高等数学强化课笔记-武忠祥老师的强化班课程

21高等数学强化课・武忠祥老师的强化班课程笔记

•武忠祥老师的强化班课程

•函数极限连续

•函数

•基本要素：定义域，对应规则

•函数形态

•单调性判定

•定义

•导数，

①/(工)>0(<0)=>f(z)单调增(单调减)；

②f'Q)》0(40)0/(n)单调不减(单调不增).

•单调性应用

•根的个数

•证明不等式

力十席功上)，。

jj?:0.襁今护)>

•奇偶性判定

•定义

【注】(l)sinjr.tanx.arcsinx.arctanj.ln；,ln(x4/I+，).»/(x)—

/(—x)都是专品数;工’，IxI,cosx,/(x)+/(—x)都是偶，，效.

•可导

(3)连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数中有唯一一个是奇函数.

•原函数奇函数>导函数偶函数

•原函数偶函数》导函数奇函数

・连续

(1)若/(幻是奇函数，则」/(£)出是偶函数；

Jo

(2)若人外是偶函数，则'/(E)力是奇函数.

Jo

•周期性判定

•定义

•可导的周期函数其导函数是周期函数

•周期函数的原函数不一定为周期函数

•f(x)连续且以T为周期

F⑺是以T为周期的周期函数=0.

•周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0

二/；"扑)及

•有界性判定

•定义

若/,|/(公|《“,则称/包)在1上有界.

•闭区间连续

•开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在

fCr)在.(a,b)上连续，且f(a+)和八方)存在

•导数

：4)/(工)在区间/(有限)上有界=/(外在I上有界.

・极限

•数列极限

limx„=a：Ve>0,3N(e)>0,当时，有\xn—a\<e.

•极限值等于多少与数列前有限项无关

•与项数无关

limz”=a㈡limzzi=lim以=Q.

ao卜4-DO

•函数极限

•趋于无穷

lim/(z)=A：V£>0TX(£)>0,当|x|>X时，有|/(x)-A|<«.

【注】在函数极限中工一8是指|X|一+8,而在败列极限中.”—8是指“f+8.

•趋于有限值

（1）极限lim/⑴=4'九＞07制£）＞0,当0＜；工一4|＜8时,有|/包）一人l＜e.

•极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关

【注】的数/（外在点工0处的极限是否存在，如果存在极限值等于多少仅,5/（工）在打点

的去心邻珑内的西数值有关，而与人工》在4是否有定义,加果有定义的数值等于

多少无关.

•分左右极限求

•分段函数在分段处极限，两侧极限不一样

•特殊函数

（2）e°°型极限（如lime+jiml/imer）.

X—0H-OOX-^8

JJ

lime7=0,lime7=+8,则Hme；不存在；

一（T-o+L0

limer=0,limeT=+oo,则lime'不存在.

了―^-OOJf-^+oO1―＞8

「

e0°丰oote^'=+oc.-0.

•2

(3)arctanoo型极限(如limarctan—,limarctanx).

工—0Xx-♦©0

limarctan-=一1»limarctan-=则limarctan—不存在；

2-i2一“x2*-ox

limarctan工=--y,limarctanx--y,则limarctanx不存在.

■—O04•+oo4*9oo

arctanoo+,arctan(4-oo)=-y,arctanC-oo)7T

V

・性质

•局部有界性

遍煦fg林今投班曲解

物私蒜，衣始珠渺峭

粉「二期小去机1^依）名］

巴咐姆面八处喇.

•保号性注意等号

设lim/（x）=A,则

一。

（1）若4〉0（或八＜0）=＞三＜5＞0,当工6U（.xa,6）时JGr）＞0（或人6VO）.

（2）若触＞0,当工W加工。⑶时，/《工》》。（或人工）40）"*八》0（或八40）.

•无穷大

•常用无穷大比较指鬲对（大到小）

（1）当N—+8时,瓜2《〃《相（其中a>O,£>O,a>l）.

（2）当“f8时,]n”《/《/《”！《〃"（其中a>O.S>O,a>1）.

•无穷大与无界变量

・无穷大=>无界变量

无穷大量一定是无界变量;但无界变量不一定是无穷大量.

n•ii为奇数

u,田》是无界变量，但不是无穷大・

i0，〃为偶数

•与无穷小互为倒数

•求极限方法

•有理运算法则

若lim/Cz)=A,limg(x)=B,则

limff(z)±g(z)[=±limg(x)=A±B；

limf/(x)・g(x)]=lim/(x)•limg(x)=A•B；

lim』母=|吗~(BW0).

g(N)hmg(NR)B

推论：(D若limf(z)=AK0,则

Iim/(z)g(x)=Alimg(x)；

（即：极限非零的因子的极限可先求出来）一

⑵若.留存在，且hmgG"。,则⑺=。；

(3)若lim=AW0,且lim/(x)=。,则limg(i)=0.

【注】若lim/(x)存在Jimg(z)不存在，则lim[/(x)土g(z)j一定不存在；

若lirn/(x)和liing(x)都不存在•则lim[/(x)±^(x)]不一定存在.

•基本极限

hm迎三lirn(1+')=ej

hlim(1-f-x)*—

上♦0X\X/

lim------=Ina(a>0)；limy/n=1)

x*e0X

册n—m

bm'

lim0口"।-----Faiz+a。

-bk+6丁1工“I+…+"工+仇0,n<m

8，n>m

0,1X|<1

0,x<0

8,IX|>1

；lime"=v+0°»x>0.

1,X=1A00

1,%=0

、不存在»x=-1

•三价无穷小

•常用

(1)N〜sin工〜tanx〜arcsinx〜arctanx~ln(l4-r)〜e*-1,

优-1〜xlna.

x-ln(14-x)〜专，

事实上由〜〜—从而有

r-«inr*w—6•nrrtin($inr)—sinr=66•arcsinr-x**•

/；同理可由“一■《找得工一x〜

oUnx〜oarctanS

•积分情况

设f(工)和g(x)在工=0的某邻域内连续，且lim=1,则

…g\x)

/〃)&〜g(z)dr

00

•代换原则

•乘除直接换

1)乘、除关系可以换

若a〜tn,夕〜由，贝！］lim告=lim号=lim呆=lim

PPPiPi

•加减有条件减不为正1,加不为-1

(1)若a~ai,B〜，且lim詈—A卉1.则a—0〜ai—6\.

(2)若a~a\，B〜，且Hm誓=A工一1.则a+§〜s+尺.

Pi

•洛必达

若(1)lim/(x)=limg(x)=0(oo)；

(2)/(x)和gCr)在死的某去心邻域内可导，且/(工)WO；

(3)lim存在(或°°);

-Fg(工)

则lim/，个=lim

工一为g(土)lm°g(Rx)

【注】洛必达法则可用来求7种臭型不定式的极限，即,磴,8—8,0.8,广，8。，0。，

其中料两种w6接用洛必达法时,后五钟埼可化为前两种.

(「

0OOJ0•8U,8.

0‘8][QO

OO-OO

•泰勒公式

定理(带Pean。余项的泰勒公式)设人工)在工工工。处n阶可导，则

/(x)=/(Xo)+/(Z9)(X—J^)+^y^(x—Xo)1+-+^^(x—x,)*+o<(x—x»),)

特别是当4=0时，

/(x)=/(0)4-/(0)z+粤…+守…工・)

•常用

(l)eT=1+N+余+…+5+。(]”)・

2!n!

(2)sinx=x-yr+•••+(-1尸73^——+o(x2"-

3!-D!

(3)cosx=1—今+…+(一])"、[+o(x2").

L!\Ln)J

(4)ln(l+x)=z—5+…+(—l)i—+o(x").

乙n

・夹逼

1-2.±_：二+曾<1+2+...+n]v1+2+・・・+力

n2+n&1/+1十/+2十+M+八5

•积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间

【注】由定积分定义可川•若将区间[0.1]〃手分，第左个子X间上的&取该子区间;6

地点•此时Ar,l,，&="，则

nn

J：—网&c,=!*»(；)•7-哈却U)

•单调有界

•函数极限题型

・0/00比0型

型极限

常用的方法有三种

(1)洛必达法则；方

(2)等价无穷小代换；一

(3)泰勒公式.♦-

以上三种方法使用的同时要注意将原式化简，常用的方法*极限非零的因子圾及先求

出来、有理化及变量代换等...…..一—

【注】当工-*0时•，(1十工厂一1〜az,这个结论推广可捋，若a(x)-•O,a(x)^(x)-*•

0,时

(l+a(z))**H-1~a(x)/?(x)

由此可得(1+工厂-1~X*.

•拉格朗日中值定理

•加减X来凑常用等价无穷小

•无穷/无穷

•洛必达

•分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大

2.常用的一些无穷大的比较

(D当zf+8时.ln-x《/《a*(其中a>0,夕>0,«>1).

(2)当〃•*co时JnF《"《a・《n!《n”(其中a>0,^>0,a>1).

•无穷一无穷

(1)通分化为9(适用于分式差)；

(2)根式有理化(适用于根式差)；

(3)提无穷因子，然后等价代换或变量代换、泰勒公式.

•0•无穷

常用的方法是化为“「型或“”型

•1的无穷次方

(1)类基本极限lim.1+a(z)二六=e，其中lim<p(x)=0(.(R)#0);

(2)改写成指数=lim/nw,用洛必达法则；

(3)利用结论：若lima(x)=0Jimj8(x)=8,且lima(工磔工)=A,则

lim[14-a(x)]Mx)=J

以上三种方法往往第三种方法简单，将其归纳为三步曲

第一步：写标准型原式=|im(l+a»;

第二步：求机限lim^3—Ai

第三步：写结果原式=5.

•无穷的。次方，0的无穷次方

这两拜极案的函数一定是靠指函数，即lim[/《H)尸叫求解的方法是将其改写成指数

形式尸0—limE—,从而就化为“0・8”缰极R.

•数列极限

•不定式

•和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数

列极限写成函数极限，再使用洛必达极限

•n项和的数列极限

・夹逼定理

•定积分定义

•级数求和

【例I】求极限!皿事十出十•・•+$).

【解】由于由《($+$十…十』标』，

且四号二%』=1'则四「为+…

【例2】求极限则(事+$+..・+$).

n

【解】人—2-

'M+2?+…+

【注】(1)用定积分定义求极限的一种常用且有效的方法是先提“可爱因子”一•,然后

再分析被枳击数和枳分区间,一种常见的极限式

㈣寡庶)=。⑺%

(2)以上两个例题嘉是”友和的数列极限，但一个适合用央退原理,而另一个适合川定

积分定义.它们的本质区病在哪儿呢？它们分母中的第一项都是产，不障看的变化而邙匕,

称其为，而分号中的第二项是随项的变化而变化，称其2.［例I］中的

变化存分是由1变到“，*最大值”与“主体部分/相比较是次量蝮，即lim：=O；【例2】

n

中的变化部分是由1,变到"，其最大值/与其主体4分/相比较是同量级.印lim彳

»-^on

=1工0：［上的逑，上里化一分的♦大值Jg其主体。分相比电|决.o闻宾£・建：番

当变化部分的最大值与其主体/分相比较是同■名就用定积分定义

•常用结论

【例6】证明lim-；+Q；+…+a：=mjax{a},其中a->0(i=1，2.-,»m).

w-*uo1V，4・

【解】令max(aj=a,则

a=\/a^&J”；+*+…+a；&y/man—yfma

又limVrn=1,则由夹遍原理知

9t—8y

lim抽；+/H-------Fat—a=max{a,}

力-♦8

•n项连乘的数列极限

•夹逼

•取对数化为n项和

•递推关系

Ji—a，，”-/（］“）（〃=1.2,…）定义的数列

•数列存在单调性

•收敛（单调有界准则）＞令极限取A＞带回递推关系取极限得到A

方法I：先证数列（工，｝收敛（常用单洞有界准则）.然后令hm，=A,等式工加-/（X.）

两选取极限得A=f（A）,由此求得极果A.

•数列不具有单调性或者单调性很难判定

•先令极限为A,带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A

方法2：先令limz,=A.然后等E一7（i.j两墙取圾未解泮A,律。极下：

L8

果,最后再证明limz,=A.

ao

•单调性判定（直接，比值，函数）

（1）若工卡一二》o（4o）,则｛，｝单调增（单调减）；

⑵设｛4｝不变号,

①若二＞0,则当餐•21（41）时/占）单调增（单调减）；

②若二V0,则当—21（41）时，｛三｝单调减（单调增）；

二

（3）设数列（工力由工1==/（x.Xn=1,2,…），n”W/所确定，

①若/（力在/上单调增，则

当W与时，｛/.｝单调增；当Xi，Z2时，｛工.｝单调减；

②若八户在I上单调减，则｛九）不单调.

•无穷小量阶的匕徽

•洛必达

（1）洛必达法则（求导定小）.

若当工-0时/（工）是无穷小量，且,（工）是工的A（/》0）阶无穷小，则人工）是z-

0时的A+】阶无穷小量.

•等价无穷小

（2）等价无穷小代换.

若当工―0时/（x）是无穷小量,且/（x）-Ax'lAO.ft＞0）,ft/（x）是z-*0时

的k阶无穷小量.

如当x-*0.（1—cosx）sinx〜•1-x：•工，则当z-*0时.（1—cosx）sin工是工的3

，阶无穷小.

（利用若他得=1,则I'）⑺d/〜『，⑺市,其中网“幻=0）

•泰勒公式

•常用结论及举例

【解5】（结论：苫〃外在工=0的某邻域内连续,且当工-0时/（力是工的，”阶无穷小.

以外是工的n阶无穷小,则当工・0时FG0-「'/（八山是工的献m+1）阶无穷小〉

对于a=［严s=o,〃=1,则+1）=1；

fx：|

对于夕=tan〃ck,7n==2,则〃（m+1）=3；

Jo4

对于7=sin，d,m=3,〃=工，则〃（m+1）=2；

JoL

•连续

•连续

若lim/（z）=/Czo）（或lim&y=0）,则称f（工）在土处连续.

*一为2—0

左、右连续概念:若1加八外=/（“。）•则称/（外在死处左连续.

若lim/Q）=/（.□）,则称f（.r）在一丁「处右连续.

*-石

定理/（力连续Cf（外左连续且右连续.

•间断点

若/（X）在X。某去心邻色有定义，但住，处不连续•则称点工M为函数/（X）的间断点

2.间断点的分盘一—

我的根据左、右极限型否都"件把间断点分为以下的卷：

（1）第一类间断点:左、右极限均存在的间断点

可去间断点：左、右极限存在且相等的间断点，

跳跃间断点：左.右描限假在在但不相等的间断点.

（2）第二类间断点:左、右极限中至少有一个不存在的间断点

无穷间断点：左、右极来中至少行个为无穷•如I-。为/（"-+的无穷间断点，

次藩间断点：如丁=0为/<r）-sin:的振荡间断点.

•连续函数的性质

①有界性：若八外在上用上连续，则/（x）在［a,6］上有界•

②量值性：若/<x）在［“］上连续，则/（x）在［a,6］上必有最大值和最小值.

③介值性：若八外在I。.*］上连续，且/⑷X/⑹，则对/（a）与，⑹之间任一数C

至少存在一lye熊,&》，使得/“）-c.

推论：若八外在［。・“］上连续.则/（x）在［明必可取到介于最小值«与最大值M之间

的任何值.

（4）零点定理：若7（r）在［a同连续,且/（a）./⑹V0,则必存在f6（。曲,使/（$）=0.

•连续题型

•讨论连续性及间断点类型

•函数连续不代表可以取到整个实域的所有值

•如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排

除选项，如函数等于1，冈等

•间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷(正负)，0点

•介值定理，最值定理，零点定理证明

•一元函数微分

•导数微分

•导数定义

设函数y=八公在工。的某邻域内有定义，如果极限

lim"=］而/(工。+△」)­/(ZQ)

•等价形式

小)=lim,小)=］而八工。土人口5)

x-*x01-Ro**0n

•注意分段函数

定理可导Q左、右导数都存在且相等.

•微分定义

定义若43=八启+2)一八4)=八》+08工3其中人为不依处于&r的常数，

则称函数八工)在点工处可微，称A2为函数八户在点工。处相应于自变！ft增宏Ar的微分，

记为dy=AAr.

定理函数y=/(x)在点4处可微的充分必要条件是/(x＞在点工0处可导，且有

dy=f(工.＞2=/(xn)dx

•连续、可导、可微之间的关系

【拄】＜i＞连^t•可导，逢续—•可撤.经典反例为r(x)-Ixh

(2)/(x)可导一►/(x)连埃,/(工)可导T*/Gr)连续，/(幻可导T*lim/(x)存在.例

L、

/sinLn/0

如/(x)=工比处可导•但limf(n)不存在，从而/(力在工=0处也不逢埃.

*-0

0,x=0

•求导公式

⑴(C)'=0；(2)(x*)Z=ari.

(3)(1)'=aTlna；(4)(e，)'=er;

(5)(1。&])'=—：---；⑹(In|x|)z=—»

xlnax

⑺(sinx)z=cosx;(8)(cosxY=-sinxi

(9)(tanxY=sec2(10)(cotxY=—csc2xi

(11)(seex);=seorlanz;(12)(csc工〉'——escxcotx;

(13)(arcsinxY=(14)(arccosxY--------.1j

1

(15)(arctanxY=]+工2(16)(arccotxY=--、■.

•求导法则

•有理运算法则

设"=M(X)fV=V(X)在Z处可导,则

(1)(M±v)f=〃'±J；(2)(«y)=IIV+UX)'；

(3)与，=在泮(叱0).

•复合函数求导

设u=「(外在工处nJ导.y=/(«)在对应点处可导，则复合函数y=/(©(x)＞在•r•处

可导，且

半半•半r(«v(x)

drdr/dr

•隐函数求导

设是由方程nJ・y)・。所确定的可学函数•为求得，，可在方程FGr，W=0

两边对工求导•可得到一个含有V的方程,从中解出y即可.

，也可由多元函致微分法中的照函数求学公式有一一岁洱到.

•反函数求导

若n=MW在某区间内单调、可导•且W'(，)Ko•则箕反函数y-人力在对应区间内

也可导，且

，“)=为或器=古

d»

•参数方程求导

设1yLy(力是由参数方程rQVzV汾确定的函数.则

[y=

(1)若a⑴和3⑴都可导，且，⑺wo,则

d,_.

dx.⑺

(2)若6。和欧(D二阶可导，且甲'⑺R。，则

d，_&/"Q).1____J'(Og'C)]—

di?dzlg(/)J,(£)(p3(z)

•高阶导数

⑴定义—=hm—.牛一尸《。)…£二"付)一/-'5).

Ar-0△1l―工一工0

(2)常用公式

0(sinr)*"*=sin(r+ny)j②(cos=cos(x-bn-y)j

4L

■

③(U±/P-土龈；④(皿〉g=2C：U⑴u'i.

i-0

•对数求导法则

•多个因式的乘除、乘幕构成，或者幕指函数的形式，可以先取对数再求导

•题型：导数与微分的概念

•利用导数定义求极限

•利用导数定义求导数

•分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求

•利用导数定义判定可导性

【注】由本盟的分析过甚也得到一条常用的结论；没/<x>=夕工一.其夕(工>

在工=a处连续,则/《工)在工=a处可导的充安条件是w(a)=0.

【注】在本题息砒上对的故/(X)和|八工)|可导桂之间的关系归纳如下：

1.八工)可导空If(力I可导•反例分别是八幻・工和"力"I：'1[I

2.设/Xz)连续，

若/(死)/0,则/(x)在工。处可导在]。处可导，

若/(x0)=。，则/'(©>)=0Q|f(H)|在备处可导.

•导数几何意义

•导数与微分计算

•复合函数求导

•导数与奇偶性

【例1】设f(z)=In(x4-J\+♦),则//(0)=.

【解】应填6

因为/(X)为奇函数,，(N)为偶函数,/'(工)为奇函数，则r(0>=0.

•复合函数在一点的导数值

(2)ity=/(n),u=g(x),u«一晨工15)，如果8'(A)和/'(右)都存在，则丁―/(晨工))

在4处可导，且兴二=八为)-，如果Vg和.，(%)至少有一个不存在，好

y=/(g(r»4x)处并非一定不可导，此时，先求出复合函数y=f(gGr))的友达式，然

后再进一步考察y・/(g(z))在工。处的可导性.

•乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以

•高阶导数

•公式

•一阶二阶之后归纳

•泰勒公式和泰勒级数

①泰勒级数

/(x)=+/(j«)(x-Xo)/----卜工一见尸-!-o((x—*»),)

•导数应用

•微分中值定理

图2-4

•罗尔定理

罗尔定埋：设/（工）60，切上连续.在（。.6）内可寻.且八。）=八6），那么至少存在一个

$6（。,6）,使/（£）=0.

•拉格朗日定理…建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系

拉格的日定理：设义工）在［＞.£］上连续，在内可导，那么至少存在一个（a,6）.

便.=/（e）

b-a

•柯西定理

柯西定理：设义工）,式外在［a,盯上连续，在（a,b）内可导,且g'（幻二0,那么至少存在

一个"（3使簿篇=谓

•泰勒定理（拉格朗日余项）

设义工）在区间I上n+1阶可导，刈eI，那么Y工£］,至少存在一个《使得

/（j）=/（Xo）+/^（x,）（x—Xo）\x-X0）1+•••4-^\x-Jo）"+K.（i）

其中R.（--捍畏a-g）E，E在人与i之间.

•极值最值

•极值的必要条件

设》=/（x）在点名,处可导，且&为/（x）的极值点•则/（Xo）=c.

通常把导数为零的点称为函数的驻点.

•极值的充分条件

•第一充分条件1

设，（劭）=。（或/《外在”，处连续），且在右的某去心第域。（工0,冷内可*

（D若工e一阳工♦时,/（工）＞0,而工w（4+3）时/《力＜0,则/（x）在X.

处取得极大值；

（2）若工€（J«-a.x»）时，r（力V0•而z6Cr,，工。+8）时./（x）＞0•则/（x）在工.

处取得极小值；

（3）若工WU（,xt.3f时・/G）的符号保持不变,则/（x）在毛处没有极值.

•第二充分条件

若r（xo＞«=o,ru）*o.wf（a）在x（处取得极值，其中当r（6）＞o时极小，当

r（］。）V。时极大.

•第三充分条件

若/（Xo）=fg-…=r-nU）=O./'^Xo）丰0,则

当n为偶数时J（N）在斯处有极值•其中r'Gc）＞0时极小,广°（马）V。时极大；

当n为奇数时./G）在xo处无极值.

•凹向拐点

判定若在区间/上/'69＞0（＜0）,则曲线*=f（z）在I上是凹（凸）的.

定义如果连蟆曲线）-/（.r）在点（n,/（右））邻近两掷凹凸性相反，剜林点（，，

义工。））为曲线》=/（工）的拐点.

•判定

•必要条件

（1）必要条件设》=/（1）在点及处二阶可导•旦点Cr,JGO）为曲线y=〃力的拐点，

则fCto）=0.

•充分条件

（2）第一充分汆件设y=/（x）在点入的某去心邻域内二阶可导，且/*《工。）=。（或

八工）在々处连续）.

①若广（工）在工。的左、右两侧异号,则点（⑥•/（%））是曲线y=八工）的拐点；

②若/（X）在Q的左、右两侧同号,则点（“,，/"（马））不是曲线y-/（x）的拐点.

（3）第二充分条件设y=/（x）在点的处三阶可导，且＜（To）=0.

①若r（x0）#0,则点BJ（xo））是曲线y=/（X）的拐点；

②着r（xo）=o,则此方法不能判定（』，/（%））是否为曲线y-Ax）的拐点.

（4）第三充分条件若尸（工。）=尸（工。）=…=/1"工。）=o,但/,,（工）工0（”之

3）,则当n为奇数时.点（zoJGQ）是曲线y=/（x）的物点•当”为倒数时，点（工。JQ。））

不是曲线y=/＜x＞的拐点.

■渐近线

•水平渐近线

若limfCr）=A（或lim/Cr）=A,或lim/（x）=A）,那么y=A是T=/（z）的水平渐近线,

«-*00・一■8r・♦・

•垂直渐近线

若lim/Q）—8（或lim/Xz）=8,或］而f（x）=8）,那么工=彩是y-/（x）的垂直渐

一、L二T

•斜渐近线

若lim-a,lim（/（x）-ax）=6（或z8或工-*4-oo）,那么y=az+b是

r--XA—

-/（x）的斜渐近线.

•方程的根的存在性及个数

•方法

1.存在性

方法1;零点定理；

方法2：罗尔定理.

2.根的个数

方法1：单调性；

方法2：罗尔定理推论.

•注意把函数化到一边来求零点

•将含有参数的式子参数分离出来

•罗尔定理

若在区间/上尸，7)声0,则方程八为=0在，上最多〃个实根.

•证明函数不等式

•方式方法

•单调性

•最大最小值

•拉格朗日定理

拉格期日定理：设人力在[a,6]上连续,在Q.6)内可导,那么至少存在一个EE(a,6).

使”小)工/(€).

。-a

•泰勒公式

设;'(工)在区间I上n+1阶可导,工。G八那么VH£I,至少存在一个？使得

/(X)=/(Xo)+/(Xo)(X-Xo)+^y^(X-Xo)t+-+^^<X-Xo)'+J?.(J)

其中R.G)・异畀0一工,尸'£在"与工之间.

•凹凸性

•注意以及常用基本不等式

•不等式

:当z>0时，丁卓一Vln(l+i)Vz.

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