春-西南大学《数学分析选讲》作业及答案

2013年春西南大学《数学分析选讲》作业及答案（共5次，已整理）

第一次作业

【主观题】

【论述题】

一、判断下列命题的正误

1.设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确

（正确）

2.收敛数列必有界.（正确）

3.设数列｛%｝与｛"｝都发散，则数列｛4+d｝一定发散.（错误）

4.若S为无上界的数集，则S中存在一递增数列趋于正无穷.（正确）

5.若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛.（正确）

二、选择题

1.设=x\-2,x<l/则,/[/（1）]=（A）.

3-x,x>l

A-3；B-1；C0；D2

2.”对任意给定的ee（0,1）,总存在正整数N,当〃2N时，恒有|。区2^”是数列

｛x“｝收敛于a的（A）.

A充分必要条件；B充分条件但非必要条件；

C必要条件但非充分条件；D既非充分又非必要条件

3.若数列｛%｝有极限a,则在。的£（>0）邻域之外，数列中的点（B）

A必不存在；B至多只有有限多个；

C必定有无穷多个；D可以有有限个，也可以有无限多个

4.数列｛%｝收敛，数列｛笫｝发散，则数列｛%,+%｝（D）.

A收敛；B发散；C是无穷大；D可能收敛也可能发散

5.设lim|居|=a,贝!J（C）

8

A数列｛x“｝收敛；BlimX"=a；

n—>oo

C数列｛x“｝可能收敛，也可能发散；Da；

n—>oo

6.若函数/（x）在点/极限存在，则（C）

A/（%）在x0的函数值必存在且等于极限值；

B/（x）在X。的函数值必存在，但不一定等于极限值;

C/（x）在X。的函数值可以不存在;

D如果/(%)存在的话必等于函数值

7.下列极限正确的是D)

「sinx1

Alimxsin—=1；Blim-----二1；Climxsin—=0；Dlim—sinx=l

-oxX-8X3X

27-1

8.lim——D)

2%+l

A0；B1C-1D不存在

三、计算题

(3X+6)70(8X-5)20

1.求极限lim

x—>+oo(51)90

(3X+6)70(8X-5)20370.820

解：lim

+oo(5x-l)90

2.求极限产i

…8x-2

x2xfll

1(n+10

1+i+-[(i+-ri2

__x___x_XX

解:产i=lim=lim-lim

ooJQ—28I-2XT81.2x—><x>

u[(1—)2尸

xjIXJX)X

2

e6

3.求极限lim(l+-+-+---+-

—823n

由于14(1+!+工+…+工尸〈”与

解又=由迫敛性定理

23nco

lim(l+-+-+---+-)«=1

g23n

ii—n

4.考察函数=——九£(TX),中X))的连续性.若有间断点指出其类型.

“♦8n+n

nx-n-xn-1

解：当％<0时，有/(x)=lim------=lim—.....=一1；同理当1>0时，有%)=1.

isnx+nx8〃%]

—1,x<0

而/(0)=0,所以/(x)=sgnx=[0,x=0O所以0是7的跳跃间断点.

l,x>0

四、证明题

设limo=〃，limbn=b,且〃<Z?.证明：存在正整数N,使得当时，有

n—>ooH—>co

a”<bn.

证由a<b,有因为lima”=a<3土白，由保号性定理，存在N］>0,

22

使得当〃〉M时有凡〈”2。又因为11m2=人〉”2,所以，又存在N2>o,使得

’22一

当〃〉N2时有么〉于是取N=max｛N］,N2｝,当〃〉N时，有

【客观题】

【判断题】狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数错

【选择题】设数列｛An｝收敛，数列｛Bn｝发散，则数列｛AnBn｝D

【判断题】收敛数列必有界对

【判断题】两个(相同类型的)无穷小量的和一定是无穷小量对

【判断题】若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在错

【选择题】设f,g为区间(a,b)上的递增函数,则min｛f(x),g设)｝是(a,b)上的

A

【选择题】设f在［a,b］上无界，且f(x)不等于0,则l/f(x)在［a,b］上D

【判断题】闭区间上的连续函数是一致连续的对

【判断题】两个收敛数列的和不一定收敛错

【判断题】有上界的非空数集必有上确界对

【判断题】两个无穷小量的商一定是无穷小量错

【选择题】若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则fB

【选择题】一个数列｛An｝的任一子列都收敛是数列｛An｝收敛的C

【判断题】若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。错

【判断题】区间上的连续函数必有最大值错

【判断题】两个收敛数列的商不一定收敛对

【选择题】设函数f(x)在(a-c,a+c)上单调，则f(x)在a处的左、右极限B

【选择题】定义域为［a,b］,值域为(-1,1)的连续函数B

［选择题】y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c,f(c))处存在切线的A

【判断题】最大值若存在必是上确界对

【选择题】设f,g在Ja,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x))A

【判断题】两个无穷大量的和一定是无穷大量错

【选择题】函数f在c处存在左、右导数，则f在c点B

【判断题】若函数在某点可导，则在该点连续对

【判断题】若双多在瓜杨上有定义,且£6)£“)〈0,则在(413)内至少存在一点c,使得

f(c)=O错

第二次作业

【主观题】

【论述题】

一、判断下列命题的正误

1.若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在.(错误)

2.若/(x)在［a,句上连续，则/(x)在［a,切上一致连续.(错误)

3.若/(x)在［a,切上有定义，且/(a)(3)<0,则在(a,b)内至少存在一点4使得

/(a=o.(错误)

4.初等函数在其定义区间上连续.(正确)

5.闭区间［a,切的全体聚点的集合是［a,6］本身.(正确)

二、选择题

1.下面哪些叙述与数列极限lim%=A的定义等价(A)

ns

AVee(0,1),3N>Q,\/n>N,\an-A\<s；

B对无穷多个£>0,BN>0,yn>N,\an-A\<s；

CVe>0,BN>0,有无穷多个〃〉N,\an-A\<s；

DV^>0,有｛a,J的无穷多项落在区间(A—£,A+e)之内

2.任意给定/>0,总存在X>0,当x<—X时，/(x)<-M,则(A)

Alimf(x)=—oo；B=—00;Clim/(x)=co；Dlimf(x)=00

x->-oox—>oox—>-00x—>+oo

3.设总存在X>0,当xV—X时，—则(D

Alim/(x)=a；Blim/(x)=a；Climf(x)=a；Dlim/(x)二00

x—>4-00X—>-Q0x—>008

1

4.极限—2%A=(B)

xf0

Ae2Be之；Cc1；D1

sin(x-l)

lim

5.2iC

x—^1x-1

A1；B2；D0

2

6.定义域为［〃,勿，值域为(-8,+8)的连续函数(C)

A存在；B可能存在；C不存在；D存在且唯一

_x

7.设/(x)=<(l2x),冗W0在1=0处连续，则左=(D)

k,%=0

A1；Be；C—1；

8.方程犬—x—1=0至少有一个根的区间是(D

A(0,1)；B(-,1)；C(2,3)；

D(1,2)

22

三、计算题

111

-+—+■•■+—

1.求极限--------J

〃->00111

I—+---1

3323"

1--

J_2"

—+…+十］一

解：lim~~~号-------学-=lim--------J=2

8111001

—---------—•••—I------------1—----------

3323"13"

3」

3

2.求极限lim(—~\—.+—I—/)

…“+iJ/+2J/+〃

nil1ri

解：因为,~<一/H—/H---1—/</

yjn2+1vn2+2vn2+n-Jn2+1

又lim..,-=lim.=1,所以由迫敛性定理,

…<〃2+n501n2-

lim-/H—.-+•••H—,--1

J/+2如2+n

11m(x+l)2+(2x+l)2+(3x+l)2+...+(10x+l)2

3.求极限

x—>00(lOx-1)(11%-1)

Hm(%+1?+(2x+1)?+(3x++…+(10x+］丁

解:刖(10x-l)(llx-l)

(1+-)2+(2+++(3+-)2+---+(10+-)2

玉小九%%%

~11

(io—)(11—)

xx

E+22+…+1()2

10-11-6-10-11~2,

4'求极限吧渣工I

左刀「sin2x「(Vx+1+1)sin2x

解：lim£......-二lim—7=--------7=-----

―。7%+1-12(7%+1-i)(Vx+i+1)

(V-X+1+1)sin2x(y/x+1+1)sin2x“

=lim----------------------=lim-----------------------=4

20(x+l)-lioX

四、证明题

设y,g在［a,切上连续，且/3)>8(。),/3)<8(。).证明：存在］w(a,b),使得

/C)=gC).

证：令尸。)=/(x)—g(x),则R(x)在［a,切上连续，又

F(a)=f(a)-g(a)>0

F(b)=f(b)-g(b)<0

用零点存在定理，存在一点使得歹0=0,

即/4)-gC)=O

【客观题】

【判断题】若f在区间I上连续，则f在I上存在原函数。对

【判断题】不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。

错

【判断题】若函数在某点的左右导数都存在，则在该点可导错

【判断题】若函数在某点可导，则在该点的左右导数都存在对

【判断题】可导的单调函数，其导函数仍是单调函数。错

【判断题】闭区间上的可积函数是有界的对

【判断题】若f在实数集R上是偶函数，则x=0是f的极值点。错

【判断题】可导的偶函数，其导函数必是奇函数对

【判断题】若函数在某点的左右导数都存在，则在该点连续。对

【判断题】若f、g在［a,b］上的可积，则fg在［a,b］上也可积对

【判断题】若f是［a,b］上的单调函数，则f在［a,b］上可积。对

【判断题】若函数f在区间I上单调,则f在I上的任一间断点必是第一类间断点对

【判断题】若两个函数的导数处处相等，则这两个必相等错

【判断题】若函数f在数集D上的导函数处处为零，则f在数集D上恒为常数。错

【判断题】可导的周期函数，其导函数必是周期函数对

【判断题】任一实系数奇次方程至少有一个实根对

【判断题】若f,g均为区间I上的凸函数，则f+g也为I上的凸函数。对

【判断题】若函数f的导函数在区间I上有界，则f在I上一致连续。对

【判断题】实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点对

第三次作业

【主观题】

【论述题】

一、判断下列命题的正误

1.若函数/（X）在点X。处的左、右导数都存在，则/（X）在/处必连续.（正确）

2.若/（x）在/处可导，则/⑴在无。处可微.（正确）

3.若两个函数在区间/上的导数处处相等，则这两个函数必相等.（错误）

4.若/（X）是可导的偶函数，则/''（COnO.（正确）

5.若不€（&/）是/（%）的导函数的间断点，则/是/'（x）的第二类间断点.（正确）

二、选择题

1.设/是奇函数，且=贝ij（A）

Ay=/（x）在x=O的切线平行于x轴；B尤=0是/的极大值点；

Cx=0是/的极小值点；D丁=/（乃在％=0的切线不平行于％轴

2.设f（x）={x-d）（p{x},其中夕⑴在x=a处连续但不可导，贝U/'（a）=（A）

A°(a)；B0'(a)：C-（p\d）；D不存在

3.设/可导，贝ijd/(secx)=(B)

A/"(secx)sec2xdx；B/'(secx)secxtanxdx；

Cff(secx)secxdx；D/'(secx)tan2xdx

4.设函数/(x)可导且下列极限均存在，则不成立的是(B)

/(x)-/(0)

Alim=r(Q)；B屈小。+2：)一小。)",@)；

工7°X

lim〃Xo+/z)—/(/一份lim/(Xo)T(x。一“)

C=/'(不)；D

52hxh

5.设/(x)=xlnx,且/'(%)=2,则/(%)=(C)

2e

A-；B-；Ce；D1

e2

6.已知y=⑴，则y"=(C)

AefMf\x}；Be〃x)；Ce""){+/〃(％)}；D/叫/口)+/(创

7.下列结论中正确的有(D)

A如果点/是函数/(x)的极值点，贝IJ有((%)=0；

B如果/'(%)=0,则点/必是函数/(x)的极值点；

C函数/(x)在区间(。力)内的极大值一定大于极小值;

D如果点/是函数/(x)的极值点，且尸(%)存在，则必有/'(%)=0

设/(x)可导，则lim-(x+")―/2(x)

8.B)

goh

A/'(x)；B2尸(x)；C0；D2/(x)/f(x)

三、计算题

解：

2x

1+—-

，2x2y1x2+1*1x-l

24+1x+&+1+1+1&+1

2.设y=xJl-%2+arcsinx求

XX>1

3.设/(x)=<_，试确定〃，的值，使/在x=l可导.

ax+bx<1

解：要使/在X=1可导，/在X=1必连续，于是必左连续.

蚪J(x)=唾3+切=.=〃1)=1,从而“〜

,力⑴"⑶7⑴­3=2

了在X=1的右导数21+X-1—3+X-1

../(x)-/(I)..ax+b-12..ax+1-a—1

/⑴=11m=km--------------=hm-----------------=a

左导数为XTRx-1z「x-1*T「x-l,

只要a=2,则/在x=13=-l

4.用洛比塔法则求极限lim(--——).

io%ex-1

解：

r(11)「--l-xr--1।-11

lim—--------=hm------------=11m-----------------=lim--------------=iim_____=_

ex-1)10/-1+疵"202/+定'2。2+才2

四、证明题

证明：当九£(0,—)时，tanx>x------.

33

Y3

证/(x)=tanx-x+—,则/在x=0连续，且/(0)=0.

jr

因为/<(%)=sec2x-1+x2=tan2x+x2>0,xe(0,—),

TT

故/在(o,1)严格单调递增，又因/在x=o连续，于是y(x)>/(o)=o,

从而tanx〉x------，xG(0,—).

【客观题】

【判断题】处处间断的函数列不可能一致收敛于一个处处连续的函数。错

【判断题】条件收敛级数一定含有无穷多个不同符号的项。对

【判断题】设f是(a,b)内可导的凸函数,则其导函数在(a,b)内递增对

【判断题】闭区间［a,b］的所有聚点的集合是［a,b］对

【判断题】收敛级数任意加括号后仍收敛对

【判断题】在级数的前面加上或去掉有限项不影响级数的收敛性对

【判断题】幕级数的收敛区间必然是闭区间错

【判断题】实数集R上的连续周期函数必有最大值和最小值对

【判断题】有限区间上两个一致连续函数的积必一致连续对

【判断题】任何有限集都有聚点错

【判断题】设f在(a,b)内可导，且其导数单调，则其导数在(a,b)内连续对

【判断题】不绝对收敛的级数一定条件收敛错

【判断题】收敛级数一定绝对收敛错

第四次作业

【主观题】

【论述题】

一、判断下列命题的正误

1.闭区间［a,切上的可积函数/(x)是有界的.(正确)

2.若/(x)在［a,句上可积，则/(%)+|/(刈在［a,句上也可积.(正确)

3.若/(%)在区间/上有定义，则/(x)在区间/上一定存在原函数.(错误)

4.若/(x)为［a,句上的增函数，则/(x)在［a,句上可积.(正确)

5.若/(x)在［a向上连续，则存在使「f(x)dx=-a).(正确)

Ja

二、选择题

1.对于不定积分，下列等式中(A)是正确的.

A当ff(x)dx=f(x)；BJf\x)dx=/(x)；

axJ

cf#(x)=/(%)；Dt/jf(x)dx=/(%)

11

2.若%6k=—e"+c,则/(%)为(A)

1111

A----；B---；C一；D

XXX

3.设5sin%是/(x)的一个原函数，贝!公=(B)

A-5sinx+c；B5cosx+c；C5sinA:；D-5sinx

4.JJ(l-cosx)=(B)

A1-cosx；B—cosx+c；Cx-sinx+c；Dsinx+c

5.若J/(x)dx=x2+0,则，4(l-12)dx=(D)

A2(1-x2)2+c；B-2(l-x2)2+c；

C--(1-x2)2+c；D—(1-x2)2+c

22

.fdx

o.------=(C)

J1+cosx

Atanx-secx+c；B—COa+CSCX+C;

cx

Ctan—Fc；Dtang—£)

2

7.］短『)=(D)

Axe~x+cBxee'+c；C—xc*+cDxe~x+e-x+c

8.已知/'(")=l+x,则/(%)=(D)

11

A1+lnx+c；Bx+—x2+c；Clnx+—In2x+c；Dxlnx+c

22

三、计算题

1.求不定积分f二——---dx.

JX2+2X+10

2.求不定积分jarcsinxca.

解：farcsinxdx=xarcsinx-f/%dx=xarcsinx+Vl-x2+C

JJ/l2

A/l-X

3.求不定积分jlnxdt.

解：［Inxdx=xinx-ix•-dx=x\nx-x+C

4.求不定积分Je五公.

解：令«=u,则公=j>2"d〃=2(e7—e")+C=2e6(«—1)+C

四、证明题

设f为连续函数.证明：/(sinx)dx=~\^/(sin.

证因/在用上不恒等于零，故存在与e［a,勿，使得于是/2(%))〉0・

又因为f在［a,b］上连续，由连续函数的局部保号性，存在x0的某邻域(%-5,%+S)(当

%=。或%=6时，则为右邻域或左邻域)，使得在其中/2(x)〉1；°)〉0.从而

ff2(x)dx=[3f2{x}dx+f°+Sf2(x)dx+ff2(x)dx

JaJaJXQ—3J%o+3

2

21"；/2(x)dx〉J,。)dx=f(x0)3>0.

JXQSJXQ-82

第五次作业

【主观题】

【论述题】

一、判断下列命题的正误

1.若/⑴与g(x)在［a,切上都可积，则/(x)g(x)在［a向上也可积.(正确)

2.若/(x)在［a向上连续，则存在Je(a,Z?),使jf{x}dx=f^(b-a).(正确)

3.若/(x)在［a,句上有无限多间断点，则/(x)在［a,句上一定不可积.(错误)

4.无穷积分公是收敛的.(错误)

X