第十二章无穷级数-高等数学下册-国家级课程教案

第十二章无穷级数

【教学目标与要求】

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必

要条件。

2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.理解幕级数收敛半径的概念，并掌握哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解窑级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分）,

会求一些累级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.掌握后,sinx,cosx,ln（lI工）和（1+々尸的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函

数间接展开成幕级数。

11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在［-1,1］

上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在［（）,1］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅

里叶级数的和的表达式。

【教学重点】

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、e',sinx,cosx,ln（l+x）和（1+。）”的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

【教学难点】

1、比较判别法的极限形式；

2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、函数项级数的收敛域及和函数；

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

【教学课时分配】（18学时）

第1次课§1第2次课§2第3次课§3

第4次课§4第5次课§5第6次课§6

第7次课§7第8次课§8第9次课习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）,第五版.高等教育出版社.

[2]同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》,第/'、版.高等教育出版社.

[3]同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§12.1常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数：给定一个数列的，〃2,〃3,•••,斯,•…，则由这数列构成的表达式〃1+"2+"3+…

叫做常数项）无穷级数，简称常数项）级数，记为^即，即

7!=1

00

=«|+W2+W3-1------------，

其中第〃项〃〃叫做级数的一般项.

级数的部分和：作级数£羯的前〃项和

/:=1

n

%=工场=〃1+〃2+〃3+.一+4

；=1

称为级数£%的部分和.

〃=i

级数敛散性定义：如果级数Z孙的部分和数列WJ有极限S,即lims〃=s,

〃=1n—yx>

则称无穷级数£〃〃收敛，这时极限s叫做这级数的和，

n=\

并写成

s==与+"2+"勾+•一+4〃+•••;

n=\

00

如果｛SJ没有极限，则称无穷级数Z与发散.

n=\

0000

余项：当级数〃收敛时，其部分和S“是级数£%?的和S的近似值，它们之间的差值

〃=1〃=1

〃产S-S，尸斯+|+〃"+2+•一

叫做级数〃的余项.

〃=1

例1讨论等比级数（几何级数）

00

£aq"=a+aq+aq2+…+aq"+…

〃=0

的敛散性，其中"0,4叫做级数的公比.

解如果歼1,则部分和

nn

2„n_ia-aqaaq

sn=a+aq+acr+-*+aq--——=-------2―.

\-q\-q\-q

当⑷<1时，因为lims,尸片，所以此时级数收敛，其和为白

7-81-（7〃=o\-q

当即》时，因为lims〃=8,所以此时级数发散.

00

如果|夕|=1,则当疔1时,品=加/-8,因此级数ZW发散;

n=0

当q=-l时，级数成为

n=0

a-a+a-a+•••,

当团=1时，因为％随着〃为奇数或偶数而等于。或零,

所以即的极限不存在，从而这时级数£。夕〃也发散.

〃=0

综上所述，级数允的〃=|匚7⑷<i

⑷21

例2证明级数

1+2+3+・••+〃+•••

是发散的.

证此级数的部分和为

S=1+2+3~1+72=

n2

显然，lims〃=8,因此所给级数是发散的.

8

例3判别无穷级数

]

的收敛性.

提示："111

“〃(〃+1)n〃+1

二、收敛级数的基本性质

性质1如果级数£>〃收敛于和八则它的各项同乘以一个常数々所得的级数£2%也收敛,

n=\〃=1

且其和为ks.

800

性质2如果级数Z〃〃收敛于和s,则级数Z攵〃〃也收敛，且其和为止

/»=1n=l

CO8

性质3如果则工攵/=如・

800则级数£（%±吗）也收敛，且其和为5±6

性质4如果级数、£匕,分别收敛于和S、

〃=in=\

性质5如果$、£以二人则Z（〃〃+u〃）=s+。

n=\n=\

性质6在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.

比如，级数工+」+」法广..是收敛的,

1-22-33-4

级数10000+1生+七+…+忌万+…也是收敛的'

1-2

级数七十七新十…也是收敛的•

性质7如果级数X"〃收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.

n=\

应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.

例如，级数

（1-1）+（1-1）+…攻敛于零，但级数1-1+1-1+…却是发散的.

推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.

级数收敛的必要条件：

00

性质8如果Z"〃收敛，则它的一般项斯趋于零，即1而孙二0・

应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.

例4证明调和级数

i-=i+1+|+.是发散的.

，1〃23n

证：假若级数8帖1收敛且其和为“,”是它的部分和.

显然有limsn=s及lims2n=s.于是Ibn(.%-5〃)=().

/7—»ocns/?"»oo

但另一方面，

s-s=—^—+—^—+...+—>—+—4-...+—=-,

2〃〃A?4-1〃+22/?2n2n2n2

故lim(a-")工0,矛盾•这矛盾说明级数必定发散.

'T8n=\n

小结

1.常数项级数的概念；

2.常数项级数的性质；

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

讲课提纲、板书设计

作业P255:1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；

4(1),(3),(5);

§12.2常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数.

定理i正项级数£〃〃收敛的充分必要条件它的部分和数列｛s〃｝有界.

〃=i

定理2(比较审敛法)

800

设lLun和2口〃都是正项级数，且〃胫匕伏〉0,\/n>N).

n=\n=\

88

若收敛,则收敛；

n=\〃=1

008

若Z〃〃发散，则发散•

〃=1〃=1

0000

证设级数〃收敛于和5则级数的部分和

n=\〃=1

S,i=ll\+U2+•一+Un<V\+也+•一+V,｝<(7(n=l,2,•••),

即部分和数列｛品｝有界，由定理1知级数收敛.

n=\

反之，设级数发散，则级数必发散.因为若级数

n=\〃=1

0000

Z与收敛，由上已证明的结论，将有级数士〃〃也收敛，与假设矛盾.

〃=1n=\

8008

推论设z劭和w>〃都是正项级数，如果级数Z匕?收敛，且存在自然数M使当〃出时有

n=\n=\〃=1

E(Q0)成立，则级数£与收敛；如果级数£>〃发散，且当n>N时有〃“泌以Q0)成立，则级

〃=1”=1

数发散.

〃=i

例1讨论级数

81

Y—=^1LU-

念np2P3P4〃M

的收敛性，其中常数p〉0.

提示：级数fl,'〃一|一』]的部分和为

〃=2(〃T)“np

5=fl一一i-rl+f-i-T一一…+[—----!-r]=l-----!~r

"2〃T2〃73/1(〃+1)/1(〃+l)〃T

i00i1

因为圾与=,吧[一力门,所以级数,1奇]收敛.

~nP-[

8I

k级数的收敛性：P-级数Z-当〃>i时收敛，当庭1时发散.

71=1几

例2证明级数£8/1I是发散的.

证因为〉=」7,而级数£」=、+[+.••+」

11\是发散的,

“(〃+l)J(〃+l)2〃+1〃=|〃+123〃+1

根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.

定理3(比较审敛法的极限形式)

800

设Z%和2>〃都是正项级数，

«=1〃=1

88

⑴如果lim口•=/(0夕<+8),且级数2%收敛，则级数$>〃收敛；

〃-0vn〃=ln=\

〃7/三丁

(2)如果lim"=/>0或lim坛=内，且级数！>〃发散，则级数Z即发散•

〃-8匕？，18匕？〃=]/1=|

证明由极限的定义可知，对£=:/,存在自然数N,当〃>N时，有不等式

乙5]乙乙乙

再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.

例3判别级数Z8sin，1的收敛性.

〃=1〃

sinl

解因为limT~=l,而级数三工发散，根据比较审敛法的极限形式，级数£＞出工发散•

'is1〃=]〃〃=]n

n

例4判别级数£ln(l+3)的收敛性.

n=\n

ln(l+-y)-[

解因为lim—4=1,而级数Z4收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数

…8n=]n-

n2

00

2仙(1+'17)收敛.

〃=i叱

定理4(比值审敛法，达朗贝尔判别法)

8

若正项级数、＞〃的后项与前项之比值的极限等于

n=\

liml^-=p,

〃一＞8lln

则当内1时级数收敛，当Al(或lim殳1-8)时级数发散，当〃=1时级数可能收敛也可能发散.

〃一＞8Un

例5证明级数1+工+上+34+1231十

11,2123

是收敛的.

例6判别级数*+常+需+•.・+需+・・•的收敛性.

例7判别级数£S的收敛性.

,»（2〃一1）2?

提示：，吧与吧瑞怒万5比值审敛法失效.

因为鬲两*,而级数，£*收敛，因此由比较审敛法可知所给级数收血

定理5（根值审敛法，柯西判别法）

设工4是正项级数，如果它的一般项〃“的〃次根的极限等于p:

”=|

lim疯二夕，

〃一>8

则当p<l时级数收敛；当p>l（或lim疯"=+<力）时级数发散；当上1时级数可能收敛也可能发散.

n-x»

例8证明级数1+4+4+…是收敛的.并估计以级数的部分和品近似代替

2233nn

和s所产生的误差.

解因为lim板;=lim3^=limL=0,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.

"T88V8Yi

以这级数的部分和近似代替和S所产生的误差为

I/•|=—!---1-----!----1----!----F…

"伽+1严（〃+2严2（〃+3产3

<1+—1—+—1—+...+

（71+1）,?+1（〃+1严2（〃+1严3

1

n（n+\）fl

例9判定级数£2+；”〃的收敛性.

〃=12

定理6（极限审敛法）

设£>〃为正项级数，

«=1

⑴如果lim或lim”j=+co）,则级数£孙发散；

p

⑵如果P>1,而limnun=l(0</<+oo),则级数乞〃〃收敛.

n=\

81

例10判定级数Zln(l+W)的收敛性.

?»=1〃

解因为ln(l+1)〜」(〃.8),故lim“2%=lim/ln(l+4y)=lim序-4y=l,

根据极限审敛法，知所给级数收敛.

例11判定级数£j^(l-COS匹)的收敛性.

〃=]〃

解因为limn^un=limi^-ytn+X(1-cos—)=lim-J3士L』(二产二]后,

,T828nis\n2n2

根据极限由敛法，知所给级数收敛.

二、交错级数及其审敛法

交错级数：交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的.

交错级数的一般形式为£(-1)〃T”〃，其中〃“>0.

n=]

例如，£(-ir-'-是交错级数，但玄(-1尸I—C°S〃N不是交错级数.

〃=1"，日n

定理7(莱布尼茨定理)

如果交错级数£(-1),-%满足条件:

n=\

(1)«„>«/,+1(72=1,2,3,…);(2)limun=0,

n-^oo

则级数收敛，且其和S勺小其余项的绝对值1%区〃〃+l.

简要证明：设前〃项部分和为"

由$2n=(〃L〃2)+(〃3—〃4)+**,+("2〃L〃2〃)，及

S2“=〃L(〃2一〃3)+(〃4一〃5)+•…+(〃2"一2一"2"-1)一〃2〃

看出数列｛%｝单调增加且有界所以收敛.

设S2,L>S(，Tm),则也有S2,”1=S2〃+〃2〃i1一$(〃—>m),所以品TS(“一8).从而级数是收敛的，且

1.

因为一|=〃〃+L""2+…也是收敛的交错级数,所以同加+1.

例12证明级数£(-1)〃一1工收敛，并估计和及余项.

〃=1〃

三、绝对收敛与条件收敛：

绝对收敛与条件收敛：

00008

若级数Zl〃〃l收敛，则称级数Z/绝对收敛；若级数2>〃

/:=!//=!n=\

0000

收敛，而级数发散，则称级2%条件收敛.

n=\〃=1

例13级数次(-1尸W是绝对收敛的，而级数£(-1)〃一匕是条件收敛的.

〃=1〃n=\〃

88

定理8如果级数〃绝对收敛，则级数必定收敛.

〃=1〃=1

值得注意的问题：

如果级数fl%/发散，我们不能断定级数£〃〃也发散.

〃=1n=l

88

但是，如果我们用比值法或根值法判定级数Zi〃〃i发散，则我们可以断定级数〃必定发

〃=1,1=1

散.这是因为，止匕时心।不趋向于零，从而〃”也不趋向于零，因此级数Z〃〃也是发散的・

n=l

00•

例14判别级数Z芈见的收敛性.

“=|丁

列15判别级数£(—1)〃](1+,产的收敛性.

M2〃n

小结

1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性;

2.利用正项级数审敛法；

3.任意项级数审敛法:Leibniz判别法。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意部分和数列的极限判别级数的敛散性，正项级数审敛法，任意项级数审

敛法：Leibniz判别法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.判别级数的敛散性：（1）y—!—,

77?ln（77+1）工（职1n

w®ii

2.设/w0（〃=1,2,3,…），且—=则级数£（—1严（一+一）：（）

…与«=i册

（A）发散；（B）绝对收敛；（C）条件收敛；（D）收敛性根据条件不能确定

讲课提纲、板书设计

作业P268:1(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

4(1),(3),(5),(6);

5(2),(3),(5)

§12.3塞级数

一、函数项级数的概念

函数项级数：给定一个定义在区间/上的函数列｛〃〃（1）｝,由这函数列构成的表达式

〃1（X）+〃2（X）一〃3（X）+•一+〃”（支）十•一

称为定义在区间/上的（函数项）级数，记为.

〃=1

收敛点与发散点：

对于区间/内的一定点X0,若常数项级数£>〃（两）收敛，则称点X。是级数的收敛点

11=\"=1

.若常数项级数£>“（司）发散，则称点知是级数£>”a）的发散点.

71=1n=\

收敛域与发散域：

函数项级数£>〃(©的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散

〃=i

域.

和函数：

88

在收敛域上，函数项级数的和是X的函数s(x),S。)称为函数项级数的和函

”=1〃=1

数，并写成s(x)=£>〃(x).是£>〃(幻的简便记法，以下不再重述.

Zl=lM=1

在收敛域上，函数项级数£如(幻的和是X的函数sQ),s(x)称为函数项级数£以(幻的和函数,

并写成sa)=£〃“(x).这函数的定义就是级数的收敛域，

部分和：

函数项级数的前几项的部分和记作品(x),函数项级数X”〃⑴的前〃项的部分和记作

n=\

Sn(X),即

册(X)=〃l(X)+〃2(X)+〃3(X)+•一+〃”(彳).

在收敛域上有lims〃(x)=s(x)或s〃(x)->s(x)(〃78).

余项：

函数项级数£>〃(])的和函数S(x)与部分和s“(x)的差%(x)F(x)-s”(x)叫做函数项级数

n=l

00

X〃〃(x)的余项.函数项级数的余项记为r〃(x),它是和函数s(x)与部分和品(处的差rn

71=1

(戈)=伞)-品(x).在收敛域上有limr(x)=0.

n-^x)n

二、第级数及其收敛性

塞级数：

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幕函数的函数

项级数，这种形式的级数称为基级数，它的形式是

〃0+。/+田2+•…•一，

其中常数的,0,42,•••,叫做寨级数的系数.

事级数的例子:

l+x+x2+x3+…+炉+…，

1c1

1+X+=X2+…H"—+….

2!ri

注：慕级数的一般形式是

4o+0（X—XO）+Q2（X~~XO）2+•••+4〃（X—X0）”十,,,,

经变换仁不一加就得。0+。1什。2-+•一+小斐+….

幕级数

1+K+JV'十JV［十•一十才’十•一

可以看成是公比为x的几何级数.当因<1时它是收敛的；当时，它是发散的.因此它的收敛

域为（-1,1）,在收敛域内有

10々

-——=1+工+%-+炉+—FX"H.

1-X

定理1（阿贝尔定理）如果级数£>,“〃当Ax。。班0）时收敛，则适合不等式

〃=0

以|<仅。|的一切工使这幕级数绝对收敛.反之，如果级数当

»=0

后此时发散，则适合不等式仅以对的一切X使这累级数发散.

提示：是£。,卢〃的简记形式.

〃=0

简要证明设在点刈收敛，则有0的〃-0（〃—8）,于是数列｛为配〃｝有界，即存在一个常

数M,使I。加”区2,…）.

因为I=M-l=M\'\—\n<^-\—\H,

玉）X。玉）

而当*<|殉1时，等比级数£时・|工］〃收敛，所以级数收敛，也就是级数£«*绝对收敛.

n=0%

定理的第二部分可用反证法证明.倘若事级数当大M时发散而有一点X,适合|刘〉区|使级数收

敛，则根据本定理的第一部分，级数当X.W时应收敛，这与所设矛盾.定理得证.

推论如果级数£>〃/不是仅在点户0—点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一

/7=0

个完全确定的正数R存在，使得

当国〈R时，幕级数绝对收敛；

当国〉R时，幕级数发散；

当4A与x=-R时'箱级数可能收敛也可能发散.

收敛半径与收敛区间：正数R通常叫做幕级数£>胆〃的收敛半径.开区间(-凡R)叫做事级

0000

数〃的收敛区间.再由界级数在x±R处的收敛性就可以决定它的收敛域.基级数

的收敛域是(-R,R)(或H?,R)、(-RW、［-凡幻之一.

0000

规定：若某级数〃只在40收敛，则规定收敛半径R=0,若察级数对一切X都

〃=0?»=()

收敛，则规定收敛半径R=+8,这时收敛域为(-O0,+8).

定理2如果lim|4立卜「，其中斯、斯+i是基级数的相邻两项的系数，则这基级数

〃T8Cl„r=(}

的收敛半径

p=0

夕工0

P

0

简要证明：lim||=lim\^-\-\x\=p\x\.

〃f8Cl„

⑴如果()</K+oo,则只当小|<1时基级数收敛，R=—.

(2)如果片0,则恭级数总是收敛的，故R=+oc.

(3)如果片+8,则只当4。时察级数收敛，故R=0.

例1求幕级数

的收敛半径与收敛域.

解因为夕=lim|况|=lim?L1,

〃一＞00

，―gan

所以收敛半径为/?=工=1.

P

001

当户1时，幕级数成为2(-1)〃一吐，是收敛的;

n=\〃

当4-1时，察级数成为'*J'1),是发散的.因此，收敛域为(-1,1].

〃=1几

co1

例2求幕级数〃的收敛域.

叫0〃！

例3求幕级数£＞!炉的收敛半径.

77=0

例4求幕级数名票的收敛半径.

〃=0(码~

解级数缺少奇次幕的项，定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径，

事级数的一般项记为〃〃(幻=察/〃因为所|学?|=4|肝，

(〃!)2“T8〃〃⑴

当4奸＜1即时级数收敛；当4|肝＞1即因＞:时级数发散，所以收敛半径为/?=：.

L/L

[2(71+1)1!?(H+n

〃e(x)_[(〃+l)!]2_(2〃+2)(2〃+1)2

吊k(2〃)!「-(〃+1)2x.

例5求幕级数£与史的收敛域.

n=\2'"

解令UA1,上述级数变为£：?.因为P=liml—

,l

n=\2nan2〃+4+l)2

所以收敛半径R=2.

当U2时，级数成为之上，此级数发散；当=-2时二级数成为之士山，此级数收敛.因此级

n=\nn=\n

数的收敛域为-2金＜2.因为-2玄-1＜2,即-1众＜3,所以原级数的收敛域为

n=\2n

三、幕级数的运算

设幕级数£4/〃及/〃分别在区间(-R,R)及(-*,R')内收敛，则在(-R,R)与(-尼，R')中

〃=0n=0

较小的区间内有

88co

加法：£%炉+Ybnx，]=Zm〃+a)廿，

〃=o〃=o〃=o

减法：“廿一=次（4?一2）炉，

n=0〃=0/i=0

设幕级数汇41及£包炉分别在区间（-凡R）及（-尼，R）内收敛，则在（-R,R）与（-七R）中较小

的区间内有

加法：£“4+Eb,^=L，

减法：£a^-Eb,^=L（ctn-bn）^1.

OC8

乘法：（Z〃M”＞（2AX"）=。0%+（40仇+。仍0）.计（4帅2+。6+42优）/十・一

/i=0n=（）

+（dobn+U1bn-1+,一+4〃％）炉+•一

性质1箱级数的和函数S（X）在其收敛域/上连续.如果事级数在4/?（或4-R）也收

??=0

敛，则和函数S。）在（-凡R］（或［-&R））连续.

性质2幕级数的和函数s（x）在其收敛域/上可积，并且有逐项积分公式

〃二0

7c・88X°°/7/，+

£s（x）dx=［）（2%廿）公=££axndx=ZHTX（1々），

/i=0〃=（）n〃=o〃+i

逐项积分后所得到的察级数和原级数有相同的收敛半径.

性质3窑级数£%产的和函数s（x）在其收敛区间（-凡R）内可导，并且有逐项求导公式

〃=0

00co00

s'（x）=（XaM〃）'=£（4/〃）'=2〃。国1（H〈R）,

n-0n-0n-\

逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径.

81

例6求基级数之一三炉的和函数.

，印2+1

解求得事级数的收敛域为［-1,1）.设和函数为s（x\即S（x）=£一［炉，XG［-1,1）.显然

5（0）=l.在X9（X）=£—1X〃M的两边求导得

〃=0〃+1

［X5（X）T=£（'7炉+1）'=X炉=T^~•

n=0〃+1〃=01一%

对上式从。到X积分，得

xs(x)==-ln(l-x).

于是，当xM时，有s（x）=—Ln（l—x）.从而s（x）=--In(l-x)()<|x|<l

x

1x=0

因为心(x)=尤向=［：7炉力处

°急)几+1

=£c)8!>"=，i-)r占1dx=-ln(lr),

〃=o*人

--In(l-x)0vxi<1

所以，当冲0时，W5(x)=--In(l-x),从而s(x)=x

X1x=()

提示：应用公式货b'(6戊二/6)-b(0),即月(%)=尸(0)+。/'(幻&

1Q

---=1+X+X，9+JC，+—\-xn+•••

\—x

例7求级数£匕半的和.

〃=0〃+1

小结

1.求幕级数收敛域和收敛半径的方法;

2.累级数的性质。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意求募级数收敛域和收敛半径的方法，幕级数的性质，要结合实例，反复

讲解。

师生活动设计

1.己知£勺/在工=入。处条件收敛，问该级数收敛半径是多少?

〃=0

2.求极限Iimd+3n

+,,•H---)»其中。>1

“一8cia

讲课提纲、板书设计

作业P277:1(1),(3),(5),(7),(8),2(1),⑶

§12.4函数展开成幕级数

一、泰勒级数

要解决的问题：给定函数凡0要考虑它是否能在某个区间内“展开成事级数”，就是说，是

否能找到这样一个察级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数八丫）.如果能找到这

样的窑级数，我们就说，函数负幻在该区间内能展开成累级数，或简单地说函数/U）能展开成塞级

数，而该级数在收敛区间内就表达了函数应立

泰勒多项式：如果"r）在点回的某邻域内具有各阶导数，则在该邻域内yu）近似等于

/（X）=/（/）+/'（Xo）（X-通）+/（工一%）2+.・•

+乃察（x-v））"+R"（x），

其中此（©=，;二§）。一两）向信介于X与X。之间）.

泰勒级数：如果7U）在点即的某邻域内具有各阶导数/（X）,广（X）,,••,/"）（幻,•…，则当"-8时

，段）在点X0的泰勒多项式

〃〃（幻=/（々）+/'（%））（工一々））+^^（工一々））2+•一+'few

成为幕级数

.人0）+（'（而）。一入0）+/：；））（工一用6+」+・••J，。％_而）〃+，,•

这•累级数称为函数凡X）的泰勒级数.显然，当足讹时,人丫）的泰勒级数收敛于凡ro）.

需回答的问题：除了E外，兀r）的泰勒级数是否收敛？如果收敛，它是否一定收敛于40?

定理设函数/U）在点松的某一邻域U5））内具有各阶导数，则共为在该邻域内能展开成泰勒

级数的充分必要条件是儿丫）的泰勒公式中的余项以⑴当＞0时的极限为零，即

lim/?（x）=0（XGt/（^）））.

n-x»

证明先证必要性.设yu）在U（M））内能展开为泰勒级数，即

/（X）=/（/）+/'（而）（■¥-%）+/：：°）（x-二）2+…+于,°）（X—而）〃+••.,

2!〃！

又设0I+G）是於）的泰勒级数的前〃+1项的和，则在U（xo）内品+i（x）-＞Qx）（〃一＞8）.

而负幻的n阶泰勒公式可写成/）=S〃+I（x）+R〃（x）,于是/?〃（/）=处）f+i（x）-＞（）（〃-＞8）.

再证充分性.设凡仆）-＞（）（〃-＞8）对一切XEU（XO）成立.

因为危）的〃阶泰勒公式可写成fix）=S,J+I（x）+Rn（x）,于是Sn+1（X）m⑺-/?〃（X）/U）,

即负X）的泰勒级数在U（xo）内收敛，并且收敛于7U）.

麦克劳林级数：在泰勒级数中取xo=O,得

/(0)十八0)丹华炉+…+/^炉+…，

此级数称为,/U)的麦克劳林级数.

展开式的唯一性：如果人幻能展开成1的幕级数，那么这种展式是唯一的，它一定与火幻的麦

克劳林级数一致.这是因为，如果府)在点皿0的某邻域(-R,R)内能展开成x的鼎级数，即

),t

J(x)-a()+a\x+ci2^+•••+allx+•••,

那么根据鼎级数在收敛区间内可以逐项求导，有

f,(x)=a\+2a2X+3a3X2+•••+〃〃/『〔+•••,

,,2

尸a)=2!s+3,2a+i+•••+n(n-\)anx~+•••,

n3

/'〃(1)=3!。3+•--+n\n-l)(n-2)anx~+•••,

/(叫龙尸〃!〃〃+(〃+•-2〃”+|犬+•…,

于是得

而的⑼才⑼，出竹，…,乃曾，….

2!1T.

应注意的问题：如果JW能展开成工的累级数，那么这个幕级数就是JU)的麦克劳林级数.但是

,反过来如果JU)的麦克劳林级数在点犬0=0的某邻域内收敛，它却不一定收敛于人。因此，如果

./U)在点入B0处具有各阶导数，则/(X)的麦克劳林级数虽然能作出来，但这个级数是否在某个区间

内收敛，以及是否收敛于7U)却需要进一步考察.

二、函数展开成惠级数

展开步骤：

第一步求出f(x)的各阶导数:尸㈤J〃(x),…J⑺㈤,….

第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值：次()),广(0),/〃(()),•••/")(0),•••.

第三步写出幕级数：/(0)+广(0)叱+4^/+一.+-“)(」炉十…，并求出收敛半径+

2!IT.

第四步考察在区间(-R,R)内时是否凡(幻―0(〃-8).

lim/?(x)=lim

〃一＞88(/?+!)!

是否为零.如果凡a)f0(〃-8),则«r)在(-RR)内有展开式

〃x)=/(0)+r(0)A*)炉+../二(。)门..

・(_Ru<R).

2!〃！

例1将函数<x)=e”展开成x的幕级数.

ex=l+X+^-X2H------4-...(-oo<x<+oo).

2!77!

例2将函数./U)=sinx展开成X的幕级数.

一豪奈…+S

sin.r=.r7-1卜…(一oovxv+co).

(2n-l)!

例3将函数式幻=（1+尤）川展开成x的幕级数，其中〃7为任意常数.

八1m（m-l）o"2（6—1）一•（机一〃+1）„/.［、

（l+x），〃=l+〃a_Lz+…+--------xn+…（一1cx<1）.

2!x加

间接展开法:

例4将函数./Cr)=cosx展开成犬的某级数.

242〃

cosx=l-+-^---••+(-ir-^—+•••(-00<X<+00).

2!4!(2〃)！

列5将函数/(幻=」方展开成x的幕级数.

1+X2

-J—=1-A2+%4_...+(-l)«x2,/+...(TW).

l+X2

注：收敛半径的确定：由-1〈-£<1得

例6将函数./U）=ln（l+x）展开成x的哥级数.

解因为r（x）=」一，而丁!一是收敛的等比级数£（-1）〃炉（-1<衣1）的和函数:

1+xl+x〃=（）

-^―=1-X4-X2-X34-b（_l）〃X〃+….

1+X

所以将上式从0到x逐项积分，得

ln（l+x）=x-：+4-：+…+（—1），书+…（―1<@.