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文档简介
第06讲空间向量的应用--线面位置关系的证明
1.空间中线与线的位置关系:平行、相交、异面.
2.空间中线与面的位置关系:线面平行、线在面内、线面相交.
3.空间中面与面的位置关系:面面平行、面面相交.
知钠支梳理】
1直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量
若4、8是直线1上的任意两点,则方为直线[的一个方向向量;与前平行的任意非零向量
也是直线/的方向向量.
(2)平面的法向量
若向量而所在直线垂直于平面%则称这个向量垂直于平面吟记作元向量记叫做平面。
的法向量.
(3)平面的法向量的求法(待定系数法)
①建立适当的坐标系;
②设平面a的法向量为五二(%y,z);
③求出平面内两个不共线向量的坐标互=(%,©,。3),石=(必,b?,%);
④根据法向量定义建立方程组巧[=°
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面Q的法向量.
2判定空间中的平行关系
(1)线线平行
设直线匕/2的方向向量分别是乙石,则要证明川“2,只需证明可|瓦m=kb(ke/?).
(2)线面平行
设直线/的方向向量是五,平面a的法向量是元,则要证明,||a,
只需证明N_L五,即W•五=0.
(3)面面平行
若平面a的法向量为近,平面£的法向量为通,要证a||6,只需证对底,即证4=入立
3判定空间的垂直关系
(1)线线垂直:
设直线匕,,2的方向向量分别是石石,则要证明,1_L%,只需证明2,石,即。•石=0.
(2)线面垂直
©(法一)设直线I的方向向量是汇平面Q的法向量是元,则要证明11a,只需证明同向即R=
An.
②(法二)设直线I的方向向量是a,平面。内的两个相交向量分别为记,元,
若,则lla.
(3)面面垂直
若平面a的法向量为近,平面口的法向量为芯,要证a_L/?,
只需证/1nJ,即证五,nJ=0.
【善例今折】
【题型】线面、面面位置关系的证明
【典题1】若平面a与0的法向量分别是五=(2,4,-3),5=(-1,2,2),则平面a与0的位置
关系是()
A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定
【解析】•・•/•]=(2,4,-3)(—1,2,2)=-24-8-6=0
alb,
・•・平面a与平面0垂直
故选:B.
【典题2】如图1所示,在边长为12的正方形中,点B,C在线段A4上,且48=
3,BC=4,作BBiIIA4],分别交44、A41'于点火、P,作CC〔II,分别交A/;、AA^
于点6、Q,将该正方形沿3%、Cg折叠,使得a4;与A%重合,构成如图2所示的三棱
柱力8C-A181G.
(1府三棱柱ABC-Ai&Ci中,求证:481平面BCC$i;
(2)试判断直线AQ是否与平面人C]P平行,并说明理由.
【解析】(1)证明•••43=3,BC=4,--AC=12-3-4=5,
从而有AC2=AB2+BC2,AB1BC,
又AB1BBi,BCABB1=B,
-.AB_L平面BCG8卜
(2)直线AQ与平面4C】P不平行.
理由如下:
以B为原点,BA为之轴,BC为y轴,BB1为z轴,建立空间直隹坐标系,
4(3,0,0),Q(0,4,7),4(3,0,12),加(0,4,12),P(0,0,3),
而=(-3,4,7),西=(3,0,9),际=(0,4,9),
设平面4GP的法向量五=(%y,z),
n-PA=3x+9z=0
则V,取x=3,得元=(3,\,—1),
n-PC;=4y+9z=0
v筋•n=-9+9—7=—700,
,直线4Q与平面不平行.
【点拨】
①当题中出现多线段长度,注意可利用勾股定理逆定理证明线段垂直的方法;
②第一问利用线面垂直判定定理便可证明,不需要利用向量法;
③第二问用高一线面平行判定定理很难做出来,此时想到向量法;思路如下,
4Q〃平面41clp<=>AQn=0国为平面41clp的法向量).
④利用待定系数法求平面41clp的法向量范
【典题3】如图,在直三棱柱4BC-481cl中,4iBi=AiCi,尸为当好的中点,。,E分
别是棱8C,CQ上的点,且/W_L8C.
⑴求证:直线41尸〃平面4DE;
(2)若AABC是正三角形,E为CiC中点,能否在线段BiB上找一点N,使得&N〃平面ADE?
若存在,确定该点位置;若不存在,说明理由.
【解析】(1)证明:在直三棱柱4BC—4&G中,
VAB=AC,AD1BC,/.D是BC的中点,
又为々Ci的中点/.DF//AAY
••・四边形DFA.A是平行四边形,
•・A/IIAD,
6平面ADE,ADcYffiADE,
•••4/〃平面
(2)在直线上找一点N,使得&N〃平面AOE,证明如下:
在直三棱柱ABC—481cl中,vDF//AA1:.DF1AD,DF1DC
XvAD1BC•••DA,DC,D尸两两垂直,
以。为原点,为%轴,。。为y轴,。尸为z轴,建立空间直角坐标系,
设=2,AAX=2t»
•••N在线段8道上,设87=入881,0<A<1,贝ljN(0,-1,2入£),
则A(V3,0,0),D(OAO),E(O,l,t),B(0,-1,0),8式0,-1,2£),4i(V3,0,2t),
DA=(6,0,0),DE=(0,l,t),ApV=(-V3,-1,(2入-2)t),
设平面ADE的法向量记=(xfytz).
则n-DA=V3x=0
取z=l,得五=(0,—
(n•DE=y+tz=0
•••&N〃平面40E,
••・A^N•济=0+t+(2入-2)t=0,解得人=J,
•••在直线上存在一点N,且=使得&N〃平面4DE.
①第一问利用线面平行判定定理易证明;
②题中线段没有给到具体值,可作假设为氏=2,便于建系后确定点坐标,同时减少计算
量,直棱柱的高A4与4】々长度没联系,所有只能设A41=2t.
【典题4】如图,四棱锥S-ABCD中.ABCD为矩形,SD1AD,且SD14B,AD=1,AB=
2,SD=V3.E1为CO上一点,且CE=3DE.
(1)求证:AE1平面S8D:
(2)M、N分别在线段SB、CD上的点,是否存在M、N,使MN1CD且MNJLSB,若存在,
确定M、N的位置;若不存在,说明理由.
【解析】(1)方法一证明:;SD14。,且S01AB,S。1平面力BCD.
又•••AD1CD
可建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可知。(0,0,0),/(0弓,0)例1,2,0)/(1,0,0),C(0,2,0),S(0,0,V3)
・•.AE=(-1,"),D5(l,2,0),DS(0,0,V3),
..AE~DB=0,荏•岳=0
AE1DB,AE1DS又DBC\DS=D
•••4E1平面SB。;
方法二
•••SD1AD,且SD1AB,SD_L平面48co
•••SD1AE
如图:
tan£DAE=—=7»tanz.DBA=—=7,
AD2AB2
•••LDAE=Z.DBA
Z.DBA+^-EAB=90°.
•••AE1BD;
•••4E1平面SBD;
(2)假设存在MN满足MN1CD且MNJ.SB.
在空间直角坐标系中,丽=(-1,-2,禽),
在线段CO上可设丽?=痂=(一人,一2人,6人)(Ae[0,1])
-:~DM=DB+~BM=(1,2,0)+(-A,-2入,例)=(1-A,2-2入,例)
M的坐标(1-入,2-2A,V3A),
・•・N在线段SB上可设N(0,y,0),ye[0,2]
则丽=(1-A,2-2入-y,V3A).
要使MN1CD且MN1SB,则["i££=0,
(MM•BS=0
|2(2-2X-y)=0
」何l一(1一入)-2(2-2入-y)+3入=O'
解得A=ie[0,l],y=1G[0,2].
故存在MN使MNJ.CO且MN1SB,其中M是线段SB靠近B的四等分点,N是线段CD
靠近C的四等分点.
【点拨】
①对于高一非向量法与向量法的取舍,若第一间非向量法较容易解答,而第二问很难则第
一问用非向量法,第二问用向量法;若第一问用非向量法较难,则建议从第一问就开始利
用向量法,比如该题,不用纠结第一问用向量法要建系描点浪费时间,其实不然,因为第
二问大多数情况下都使用向量法的:
②第一问方法二中利用平面几何知识点怎么垂直关系,常见技巧是勾股定理逆定理、相似
三角形、三角函数等;
③三点共线设元问题:%M在线段CD上,可设的=入丽=(一入,一2人,百人)(Ae[0,1])”
中,常用向量共线的方法:前二屉,同时要注意变量人的取值范围.
巩固练习
1,已知五=(12—1)为平面a的一个法向量,1=(-2=1)为直线,的方向向量.若Ella,
则入=__.
【答案】|
【解析】I\\a,n•a=—2+2入-1=0,可得入=
2.已知平面a的法向量是五=(3%-1,-l,x+5),平面夕的法向量是%=(x+l,x2+3,-x),
且a_L0,则实数%的值为.
【答案】一1或4
【解析】"a1£,二b,
a-b=(3x-l)(x+1)-(x2+3)-x(x+5)=0,解得x=-1或4.
3.如图,在直三棱柱中,ABIAC,AB=AC=AA^。为BC的中点.
(1)证明:〃平面ADC1;⑵证明:平面ADg1平面8/C1C.
【证明】(1)证明:•.•在直三棱柱ABC—4B1G中,AB1AC,
二以公为原点,41cl为%轴,力道1为y轴,力M为z轴,
建立空间直角坐标系,设/B=4C=44i=2,
4(0,0,0),8(0,2,2),4(0,0,2),
C(2,0,2),。(1,1,2),(2,0,0),
4;B=(0,2,2),AD=(1,1,0),=(2,0,-2),
设平面AOCi的法向量n=(x,y,z),
则伫用="+丫=°,取“1,得心(1,T,l),
ri-ACX=2x-2z=0
vn^=0-2+2=0,且48a平面4DCi,
•••4科||平面4。。1.
(2)证明:vDC=(l,-l,0),标1=(1,一1,一2),
设平面BBigC的法向量藐=(a,b,c),
则7运=0-6二°,取。=1,得藐=(1,1,0),
m•DC1=a—b-2c=0
又平面ADC1的法向量£=
n-7n=l—1+0=0,
平面ADCr_L平面BBigC.
4.如图1,在RCA4BC中,Z.C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,48上的点,
且DE〃BC,DE=2,将aAOE沿DE折起到AADE的位置,使&CJLCD,如图2.
⑴求证:&C_L平面BCDE;
(2)线段BC上是否存在点P,使平面4DP与平面4BE垂直?说明理由.
图1图2
【答案】(1)证明略(2)不存在
【解析】(1)证明:vCD1DE,4D10E,CDHA1D=Df
:.DE1平面AC。,
又•••*<2平面&CD,:.AXCIDE
又41cleD,CDdDE=D
•••&C1平面BCDE
(2)解:如图建系,
则C(0,0,0),D(-2AO),4(0,0,275),8(0,3,0),£(一2,2,0)
设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则Q€[0,3]
:.A;P=(0,Q,-2V3),DP=(2,tz,0)
设平面A】OP法向量为%二(%171N1)
V3
则如一2恁1=0Z1-Q%
'12%[+ayi=0Xi=-1ayi
•••nj=(-3a,6,V3a)
假设平面AiOP与平面ABE垂直,则?i「n=0,
•••3Q+12+3a=0,6a=-12,a=-2
0<a<3
•••不存在线段BC上存在点P,使平面40尸与平面4BE垂直
%](OA2V3)
;匚\E(.22O)
1/中(20,0/\^
y
(0.0.0)B(03,0)
【/题信依】
一、单选题
1.已知尸,丁是三个不同的平面,"八〃是两条不同的直线,下列命题为真命题的是()
A.若小〃“,m//p,则。〃/B.若〃?〃a,n//at则”?〃〃
C.若/w_La,〃_La,则加〃〃D.若a_L/,/?_!_y,则a〃/
【答案】C
【分析】根据空间中的直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,对照四个选项一
一判断.
【详解】对于A,由“〃〃,打〃尸,得。〃夕或。与夕相交,故A错误;
对于B,若加〃a,〃〃a,则加与〃可能是异面直线、也可能是相交直线,
也可能是平行直线,所以B错误;
对于C,若m_La,〃_La,由线面垂直的性质定理知加〃〃,所以C正确;
对于D,若a_Ly,夕J_y,则。与夕可能相交,也可能平行,所以D错误.
故选:C.
2.己知正方体4BCD-4BGR,棱长为1,E,尸分别为棱48,CG的中点,则()
A.直线力。与直线E尸共面B.4E不垂直于
C.直线4E与直线8”的所成角为60。D.三棱锥G-4。尸的体积为《
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,A选项,假设直线与直线E尸共面,由
面面平行的性质得到尸,曰推出矛盾,A错误;B选项,计算出港•箫=0
得到两直线垂直;C选项,利用空间向量夹角余弦公式计算;D选项,利用等体积法求解三
棱锥的体积.
【详解】如图,以。为原点,以Q4,DC,。〃所在直线分别为x,y,z建立空间宜角
坐标系,
则。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),D.(0,0,1),4。,。,1),4(LU),C,(0,1,1),
对于A,假设直线44与直线E尸共面,
•・,平面48瓦4〃平面OC0A,平面彳EF〃n平面平面OCGAA平面
ABB41=D】F,
・•・AEUD.F,
VAEHCXD.,
:.C\D\HD\F,矛盾,
工直线4。与直线“•不共面,A错误;
对于B,••彳=(0,最一1),=
----------11
A.EAF=OH----------0,
122
:.A、E±AF,
:.AxELAFtB错误,
对于C,设直线4E与直线8尸所成的角为
•••"60。,
・・・c错误,
对于D,・..4)_L平面。CGA,
:.V.=V.=-S-AD=^X-X-X\X\=—D正确.
Cc.।/iLD/rFVC|izDrF3/k&VC|izDrF322]2,F■fM
故选:D.
3.如图,在四棱锥尸一/BC。中,底面是菱形,m_L底面/BCD,PA=4iAB=75,,
=p截面BDE与直线尸C平行,与P/交于点E,则下列说法错误的是()
A.80工平面A4C
B.七为P4的中点
C.三棱锥尸力的外接球的体积为沙兀
D.与4C所成角的正弦值为!
【答案】D
【分析】由AC180可证80工平面尸4C,故A正确;由PC//平面得
PC//0E,可得E为4的中点,故B正确;根据两个截面外接圆的圆心找到球心,计算出
半径和体积,可得C正确;通过找平行线得异面直线所成角,解三角形可得与力。所成
角的正弦值为巫,故D错误.
4
【详解】对于选项A,因为产4_L底面力8C£>,BDu底面力BCD,所以HJ.8O,
因为底面45CQ是菱形,所以4c18。,
因为PZrMC=4,PHZCu平面R4C,所以80人平面尸4C,故A正确;
对于选项B,连4c交6。于O,则。为47的中点,
因为PC//平面8OE,PCu平面P4C,平面尸力CD平面8Z)E=0E,
所以PC//0E,因为。为力C的中点,所以E为4的中点,故B正确;
对于选项C,
因为底面488是菱形,ZABC=^t48=1,所以"灰?和"C。都是正三角形,
4c=8C=CD=1,所以C为AABD的外接圆圆心,设二棱锥P-ABD的外接球的球心为H,
则平面48C。,
又P4J■底面48cZ),48匚底面48。。,所以尸4_L/18,
所以P8的中点G是的外接圆的圆心,连GH,则G"J"平面88,
取48的中点尸,连CR尸G,因为FG//PA,尸彳_L底面48C。,所以尸G_L底面48CO,
又“C_L平面所以FG//CH,
因为“8C为正三角形,产为48的中点,所以CFLAB,
因为产力_L底面48C。,CFu底面48c。,所以尸N_LC/,
因为48nH=44民尸4匚平面尸48,所以CF_L平面P48,
所以由G"_L平面48,b_L平面48,得CF//GH,
所以四边形GH"是平行四边形.所以CH=RS='P/=正一
22
因为BC=1,所以HB=JBC?+CH?=,7|=,,即三棱锥尸-的外接球的半径为
所以其体积为士兀=人口兀.故C正确;
对于选项D,因为。为5。的中点,G为尸8的中点,所以OG//PO,
所以ZJOG(或其补角)是异面直线尸。与4C所成的角,
因为产力=百,AD=l,所以PD=历1=2,所以OG=gpD=l,
又AG=>PB=UPA2+AB2=1,OA=-AC=~,
2222
所以•n.”卜(7而.故D错误.
sinvAOG=-=
14
故选:D
4.已知冬户是两个不同的平面,/,力/是三条不同的直线,下列说法正确的是()
A.若阳//ua,则m〃〃
B.若加〃a,〃uQ,则m〃〃
C.韭mua、nuB,m〃n,则a〃£
D.若/〃则/_La
【答案】D
【分析】利用线面平行的性质定理,面面平行的判定定理,线面垂直的判定定理和性质定理
即可逐个选项判断.
【详解】对于A项,若加〃a,〃ua,
则直线也〃可以平行,也可以异面,所以A错误;
对于B项,若机〃a,〃u夕,
可以得到叫”平行或异面或相交,所以B错误;
对于C项,若〃1ua,”u4,,
。与夕可以平行,也可以相交,所以C错误;
对于D项,若加_1。,则直线〃?与平面。内的所有直线都垂直,
又/〃6,,/与平面a内的所有直线都垂直,
根据线面垂直的定义可得/故D正确.
故选:D
5.已知A,B,C是球O的球面上三点,45=4,JC=2,/8/C=6。。,若异面直线OC与
力8所成角的余弦值为《,则球。的表面积为()
A.207cB.24兀C.28兀D.32K
【答案】A
【分析】由题意易知4c上6C,则外接圆的圆心O1是48的中点,在长方体内还原A,
B,C,O,01,平移OC,作出异面直线OC与48所成角(或补角)ZDO.B,由
的余弦值为4可求出长方体的高,由此即可求出球。的半径,则可求出答案.
【详解】由题意知,在“8(7中,BC=V42+22-2X2X4COS60°=2\/3»
•;BC'+AC'=AB、,/.C-p316c外接圆的圆心Q是月6的中点,
易知0«_L平面力BC.
设。a=d,长方体如图所示,
易知OQ〃CQ1,且O£>=cq,四边形OQQC是平行四边形,则OC〃O«,/。。产为异
面直线0C与N8所成角(或补角),
2
易知。]8=2,DOt=BD=xjd+4,
则在等腰△。。产中,cosZDO,B=^-=-rJ==^-,解得d=l,
则球O的半径&=际7=石,
球O的表面积为4兀斤=207r.
故选:A
6.如图,棱长为2的正四面体中,M,N分别为棱4。,8。的中点,O为线段
的中点,球O的表面正好经过点M,则下列结论中正确的是()
C
A.力OJ.平面8co
B.球。的体积为必兀
3
4
C.球O被平面8c。截得的截面面积为§兀
D.过点。与直线48,。。所成角均为T的直线可作4条
【答案】ABD
【分析】设反尸分别为26,。。的中点,连接ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,根据线面垂直
的判定定理可判断A:求出球的半径,计算球的体积,进而判断B:求出球O被平面8co截
得的截面圆的半径,可求得截面面积,进而判断C;通过平移与补形法,通过角平分线的转
化寻找平面进而找出直线,从而可判断D.
【详解】设民尸分别为的中点,连搂ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,
C
则EM//BD,NF//BD,EM=-BD.NF=底D,
22
裁EM〃NF、EM=NF,则四边形MENF为平行四边形,
故EF,MN交于一点,且互相平分,即。点也为E尸的中点,
又AB=AC,DB=DC,故AN工BC,DNtBC,
ANCDN=N,AN,DNu平面AND,故BC上平面4ND,
由于OwMN,MNu平面AND,则AOu平面AND,
故BCl/O,结合。点也为EF的中点,同理可证。C_L/O,
8CnOC=C,8C,OCu平面3C。,故力。1平面BCD,A正确:
由球。的表面正好经过点则球。的半径为。",
棱长为2的正四面体NBCO中,AN=DN=6,M为AD的中点、,
则0M=立,所以球。的体积为色簸(。0)3=£兀'(也)3=3兀,B正确;
23323
由BC_£平面力NO,8Cu平面8CQ,故平面4M)_L平面,
平面4VQC平面3c£>=ON,由于40J•平面5C。,
延长NO交平面88于G点,则。7J■平面B。,垂足G落在。N上,
且G为正△BC。的中心,故NG==ND=B,
33
所以OG=ylON2-NG2=((丫-*)2=*,
故球O被平面8。截得的截面圆的半径为符)2_(毛)2=与,
则球O被平面88截得的截面圆的面积为兀x(1)2=T,c错误;
由题意得,正四面体可以放入正方体内,如下图所示,将48平移至正方体的底面内,过
/。和7。的角平分线作垂直于底面的平面,即平面OP。,在平面内一定存在过O
点的两条直线《4使得该直线与直线C0所成角均为T,同理可知,过SFC和N4FD
的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意,所以过点O与直线48,CO所
成角均为g的直线可作4条,D正确.
【点睛】思路点睛:本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点,作出适合的辅助线,
要善于观察图形特点,放入特殊图形中从而快速求解.
7.如图,在三棱柱48C-44G口,_L平面力8c=4B=2,8C=1,ZABC=^\E
是棱〃4上的一个动点,则()
A.直线4C与直线C卢是异面直线
B.A4C万周长的最小值为3+2立
C.存在点E使得平面力。卢_1_平面44。。
D.点C到平面4GE的最大距离为毡
3
【答案】ACD
【分析】根据空间中点线面的位置关系相关知识即可判断.
【详解】选项A:不管£点移动到8片上的哪个位置,
直线4c与直线。卢均不相交,也不平行,所以A正确;
选项B:△力。避周长的为4G+4E+EG,要使周长最小,
即AE+EG最小,即为面AA\B、B和面BB«C的展开图中4G的长,
所以(彳E+Eq)mm=\/32+22=VH,
所以/G+%E+EG=3+J15,所以B错误;
选项C:由图易知,二面角c-4G-8为锐二面角,
二面角C-4G-用为钝二面角,
在£点从8到4移动的过程中,二面角C-4G-E由锐角变成了钝角,
所以,在棱上必然存在E点使得平面4GE_L平面C正确;
选项D:要使点。到平面4GE的至离最大,即当二面角C-4G-E为90。时,
此时c到4G的距离即为所求距离的最大值,过c作力G的垂线CF,
因为面力EG~L面/CG,CF,面4EG,面4EGn面力CG=4G,CFu面4CG,
所以。尸,面力£6,即c尸为点C到平面4GE的距离,也是C到彳G的距离,
又因为=cc}=2,力G=3,d-AC}=ACCC1
所以点C到平面力GE的距离为4=半,所以D正确.
故选:ACD
三、填空题
8.已知加、〃是不同的直线,。、夕是不重合的平面,给出下列命题:
①若alip,mua,nuB,则m//n;
②若小〃人〃〃尸,则
③若m_La,”_Lpjn/ln,则allp:
④小,〃是两条异面直线,若加〃a,〃,〃W,M/a,〃//,则a%.
上面的命题中,真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)
【答案】③④
【分析】利用平面与平面平行的判定和性质可判断各命题的真假.
【详解】若则相与〃平行或异面,故①错误;
m、nua,m〃1n〃0,但用与〃不一定相交,a〃£不一定成立,故②错误;
若mla刈〃n,则〃_La,又由〃_L〃,则a%,故③正确;
〃?,〃是两条异面直线,若阳〃a,m〃Q,“〃a,川/,则过m的平面与平面a相交于直线M,有,
过〃的平面与平面a相交于直线“,有〃〃〃',m,〃异面,/,〃'一定相交,
m'ua,加ua,n//fl,如图所示,
由面面平行的判定可知a//,故④正确;
故答案为:(3)@
9.已知“、〃是不同的直线,a、〃是不重合的平面,给出下列命题:
①若m/la,则m平行干平面。内的任一条直线:
②若a〃夕,mua,〃u夕,则机〃〃;
③若_L1,则a〃少;
④若a〃1mua,则〃?//〃.
上面的命题中,真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)
【答案】③④
【分析】①由线面平行的性质判断
②由面面平行的性质判断
③由如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则马另一条也垂直于这个平面判断
④由面面平行的性质判断
【详解】①若机//。,则加平行于平面。内的无数条平行直线,不是任一条直线,故①错;
②若a〃B,mua,nuB,只能得到小〃夕,不能得到m〃叫故②错;
③因为m_La,m//〃,所以〃_La,又因为〃_1.夕,所以a〃夕,故③正确;
④由面面平行的性质可知④正确.
故答案为:③④.
10.已知正方体相的外接球的表面积为36几,点E,户分别是48,CG的中
点,过乌,E,R的截面最长边长为小,最短边长为〃,则竺=.
n
【答案】石
【分析】通过延长可得过A,E,尸的截面为五边形〃可以开,利用正方体外接球的表面
积求出正方体边长,然后五个边都求出,即可得出结果.
【详解】
如图,延长QC,。尸交于点G,连接EG交BC于点〃,
延长GE,DA交于点M,连接交力4于点N,
连接“,NE,则过R,E,尸的截面为五边形ANE"/,
设正方体4BCD-4B£R的棱长为。,
由正方体外接球的表面积为367r=4口2,
可得其外接球的半径「为3,直径为体对角线,
则上a=2x3>故a=2G»
在Rt△/GA中,由勾股定理得/.==后,
易得ABEH~△CGH,—-==—,
故EHZBH'+BE?=叵,FH=JFC2+HC2=—,黑=:,
330A4
故AN=4,故NE=4AN2+AE2=姮,£>1N=J/R+qM=孚,
所以最长边为m=〃N=更,最短边为〃=N£=姮,故”=不.
122n
故答案为:石
【锦后风电】
一、单选题
1.(2021秋•北京海淀•高二人大附中校考期中)设直线机的方向向量为(1,1,-1),4(1,0,0),
5(0,1,0),C0,1,1)为平面。的三点,则直线〃与平面。的位置关系是()
A.ml/aB.机〃a或/〃ua
C.mlaD.mf/a
【答案】C
【分析】设直线机的方向向量为蓝,利用而•刀=0,w-5C=0»又而与於有公共点8,
从而即可求解.
【详解】解:因为力(1,0,0),5(0,1,0),C(1J,1)为平面a的三点,
所以而=(-1,1,0),而=(1,0,1),
设直线小的方向向量为G,则而=(1,1,-1),
因为“45=lx(-1)+lx1+(-1)x0=0,m-BC=lx1+Ox1+lx(-1)=0,
所以蓝_L方,mlBC^又荏与环有公共点8,
所以直线加垂直于平面a,即机_La,
故选:C.
2.(2023秋•河南信阳•高二统考期末)直线/的方向向量为7,平面。与夕的法向量分别为
而,;;,则下列选项正确的是()
A.若/_La,则~j»m=0B.若川户,则7=
C.若aJ■/,则m*n=0D.若。〃尸,则m*n=0
【答案】C
【分析】根据空间中直线与平面,平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即
可求解.
【详解】若/_La,则7与石共线,故选项A错误;
若川夕,则;_L;,即7G=0,故选项B错误;
若则前与7垂直,即薪)=0,故选项C正确;
若a〃夕,则而与7共线,故选项D错误,
故选:C.
3.(2021・高二课时练习)已知直线/的一个方向向量3=1,2),立面。的一个法向量
«=(4-2,3),则直线/与平面a的位置关系是()
A.垂直B.平行C.相交D.平行或直线在平面
内
【答案】D
【分析】首先通过数量积,判断向量力与用的关系,再判断线面的位置关系.
【详解】因为「万=-lx4+lx(—2)+2x3=0,
所以直线,与平面的法向量垂直,则宜线/与平面。平行或在平面内.
故选:D
4.(2021•高二课时练习)在正方体中,平面/方的一个法向量为()
A.西B.DBC.D.画
【答案】A
【分析】由正方体的性质可得:BDilBiC,BDi±AC.即可得出平面ACBi的一个法向量.
由正方体的性质可得:BDilBiC,BDilAC.
;・BDi_L平面ACBi.
,平面ACBi的一个法向量为国.
故选A.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质、平面的法向量,考查了推理能力与计算能力.
UU1
5.(2022・高二课时练习)设夕是不重合的两个平面,。,夕的法向量分别为%,
/和机是不重合的两条直线,/,加的方向向量分别为I,那么。〃夕的一个充分条件
是()
A.Iua,mu。’且e2±n2
B.lea,mu。,且,"e?
C.q〃々,e2//n2,且q〃q
e
D.qJ.%,e2A2,且0〃i
【答案】C
【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.
【详解】对于A,/ua,且1_1彳,e2ln2f则a与夕相交或平行,故A错误;
对于B,/ua,mu/,且则a与£相交或平行,故B错误;
对于C,6〃〃1,e2//n2,且q/'g,则a〃/,故C正确:
对于D,《J.6,e21w2»且则。与£相交或平行,故D错误.
故选:C.
6.(2021•高二课时练习)尸4尸民PC是从点尸出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60。,
那么直线PC与平面"8所成角的余弦值是()
A."B.近C.qD,
3322
【答案】B
【分析】作图,找到直线PC在平面45上的投影在构建多个直角三角形,找出边与角之间
的关系,继而得到线面角;也可将尸4P8,尸。三条射线截取出来放在正方体中进行分析.
【详解】解法一:
如图,设直线PC在平面P/B的射影为尸。,
作CGJ.P0于点G,CHLPA于点H,连接的,
易得CGtPA,又CHcCG=C,CH,CGu平面CHG,则4_L平面C,G,又,Gu平面
CHG,则04"L"G,
cosZCPA=—
PC
有
PGPHPH
cosZ.CPDxcosZAPD
PC~PG~~PC
故cosZ.CPA=cosZ.CPDxcosNAPD.
已知Z.APC=60°,ZJPD=30°,
故85/。尸。=史必竺=垩”=在为所求.
cosZAPDcos3003
解法二:
如图所示,把04尸民PC放在正方体中,P4尸民PC的夹角均为60。.
建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则P(l,0,0),C(0,0,l),41,1,1),5(0,1,0),
所以定=(-1,0,1),苏=(0,1,1),方=(-1,1,0),
ii•PA=y+z=0
设平面产48的法向量G=(x/,z),则〈_-
ii-PB=-x+y=0
令X=l,则歹=l,z=-l,所以力=(1,1,一1),
所以8s(元外=磊^^7r筌
设直线PC与平面PAB所成角为。,所以sin。=1cos<PC,G1=半,
所以cos。=V1-sin2^=必~.
3
故选B.
二、多选题
7.(2023春・河南南阳•高二社旗县第一高级中学校联考期末)已知向量7=(-2,3,1)是平面a
的一个法向量,点尸(5,2)在平面a内,则下列点也在平面a内的是()
A.(2,1,1)B.(0,0,3)C.(3,2,3)D.(2.1,4)
【答案】BCD
【分析】记选项中的四个点依次为4,B,C,D,结合数量积的坐标运算验证方,而,PC,
而是否与;;垂直即可.
【详解】记选项中的四个点依次为4B,C,D,
则苏=(1,0,-1),P5=(-l,-l,l),定=(2,1,1),赤=(1,0,2),又1(-2,3,1),
P5M=1X(-2)+0X3+(-1)X1=-3^0,故两与♦不垂直,故A错误;
ra-w=(-l)x(-2)+(-l)x3+lxl=0,故而与G垂直,故B正确;
PC-w=2x(-2)+1x3+1x1=0,故正与G垂直,故C正确;
PDw=lx(-2)+0x3+2xl=0,故而与7垂直,故D正确;
故选:BCD.
8.(2021秋•福建泉州•高二泉州五中校考期中)已知正三棱柱彳8。-481G的所有棱长均
相等,D,E分别是8C,CG的中点,点P满足/=工福+歹衣+(l-x-切荏,下列选
项正确的是()
A.当y=g时,APLBCB.当x+2y=l时,APIBE
C.当x=y时,NDEP为锐角D.当=;时,平面4OE
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系,利用向量法逐项求解判断.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系:
B
设棱长为2,
则J(V3,0,0),51(O,1,2),C(0,-l,0)8^),1,0)£Q,fl),
所以函一(-75,1,2),衣—(75,-1,0),布-(76,1,0,所以万一(一石,l-2y,2x),
A.当歹=;时,5C=(0,-2,0),9•觉=4y-2=0,所以4尸_L6C,故正确;
x+2y=l时,5£=(0,-2,1),不•而=4y-2+2x=0,所以力尸_1_8£,故正确;
x=y时,丽=(0,1,-1),而=不一荏=@,2—2y,2x—l郎•辞=3-24+y),正负不定,
故错误;
D.当=;时,布二#—五?=(々^1—2乂2工一2),设平面4OE的一个法向量为
万=(a,b,c),
则覆.亡,即俨U,令I,则"(01』),
所以神•万=2(x-力-1=0,又4尸3平面所以4尸〃平面4DE,故正确;
故选:ABD
三、填空题
9.(2022・高二课时练习)已知力(3,4,0),8(2,5,2),。(0,3,2),则平面”C的一个单位
法向量是.
【答案]吟,_冬冬
【分析】由题设,求面4BC的一个法向量蓝,则其单位法向量是
|w|
【详解】由题设,AB=(-1,1,2),^C=(-3,-1,2),
(—*一
一一,,m-AB=-x+y+2z=0
若m=(x,y,z)是面48c的一个4法向量,则〈-----,
m-AC=-3>x-y-\-2z=0
令y=-i,则/故面皿的一个单位法向量是M=(g-当当.
|m\333
故答案为:(理,_曰,电)
10.(2021・高二课时练习)已知4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面
ABC法向量的是.
①(;,1,1),0(1,-1,1),
333333
【答案】③
【分析】根据给定条件求出平面ABC的一个法向量7,再在给定的4个坐标中求与7共线
的即可.
【详解】依题意,冠=(-1,1,0),%=(-1,0,
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