高考数学总复习专题6 直线与圆压轴小题（解析版）新课标试卷

专题6直线与圆压轴小题

一、单选题

1.(2021•江西南昌•高三开学考试.新课标试卷(理))已知函数=,若/(。)+/9)>0,若点(。力)

e

不可能在曲线C上，则曲线C的方程可以是()

A.(J-1)2+(J-1)2=2B.(X-1)2+/=2

C.x2+y2=2D.f+(y-l)2=2

【答案】C

【分析】

将函数变形/(X)="-/r在R上单调递清，并且关于点(1,0)对称，结合已知条件可知。+匕>2,说明曲线

。的图像恒在直线XI)Y2的区域，再判断直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】

函数/%)=《/=--/T,显然函数“X)在R上单调递增，

2x2<2x)2xx

又f(2-X)=e--e--=e--e=-f(x),即/(2-x)+/(x)=0

所以〃力关于点(1,0)成中心对称，且"1)=0

故/(〃)+/e)>0,则°+>>2,

点(4b)不可能在曲线C上，说明曲线C的图像恒在直线x+y42的区域，

对于A,表示圆心(1,1),半径「二夜的圆，圆心(U)在直线x+y=2上，即直线与圆相交，不符合题意；

对于B,表示圆心(1,0),半径,・=忘的圆，圆心到直线的距离4=专<四,即直线与圆相交，不符合题意；

对于C,表示圆心(0,0),半径r=夜的圆，圆心到直线的距离d=&=&,即直线与圆相切，并且圆的

图像恒在直线x+y=2下方，符合题意；

对于D,表示圆心(0,1),半径r=&的圆，圆心到宜线的距离〃=专<应，即直线与圆相交，不符合题意；

故选：C

【点睛】

关键点点暗：本题考查函数的单调性，对称性的应用，及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用函数的

对称性，推出。+6>2,说明曲线C的图像恒在直线x+y«2的区域，考查学生的逻辑推理能力，属于难题.

2.(2021•浙江省宁海中学模拟预测)已知平面非零向量a,Ac,d满足

{a,5}c{tt||tt-2l=ii-2},c€|v|(v-a)(v-5)=o|,则对于任意的d使得(2-2)/小-2)()

A.舸庐.小0恒有解B.(即1)0邓0恒有解

C.(口卜2)1.小0恒无解D.(同-3庐.小0恒无解

【答案】B

【分析】

设O£j=Z=(r,O),0t/=〃=(x,y),其中/•>(),记砺=£,0方=反反=G

则有《(x-rf+V=疗,即(1一r)/-2加+/+丁=。，然后分r=1,。<r<1,厂>1三种情况讨论，再根

据直线A8是过点。的直线与圆锥曲线E的两个不同的交点和点C在以A8为直径的圆M匕分析网”与

相应准线的位置关系，即可求解.

【详解】

解：设Oz5=2=(r,O),OU=w=(x,y),其中r>0,i[\OA=a,OB=b,OC=c

则有、&_r)2+)，2=疗,即。一r)f-2次+/+y2=。

若r=l,则点U的轨迹是抛物线，方程为E：y2=2x-\,点。恰为抛物线E的焦点，

则AB是过点D的直线与抛物线E的两个不同的交点，点C在以AB为直径的圆M上，

此时"ZNO.

若0<"1,则点U的轨迹是椭圆，方程为氏色琪-卜一子力、上=丁=],

点。为椭圆石的左焦点，y轴是椭圆的左准线，A3是过点。的直线与椭圆E的两个不同的交点，点C在以

A5为直径的圆“上，此时圆M与准线相离，故-Z>0.

若r>l,则点U的轨迹是双曲线，方程为E：IT[——二丫_厂二ly2=i，

r4I1-r2Jr4

点。为双曲线E的右焦点，y轴是双曲线的右准线，48是过点。的直线与双曲线E的两个不同的交点，点

。在以A8为宜径的圆M上，此时圆M与准线相交，故32可正，可负，可零.

所以，当Ovrvl时，恒有(即(34>0,故4错误;

当时,(|j|-2)(cJ)<0,与(国-3卜自小0均有解,故C,。错误；

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：利用坐标法，设罚=[=(/•,0),南=G=(x,y),其中r>0,记3s=£,而=反反=2则有

小工一力+产二次,即-2n+/+/=0,然后分〃=[,0<r<l,,>1三种情况讨论，将原问题

转化为判断圆M与准线的位置关系，从而解决问题.

3.(2021・重庆・西南大学附中高三月考)已知定义在R上的函数/(')满足如下条件：①函数〃刈的图象关于

轴对称；②对于任意xwR,fM=f(2-x).③当xe[O,l]时，/(x)=^x；④g(x)=/(4x).若过点(一1,0)

的直线/与函数g(1)的图象在xe[0,2]上恰有8个交点，则直线/斜率k的取值范围是()

A.(0,搞)B.C.(0,1)D.(o.

【答案】A

【分析】

结合①②可知/*)是周期为2的函数，再结合④可知g(x)是周期为g的函数，结合③作出g(x)在02]上的

图像，然后利用数形结合即可求解.

【详解】

因为函数f(x)的图象关于)，轴对称，所以为偶函数，即〃x)=〃-x),

又因为对于任意xsR，/(X)=/(2-X),所以/(x)=/(2-x)=/(—x),

从而J3=〃X+2),即/⑶是周期为2的函数，

因为g@)=f(4幻,则g(x)图像是/㈤的图像的横坐标缩短为原来的，得到，

4

故g(»也是偶函数，且周期为2x：=g,

当x时，易知g(%)=]即4宗)，则直线M4的斜率镰=孑一=-

4242，.(-1)11

4

过点(TO)的直线/与函数g。)的图象在xw[O,2]上恰有8个交点,

4,即直线/斜率2的取值范围是(。，号6)

则只靠OvZv^WA

故选：A.

4.(2021•全国•高三专题练习)设A(-2,0),3(2,0),。为坐标原点，点P满足|产厂+|尸8「W16,若直线

小/6=°上存在点Q使得/尸°。=奈则实数&的取值范围为()

A.[Y64匈B.-00,-4&卜14"+00)

y/5x/5

-00,一,+8

C.D.~T'~2

【答案】C

【分析】

由|/嘴+|尸8「$16可得|。”<2,由正弦定理得出|OQ|=2|OHsinNQPOK4,再根据原点到直线的距离小于

等于4即可求出2的范围.

【详解】

2222

设P(.r,y)，则|PA|+|P@2=(x+2)+y+(x-2)+/<16,

整理可得/+/44,故|0月42,

在“0。中，园二四，

sinZQPOsinZPQO

..\OP\sinZQPO..

则|0Q|=।J=2\OP\sinNQPO42x2x1=4,

设原点到直线的距离为d,则需满足d«4,

・•・d=Y=<4,解得小正或心立.

，公+122

故选：C.

【点睛】

本版多音食笠中咨数也出的求例，解腮的关M是得出|。。|-2|O/]sin/QPON4,利用原点到直线的距禽小

于等于4求解.

5.(2021・全国•高三专题练习)在平面直角坐标系屹)，中，给定两点MQ2),N(3,4),点尸在工轴的正半轴

上移动，当NM/W取最大值时，点P的横坐标为()

A.-B.-C.3D.—

233

【答窠】C

【分析】

由平面几何知识可知，当过M、N两点的圆与x轴相切时，切点即为所求点人再由切割线定理可求得点产

的横坐标.

【详解】

当过M、N两点的圆与不轴相切时，切点即为所求点尸.

易得过M、N两点的直线方程为y=x+l：其与x轴交点为A(T,O),易得|AM|=2&,|AN|=4>/L由切

割线定理得|AP|2=|AM|.|AN|=2&X4&=16,所以|AP|=4,进而可得P(3,O),点P的横坐标为3.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是确定点尸的位置.

6.(2021•安徽省怀宁中学高三月考(理))己知抛物线G：/=2p)，(p>0)的焦点到准线的距离为3，点

。(天,为)在抛物线G上，点A8在圆。2：/+,，2一4+3=0上，直线。AOB分别与圆G仅有1个交点，且

与抛物线G的另一个交点分别为P，Q,若直线PQ的倾斜角为120。，则/=()

A.土昱B.一石或@C.或也D.±6

333

【答案】C

【分析】

根据题意求得p=g,得到f=y,设过点。与圆。2相切直线的斜率为攵，得到切线方程匕-y+石-5=0,

利用忖*/=],结合韦达定理，求得4+内=2%5；2）,联立方程组[『'+%一"=°,取得

Vi+F毛-1l<=y

k=x+x^得到与=人一/,々二22一X0，

结合kpQ=$列出方程，即可求解.

【详解】

由抛物线Q:x2=2py（p>0）的焦点到准线的距离为3,可得"=；,

所以抛物线的方程为d=y,

又由G：/+y2—4y+3=0,可得圆心坐标为G（0,2）,半径r=l,

设过点。（加先）与圆c2相切的直线的斜定为k,

可得方程为即=即6一y+君一5=。，

则圆心到直线的距离为上竺二3=1,

整理得（4-1*+（4/-24》+片一4片+4=0,可得k}+k2=2%手：2）,

苍一

联立方程组已一>+飞一5一°，可得F-履-X：+5=0,

x=y

2

g|Jk（x-x0）=x-xlt所以2=x+/,

所以怎》=&i-%o,=k?一%,

因为直线PQ的倾斜角为120。，所以kpQ=Y

-r田/_XQ~XP_,_>_2/（片-2）_-2x_A

可用kpQ===%+%=k]+右—o2/=2j2/=-0-=—，3,

XQ—与"0—”p/—1#—1

解得飞=V5或/=.

故选：C.

*A

7.（2D21•云南师大附中高三月考（文））已知6,，是平面向量，，与方是单位向量，且万_LG,向量5

满足4斤-8-5+3=0，则|万-胸的最大值与最小值之和是（）

A.272B.2x/JC.4D.26

【答案】A

【分析】

将4户一路5+3=0变形为（潺—刃・（25-3菊=0,从而可得（5—£|_L（5-与设2=（1，0）,由向量减法及

数量积可知■的终点在以（1，。）为圆心，以3为半径的圆周上，结合圆的性质可得答案.

【详解】

由4b2-8e-^+3=0W（2b-e）•（2b-3e）=0,*,•^-1^1.

不妨设巨=（i,o）,则5的终点在以。，0）为圆心，以3为半径的圆周上.

因为2与万是单位向量，所以|1-刈的最大值是（0,1）与圆心距离加,

即a+最小值是（0，1）与圆心距离减即血-；，故和为2&-

故选：A.

8.(2021•云南•峨山彝族自治县第一中学高三月考(文))已知ABCC是矩形，且满足人8=3.8。=4其所在

平面内点M,N满足：3BM=MC,BN=2NC,则而.痴的取值范围是()

A.[y,y]B.殍40]C.[^4,44]D,[-10.40]

【答案】B

【分析】

建立平面直角坐标系，根据题意得到点M,N的轨迹方程，然后作出图形，进而结合数量积的定义和坐标运

算得到答案.

【详解】

如图所示，建立平面直角坐标系，则B(0,0),C(4,0),0(4,3),A(0,3)

设M(x,y),由38M=MC,所以3次”=而可万，化简得：

/\2

[+/=(,记为圆C1,

设N(ag),MBN=2NC,所以+/=而_4/+J,化简得：

(a*J+从吟，记为圆C2，即为卜*J+V*，

两圆圆心距为：IGGI=?+:=^，半径和为：/+与=1+?=§，

32623o

所以IGGI>{+&,则两圆相离，

如图所示,对圆G，令尸0,得：E(-2,0),产(1,0),

令圆G，令尸0,得：G停0),H(8,0),

所以宓=(|,o),晶=(10,0),乂启=(4,0)，

ff//5、20

结合平面向量数量积的定义可知，筋.痴的最小值为4>FG=(4,0)C，0J=T，

A£).MN的最大值为ADEH=(4,0)(10,0)=40.

故选：B.

9.(2021・全国•高三专题练习)己知动直线/与圆V+y2=4相交于人，B两点,且满足|A臼=2,点C为直

线/上一点，且满足CB=1CA,若M为线段A8的中点，。为坐标原点，则元.两的值为()

A.3B.273C.2D.-3

【答窠】A

【分析】

先利用圆的方程和弦长判定AQAB为等边三角形，设出符合条件的一条直线，再利用平面向量共线得到点的

坐标，再利用数量积的坐标运算进行求解.

【详解】

动直线/与圆0：/+丁=4相交于人，B两点,

且满足|AB|=2,则“MA为等边三角形，

所以不妨设动直线/为丁=任+2,

根据题意可得8(-2,0),A(-l,73),

设C(x,y),•・•瓦=|区

-27=|(_j)

-v=|(73-y)

故选：A.

10.(2021・全国•高三月考・)已知函数“X)是定义域为R的偶函数，/(x+l)=/(l-x),当0W1时，

/(X)=3-V1^7,则函数g“)=3-口与函数产”力交点的个数为()

A.6B.7C.12D.14

【答案】D

【分析】

由/(»奇偶性可知函数是偶函数，对称性可知〃力关于直线工=1对称，周期性可知/(X)的周期为2,于是

可以得出只需要知道x>0时〃X)和g(x)交点的个数便可，又根据直线和圆的关系判断出x>0时交点的个

数，便可求出在定义域为R上/(x)和ga)的交点个数.

【详解】

解：由题意得

•••/(力是偶函数，且当0W1时，/(X)=3-V17?

・••当TWxWO时，=/(x)=/(-x)=3-Vl-x2,整理得f+(y_3)2=l

又•・・〃x+l)=〃lr)

工/(力关于直线x=l对称，/(%)的周期为2

故当1<X<2时,〃x)=3-Jl-(x-2，,即(x・2『+(y-3)2=l,

在5<xW6时，/(X)=3-7H^-6/»BP(x-6)2+(y-3)2=l,

・・・/«)与g(x)均为偶函数

•••直线丁=3-^过点(6,2),且点(6,2)也在f(x)上，当以点(6,3)为圆心，1为半径的部分圆(x«5,6])与直

6

线y=or+3相切时，满足小照彳=1,解得〃=显然不符合题意)

・•・在/>0时，有7个交点

，共14个交点

故选：D.

11.(2021•陕西榆林市第十中学高三月考(理))已知加(3,4)是半径为1的动圆C上一点，尸为圆O：d+>2=1

上一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A,8,则当|A8|取最大值时，△RS的外接圆的方程为()

A.x2+y2-3x-4y-6=0B.x2+y2-3x-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y=0D.x2+y2-4x-3y=0

【答案】A

【分析】

由题设，确定c的轨迹方程，结合已知可得3〈|pq«7,再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到卜河关

于|PC|的关系式且△期“的外接圆以线段PC为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外

接圆的方程.

【详解】

由|阿=1,则动圆心。的轨迹方程为(X-3)2+(y—4)2=1.

产为圆O:/+y2=i上的动点，又|OM=5,

：.3<\PC]<7,

V|PC|-|AB|=2|AC|-|E4|,|AC|=1,|PC|2=|RA|2+|AC|2,

・,•当|PC|最小时,|明最小,当|PC|最大时，|岗最大.

当|Pq=|OM|+2=7时，|A四取最大值,△Q48的外接圆以线段PC为直径，而PC中点，即OM中点为《，2

・•・外接圆方程为。:-式+（一）2=手，即炉+y2-3x-4y-6=0.

12.（2021•山东青岛•高三开学考试-新课标试卷）将函数丁=而二7-2（xe［-3,3］）的图象绕点（-3,0）逆时针

旋转a（0WaW。），得到曲线C,对于每一个旋转角〃，曲线C都是一个函数的图象，则。最大时的正切值

为（）

32

A.—B.—C.ID.G

【答案】B

【分析】

先画出函数,，=而二7-234-3,3］）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点（-3,0）逆时针方向旋转角大

于NM43时、曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可.

【详解】

解：由尸5/13-寸一2（工€［-3,3］），得了2。，

f+（y+2）2=13,则函数的图像是以M（0,-2）为圆心的圆的一部分,

先画出函数）,=V13-X2一2（xe［-3,3］）的图象，

这是一个圆弧AB,圆心为MQ-2）,如图所示，

由图可知当此圆弧绕点（-3,0）逆时针方向旋转角大于NM48时，

曲线c都不是•个函数的图象，

即当圆心Af（0.-2）在X轴上时，

所以e最大值即为ZMAB,

22

tanNM45=（,所以。最大时的正切值为.

故选：B.

13.（2021•山东肥城•模拟预测）已知瓦'是圆C：/+y2-2x—4y+3=0的一条弦，且CE_LCF,尸是EF的

中点，当弦EF在圆。上运动时，直线/』7-3=0上存在两点A8,使得4尸825恒成立，则线段48长

度的最小值是（）

A.372+1B.4夜+2C.4石+1D.46+2

【答案】B

【分析】

根据已知条件先确定出点P的轨迹方程，然后将问题转化为“以AB为直径的圆要包括圆

2）2=1"，由此利用圆心C0,2）到直线/的距离结合点P的轨迹所表示圆的半径可求解出A8的

最小值.

【详解】

由题可知：OC;(人一1)2十(y一2)2=2,圆心。(1,2),半径r=&,

又CELCF,『是所的中点，所以CP=g痔=1,

所以点P的轨迹方程。-1)2+(5-2)2=1,圆心为点C(l,2),半径为R=l,

若直线/：N-3=0上存在两点AB，使得ZAPB2］恒成立,

则以AB为直径的圆要包括圆(x-1)?+(y-2)2=1,

点C(l,2)到直线/的距离为d二J/二=2&,

所以A5长度的最小值为2(d+l)=4a+2,

故选:B.

【点睛】

关键点点睛•：解答本题的关键在于点尸轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求

7T

点尸轨迹方程，其次“4”82万恒成立”转化为“以A8为直径的圆包括P的轨迹“，结合圆心到直线的距离

加上半径可分析AB的最小值.

］一切，|小一引《|凶一方|

14.(2021•北京•模拟预测)在平面直坐标系中，点爪不凹),6(巧,必)，定义d和

|凹一必|，归-引>|凹一必|

为点4,鸟之间的极距，己知点尸是直线1：2x+y-9=0上的动点，已知点Q是圆O:d+y2=5上的动点,

则P,。两点之间距离最小时，其极距为()

A.IB.苧C.D.>/5

【答案】C

【分析】

先分析出极距的含义，"牝就是直角三角形耳氏打中较小的直角边的大小.先用几何法求出尸。的最小值，再

求P，。两点之间的极距.

【详解】

如图示：在平面直角坐标系内，4(3,))6(9,月)，作出宜角三角形阜则

由极距的定义知，d牝就是直角三角形［R巴中较小的直角边的大小.

因为点P是直线/：2x+y-9=0上的动点，Q是圆O:V+y2=5上的动点，要使尸。最小,

|0+0-9|

则PQ=OP-有最小,此时PQ二O尸一石二代孚

二!在直角三角形尸R2中，孔

RPOB2

Q两点之间的极距即为RQ,

设RQ4，则RP=2九所以「+(2，『

44

解得：t=~,即RQ=—，所以P,Q两点之间的距离最小时的极距为工4

555

故选：c

【点睛】

(1)数学中的新定义题目解题策略：

①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.

(2)距离的最值的计算方法有两类：

①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.

15.(2021・全国•高三专题练习(理))已知曲线丁=炉在点(放)处的切线/与圆(1-/)2+()、+1)2=/(r>0)也

相切，当半径「最大时圆的方程是()

A.(x-l)2+(y+l)2=lB.(x-l)2+(y+l)2=2

C.V+(y+iy=lD.f+(y+l)2=2

【答案】D

【分析】

首先利用导数的儿何意义求得切线的方程，接着利用圆与直线相切得到「=*=,整理化简之后，利用

y/e2,+\

基本不等式求出，的最大值，进而求得，的值，最后写出圆的方程.

【详解】

因为)；=e'，所以y’=e，在处的取值为",

所以曲线丁="在点(，,♦)处的切线/的方程为：y-e^e\x-t),

即e'x-y-¥(\-t)e'=0,

因为切线与圆(不一炉+(y+1)2=/(，>。)也相切，

|k+l+(lT)e[_i+e'

所以

21

+1y/e+1

当且仅当f=o时，「有最大值夜,

此时圆的方程为：x24-（y+l）2=2,

故选：D

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的

考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数

求函数的单调区间，判断单调性；己知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的

优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.

16.（2021•浙江省杭州第二中学模拟预测）定义集合

C==｛（x，y）kcose+ysine=2,ec[0,2;r）｝,N=｛（乂）]国+»|式2｝,则下列判断正确

的是（）

A.MnN=0

B.Q](A/DN)=0

R+引+ysin(6+•

C.若UgwM,<:xcose+ysin9=2,l2:xcos=2,

h:xcos=2,则由4,LG围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一定

相等

D.满足P任M且PEN的点P构成区域的面积为4（%-1）

【答案】C

【分析】

首先确定集合"和N所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.

【详解】

对于集合M=｛（x,y）|xcos+jsin=2,e[0,2^）｝,

2

原点到直线xcos。+ysin6=2的距离为d=z,==2,

Vcos-O+sin-。

所以集合”表示圆f+y2=4上所有点的切线上的点，

对于集合％={（苍y）|W+|y|42},

当时,x+y«2表示图中三角形4。。区域;

当x«0,”0时,-x+y«2表示图中三角形AOB区域;

当“KO,yVO时,r-y42表示图中三角形BOC区域;

当时,W2表示图中三角形COD区域;

所以集合N={(xM|k|+3«2}表示图中ABCO区域,

对于A选项，由图可知McN={(x,)，)|(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)},不是空集，故A错;

对于B选项，^(MDN)表示图中圆内部挖去48co区域剩下的部分，不是空集，故B错;

对于C选项，/,：xcos6+ysin6=2表示在点(2cos0,2sin。)处的切线，

4：.“0$］。+•+何11(夕+与)=2表示在点(285(6+争,2411(。+争)处的切线，

/3：%85,4)+)"。-•=2表示在点(2cos(8-争,2sin(6-争)处的切线，三切点均在圆上，易知

三切点构成正三角形，由对称性可知C正确；

对于D选项，由B选项知，尸位”且?任可则尸点在圆内部挖去48C。区域剌下的区域内，面积为44-8,

故D错；

故选C.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系问题，在解题的过程中，要善于数形结合，代数几何化之后，可以辅助

我们解题，达到事半功倍的效果.

17.(2021,重庆八中模拟预测)已知直线/：1-)，+4=0与_¥轴相交于点4过直线/上的动点P作圆42+),2=4

的两条切线，切点分别为C,。两点，记M是。。的中点，则|AM|的最小值为()

A.2及B.3&C.V17D.3

【答案】A

【分析】

设点P,什4）,。（百,乂），。（王，必），根据圆的切线的性质可得G。在以。。为直径的圆上，求得其圆

的方程，再由C,。在圆V+y2=4上，可得直线C。的方程，求得直线CO恒过定点。从而得M

在以0Q为直径的圆，得出圆的方程可求得|AM|的最小值.

【详解】

设点P（/，什4）,C（%,）［），D（X2,J2）,因为尸。，PC是圆的切线，所以O£>_LPROC_LPC,

所以c,。在以OP为直径的圆上，其圆的方程为卜-+0一等）="（；），

又C,。在圆f+>2=4上，则将两个圆的方程作差得直线CO的方程：次+（什4）>-4=0,即

f（x+y）+4（y—1）=0,所以直线CO恒过定点。（—1,1）,

又因为OM_LCO,M,Q,C,D四点共线，所以，M2,即M在以OQ为直径的圆卜+；

2

上，其圆心为。［g，g）,半径为r二¥，

所以MM1=|AO[-r=JR+4J+出-¥=2a，

mhi所以|AM|的最小值为2&,

方法点睛：求直线恒过点的方法:方法-（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y=Mx-a）+A,

将x带入原方程之后，所以直线过定点（。，3；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的机是取不同值

变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个小的值带入

原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.

18.（2021・全国•高三专题练习）若实数—满足1-44=2必7，则工最大值是（)

A.4B.18C.20D.24

【答窠】C

【分析】

当x=O时，解得），=0：当x>0,令，=心可得一设/⑺=一2后，gOJTI7,则

问题等价于f（f）和g«）有公共点，观察图形可求解.

【详解】

当x=0时，解得尸0,符合题意；

当”>0时，令，="，贝ijrzo,又x-y20,则工<&,即rc[o,4],

则原方程可化为-2,+]=>/^产,

设〃?）=-2，+5,g。）=JXT?,Z€^0,x/xJ,

则f。）表示斜率为-2的直线，g"）表示以原点为圆心，半径为五的四分之一圆，

则问题等价于/“）和g（。有公共点，观察图形可知，

当直线过点仅，五）时，3=0解得户4,

因此,要使直线与圆有公共点,XG[4,20],

综上，xe[4,20]u{0},故x的最大值为20.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：解题得关键是令工=4,将问题转化为直线/”）=-2+楙与圆有公共点.

19.（2021.全国•高三专题练习（理））设/合卜="-叱bN=[«），）"2'+（y-2）?=，}

（r>0）.当McN有且只有一个元素时.则正数〃的所有取值为（）

A.2+贬或20-2B.2<”2石

C.2<rW2小或r=2近-2D.2<r<2-j5^r=2yf2-2

【答案】c

【分析】

依题画出满足题意的图形，因为McN有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的

位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.

【详解】

5="-犬，y20,即圆M：/+产=4的上半部分，如图：

圆M的圆心坐标为（0,0）,半径为2,圆N的圆心坐标为（2,2）,半径为r,

因为McN有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，

所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，

①外切：d=2+r,d为圆心距,

2&=2+r，此时「=2-2&，

②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径r=2,

圆（3）处的半径/=AN=26.

所以2<r42有,

综上，正数r的所有取值为2<rW2石或厂=2&-2.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题的解题关键是由因为McN有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，进而分析

计算.

二、多选题

20.（2021•重庆市蜀都中学校高三月考）曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创

的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在半血上，点产（不）。和点Q（孙丹）的曼哈顿距

离为：L股=归一百+|凹一%|.若点P（X，Y）为。：/+），2=4上一动点，。（0丫2）为直线/：米一y-2攵-4

=0（%H-《,2］）上一动点，设〃女）为尸，2两点的曼哈顿距离的最小值，则的可能取值有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【分析】

直线/恒过定点Q,-4）,画出图形，对出分类讨论并借助导数求出〃口的取值范围即可作答.

【详解】

直线/：丘一y-2A-4=0供e［_g,2］）恒过定点人（2,-4）,

122+4131

由点（0,0）到直线区一y—2&-4=0的距离5=V>2得攵>—=,即直线/:去一》一2攵—4=0（丘［—不2］）与

圆相离，

（1）当【的斜率上满足因<1时，作出一条纵截距为负数的直线平行于/,如图：

要使得4Q最小，P应位于切点处，作PC1X轴交直线/于点C,过。作直线。8_LPC于点8,

当Q位于点。的左方时，^0=lPB\+\QB\>\PC^L^,当。位于点C的右方时，同理也有£叨>£代，于

是有L(k)=Lpc,

设直线y=与圆相切，则有辞3=2=>£=-2)［;淳，即切线的纵截距f=一2«^，而直线/的纵

截距为—2A-4,

L(k)=LK=-2V1+F-(-2攵-4)=2"2y1+公+4

r(^)=2—=2=k>0,〃&)在［-人1］上递增，L⑴=6-2&,以一4I)=3-石：

J1+上22

(2)当/的斜率2满足Ac(l,2］时，作出一条纵截距为负数的直线平行于/,如图:

要使得4Q最小，尸应位于切点处，作尸C_Ly轴交直线/于点C,过Q作直线QB_LPC于点8,

当。位于点C的左方时，当。位于点C的右方时，同理也有(Q>%C,于

LPQ=\PB\+\QB\>\PC\=LPC,

是有L(k)=LPC,

设直线丁=履+，与圆相切，贝I」有点生=2n，=-27i7F,即切线的横截距」=如1土£,而直线/的横

也+Hkk

4

截距为2+：,

k

L(k)=L=2+----------

pckk

4221

〃伏)=下+&2"+&2=谟(J"r一2"。，L/)在［1,2］上递减，L(1)=6—20,L(2)=4-逐,

综上得L伏)e［3-逐,6-2加］,则选项ABC满足.

故选：ABC

【点睛】

思路点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程

中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

21.（2021.广东茂名.高三月考）已知曲线C：MX+y|H=l,则下列结论正确的是（）

A.直线x+y=o与曲线。没有公共点

B.直线与曲线C最多有三个公共点

C.当直线工+尸加与曲线C有且只有两个不同公共点/?（5,凹），g（孙先）时，x也的取值范围为卜8,）

D.当直线x+y=加与曲线。有公共点时，记公共点为由芍,封（他*）.则£>的取值范围为（o,忘）

【答案】ACD

【分析】

由题设讨论乂y的符号得到曲线。的不同方程，结合所得方程对应曲线的性质，结合直线%+y=。、=机

并应用数形结合的方法，判断它们与曲线c的交点情况，并根据交点个数的不同求交点横坐标之积或和的

范围.

【详解】

x2+y2=l（x>0,y>0）

由题设得：曲线C为b2_y2=i">o,y<o）,

/-x2=l（x<0,y>0）

A：由X+y=0是f-y2=1和y2-X2=1的渐近线，且x+y=o与f+y2=］（%之0,丁之0）没有公共点，故正确：

B：由A中的分析知：x+y=，〃与曲线C最多有两个公共点，故错误；

c：由图可知，若x+y二”与曲线c有两个公共点或一个公共点，

当ovmv夜时，/+>=阳与曲线c有两个公共点出方方），6（七,％），

由对称性知，片（玉,凹），鸟（孙先）关于直线，=•*■对称，贝巾凹一出，

（1）当0cm<1时，-oovx/2<0.

22i

（2）当iwmvjl时，由百，芍，则=f<为；、'=、♦

（3）当m=0时，直线/与曲线C只有一个公共点，不合题意.

（4）当利〉正或加40时，直线/与曲线C无公共点，

综上可知，C正确;

D：由C的分析，0vm<a时x+y=/n与曲线C有且只有两个不同公共点，则£耳=%+9=内+乂=用

即0<£为〈应.

/=1

（等，白）.此时£玉=日武0,\/5）.故正确.

“Im=应时，x+y=〃?与曲线c只有一个公共点，此点为

故选：ACD.

【点睛】

x2+j2=l（x>0,j>0）

关键点点睛：首先讨论x，y的符号得到曲线c为卜_y2=i（x>0,）Y0）,再由各曲线的性质，研究与直线

y2-x2=1（x<0,y>0）

x+y=m的其交点情况.

22.（2021•重庆实验外国语学校高三开学考试-新课标试卷）如图，P为椭圆G：£+[=]上的动点，过尸作

OO

椭圆G的切线交圆&：/+产=24于M,N,过M,N作G切线交于。，则（)

A.SeQPQ的最大值为石

B.的最大值为苧

2

C.。的轨迹方程是工+匕-

36

482

D.。的轨迹方程是工+2_-

96

72

【答案】AD

【分析】

设出产（%X）,Q（孙〃），根据椭圆和圆的方程分别写出MN所在的直线方程，从而求出〃i-3%〃-4必，代入

椭圆方程即可求出。的轨迹方程是《+上=1;根据尸到直线@2的距离求出△OPQ的面积，从而利用基本

7296

不等式求最值.

【详解】

设?（卬Y），Q（〃?，〃），则切点弦MN所在的直线方程为mx+ny=24,

又因为P为椭圆上的一点，所以切线MN所在的直线方程为誓十岁=1,

OO

,即切=3内，〃=4,，

8'246

tn