2024-2025学年重庆市开州开区高三上册第三次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市开州开区高三上学期第三次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，．若，则（

）A．1 B． C．12 D．4．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．6．已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数，若为偶函数；且在区间内仅有两个零点，则的值是（

）A．2 B．3 C．5 D．88．是定义在上的函数，，且对任意，满足，，则（

）A．2015 B．2016 C．2017 D．2018二、多选题（本大题共3小题）9．设函数，则（

）A．有三个零点 B．是的极小值点C．的图象关于点对称 D．当时，10．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（

）A．P(X＞32)＞P(Y＞32)B．P(X≤36)＝P(Y≤36)C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车11．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（

）A．若，，则点到平面的距离为B．存在使得四棱锥有外接球C．若，则棱锥体积的最大值为D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列的前n项和为，若，，则．13．如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有种不同的涂色方式.14．已知正数满足，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.16．如图，在三棱柱中，为正三角形，四边形为菱形.(1)求证：平面；(2)若，且为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．18．已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G.(1)求点G的轨迹方程；(2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A，B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.19．龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．日期t12345678910销售量千张1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得.(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；(3)记（2）中所得概率的值构成数列.①求的最值；②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛．参考公式.

答案1．【正确答案】B【详解】，∴．故选：B．2．【正确答案】D【详解】由得：，即，所以.故选：D3．【正确答案】C【分析】解法一：由的坐标，求得的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；解法二：先由化简，再代入的坐标计算即得.【详解】解法一：由，，得．由，得，即，解得．解法二：由，得，即，将代入，得，解得．故选C．4．【正确答案】C【详解】因为，，所以，解得，所以，故选：C5．【正确答案】B【详解】轴截面为等腰三角形，底边长为，设圆锥的高为，则，解得，故圆锥的体积为.故选：B6．【正确答案】C【详解】由函数，因为函数在定义域内是增函数，则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：C．7．【正确答案】A【详解】，为偶函数，所以，，，，当x∈0,π，，因为在区间0,π内仅有两个零点，所以，得，则.故选：A8．【正确答案】D【详解】解：三是相加得：，又，则，当且仅当时等号成立，，故选：D.9．【正确答案】BD【详解】A.，得和1，所以函数有2个零点，故A错误；B.，得和，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，所以是的极小值，故B正确；C.，不恒等于4，故C错误；D.当时，单调递增，，所以，故D正确.故选：BD10．【正确答案】BCD【详解】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；B.,，所以，故B正确；C.=，所以，故C正确；D.，，所以，故D正确.故选：BCD11．【正确答案】ACD【详解】，，易知平面ABC,平面，易知面故点到平面的距离为即为点到平面的距离，因为，所以，所以，所以为二面角的平面角，又为平面内两条相交直线，所以平面，所以平面，又在平面内，所以平面平面，所以到平面ABC的距离即为到，A选项：，，即，三角形等边三角形，可得：到的距离为，故A正确；B选项：由于直角梯形不可能共圆，所以四棱锥无外接球，所以B错误；C选项：由题意可知，，，,，由基本不等式可知：，当且仅当，即时取得最大值，所以,所以当，时，体积取到最大值，故正确；D选项：由题意可知，，，，也即两两垂直，可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为r，则，，所以时，取得最小值，此时，所以D正确．故选：ACD12．【正确答案】【分析】利用等差数列的通项公式列式求得，再利用等差数列的求和公式即可得解.【详解】设等差数列的公差为，则有,解得：，所以.故答案为.13．【正确答案】120【详解】当陕西和贵州相同，陕西和贵州4种颜色，重庆3种颜色，四川有2种颜色，湖北有2种颜色，湖南有1种颜色，则共有种方法，当陕西和贵州不同，湖北和贵州相同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州和湖北有2种颜色，湖南有2种颜色，四川有1种颜色，则共有种方法，当陕西和贵州不同，湖北和贵州不同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州有2种颜色，湖北有1种颜色，湖南有1种颜色，四川有1种则共有种方法，综上可知有种方法.故12014．【正确答案】1【详解】由，得，记，其中，原不等式化为，所以，所以，即．所以，当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1．故1．15．【正确答案】(1)见解析(2)【详解】（1）因为函数，则，当时，，函数在上单调递增；当时，由可得，若，则；若，则.当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，函数的定义域为，，由，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.16．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）设与交于点G，连接，则由为正三角形可得，又由四边形为菱形可得，因为，平面，所以平面.（2）由（1）可得，又，，平面，所以平面，取中点，连接，则由为正三角形可得，因为，所以，又平面，平面，所以，取中点，连接，则，故且，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，由上是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理求出，进而由余弦定理求出，利用三角形面积公式得，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案；（2）由正弦定理得到，利用锐角三角形，求得，进而求出，由面积公式求得.【详解】（1），由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，因为，，由余弦定理得：，因为，所以，其中，所以，因为点E为线段BD的中点，所以，由题意得：，所以.（2）由（1）知：，又，由正弦定理得：，所以，因为为锐角三角形，所以，解得：，则，，，故，面积为故面积的取值范围是.18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立，根据韦达定理，并利用，得，将韦达定理代入化简即可求解.【详解】（1）设，则，因为为的重心，故有，解得，代入，化简得，又，故，所以的轨迹方程为.（2）因为为的垂心，故有，又，所以，故设直线的方程为，与联立消去，得，由，得，设，则，由，得，所以，所以，所以，化简得，解得（舍去）或（满足），故直线的方程为.19．【正确答案】(1)(2)(3)①最大值为，最小值为；②证明见解析【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的回归方程；（2）由题意可知，其中，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性