9.4.5 正方形及其性质 习题练

第9章中心对称图形——平行四边形正方形及其性质9.4.5B12345A67答案呈现温馨提示：点击进入讲评D8CC9A10111213▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________________，使得▱ABCD为正方形．1AC＝BD(答案不唯一)【点拨】根据题意可知▱ABCD为菱形，要使菱形ABCD为正方形，添加的条件为AB⊥AD，AC＝BD等．2【点拨】【答案】B如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于(

)A．2αB．90°－2αC．45°－αD．90°－α3【点拨】在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴可将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时G在CB的延长线上，如图所示．【答案】A∴△FAE≌△GAE(SAS)．∴∠AEF＝∠AEG.∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α.∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α.∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α.4【点拨】连接AF，易得AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，求得∠BFE＝45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度．【答案】D5[2023·常德]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为(

)A．80°B．90°C．105°D．115°【点拨】∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴OA＝OD，∠OAD＝∠ODA＝45°，EF∥BC.∵EF∥AD，∴∠OEF＝∠OAD＝45°，∠OFE＝∠ODA＝45°.∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF.∵OA＝OD，∴AE＝DF.又∵EF＝FE，∴△AEF≌△DFE(SAS)．∴∠FDE＝∠CAF＝15°.∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°.∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.【答案】C[2022·重庆]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上的点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为(

)A．50°B．55°C．65°D．70°6【点拨】由正方形的性质可得AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，易得∠OCB＝45°，∠AFO＝70°，利用全等三角形的判定和性质得∠BEO＝∠AFO＝70°.从而可求出∠CBE的度数．【答案】C7【点拨】设B1C1与CD交于点E，连接AE.利用作差法求出AE一侧的阴影部分的面积，再利用对称性即可得解．[2023·绍兴]如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点分别为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点分别为F1，F2，8在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是(

)A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【点拨】如图①，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ADC＝∠BAD＝∠ABC＝90°.∴∠BDC＝∠ABD＝60°.∴∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°.∵OE＝OF，OB＝OD，∴DF＝EB，DE＝BF.由已知可得DF＝DF2，DE＝DE1，BF＝BF1，BE＝BE2，∠F2DC＝∠CDF＝60°，∴∠E1DA＝∠EDA＝30°.∴∠E1DB＝60°，易得E1F2＝E2F1，同理可得∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1.∴四边形E1E2F1F2是平行四边形．如图②，当E，F，O三点重合时，易知DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2.∴平行四边形E1E2F1F2是菱形．如图③，当E，F分别为OB，OD的中点时，连接AE，AO，设DB＝4，则DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3，BO＝2，BE＝1，易得AB＝2，如图④，当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则平行四边形

E1E2F1F2是菱形．∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选A.【答案】A[2023·山东实验中学月考]如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________．9【点拨】【点易错】本题容易错在不会利用正方形的轴对称性，将两条线段的和转化为一条线段．由于E，F是固定的点，因此可以作点E或点F关于AC所在直线的对称点，利用勾股定理求解．••••[2022·随州]如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．10(1)求证：AE＝CF；【证明】∵四边形BEDF为正方形，∴EB＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.∴AE＝CF.(2)若平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．【解】∵四边形BEDF为正方形，∴DE＝EB，DE⊥AB.∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，∴DE＝EB＝4.∴AE＝AB－EB＝5－4＝1.由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.[2023·绍兴]如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.11(1)求证：∠DAG＝∠EGH；【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴AD∥GE.∴∠DAG＝∠EGH.(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．【解】AH⊥EF.理由：连接GC与EF交于点O，如图．

在正方形ABCD中，AD＝CD.∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°.又∵DG＝DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴∠DAG＝∠DCG.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.12(1)求证：△ABE≌△CDF；【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．【解】如图，连接AC，交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC⊥BD，AB＝AD，AC＝BD，AO＝CO，DO＝BO.如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.(1)猜想图①中线段BG，线段DE的数量关系及所在直线的位置关系，并说明理由；13【解】BG＝DE，BG⊥DE.理由：如图①，延长BG交DE于点H.因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，所以BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE.所以△BCG≌△DCE.所以BG＝DE，∠1＝∠2.因为∠1＋∠CGB＝90°，∠CGB＝∠DGH，所以∠2＋∠DGH＝90°.所以∠DHG＝90°.所以BH⊥DE，即BG⊥DE.(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②，③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断．【解】BG＝DE，BG⊥DE仍然成立．证明：如图②，设BG与DE相交于点