解析】外心。在上的投影恰好为它们的中点，分别设为只Q，所以A0在ARAC上的投影为

网=；网,|匈=电小而M恰好为BC中点，故考虑4M=；（48+4C）,

所以AM-AO=^AB+AC\AO=^[ABAO-^ACAO）=；（*.+JAC『）=5.

【变式7・6】如图，菱形ABCD的边长为乙乙4=60也为

DC中点,若N为菱形内任意一点（含边界），则■•AN的最大值为（）

A.3B.26C.6D.9

【答案】D.

【解析】思路：在所给菱形中AM方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即乘以AN在4W

上的投影，所以AM的最大值只需要寻找4V在AM上的投影的最大值即可，而A点也确定，所以只

需在菱形内部和边界寻找在AM投影距离A最远的，结合图像可发现C的投影距离4最远，所以

（AM-AN）^=AMAC，再由4）,旗表示后进行数量积运算即可

（AA/-/W）=AMAC=[AD+DM]■\AD+Z>C）=（AD+；OC）（AO+OC）

，2I.23

=AD+-DC+-ADDC=9

22

【变式7-7】已知°为线段AB上一点，P为直线AB外一

PA.pcPB•PC

点，，为PC上一点，满足照一网=4,悭一/山何=同•且

aJACAPBIBA

DZ（2>0），则]可的值为（）

B.4

C.3D.5

【答案】C.

【解析】思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则

由倩=胃及所求常可想到投影与数量积的关系'即“在

\PA-PB\=\AI^=\OPAM

上的投影相等，即可得到PC平分4PB再分析

ACAPAC_AP

0)=>A/=A网+向‘q网+网为ACAP的单位向量，由平行四

边形性质可得和向量平分NE4C,而4与和向量共线，从而A/平分NMC,由此可得/为必尸8的内

BlBA

心，作出内切圆。所求■视为加在丽上的投影，即忸修，由内切圆性质影后

|P*|PE|

\AD\=\AF\,所以网网=(四+同)-(同+网)=小耳-网=4,且有1M+|四=|明=10,

］网=1阳

可解得早半

=\BF\=3

IM

132向量分解

例8.在直角梯形ABCQ中，AB//CD,』BAD=；,且

AB=AD=^CD=\,M是88的中点，且BN=2ND，则CM-4V的值为()

【解法一：建系】

以。为坐标原点，分别以为X轴，y轴建立平面直角坐标系，由题可知

D(0,0),C(2,0),A(0,l),A/(1,l),fl(l,1),设N(x,y),BN=2ND,:.(x-1,j-1)=2(-x,-y),解得，

3127

:.CMAN=

2336

【解法二；分解】

AN=AD+DN=ADA--DB=AD+-(DA+AB)2,八14c

由图可知，33=-AD+-AB；

113

CM=CD+DA+-AB=-2AB+DA+-AB=——AB-AD；

222

2132-21.->1

:.4N-CM=(—A。+-AB)(--AB-AD)=-ADAB一一AD——AB'一一ADAB

332333

217

=0——xl——xl—0=-—.

326

【变8・1】如图，在ABC中

ZMC=120,AB=NAC=l,。是边BC上一点，DC=2BD,则4Z8C=

【答案】-g

【解析】"O.BC=(AC一砌=

12I22R

-AC+-ABAC--AB'=--

3333

【变8.2】菱形ABC。的边长为2,ZBAD=120»点及厂

分别在BCCZ)上，且BE=2BC,DF=xDC,AE-AF=\,CECF=~,贝()

【答案】D.

【解析】AE=AB+BE=AB+ABC,AF=AD+DF=AD+pDC

CE=(\-X)CB,CF=(\-p)CD..AEA尸=(AB+43C)(AO+〃OC)

ABAD+ABCAD+juDCAB+ApBCDC=-2+4A+4p+2^

CE-CF=(l-A)(l-xz)CBCD=-2(Azz-(2+//)+l)

3f7

-?+4(2+//)+9.2ft=12(2+*)+初=—/+〃=—

二，/、3nl2=>\I?

-2(办-(4+〃)+1)=-万,_“+〃)={

【变8-3】如图，已知在，/WC中，

ADLAB,BC=>I3BD\A[^=\,则4cA£>=

A

"DC

【答案】G

[解析】ACAD=AD一(石一1)Aq•AO==&

1.3.3极化恒等式

例9.(2017•全国2)已知ABC是边长为2的等边三角

形，P为平面ABC内一点，则0A・(P8+PC)的最小值是()

【答案】B

【详解】

方法一：

取BC中点。,连接AD，记AD中点为H

PB+PC=2PD

:.PA(PB+PC)=2PAPD

=?(PW+HA)-(PH+HD)

=2(PH+HA)(PH-HA)

2223

=2(PH'-HA')>-2HA'=——

2

方法二：

建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则40,6)，伏TO)，。(1,0)，

设P(x,y)，贝lJA4=(_x,VJ_y)，PB={-\-x-y),PC=(l-x,-y)-

则PA»(PB+PC)=2x2-2岛+2y2=2[x2+(y

当％=0，”在时，取得最小值2x

，2

故选：B・

【变式9・1】（2021•陕西西安市•西北工业大学附属中学高

三其他模拟）正..ABC的边长为3,M是正ABC所在平面内一点，则MA（2MB+MC）最小值是

（）

A.-B.-2

4