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文档简介

四川省眉山市仁寿县文宫中学2025届高三冲刺模拟数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知过点且与曲线相切的直线的条数有().A.0 B.1 C.2 D.32.已知集合,则全集则下列结论正确的是()A. B. C. D.3.已知向量,是单位向量,若,则()A. B. C. D.4.已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.5.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.6.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.7.如图,中,点D在BC上,,将沿AD旋转得到三棱锥,分别记,与平面ADC所成角为,,则,的大小关系是()A. B.C.,两种情况都存在 D.存在某一位置使得8.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.9.设i是虚数单位,若复数()是纯虚数,则m的值为()A. B. C.1 D.310.已知i为虚数单位,则()A. B. C. D.11.已知复数z满足(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知函数满足,设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若,则___________.14.某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,则该市的任意位申请人中,恰好有人申请小区房源的概率是______.(用数字作答)15.若,则____.16.假设10公里长跑,甲跑出优秀的概率为,乙跑出优秀的概率为,丙跑出优秀的概率为,则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑,刚好有2人跑出优秀的概率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.18.(12分)已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,,切点分别,,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,,求的值.19.(12分)已知函数(1)求函数在处的切线方程(2)设函数,对于任意,恒成立,求的取值范围.20.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数有三个零点,求实数的取值范围.21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设切点为,则,由于直线经过点,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,从而可求方程.【详解】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2、D【解析】

化简集合,根据对数函数的性质,化简集合,按照集合交集、并集、补集定义,逐项判断,即可求出结论.【详解】由,则,故,由知,,因此,,,,故选:D【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系,求解不等式是解题的关键,属于基础题.3、C【解析】

设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;【详解】设,,是单位向量,,,,联立方程解得:或当时,;当时,;综上所述:.故选:C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.4、A【解析】

先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,所以函数在处的切线方程为:,令,它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示:利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.故选:A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.5、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.6、A【解析】

对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.7、A【解析】

根据题意作出垂线段,表示出所要求得、角,分别表示出其正弦值进行比较大小,从而判断出角的大小,即可得答案.【详解】由题可得过点作交于点,过作的垂线,垂足为,则易得,.设,则有,,,可得,.,,;,;,,,.综上可得,.故选:.【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系,考查三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、A【解析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.9、A【解析】

根据复数除法运算化简,结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得,因为是纯虚数,所以,∴,故选:A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算,属于基础题.10、A【解析】

根据复数乘除运算法则,即可求解.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数代数运算,属于基础题题.11、D【解析】

根据复数运算,求得,再求其对应点即可判断.【详解】,故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,以及复数对应点的坐标,属综合基础题.12、B【解析】

结合函数的对应性,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若,则,即成立,若,则由,得,则“”是“”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数的对应性是解决本题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据题意,利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,利用函数奇偶性的性质求解即可.【详解】因为函数,其定义域为,所以其定义域关于原点对称,又,所以函数为奇函数,因为,所以.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及其性质;考查运算求解能力;熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14、【解析】

基本事件总数,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数,由此能求出该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率.【详解】解:某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,该市的任意5位申请人中,基本事件总数,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数:,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率是.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.15、【解析】

由,得出,根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简,再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数化简求值,利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式,以及运用齐次式求值,属于对公式的考查以及对计算能力的考查.16、【解析】

分跑出优秀的人为:甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.【详解】刚好有2人跑出优秀有三种情况:其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为;其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为;其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为,三种情况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为.故答案为:【点睛】本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.(2)若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.18、(1);(2).【解析】

(1)因为点在椭圆上,所以,然后,利用,,得出,进而求解即可(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为,分别联立方程:和,利用韦达定理,再利用,,即可求出的值【详解】(1)由椭圆的长半轴长为,得.因为点在椭圆上,所以.又因为,,所以,所以(舍)或.故椭圆的标准方程为.(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为.据得.据题意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题,联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参,属于中档题19、(1);(2)【解析】

(1)求出,即可求出切线的点斜式方程,整理即可;(2)的取值范围满足,,求出,当时求出,的解,得到单调区间,极小值最小值即可.【详解】(1)由于,此时切点坐标为所以切线方程为.(2)由已知,故.由于,故,设由于在单调递增同时时,,时,,故存在使得且当时,当时,所以当时,当时,所以当时,取得极小值,也是最小值,故由于,所以,.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题,应用导数求最值是解题的关键,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)要证明,只需证明即可;(2)有3个根,可转化为有3个根,即与有3个不同交点,利用导数作出的图象即可.【详解】(1)令,则,当时,,故在上单调递增,所以,即,所以.(2)由已知,,依题意,有3个零点,即有3个根,显然0不是其根,所以有3个根,令,则,当时,,当时,,当时,,故在单调递减,在,上单调递增,作出的图象,易得.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.21、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.【详解】(1)证明:如图,取的中点,连接.又为的中点,则是的中位线.所以且.又且,所以且.所以四边形是平行四边形.所以.因为,为的中点,所以.因为,所以.因为平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系:因为,所以点.则.设平面的法向量为,由,得,令,得平面的一个法向量为;显然平面的一个法向量为;设二面角的大小为,则.故二面角的余弦值是.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.22、(1)见解析(2)【解析】

(1)连结BM,推导出BC⊥BB1,AA1⊥BC,从而AA1⊥MC,进而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推导出四边形AMNP是平行四边形,从而MN∥AP,由此能证明MN∥平面ABC.(2)推导出△ABA1是等腰直角三角形,设AB,则AA1=2a,BM=AM=a,推导出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M为坐标原点,MA1,MB,MC为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【详解】(1)如图1,在三棱柱中,连结,因为是矩形,所以,因为,所以,又因为,,所以平面,所以,又因为,所以是中点,取中点,连结,,因为是的中点,则且,所以且,所以四边形是平行四边形,所

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