2024-2025人教版九年级数学下点拨训练第28章第05讲应用举例22

20242025人教版九年级数学下点拨*训练第28章第05讲应用举例2（解析版）学习目标：正确理解方向角、坡度的概念；能运用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的问题，能够融会贯通地运用相关数学知识，解决综合性问题，进一步提高解直角三角形分析问题和解决问题能力。老师告诉你1.用解直角三角形解决实际问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形问题）；（2）根据问题中的条件，选择恰当的锐角三角函数关系式，解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案。一、知识点拨1.知识导航2.知识点梳理知识点1方向角问题以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.【新知导学】例11．如图,一艘轮船从点A处以的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东方向上,继续航行到达B处,这时测得灯塔C在北偏东方向上,已知在灯塔C的四周内有暗礁,问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由.(提示：,)答案：这艘轮船继续向正东方向航行是安全的,理由见解析解析：过点C作,垂足为D.如图所示：根据题意可知,,,在中,,,,即∴设,在中,,,∴,即解得,∵∴这艘船继续向东航行安全.例12．某海域内一艘轮船从西向东航行到A处时发现正东方向有一处暗礁，轮船马上调整方向，沿北偏东航行到点B处，然后沿南偏东航行海里到达C处，此时C恰好在A的正东方向.(1)求A，C两地的距离；(结果保留根号)(2)求A，B两地的距离(结果保留根号)答案：(1)海里(2)海里解析：(1)过B作于H，过C作于D，则，，与是等腰直角三角形，，，，海里，(海里)，(海里)，答：A，C两地的距离海里；(2)在中，，，，(海里)，在中，，，(海里)，海里，答：A，B两地的距离为海里.【对应导练】1．海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为的圆形海域内有暗礁.一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？答案：轮船有触礁危险.理由见解析；轮船自A处开始至多沿南偏东的方向航行才能安全通过这一海域解析：轮船有触礁危险.理由如下：根据题意，画出示意图，如图所示，过点P作于点C.由题意知，.，.，若轮船继续向正东方向航行，则有触礁的危险.设轮船沿AM方向航行正好能安全通过这一海域，如图，过点P作于点D，则，，，，轮船自A处开始至多沿南偏东的方向航行才能安全通过这一海域.2．根据图中标出的三角形区域的位置，计算三角形区域的面积（结果取整数）.（提示：它的面积等于一个梯形的面积減去两个直角三角形的面积.）答案：解析：如图所示，过点A作于点E，于点F，则E，A，F三点共线.在中，，，，，，.在中，，，，，，.又，百慕大三角的面积为.答：百慕大三角的面积约为.知识点2、坡度问题：坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】【新知导学】例21．如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角,坡长米,背水坡CD的坡度,则背水坡的坡长CD为()米.A.20 B. C.10 D.答案：A解析：∵迎水坡AB的坡角,坡长米,∴(米),∴,∵背水坡CD的坡度,,∴,∴,∴(米),故选A.例22．为方便行人横过马路，打算修建一座高的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为，计算斜坡AB的长度（结果取整数）.答案：解析：方法一：设斜坡AB的水平宽度为，由题意得，，，.方法二：设斜坡AB的坡角为，，.又，.【对应导练】1．某班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡(坡度为)旁路灯的高度,分工如下：小组甲：测量竹竿的长度,并将该竹竿竖立在地面上,测量其在地面上的影长.小组乙：在同一时刻,测量路灯在斜坡上的影长,及路灯与斜坡底端的距离.测量示意图和测量数据如下：请你根据以上信息计算路灯的高度.(结果保留整数,参考数据：)小组甲乙图示(点D,E,F,C在同一平面内)测量数据,,答案：路灯的高度约为解析：如图,过点G分别作,的垂线,垂足分别为点M,N,则四边形是矩形,,.∵斜坡坡度为,即在中,,,,,,.∵,,,,.答：路灯的高度约为.2．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一建筑，在斜坡底P处测得该建筑顶点B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了米到达坡顶，在坡顶A处又测得该建筑的顶点B的仰角为.（1）求坡顶A到地面的距离；（2）求该建筑的高度.（结果精确到米.参考数据：，，）答案：（1）5米（2）米解析：（1）过点A作于点H，由题意得，，斜坡的坡度为，，设，则，，解得：，（米），坡顶A到地面的距离为5米；（2）延长交于点D，由题意知：，，，，，，四边形是矩形，，，，设，则，在中，，，，，在中，，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意，该建筑的高度约为米.二、题型训练1.利用解直角三角形解决方向角问题1．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示.航行记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处.记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处.记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向.请你根据以上信息解决下列问题：（1）填空：________°，________°，________海里；（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.（参考数据：，，）答案：（1）30；75；5（2）该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区解析：（1）如图所示，过点P作于D，由题意得，，，，，；一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，海里.（2）设海里，在中，海里，在中，海里，海里，，，解得，海里，，，海里；上午9时，船距离A的距离为海里，，该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区.2．如图,某公园有一条三角形健身步道,其中B在A的正东方,C在A东北方向,一天老王以每分钟90米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步,分钟后到达步道的B处,此时他发现C在B的北偏西方向上.(A,B,C在同一平面内,参考数据：)(1)求健身步道的长；(结果保留根号)(2)为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯,改善健身环境,公园决定对健身步道进行扩建.计划将步道段向正东方向延伸至P处,修建新步道,且在P处测得C在P的北偏西方向上.若修建步道的成本为每米80元,公园对扩建预算的费用为20万元,请通过计算说明预算费用是否够用？答案：(1)(2)预算费用够用解析：(1)过点B作于点N,∴,由题意得：,,∴,,∵,∴,∴.(2)过点B作于点M,如图所示：则,∴,∴,∴,∴,∴,,∴,,∴预算费用够用.2.利用解直角三角形解决坡度问题3．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝横断面为梯形ABCD，斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：,,）答案：10米解析：过点D作于点E，则四边形ADEF是矩形，在中，，．．，在中，（米）．答：斜坡AB的长约为10米．4．南水北调中线工程有一段堤坝如图所示，其横断面为梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度，但是为了建设高铁线路，电力部门要在堤坝的正上方建一组高压线，且高压线的最低点P与点D，H在同一条直线上（），.（参考数据：，，，）（1）求斜坡CD的坡角.（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，则此段大坝是否达到了安全要求？答案：（1）45°（2）此段大坝达到了安全要求解析：（1）斜坡CD的坡度，，.即斜坡CD的坡角为45°.（2）此段大坝达到了安全要求.理由如下：由（1）可知，米，，.在中，，解得.，此段大坝达到了安全要求.3.利用解直角三角形解决综合问题5．如图,为了美化环境,提高民众的生活质量,市政府在公园一角处修建一个四边形人工湖泊,并沿湖泊四边修建了人行步道(即,,,).花园的两边与垂直,米,米,,,.(1)求点D到的距离；(2)求的长.(参考数据：,,)答案：(1)6米(2)40米解析：(1)过D作,垂足为M,在中,,,∴(米),∴点D到的距离约为6米；(2)过D作,垂足为H,由题意得：米,,在中,,,∴(米),设米,则米,∴米,∵,∴,在中,(米),∴米,在中,,∴米,∴,解得：,∴(米),∴牌匾悬挂高度的长约为40米.6．图1是一个活动宣传栏,图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图,其中点B,D,A,F在同一直线上,支杆可绕点A活动,是可伸缩横杆.已知,,.(1)求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；(2)如图3,小明站在活动宣传栏板前的点H处看宣传栏时(点H,B,C在同一直线上),若视线垂直宣传栏板于点A,此时测得,求小明的眼睛G离地面的距离.(参考数据：,,,,,,结果精确到0.1)答案：(1)(2)小明的眼睛G离地面的距离约解析：(1)作交于点N,交于点M,∵,,∴,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,∴；(2)作交于点P,∴四边形为矩形,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,,∵,∴,∵视线垂直宣传栏板,∴,∴,∴,∴.答：小明的眼睛G离地面的距离约.三、课堂达标一、单选题（每小题4分，共32分）1．如图，海中有一小岛A，在B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B处出发由西向东航行10海里到达C处，在C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为()海里.A. B. C.20 D.答案：D解析：由题意得：，在中，，海里，海里，此时渔船与小岛A的距离为海里.故选D.2．如图，若坡角，则斜坡的坡度为()A. B. C. D.2答案：B解析：坡角，则斜坡的坡度为，故选：B.3．河堤的横断面如图，堤高BC是，迎水斜坡AB的长是，那么斜坡AB的坡度是()A.1：2 B.1： C.1：1.5 D.1：3答案：B解析：在中，，斜坡AB的坡比，故选B.4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升到达A处，在A处观察C地的俯角为，则BC两地之间的距离为()A. B. C. D.答案：A解析：试题分析：根据三角函数可得：tan∠C==tan30°=，则BC=100m.考点：三角函数的应用5．如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为海里.观测站B到AC的距离BP是()A. B.1 C.2 D.答案：B解析：由题意得：,,∴,∵,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∵,∴,解得：(海里),故选：B.6．如图，一斜坡的坡度，小明同学沿斜坡的坡面从点A向上走了100米到达点B处，则小明上升的高度为()A.米 B.20米 C.米 D.米答案：A解析：设米，因为斜坡的坡度，则米，小明同学沿斜坡的坡面从点A向上走了100米到达点B处，所以，，解得，，故选：A.7．如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为()A.15米 B.米 C.米 D.米答案：C解析：如图，过点T作，交的延长线于A，，则，米，米，米，在中，，米，米，故选：C.8．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路.甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离().（参考数据，，）A.140 B.340 C.360 D.480答案：D解析：作于，于，则四边形为矩形，，，设，则，，在中，，，则，在中，，由题意得，，解得，，即点到的距离约为480，故选：D.二、填空题（每小题4分，共20分）9．一渔船在海上A处测得灯塔C在它北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里．答案：解析：10．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽是米，坝高为米，斜坡的坡度为，斜坡的坡度为，则坝底宽的长为______米.答案：解析：由题意得：，，∵，∴，∵，∴，∴（米），故答案为：.11．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为_________________米.答案：4解析：相邻两树间的水平距离是米，坡比.，即解得（米）.故答案为：4.12．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得，，则竹竿AB与AD的长度之比为__________.答案：解析：在中，，，即，.在中，，，即，，.故答案为：.13．科技改变生活，导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后导航显示车辆应沿北偏西方向行驶至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，B，C两地的距离是________________km答案：解析：如图所示，过点B作于点D，在中，，，则，，从B地沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，，且，，即是等腰直角三角形，，B，C两地的距离是，故答案为：.三、解答题（每小题8分，共48分）14．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东方向上，继续行驶米后到达B处，测得桥头C在南偏东方向上，桥头D在南偏东方向上，求大桥的长度.（结果精确到1米，参考数据：）答案：米解析：如图所示，分别过点C，D作的垂线，垂足分别为F，E，四边形是矩形，，，依题意，，，，，；在中，，；在中，，.答：大桥CD的长度约为米.15．如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图,天桥的高是10米,坡面的倾斜角为.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为,若新坡角下需留3米的人行道,问离原坡面点A处10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：,)答案：离原坡角10米的建筑物需要拆除解析：根据题意得：,米.∴米.∵,即：,∴米,∴(米),∵.答：离原坡角10米的建筑物需要拆除.16．图1是一种淋浴喷头,图2是图1的示意图,若用支架把喷头固定在点A处,手柄长,与墙壁的夹角,喷出的水流与形成的夹角,现在住户要求：当人站在E处淋浴时,水流正好喷洒在人体的C处,且使,问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：,,,,,,,,).答案：安装师傅应将支架周定在离地面处解析：过点B作于点G,延长、交于点F,由题意得：∴∵,,∴,,∴,,∴,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴安装师傅应将支架固定在离地面的位置,答：安装师傅应将支架周定在离地面处.17．某海域内一艘轮船从西向东航行到A处时发现正东方向有一处暗礁，轮船马上调整方向，沿北偏东航行到点B处，然后沿南偏东航行海里到达C处，此时C恰好在A的正东方向.(1)求A，C两地的