第06讲空间向量的应用-线面位置关系的证明(知识解读真题演练课后巩固)_第1页
第06讲空间向量的应用-线面位置关系的证明(知识解读真题演练课后巩固)_第2页
第06讲空间向量的应用-线面位置关系的证明(知识解读真题演练课后巩固)_第3页
第06讲空间向量的应用-线面位置关系的证明(知识解读真题演练课后巩固)_第4页
第06讲空间向量的应用-线面位置关系的证明(知识解读真题演练课后巩固)_第5页
已阅读5页,还剩30页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第06讲空间向量的应用--线面位置关系的证明

1.空间中线与线的位置关系:平行、相交、异面.

2.空间中线与面的位置关系:线面平行、线在面内、线面相交.

3.空间中面与面的位置关系:面面平行、面面相交.

知钠支梳理】

1直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量

若4、8是直线1上的任意两点,则方为直线[的一个方向向量;与前平行的任意非零向量

也是直线/的方向向量.

(2)平面的法向量

若向量而所在直线垂直于平面%则称这个向量垂直于平面吟记作元向量记叫做平面。

的法向量.

(3)平面的法向量的求法(待定系数法)

①建立适当的坐标系;

②设平面a的法向量为五二(%y,z);

③求出平面内两个不共线向量的坐标互=(%,©,。3),石=(必,b?,%);

④根据法向量定义建立方程组巧[=°

⑤解方程组,取其中一组解,即得平面Q的法向量.

2判定空间中的平行关系

(1)线线平行

设直线匕/2的方向向量分别是乙石,则要证明川“2,只需证明可|瓦m=kb(ke/?).

(2)线面平行

设直线/的方向向量是五,平面a的法向量是元,则要证明,||a,

只需证明N_L五,即W•五=0.

(3)面面平行

若平面a的法向量为近,平面£的法向量为通,要证a||6,只需证对底,即证4=入立

3判定空间的垂直关系

(1)线线垂直:

设直线匕,,2的方向向量分别是石石,则要证明,1_L%,只需证明2,石,即。•石=0.

(2)线面垂直

©(法一)设直线I的方向向量是汇平面Q的法向量是元,则要证明11a,只需证明同向即R=

An.

②(法二)设直线I的方向向量是a,平面。内的两个相交向量分别为记,元,

若,则lla.

(3)面面垂直

若平面a的法向量为近,平面口的法向量为芯,要证a_L/?,

只需证/1nJ,即证五,nJ=0.

【善例今折】

【题型】线面、面面位置关系的证明

【典题1】若平面a与0的法向量分别是五=(2,4,-3),5=(-1,2,2),则平面a与0的位置

关系是()

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定

【解析】•・•/•]=(2,4,-3)(—1,2,2)=-24-8-6=0

alb,

・•・平面a与平面0垂直

故选:B.

【典题2】如图1所示,在边长为12的正方形中,点B,C在线段A4上,且48=

3,BC=4,作BBiIIA4],分别交44、A41'于点火、P,作CC〔II,分别交A/;、AA^

于点6、Q,将该正方形沿3%、Cg折叠,使得a4;与A%重合,构成如图2所示的三棱

柱力8C-A181G.

(1府三棱柱ABC-Ai&Ci中,求证:481平面BCC$i;

(2)试判断直线AQ是否与平面人C]P平行,并说明理由.

【解析】(1)证明•••43=3,BC=4,--AC=12-3-4=5,

从而有AC2=AB2+BC2,AB1BC,

又AB1BBi,BCABB1=B,

-.AB_L平面BCG8卜

(2)直线AQ与平面4C】P不平行.

理由如下:

以B为原点,BA为之轴,BC为y轴,BB1为z轴,建立空间直隹坐标系,

4(3,0,0),Q(0,4,7),4(3,0,12),加(0,4,12),P(0,0,3),

而=(-3,4,7),西=(3,0,9),际=(0,4,9),

设平面4GP的法向量五=(%y,z),

n-PA=3x+9z=0

则V,取x=3,得元=(3,\,—1),

n-PC;=4y+9z=0

v筋•n=-9+9—7=—700,

,直线4Q与平面不平行.

【点拨】

①当题中出现多线段长度,注意可利用勾股定理逆定理证明线段垂直的方法;

②第一问利用线面垂直判定定理便可证明,不需要利用向量法;

③第二问用高一线面平行判定定理很难做出来,此时想到向量法;思路如下,

4Q〃平面41clp<=>AQn=0国为平面41clp的法向量).

④利用待定系数法求平面41clp的法向量范

【典题3】如图,在直三棱柱4BC-481cl中,4iBi=AiCi,尸为当好的中点,。,E分

别是棱8C,CQ上的点,且/W_L8C.

⑴求证:直线41尸〃平面4DE;

(2)若AABC是正三角形,E为CiC中点,能否在线段BiB上找一点N,使得&N〃平面ADE?

若存在,确定该点位置;若不存在,说明理由.

【解析】(1)证明:在直三棱柱4BC—4&G中,

VAB=AC,AD1BC,/.D是BC的中点,

又为々Ci的中点/.DF//AAY

••・四边形DFA.A是平行四边形,

•・A/IIAD,

6平面ADE,ADcYffiADE,

•••4/〃平面

(2)在直线上找一点N,使得&N〃平面AOE,证明如下:

在直三棱柱ABC—481cl中,vDF//AA1:.DF1AD,DF1DC

XvAD1BC•••DA,DC,D尸两两垂直,

以。为原点,为%轴,。。为y轴,。尸为z轴,建立空间直角坐标系,

设=2,AAX=2t»

•••N在线段8道上,设87=入881,0<A<1,贝ljN(0,-1,2入£),

则A(V3,0,0),D(OAO),E(O,l,t),B(0,-1,0),8式0,-1,2£),4i(V3,0,2t),

DA=(6,0,0),DE=(0,l,t),ApV=(-V3,-1,(2入-2)t),

设平面ADE的法向量记=(xfytz).

则n-DA=V3x=0

取z=l,得五=(0,—

(n•DE=y+tz=0

•••&N〃平面40E,

••・A^N•济=0+t+(2入-2)t=0,解得人=J,

•••在直线上存在一点N,且=使得&N〃平面4DE.

①第一问利用线面平行判定定理易证明;

②题中线段没有给到具体值,可作假设为氏=2,便于建系后确定点坐标,同时减少计算

量,直棱柱的高A4与4】々长度没联系,所有只能设A41=2t.

【典题4】如图,四棱锥S-ABCD中.ABCD为矩形,SD1AD,且SD14B,AD=1,AB=

2,SD=V3.E1为CO上一点,且CE=3DE.

(1)求证:AE1平面S8D:

(2)M、N分别在线段SB、CD上的点,是否存在M、N,使MN1CD且MNJLSB,若存在,

确定M、N的位置;若不存在,说明理由.

【解析】(1)方法一证明:;SD14。,且S01AB,S。1平面力BCD.

又•••AD1CD

可建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意可知。(0,0,0),/(0弓,0)例1,2,0)/(1,0,0),C(0,2,0),S(0,0,V3)

・•.AE=(-1,"),D5(l,2,0),DS(0,0,V3),

..AE~DB=0,荏•岳=0

AE1DB,AE1DS又DBC\DS=D

•••4E1平面SB。;

方法二

•••SD1AD,且SD1AB,SD_L平面48co

•••SD1AE

如图:

tan£DAE=—=7»tanz.DBA=—=7,

AD2AB2

•••LDAE=Z.DBA

Z.DBA+^-EAB=90°.

•••AE1BD;

•••4E1平面SBD;

(2)假设存在MN满足MN1CD且MNJ.SB.

在空间直角坐标系中,丽=(-1,-2,禽),

在线段CO上可设丽?=痂=(一人,一2人,6人)(Ae[0,1])

-:~DM=DB+~BM=(1,2,0)+(-A,-2入,例)=(1-A,2-2入,例)

M的坐标(1-入,2-2A,V3A),

・•・N在线段SB上可设N(0,y,0),ye[0,2]

则丽=(1-A,2-2入-y,V3A).

要使MN1CD且MN1SB,则["i££=0,

(MM•BS=0

|2(2-2X-y)=0

」何l一(1一入)-2(2-2入-y)+3入=O'

解得A=ie[0,l],y=1G[0,2].

故存在MN使MNJ.CO且MN1SB,其中M是线段SB靠近B的四等分点,N是线段CD

靠近C的四等分点.

【点拨】

①对于高一非向量法与向量法的取舍,若第一间非向量法较容易解答,而第二问很难则第

一问用非向量法,第二问用向量法;若第一问用非向量法较难,则建议从第一问就开始利

用向量法,比如该题,不用纠结第一问用向量法要建系描点浪费时间,其实不然,因为第

二问大多数情况下都使用向量法的:

②第一问方法二中利用平面几何知识点怎么垂直关系,常见技巧是勾股定理逆定理、相似

三角形、三角函数等;

③三点共线设元问题:%M在线段CD上,可设的=入丽=(一入,一2人,百人)(Ae[0,1])”

中,常用向量共线的方法:前二屉,同时要注意变量人的取值范围.

巩固练习

1,已知五=(12—1)为平面a的一个法向量,1=(-2=1)为直线,的方向向量.若Ella,

则入=__.

【答案】|

【解析】I\\a,n•a=—2+2入-1=0,可得入=

2.已知平面a的法向量是五=(3%-1,-l,x+5),平面夕的法向量是%=(x+l,x2+3,-x),

且a_L0,则实数%的值为.

【答案】一1或4

【解析】"a1£,二b,

a-b=(3x-l)(x+1)-(x2+3)-x(x+5)=0,解得x=-1或4.

3.如图,在直三棱柱中,ABIAC,AB=AC=AA^。为BC的中点.

(1)证明:〃平面ADC1;⑵证明:平面ADg1平面8/C1C.

【证明】(1)证明:•.•在直三棱柱ABC—4B1G中,AB1AC,

二以公为原点,41cl为%轴,力道1为y轴,力M为z轴,

建立空间直角坐标系,设/B=4C=44i=2,

4(0,0,0),8(0,2,2),4(0,0,2),

C(2,0,2),。(1,1,2),(2,0,0),

4;B=(0,2,2),AD=(1,1,0),=(2,0,-2),

设平面AOCi的法向量n=(x,y,z),

则伫用="+丫=°,取“1,得心(1,T,l),

ri-ACX=2x-2z=0

vn^=0-2+2=0,且48a平面4DCi,

•••4科||平面4。。1.

(2)证明:vDC=(l,-l,0),标1=(1,一1,一2),

设平面BBigC的法向量藐=(a,b,c),

则7运=0-6二°,取。=1,得藐=(1,1,0),

m•DC1=a—b-2c=0

又平面ADC1的法向量£=

n-7n=l—1+0=0,

平面ADCr_L平面BBigC.

4.如图1,在RCA4BC中,Z.C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,48上的点,

且DE〃BC,DE=2,将aAOE沿DE折起到AADE的位置,使&CJLCD,如图2.

⑴求证:&C_L平面BCDE;

(2)线段BC上是否存在点P,使平面4DP与平面4BE垂直?说明理由.

图1图2

【答案】(1)证明略(2)不存在

【解析】(1)证明:vCD1DE,4D10E,CDHA1D=Df

:.DE1平面AC。,

又•••*<2平面&CD,:.AXCIDE

又41cleD,CDdDE=D

•••&C1平面BCDE

(2)解:如图建系,

则C(0,0,0),D(-2AO),4(0,0,275),8(0,3,0),£(一2,2,0)

设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则Q€[0,3]

:.A;P=(0,Q,-2V3),DP=(2,tz,0)

设平面A】OP法向量为%二(%171N1)

V3

则如一2恁1=0Z1-Q%

'12%[+ayi=0Xi=-1ayi

•••nj=(-3a,6,V3a)

假设平面AiOP与平面ABE垂直,则?i「n=0,

•••3Q+12+3a=0,6a=-12,a=-2

0<a<3

•••不存在线段BC上存在点P,使平面40尸与平面4BE垂直

%](OA2V3)

;匚\E(.22O)

1/中(20,0/\^

y

(0.0.0)B(03,0)

【/题信依】

一、单选题

1.已知尸,丁是三个不同的平面,"八〃是两条不同的直线,下列命题为真命题的是()

A.若小〃“,m//p,则。〃/B.若〃?〃a,n//at则”?〃〃

C.若/w_La,〃_La,则加〃〃D.若a_L/,/?_!_y,则a〃/

【答案】C

【分析】根据空间中的直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,对照四个选项一

一判断.

【详解】对于A,由“〃〃,打〃尸,得。〃夕或。与夕相交,故A错误;

对于B,若加〃a,〃〃a,则加与〃可能是异面直线、也可能是相交直线,

也可能是平行直线,所以B错误;

对于C,若m_La,〃_La,由线面垂直的性质定理知加〃〃,所以C正确;

对于D,若a_Ly,夕J_y,则。与夕可能相交,也可能平行,所以D错误.

故选:C.

2.己知正方体4BCD-4BGR,棱长为1,E,尸分别为棱48,CG的中点,则()

A.直线力。与直线E尸共面B.4E不垂直于

C.直线4E与直线8”的所成角为60。D.三棱锥G-4。尸的体积为《

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,A选项,假设直线与直线E尸共面,由

面面平行的性质得到尸,曰推出矛盾,A错误;B选项,计算出港•箫=0

得到两直线垂直;C选项,利用空间向量夹角余弦公式计算;D选项,利用等体积法求解三

棱锥的体积.

【详解】如图,以。为原点,以Q4,DC,。〃所在直线分别为x,y,z建立空间宜角

坐标系,

则。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),D.(0,0,1),4。,。,1),4(LU),C,(0,1,1),

对于A,假设直线44与直线E尸共面,

•・,平面48瓦4〃平面OC0A,平面彳EF〃n平面平面OCGAA平面

ABB41=D】F,

・•・AEUD.F,

VAEHCXD.,

:.C\D\HD\F,矛盾,

工直线4。与直线“•不共面,A错误;

对于B,••彳=(0,最一1),=

----------11

A.EAF=OH----------0,

122

:.A、E±AF,

:.AxELAFtB错误,

对于C,设直线4E与直线8尸所成的角为

•••"60。,

・・・c错误,

对于D,・..4)_L平面。CGA,

:.V.=V.=-S-AD=^X-X-X\X\=—D正确.

Cc.।­/iLD/rFVC|izDrF3/k&VC|izDrF322]2,F■fM

故选:D.

3.如图,在四棱锥尸一/BC。中,底面是菱形,m_L底面/BCD,PA=4iAB=75,,

=p截面BDE与直线尸C平行,与P/交于点E,则下列说法错误的是()

A.80工平面A4C

B.七为P4的中点

C.三棱锥尸力的外接球的体积为沙兀

D.与4C所成角的正弦值为!

【答案】D

【分析】由AC180可证80工平面尸4C,故A正确;由PC//平面得

PC//0E,可得E为4的中点,故B正确;根据两个截面外接圆的圆心找到球心,计算出

半径和体积,可得C正确;通过找平行线得异面直线所成角,解三角形可得与力。所成

角的正弦值为巫,故D错误.

4

【详解】对于选项A,因为产4_L底面力8C£>,BDu底面力BCD,所以HJ.8O,

因为底面45CQ是菱形,所以4c18。,

因为PZrMC=4,PHZCu平面R4C,所以80人平面尸4C,故A正确;

对于选项B,连4c交6。于O,则。为47的中点,

因为PC//平面8OE,PCu平面P4C,平面尸力CD平面8Z)E=0E,

所以PC//0E,因为。为力C的中点,所以E为4的中点,故B正确;

对于选项C,

因为底面488是菱形,ZABC=^t48=1,所以"灰?和"C。都是正三角形,

4c=8C=CD=1,所以C为AABD的外接圆圆心,设二棱锥P-ABD的外接球的球心为H,

则平面48C。,

又P4J■底面48cZ),48匚底面48。。,所以尸4_L/18,

所以P8的中点G是的外接圆的圆心,连GH,则G"J"平面88,

取48的中点尸,连CR尸G,因为FG//PA,尸彳_L底面48C。,所以尸G_L底面48CO,

又“C_L平面所以FG//CH,

因为“8C为正三角形,产为48的中点,所以CFLAB,

因为产力_L底面48C。,CFu底面48c。,所以尸N_LC/,

因为48nH=44民尸4匚平面尸48,所以CF_L平面P48,

所以由G"_L平面48,b_L平面48,得CF//GH,

所以四边形GH"是平行四边形.所以CH=RS='P/=正一

22

因为BC=1,所以HB=JBC?+CH?=,7|=,,即三棱锥尸-的外接球的半径为

所以其体积为士兀=人口兀.故C正确;

对于选项D,因为。为5。的中点,G为尸8的中点,所以OG//PO,

所以ZJOG(或其补角)是异面直线尸。与4C所成的角,

因为产力=百,AD=l,所以PD=历1=2,所以OG=gpD=l,

又AG=>PB=UPA2+AB2=1,OA=-AC=~,

2222

所以•n.”卜(7而.故D错误.

sinvAOG=-=

14

故选:D

4.已知冬户是两个不同的平面,/,力/是三条不同的直线,下列说法正确的是()

A.若阳//ua,则m〃〃

B.若加〃a,〃uQ,则m〃〃

C.韭mua、nuB,m〃n,则a〃£

D.若/〃则/_La

【答案】D

【分析】利用线面平行的性质定理,面面平行的判定定理,线面垂直的判定定理和性质定理

即可逐个选项判断.

【详解】对于A项,若加〃a,〃ua,

则直线也〃可以平行,也可以异面,所以A错误;

对于B项,若机〃a,〃u夕,

可以得到叫”平行或异面或相交,所以B错误;

对于C项,若〃1ua,”u4,,

。与夕可以平行,也可以相交,所以C错误;

对于D项,若加_1。,则直线〃?与平面。内的所有直线都垂直,

又/〃6,,/与平面a内的所有直线都垂直,

根据线面垂直的定义可得/故D正确.

故选:D

5.已知A,B,C是球O的球面上三点,45=4,JC=2,/8/C=6。。,若异面直线OC与

力8所成角的余弦值为《,则球。的表面积为()

A.207cB.24兀C.28兀D.32K

【答案】A

【分析】由题意易知4c上6C,则外接圆的圆心O1是48的中点,在长方体内还原A,

B,C,O,01,平移OC,作出异面直线OC与48所成角(或补角)ZDO.B,由

的余弦值为4可求出长方体的高,由此即可求出球。的半径,则可求出答案.

【详解】由题意知,在“8(7中,BC=V42+22-2X2X4COS60°=2\/3»

•;BC'+AC'=AB、,/.C-p316c外接圆的圆心Q是月6的中点,

易知0«_L平面力BC.

设。a=d,长方体如图所示,

易知OQ〃CQ1,且O£>=cq,四边形OQQC是平行四边形,则OC〃O«,/。。产为异

面直线0C与N8所成角(或补角),

2

易知。]8=2,DOt=BD=xjd+4,

则在等腰△。。产中,cosZDO,B=^-=-rJ==^-,解得d=l,

则球O的半径&=际7=石,

球O的表面积为4兀斤=207r.

故选:A

6.如图,棱长为2的正四面体中,M,N分别为棱4。,8。的中点,O为线段

的中点,球O的表面正好经过点M,则下列结论中正确的是()

C

A.力OJ.平面8co

B.球。的体积为必兀

3

4

C.球O被平面8c。截得的截面面积为§兀

D.过点。与直线48,。。所成角均为T的直线可作4条

【答案】ABD

【分析】设反尸分别为26,。。的中点,连接ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,根据线面垂直

的判定定理可判断A:求出球的半径,计算球的体积,进而判断B:求出球O被平面8co截

得的截面圆的半径,可求得截面面积,进而判断C;通过平移与补形法,通过角平分线的转

化寻找平面进而找出直线,从而可判断D.

【详解】设民尸分别为的中点,连搂ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,

C

则EM//BD,NF//BD,EM=-BD.NF=底D,

22

裁EM〃NF、EM=NF,则四边形MENF为平行四边形,

故EF,MN交于一点,且互相平分,即。点也为E尸的中点,

又AB=AC,DB=DC,故AN工BC,DNtBC,

ANCDN=N,AN,DNu平面AND,故BC上平面4ND,

由于OwMN,MNu平面AND,则AOu平面AND,

故BCl/O,结合。点也为EF的中点,同理可证。C_L/O,

8CnOC=C,8C,OCu平面3C。,故力。1平面BCD,A正确:

由球。的表面正好经过点则球。的半径为。",

棱长为2的正四面体NBCO中,AN=DN=6,M为AD的中点、,

则0M=立,所以球。的体积为色簸(。0)3=£兀'(也)3=3兀,B正确;

23323

由BC_£平面力NO,8Cu平面8CQ,故平面4M)_L平面,

平面4VQC平面3c£>=ON,由于40J•平面5C。,

延长NO交平面88于G点,则。7J■平面B。,垂足G落在。N上,

且G为正△BC。的中心,故NG==ND=B,

33

所以OG=ylON2-NG2=((丫-*)2=*,

故球O被平面8。截得的截面圆的半径为符)2_(毛)2=与,

则球O被平面88截得的截面圆的面积为兀x(1)2=T,c错误;

由题意得,正四面体可以放入正方体内,如下图所示,将48平移至正方体的底面内,过

/。和7。的角平分线作垂直于底面的平面,即平面OP。,在平面内一定存在过O

点的两条直线《4使得该直线与直线C0所成角均为T,同理可知,过SFC和N4FD

的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意,所以过点O与直线48,CO所

成角均为g的直线可作4条,D正确.

【点睛】思路点睛:本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点,作出适合的辅助线,

要善于观察图形特点,放入特殊图形中从而快速求解.

7.如图,在三棱柱48C-44G口,_L平面力8c=4B=2,8C=1,ZABC=^\E

是棱〃4上的一个动点,则()

A.直线4C与直线C卢是异面直线

B.A4C万周长的最小值为3+2立

C.存在点E使得平面力。卢_1_平面44。。

D.点C到平面4GE的最大距离为毡

3

【答案】ACD

【分析】根据空间中点线面的位置关系相关知识即可判断.

【详解】选项A:不管£点移动到8片上的哪个位置,

直线4c与直线。卢均不相交,也不平行,所以A正确;

选项B:△力。避周长的为4G+4E+EG,要使周长最小,

即AE+EG最小,即为面AA\B、B和面BB«C的展开图中4G的长,

所以(彳E+Eq)mm=\/32+22=VH,

所以/G+%E+EG=3+J15,所以B错误;

选项C:由图易知,二面角c-4G-8为锐二面角,

二面角C-4G-用为钝二面角,

在£点从8到4移动的过程中,二面角C-4G-E由锐角变成了钝角,

所以,在棱上必然存在E点使得平面4GE_L平面C正确;

选项D:要使点。到平面4GE的至离最大,即当二面角C-4G-E为90。时,

此时c到4G的距离即为所求距离的最大值,过c作力G的垂线CF,

因为面力EG~L面/CG,CF,面4EG,面4EGn面力CG=4G,CFu面4CG,

所以。尸,面力£6,即c尸为点C到平面4GE的距离,也是C到彳G的距离,

又因为=cc}=2,力G=3,d-AC}=ACCC1

所以点C到平面力GE的距离为4=半,所以D正确.

故选:ACD

三、填空题

8.已知加、〃是不同的直线,。、夕是不重合的平面,给出下列命题:

①若alip,mua,nuB,则m//n;

②若小〃人〃〃尸,则

③若m_La,”_Lpjn/ln,则allp:

④小,〃是两条异面直线,若加〃a,〃,〃W,M/a,〃//,则a%.

上面的命题中,真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)

【答案】③④

【分析】利用平面与平面平行的判定和性质可判断各命题的真假.

【详解】若则相与〃平行或异面,故①错误;

m、nua,m〃1n〃0,但用与〃不一定相交,a〃£不一定成立,故②错误;

若mla刈〃n,则〃_La,又由〃_L〃,则a%,故③正确;

〃?,〃是两条异面直线,若阳〃a,m〃Q,“〃a,川/,则过m的平面与平面a相交于直线M,有,

过〃的平面与平面a相交于直线“,有〃〃〃',m,〃异面,/,〃'一定相交,

m'ua,加ua,n//fl,如图所示,

由面面平行的判定可知a//,故④正确;

故答案为:(3)@

9.已知“、〃是不同的直线,a、〃是不重合的平面,给出下列命题:

①若m/la,则m平行干平面。内的任一条直线:

②若a〃夕,mua,〃u夕,则机〃〃;

③若_L1,则a〃少;

④若a〃1mua,则〃?//〃.

上面的命题中,真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)

【答案】③④

【分析】①由线面平行的性质判断

②由面面平行的性质判断

③由如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则马另一条也垂直于这个平面判断

④由面面平行的性质判断

【详解】①若机//。,则加平行于平面。内的无数条平行直线,不是任一条直线,故①错;

②若a〃B,mua,nuB,只能得到小〃夕,不能得到m〃叫故②错;

③因为m_La,m//〃,所以〃_La,又因为〃_1.夕,所以a〃夕,故③正确;

④由面面平行的性质可知④正确.

故答案为:③④.

10.已知正方体相的外接球的表面积为36几,点E,户分别是48,CG的中

点,过乌,E,R的截面最长边长为小,最短边长为〃,则竺=.

n

【答案】石

【分析】通过延长可得过A,E,尸的截面为五边形〃可以开,利用正方体外接球的表面

积求出正方体边长,然后五个边都求出,即可得出结果.

【详解】

如图,延长QC,。尸交于点G,连接EG交BC于点〃,

延长GE,DA交于点M,连接交力4于点N,

连接“,NE,则过R,E,尸的截面为五边形ANE"/,

设正方体4BCD-4B£R的棱长为。,

由正方体外接球的表面积为367r=4口2,

可得其外接球的半径「为3,直径为体对角线,

则上a=2x3>故a=2G»

在Rt△/GA中,由勾股定理得/.==后,

易得ABEH~△CGH,—-==—,

故EHZBH'+BE?=叵,FH=JFC2+HC2=—,黑=:,

330A4

故AN=4,故NE=4AN2+AE2=姮,£>1N=J/R+qM=孚,

所以最长边为m=〃N=更,最短边为〃=N£=姮,故”=不.

122n

故答案为:石

【锦后风电】

一、单选题

1.(2021秋•北京海淀•高二人大附中校考期中)设直线机的方向向量为(1,1,-1),4(1,0,0),

5(0,1,0),C0,1,1)为平面。的三点,则直线〃与平面。的位置关系是()

A.ml/aB.机〃a或/〃ua

C.mlaD.mf/a

【答案】C

【分析】设直线机的方向向量为蓝,利用而•刀=0,w-5C=0»又而与於有公共点8,

从而即可求解.

【详解】解:因为力(1,0,0),5(0,1,0),C(1J,1)为平面a的三点,

所以而=(-1,1,0),而=(1,0,1),

设直线小的方向向量为G,则而=(1,1,-1),

因为“45=lx(-1)+lx1+(-1)x0=0,m-BC=lx1+Ox1+lx(-1)=0,

所以蓝_L方,mlBC^又荏与环有公共点8,

所以直线加垂直于平面a,即机_La,

故选:C.

2.(2023秋•河南信阳•高二统考期末)直线/的方向向量为7,平面。与夕的法向量分别为

而,;;,则下列选项正确的是()

A.若/_La,则~j»m=0B.若川户,则7=

C.若aJ■/,则m*n=0D.若。〃尸,则m*n=0

【答案】C

【分析】根据空间中直线与平面,平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即

可求解.

【详解】若/_La,则7与石共线,故选项A错误;

若川夕,则;_L;,即7G=0,故选项B错误;

若则前与7垂直,即薪)=0,故选项C正确;

若a〃夕,则而与7共线,故选项D错误,

故选:C.

3.(2021・高二课时练习)已知直线/的一个方向向量3=1,2),立面。的一个法向量

«=(4-2,3),则直线/与平面a的位置关系是()

A.垂直B.平行C.相交D.平行或直线在平面

【答案】D

【分析】首先通过数量积,判断向量力与用的关系,再判断线面的位置关系.

【详解】因为「万=-lx4+lx(—2)+2x3=0,

所以直线,与平面的法向量垂直,则宜线/与平面。平行或在平面内.

故选:D

4.(2021•高二课时练习)在正方体中,平面/方的一个法向量为()

A.西B.DBC.D.画

【答案】A

【分析】由正方体的性质可得:BDilBiC,BDi±AC.即可得出平面ACBi的一个法向量.

由正方体的性质可得:BDilBiC,BDilAC.

;・BDi_L平面ACBi.

,平面ACBi的一个法向量为国.

故选A.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质、平面的法向量,考查了推理能力与计算能力.

UU1

5.(2022・高二课时练习)设夕是不重合的两个平面,。,夕的法向量分别为%,

/和机是不重合的两条直线,/,加的方向向量分别为I,那么。〃夕的一个充分条件

是()

A.Iua,mu。’且e2±n2

B.lea,mu。,且,"e?

C.q〃々,e2//n2,且q〃q

e

D.qJ.%,e2A2,且0〃i

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.

【详解】对于A,/ua,且1_1彳,e2ln2f则a与夕相交或平行,故A错误;

对于B,/ua,mu/,且则a与£相交或平行,故B错误;

对于C,6〃〃1,e2//n2,且q/'g,则a〃/,故C正确:

对于D,《J.6,e21w2»且则。与£相交或平行,故D错误.

故选:C.

6.(2021•高二课时练习)尸4尸民PC是从点尸出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60。,

那么直线PC与平面"8所成角的余弦值是()

A."B.近C.qD,

3322

【答案】B

【分析】作图,找到直线PC在平面45上的投影在构建多个直角三角形,找出边与角之间

的关系,继而得到线面角;也可将尸4P8,尸。三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一:

如图,设直线PC在平面P/B的射影为尸。,

作CGJ.P0于点G,CHLPA于点H,连接的,

易得CGtPA,又CHcCG=C,CH,CGu平面CHG,则4_L平面C,G,又,Gu平面

CHG,则04"L"G,

cosZCPA=—

PC

PGPHPH

cosZ.CPDxcosZAPD

PC~PG~~PC

故cosZ.CPA=cosZ.CPDxcosNAPD.

已知Z.APC=60°,ZJPD=30°,

故85/。尸。=史必竺=垩”=在为所求.

cosZAPDcos3003

解法二:

如图所示,把04尸民PC放在正方体中,P4尸民PC的夹角均为60。.

建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,

则P(l,0,0),C(0,0,l),41,1,1),5(0,1,0),

所以定=(-1,0,1),苏=(0,1,1),方=(-1,1,0),

ii•PA=y+z=0

设平面产48的法向量G=(x/,z),则〈_-

ii-PB=-x+y=0

令X=l,则歹=l,z=-l,所以力=(1,1,一1),

所以8s(元外=磊^^7r筌

设直线PC与平面PAB所成角为。,所以sin。=1cos<PC,G1=半,

所以cos。=V1-sin2^=必~.

3

故选B.

二、多选题

7.(2023春・河南南阳•高二社旗县第一高级中学校联考期末)已知向量7=(-2,3,1)是平面a

的一个法向量,点尸(5,2)在平面a内,则下列点也在平面a内的是()

A.(2,1,1)B.(0,0,3)C.(3,2,3)D.(2.1,4)

【答案】BCD

【分析】记选项中的四个点依次为4,B,C,D,结合数量积的坐标运算验证方,而,PC,

而是否与;;垂直即可.

【详解】记选项中的四个点依次为4B,C,D,

则苏=(1,0,-1),P5=(-l,-l,l),定=(2,1,1),赤=(1,0,2),又1(-2,3,1),

P5M=1X(-2)+0X3+(-1)X1=-3^0,故两与♦不垂直,故A错误;

ra-w=(-l)x(-2)+(-l)x3+lxl=0,故而与G垂直,故B正确;

PC-w=2x(-2)+1x3+1x1=0,故正与G垂直,故C正确;

PDw=lx(-2)+0x3+2xl=0,故而与7垂直,故D正确;

故选:BCD.

8.(2021秋•福建泉州•高二泉州五中校考期中)已知正三棱柱彳8。-481G的所有棱长均

相等,D,E分别是8C,CG的中点,点P满足/=工福+歹衣+(l-x-切荏,下列选

项正确的是()

A.当y=g时,APLBCB.当x+2y=l时,APIBE

C.当x=y时,NDEP为锐角D.当=;时,平面4OE

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系,利用向量法逐项求解判断.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系:

B

设棱长为2,

则J(V3,0,0),51(O,1,2),C(0,-l,0)8^),1,0)£Q,fl),

所以函一(-75,1,2),衣—(75,-1,0),布-(76,1,0,所以万一(一石,l-2y,2x),

A.当歹=;时,5C=(0,-2,0),9•觉=4y-2=0,所以4尸_L6C,故正确;

x+2y=l时,5£=(0,-2,1),不•而=4y-2+2x=0,所以力尸_1_8£,故正确;

x=y时,丽=(0,1,-1),而=不一荏=@,2—2y,2x—l郎•辞=3-24+y),正负不定,

故错误;

D.当=;时,布二#—五?=(々^1—2乂2工一2),设平面4OE的一个法向量为

万=(a,b,c),

则覆.亡,即俨U,令I,则"(01』),

所以神•万=2(x-力-1=0,又4尸3平面所以4尸〃平面4DE,故正确;

故选:ABD

三、填空题

9.(2022・高二课时练习)已知力(3,4,0),8(2,5,2),。(0,3,2),则平面”C的一个单位

法向量是.

【答案]吟,_冬冬

【分析】由题设,求面4BC的一个法向量蓝,则其单位法向量是

|w|

【详解】由题设,AB=(-1,1,2),^C=(-3,-1,2),

(—*一

一一,,m-AB=-x+y+2z=0

若m=(x,y,z)是面48c的一个4法向量,则〈-----,

m-AC=-3>x-y-\-2z=0

令y=-i,则/故面皿的一个单位法向量是M=(g-当当.

|m\333

故答案为:(理,_曰,电)

10.(2021・高二课时练习)已知4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面

ABC法向量的是.

①(;,1,1),0(1,-1,1),

333333

【答案】③

【分析】根据给定条件求出平面ABC的一个法向量7,再在给定的4个坐标中求与7共线

的即可.

【详解】依题意,冠=(-1,1,0),%=(-1,0,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论