工科数学分析 上册（第2版）课件：定积分的几何应用

定积分的几何应用《工科数学分析》定积分的元素法问题的提出元素法的一般步骤回顾曲边梯形求面积的问题▲问题的提出abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值面积元素提示元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．平面图形的面积直角坐标系情形极坐标情形小结曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积问题：积分变量只能选吗？解两曲线的交点选为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程情形解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积二、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积小结

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条定直线旋转一周而成的立体．

这定直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积xyo旋转体的体积为如此求体积微元的方法称为薄片法(slicingmethod)解直线方程为解解补充如此求体积微元的方法称为柱壳法

((cylindrical)shellmethod)。

实际计算时视具体情况来决定用哪种方法。xyoxyoAvolumeisapproximatedbyacollectionofhollowcylinders.Asthecylinderwallsgetthinnertheapproximationgetsbetter.Thelimitofthisapproximationistheshellintegral.xyo利用这个公式，可知上例中Ifthefunctionisoftheycoordinateandtheaxisofrotationisthex-axisthentheformulabecomes:Ifthefunctionisrotatingaroundthelinex=h

ory=k,thentheformulasbecome:and解体积元素为薄片法（中空）Washermethod体积元素为祖暅原理也称祖氏原理。在求球体积时使用：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。即

两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为

卡瓦列利原理。二、平行截面面积为已知的立体的体积

如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积楔xiē形解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积另一种劈锥体，其垂直于

x

轴的截面为一五边形

（下面一个矩形，上面一个等腰三角形）但也有人认为这是圆楔体旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周三、小结绕非轴直线旋转一周平面曲线的弧长平面曲线弧长的概念直角坐标情形参数方程情形极坐标情形小结一、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长二、直角坐标情形解所求弧长为解曲线弧为弧长三、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长四、极坐标情形解解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结作业P2