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《工科数学分析》一阶微分方程

1、可分离的微分方程可分离的微分方程典型例题小结可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.这样变量就“分离”开来了，两边积分，有通解如果有y0使得g(y0)=0,则y=y0也是解，但它可能不包含在上述通解中，必须补上。故通解不一定包含了方程的所有解。例1求解微分方程解分离变量两端积分二、典型例题通解为解解由题设条件衰变规律解例4

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-------隐式通解.三、小结2、齐次方程齐次方程可化为齐次的方程小结一、齐次方程

的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义例1

求解微分方程微分方程的解为解例2

求解微分方程解微分方程的通解为另外其还有解二、可化为齐次的方程1.定义为非齐次方程解代入原方程得分离变量法得得原方程的通解方程变为例4

求解微分方程解令再令两边积分后得变量还原得例5

求微分方程

的通解.解令令令两边同时积分得变量还原后得通解利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为三、小结齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程一阶线性微分方程线性方程伯努利Bernoulli方程小结一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解1、微分方程的通解并不是所有解。但特别地，线性微分方程的通解

包含了该方程的一切解。2、并不是所有微分方程都有通解。如：/p/409619526

解例1例2

如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线两边求导得解解此微分方程所求曲线为伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式此外，当n>0,还有解y=0.解例3此外，还有解y=0.例4

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得

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