河北8年中考真题高频考点23圆的解答题

河北中考圆的解答题

22.（2020•河北）如图13,点。为AB中点，分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD,以点O为圆心，分

别以04,。。为半径在C。上方作两个半圆，点?为小半圆上任一点（不与点A,8重合），连接。尸并延长

交大半圆于点E,连接AE,CP.

（1）①求证：AA0E2△POC；

②写出N1,/2和NC三者间的数量关系，并说明理由.

（2）若OC=2OA=2,当/C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOO（答案保留江）.

解：(1)①证明：・：OA=OR,OE=OC,NAOE=/POC,•・

②N1+NC=N2.理由：•:△AOEgAPOC,/.ZE=ZC.VZ1+ZE=Z2,AZ1+ZC=Z2.

(2)相切.

如图，•・•(:「与小半圆相切，・・・CP_LOP.

在放△OPC中，・・・。尸=1,OC=2f

1

：.cosZCOP=-,A.

2

.\ZDOE=120°.

120万x2241

4

25.（2019•河北）如图1和图2,UABCD中,AB=3,BC=15,tan/DAB=—.点P为AB延长线上一点，过点A

3

作。O切CP于点P,设BP=x.

⑴如图1,x为何值时，圆心O落在AP上?若此时。。交AD于点E,章谈指出PE与BC的位置关系；

（2）当x=4时，如图2,。0与AC交于点Q,求NCAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧PQ长度的大小；

⑶当。O与线毯AD只有一个公共点时，巨毯写出x的取值范围.

，AP为。O的直径,

.*.ZBEP=90°,

APElAD.

•・•四边形ABCD是平行四边形，

AZBPC=ZDAB,BC/7AD,

APEIBC.

•••作。0切CP于点P,

/.ZBPC=90°,

4

VtanZDAB=-,设BP=x,

3

4

PC=BP,tanZDAB=—x,

3

又・・・BC=15,

工蚌用?+炉=5?,

解得x=9,

即当x=9时，圆心O落在AP上.

此时PE±BC.

VtanZCBP=tanNDAB=-,BC=15,

3

，BM=9,CM=12,

AM=AB+BM=3+9=12=CM,

/.ZCAP=45°.

VAB=3,BP=4,

.\AP=AB+BP=3+4=7.

作垂直于AP的直径EF于点G,连接OP、FP,

F

7

则NFGP=90°,ZF=ZCAP=45°,AG=PG=-,

2

,7

AFG=PG=-,

2

7

..OG=OG-FG=OP-FG=OP--,

2

•••(0T)2+g)2=0p2

7

解得OP=K，

2

9077

・••劣弧PQ长度为——x2^--=-^-.

36024

・••弦AP大于劣弧PQ长度.

(3)当。O与线段AD只有一个公共点时:X^18.

25.(2018河北省，25,10)如图，点4在数轴上对应的数为26,一原点。为圆心，。4长为半径作优弧前，使点

B在。右卜方，且tanN4O8=±.在优弧部上任取一点P,且能过P作直线/〃。8交数釉与点。，设Q在数

3

轴上对•应的数为x,连接OP.

(1)若优弧卷上一段通的长为13”，求/40P的度数及x的直：

(2)求x的最小值，并指出此时直线/与前所在圆的位置关系；

(3)若线段PQ的长为125耳毯写出这时x的值.

第25题图备用图

TTOA

解：(1)设/AOP的度数为。.则口^=13)1.解得n=90.

180

：.OP±OA.1分

•:；・NPQO=NAOB.

・z/PO4

・t・an/PQ0=tanNA08=-----=—.

OQ3

39

VOP=26,：.0Q=——.

2

39

•••NAOP的度数为90°,x的值为一.2分

2

4

(2)如图(1),将/向左平移，当/与。。相切时，x取得最小值.由（1）可知tan/PQO=—.

3

4

sinZPQO=—.

5

VOP=26,

65

•.OQ=—.

2

・・・x的最小俏为一出，

2分

2

此时/与助所在圆相切.1分

第25题答图（1）第25题答图（2）

（3）如图（2）当点P在数轴上方时，过点。作0C1/,垂足为C.连接0P.

4

设QC的K度为Q,则PC=12.5+Q,OC=­a.

3

4

在RtaOPC中有（12.5+a）2+（-a）2=262.

3

解得久=9.9,。2=—18.9（舍）.1分

・55

AOQ=-a=-X9.9=16.5.

33

J此时x的值为一1651分

当点P在数轴的下方时，同理可得x的值为一31.5.1分

另外，当点。在点。右侧时，同理可得x的值为3151分

综上，x的值为-16.5或一31.5或31.5.

23.（2。17♦河北）如图，AB=\6,。为A8中点，点。在线段。3上（不与点。，B重合人将OC绕点。逆时

针旋转270。后得到扇形CO。，AP,BQ分别切优弧C。于点P,Q,且点尸，。在异侧，连接。尸.

⑴求证：AP=BQ；

⑵当80=时，求QO的长（结果保留;zj；

⑶若MPO的外心在扇形COD的内部.求O。的取值范围.

147r

【答案】⑴见解析；⑵——;（3）4<0C<8.

3

【解析】⑴连接。。，证明.见呢所在两个三角形全等j（2）在於ZSO。中，由OB,5。的长求出NB。。

的度教，得到处所对圆心角的度数，再根据弧长公式求解；（3）八4尸。的外心是。4的中点,

试题分析：

试题解析：⑴证明：连接

FP,5。分别与0。相切，.・。尸1.4巳0Q1BQ,即NP=/C=90°.

\'OA=OB,0P=00,：.RtA.4P0^BlAB00.：.AP=BO.

⑵・"/4小,0B=；AB=8,ZO=90°>：,^ABOQ=,：.ZB0Q=6G^.

\-（90=8Xcos6Oo=4,・•・他的长为曰上簿二d二。.

（3）设点以为R4P0的外心，则M为0A的中点，「OUM.

当点V在扇形的内部时，OSf<OC,.*.4<OC<8.

考点:

全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.

25.（2016河北，20,10分）

如图，半圆。的直径/1左4,以长为2的弦河为直径，向点。方向作半圆M,其中2点在/10（弧）上且不与力点重

合，但。点可与8点重合.

发现AP（弧）的长与Q4（弧）的长之和为定值/,求/；

思考点M与48的最大距离为,此时点尸，A间的距离为；点加与AB的最小距离为,此

时半圆M的弧与A8所围成的封闭图形面积为.

探究当半圆M与相切时，求AP（弧）的长.

（注：结果保留rr,cos35°=—,cca55°=—）

33

第25题图备用图

25.解：发现连结OP,OQ,则O尸=劣=?。=2.

J.Z.POQ=60。.凡的氏・60n22n

1803

，/=：4-包=也.............................2分

233

思考62电/...............................

6分

264

探究半圆”与48相切，分两种情况：

①如图I,半圆M与/O切丁点7■时，连结尸aMO,TM.

WiJMTLAO,OMLPQ.

在RlZiPOM中,sin乙POM=；,

:*ZPOM=3Q°.7分

2

在RtZiTW中,TO=d⑻7=&

:.cosZAOM=在，即ZAOM=35°.................................

8分

NPO4=35。-3O°=5°.

/.舒的长=要=弓...........................

9分

18018

②如图2,半圆M与80切丁点S时，连结0O.MO,SM.

由对称性，同理得的的氏=£.

由/=”,得介的长=?一=考

331818

除上，刀的氏为三或等.......

10分

1818

26.（2015•河北）（本小题满分14分）

平面上，矩形488与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长。4和QP交于点O,且N8OQ=60：,OQ=OD=3,

OP=2,。八=A8=1.让线段OD及矩形488位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋

转，设旋转角为a（为WaW60°）.

发现⑴当a=0°,即初始位置时，点P直线48上.（填“在”或“不在”）

求当a是多少时，0Q经过点8?

⑵在0Q旋转过程也尚要说明a是多少时，点P,A间的距离最小？并指出这个最小值:

⑶如图，当点P恰好落在BC边上时.求a及S阴影.

拓展如图.当线段0Q与C8边交于点与函边交于点/V时，设8M=x（x>0）,用含x的代数式表示8N的长，并

求x的取值范围.

探究当半圆K与矩形48C。的边相切时，求sina

【答案】发现：(1)在，15°；(2)当a=60°时，最小距离为1；(3)30°,%=叵+土

留影1624

拓展：X的范围是0<xS2&-l.

——

场行.iVf/*3-p.6>/21-P.yf3

探究：sina的值为-------或--------或——

1()1()2

⑶如图3,

连.0有。M+.WP

：.AP^OP-OA=1

.••当a=60°时R

.,.PA的最小值为1

设半圆K与？。交点为3连接MK，过点?作.哈于点厅，过点.?作R三LK。于点三

拓展

在由△。2£中，2早=13=1,(??=2,「./9。/=30°,

如图5,N04V

・・・a=60°-30°=30°.

=NMBN=

90°,NANO

由HD5。知，N&PQ=NPOH=8°

=NBNM,所

.'.ZR.W=2X30°=60°.

以△AONs4

BMN.

在攵中，RE=RKsin600=—,ANAO

4

BNBM

即

二与彭二令*

\-BN_I

BN一二

：,BN=-

x+1

如图4,当点。落在8c上时，x取最大值，作QFJ_4。于点F.

BQ=AF=ylOQ2-QF2-AO=yj32-f=

Ax的范围是0vxW2>/2-1.

【注：如果考生答“工工20-1或x<2应-1"均不扣分】

探究

半圆与矩形相切，分三种情况：

①如图5,半圆K与8c切于点了，设直线K7■与4。和0Q的初始位置所在直线分别交于5,。'，则NKS0=NK7B

=90°,作KG_L。。'于点G.

RSO5K中，OS=yl0K2-SK2=—图=2.

RtAOSO7中，S。'=。。'tan600=2aKQ1=2\f3--.

2

RtZXKG。'中，/0，=30°,KG=-KOr=>/3--,

24

百工4区3

Rt^OGK中,2受

OK5-10

2

«5

②半圆K与4。切于点了，如图6,同理可得

g（07一KT）

.KG

sma=-----

OK55

22

6忘-1

-

5"To

③当半员IK与co相切时，成Q与点D重合，且为切点.

.'.a=6D°,sine?=sin60°=—

2

综上述，si妆的值为巫色或或近.

10102

考点：圆，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，相似，三角形法则求最值

25.（2014•河北）（本小题满分11分）如图，优弧AB.所在。。的半径为2,AB=2石点p为优弧AB上一点（点

P不与A,B重合）将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A1

（1）点0到弦AB的距离是一▲；当BP经过点0时，NABA'=▲°：

（2）当B/V与QO相切时，如图所示，求折痕BP的长；

（3）若线段BA，与优弧AB只有一个公共点&设/ABP=a,确定a的取值范围.

图1图2

【答案】（1）1,60；（2）26；（3）0°＜。＜30°或60。工。＜120°.

【解析】

试题分析：（1）如答图，过点。作OH_LAB于点H,则

的半径为2,AB=2J5,.・.OA=2,=根据勾股定理，得。小1,即点。至I］弦AB的距离是1.

sinNABP==—

二•当BP经过点0时，OB2,.・.NABP=30°..••根据折叠的性质，NABA'=60°.

（2）过点0作OC±AB于点C,过点0作ODJ_PB于点D,连接0B,则根据折叠的性质，切线的性质,

垂径定理，锐角三角函数定义可求得BP=2后

（3）分点A在在<30内和点A在。。外两种情况讨论.

试题解析，（1）L60.

（2）如答图，过点。作OCJ_A3于点C,过点O作0D±?3于点D,连接03,

TBA.与.00相切，二NO3A、93.

OC1

smZOBC.——

在8△03C中，03=2,OCT,82/.ZOBC=：

ZABP=1ABA'=1IZOBA'+ZOBCI=60°

/.22./.ZQ3?=300.

'/OD1?3,.a.3?=2BD.BD=0Bcos30°=«BP=2g\

（3）•・•点P,A不重合，

由（1）得，当a噌大到30：时，点A在忧弧0上，

.•.当0°<a（30°时，点A在。0内，线段3A.与优弧馥只有一个公共点3

由（2）知，当a噌大到60：时，3A与⑥。•日切，即线段BA.与优弧&只有一个公共点3.

当a继续噌大时，点P逐渐靠近点？，1旦点？，3不重合，.・.NOBP<90°.

・.・a=N0BA+N0BP,NOBA=30°,…口<120°

.•.当6。。“&<120°时，点A在。0外，注段3A与优瓠薪只有一个公共点3

综上所述，a的取值范围是°。<&<30°或60。4a<120°

考点：1.折裳问题，2.锐角三角函数定义；3Q殊角的三角函数值；4.勾股定理；5.切线的性质；6.垂径定

理；7.直线与圆的位置关系；3.分类思想%应用.

24,(2013•河北)(本小题满分11分)

如图16,△048中，。4二。8=10,Z/AOB-80%以点。为圆心，6为半径的优弧MN分别交。4OB于点M,

(1)点P在右半弧上(N8OP是锐角)，将OP绕点。逆时针旋转8C。得OR

求证：AP=BP'；

(2)点了在左半弧上，若AT与弧相切，求点7•到04的距离；

(3)设点Q在优弧前/上，当△AOQ的面积最大时，直接写出/8。。的度数.

图16

解析：

(1)正明：如图2,VZA0P=ZA0B+ZB0P=80o+ZB0P.

----《NBOP'=NPOP'+ZB0P=80°+ZB0P

//W；・NAOP:/BOP,........................................................2分

又•••OA=OB,OP=OP'

.,.△A()P^ABOP,....................................................4分

JAP=BP'.....................................................................5分

图23

(2)解：连接0T,过T作TH_LOA于点H

•「AT与碗相切,AZATO=90°.............................................................6分

・•・AT=ylOA2-OT2=7102-62=8......................................................7分

-：-xOAxTH=-xATxOT^-x\OxTH=-xSx6

2222

24

・・.TH=一，即为所求的距离...................................9分