专题66余角和补角（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解）（人教版）

专题6.6余角和补角（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点1】余角和补角的定义余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．【知识点2】余角和补角的性质（1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等．【要点提示】(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°α)，一个角α的补角可以表示为(180°α)．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．知识点与题型目录【题型1】求一个角的余角......................................................1【题型2】求一个角的补角......................................................3【题型3】与余角、补角有关的计算..............................................5【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用........................................7【题型5】直通中考...........................................................10【题型6】拓展延伸...........................................................11第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】求一个角的余角【例1】（2223七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分．(1)若，求的度数．(2)若，用代数式表示的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差；（1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解；（2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解；理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键．解：（1）平分，，与互余，，，；（2）与互余，，，平分，，．【变式1】（2425七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（

）A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角【答案】B【分析】本题考查了互余，解题关键是掌握若两个角的和等于，即这两个角互余．根据已知条件，得出，即可得到答案．解：∵，，，与互余，故选：B．【变式2】（2425七年级上·河北石家庄·期中）已知，与互余，则．【答案】【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余两角的度数之和为90度，进行求解即可．解：．故答案为：．【题型2】求一个角的补角【例2】（2324七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，是的平分线，过点O作．(1)的补角是______，的余角是______；(2)若，求的度数．【答案】(1)；，(2)【分析】本题主要考查补角，余角的定义，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据补角，余角的定义即可得到答案；（2）根据题意得到，再由角平分线的定义以及平行的性质即可得到答案．解：（1）根据补角，余角的定义，的补角是，是的平分线，，故的余角是和；（2），．，，，，，是的平分线，．，，．【变式1】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、求补角，先由平行线的性质得出，，求出，得出，即可得解．解：如图：∵，∴，，∵，∴，∴，∴的补角的度数是，故选：B．【变式2】（1213七年级下·河南郑州·期中）与互余，与互补，，那么．【答案】/153度【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键．根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数．解：∵与互余，，∴，∵与互补，∴．故答案为：．【题型3】与余角、补角有关的计算【例3】（2324七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与互余，平分．(1)在图1中，若，则_________，_________；(2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系．【答案】(1)；(2)【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．（1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答．解：（1）∵与互余，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案为：；；（2），理由：∵与互余，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．∵，∴．【变式1】（2024七年级上·湖南长沙·专题练习）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】本题主要查了三角板中特殊角，余角的性质，补角的性质．根据三角板中特殊角，余角的性质，补角的性质解答，即可求解．解：左起第1个图形，，正确；左起第2个图形，根据同角的余角相等，可以得到，正确；左起第3个图形，由图可知，所以，正确；左起第4个图形，由图可知，显然与不相等，错误；所以正确的个数有个．故选B．【变式2】（2425七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角为度．【答案】【分析】本题考查余角和补角的概念以及运用．设这个角的度数是，这个角的补角为，余角为．根据“一个角的余角等于这个角的补角的”列方程求解即可．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为．解题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．解：设这个角的度数是，依题意，得：，解得：，∴这个角为度．故答案为：．【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用【例4】（2324七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分．(1)比较和的大小，并说明理由；(2)若平分，求的度数．【答案】(1)；理由见解析(2)【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解一元一次方程，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式．（1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到；（2）设，则，，列方程即可求得．解：（1）；理由如下：，，平分，，，，．（2）设，平分，，，，平分，，，，．【变式1】（2223六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是平角的平分线，，那么下列式子中错误的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查补角与余角的定义，熟练掌握补角和余角的定义是解决本题的关键．由射线是平角的平分线，得，选项D不符合题意．根据同角的余角相等，得，，选项A不符合题意．同理可得，选项B不符合题意，C中两角互余不能推断相等，选项C符合题意．解：∵射线是平角的平分线，．故选项D不合题意．A、．又，．故选项A不符合题意．B、，，．故选项B不符合题意．C、，∴．无法证明．故选项C符合题意．故选：C．【变式2】（2425七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是．【答案】【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角．由，得到，即得．解：∵，∴，∴，∴．故答案为：．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型5】直通中考【例1】（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．解：。则的补角为．故选：D．【例2】（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为【答案】135°/135度【分析】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可．解：，，故答案为：135°．【点拨】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型6】拓展延伸【例1】（2021七年级上·广东深圳·期末）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2．(1)______；(2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数；(3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据，，即得；（2）根据是的平分线，，得到，根据，即得；（3）当在内部，根据，，得到，，根据，得到，即得；当在外部，得到，得到，即得．解：（1）∵，，∴；故答案为：；（2）∵是的平分线，，∴，∵，∴；（3）当在内部，如图1，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；当在外部，如图2，，∴，∴．故的度数为：或．【点拨】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于90°，这两个角叫做互为余角．【例2】（2324七年级上·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”；(1)若，且在内部，则；(2)若恰好平分，请求出的度数；(3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键．（）根据“好线”的定义即可求解；（）根据“好线