2024-2025学年上海市松江区高三上册11月期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市松江区高三上学期11月期中考试数学检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则______【正确答案】【分析】根据一元二次不等式求解集合元素，结合交集【详解】由，则.故答案为.2.已知向量，则在方向上的数量投影为_________________．【正确答案】【分析】根据数量投影的定义及计算公式直接可得解.【详解】由已知，，则则在方向上数量投影为，故答案.3.曲线在点处的切线方程是__________．【正确答案】【分析】直接求导得，代入求得斜率即可.【详解】由，则，所以，所以在点0,1处的切线方程为，即．故答案为.4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为______【正确答案】120【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解.【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96，112，120，136，146，153，因为，所以这组数据的分位数为120.故120.5.二项式的展开式中，常数项为______【正确答案】【分析】先求出二项式的通项公式，令x的指数为0即可求解.【详解】由题得二项式通项公式为：，令，所以二项式的展开式中，常数项为.故答案为.6.关于x的方程的解集为______【正确答案】【分析】分类讨论的范围，去绝对值解方程即可.【详解】关于x的方程，若，则，可得，解得，不合题意；若，则，可得，解得，不合题意；若，则，可得，解得，符合题意；若，则，可得，解得，不合题意；综上所述：方程的解集为.故答案为.7.已知，，，则的最小值为______【正确答案】9【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式，即可求出的最小值.【详解】因为，，，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故9.8.《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为_______.【正确答案】【分析】根据题意可得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为，从而可得，解方程可得，再利用球的面积公式即可求解.【详解】由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为，则，解得，，该球体表面积.故本题考查了几何体的外接球问题，需熟记球的表面积公式，属于基础题.9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______【正确答案】4048【分析】根据函数图象平移的性质可得的图象关于对称，即，即可求解.【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即，因此，,因此,故10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为______【正确答案】【分析】利用等面积法即可求解，根据取时最大求解.【详解】如图所示，由椭圆定义，，，则，故，要使最大，则，故故11.在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为______.【正确答案】2023【分析】由已知可利用余弦定理转化为新的关系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的边角互化思想就可得到结果.【详解】因为，由余弦定理得，所以，所以，故2023.12.已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________.【正确答案】【分析】原方程可化为，令，，即得在有两个不相等的实根，再转化为和，有两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可.详解】由，可得方程可化为，令，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故时，值域为.方程可化为，当时，方程可化为，不成立，故，故原方程可化为，由已知在有两个不相等的实根，即和，有两个不同的交点.，当和时，，即在上递减，在上递减；当时，，在递增.另外，时，；时，；，当时，，当，且时，，当，且时，，根据以上信息，函数，大致图象如下，当时，和，的图象有两个不同的交点.所以的取值范围是.故答案为.方法点睛：已知函数有零点(方程有根)或已知零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.）13.设，则是的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【正确答案】B【分析】由“”不能推出“”，“”能推出“”，据此可判断选项.【详解】令，则，但，故“”不能推出“”.设，由得，，故“”能推出“”.综上得，是的必要非充分条件.故选：B.14.在中，，为中点，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意可作图如下：则，，由为的中点，则，.故选：A.15.已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【正确答案】B【分析】对于①，根据求导运算，利用赋值法，可得答案；对于②，取关于已知对称中心的两个点，代入函数解析式建立方程组，整理等式，结合题意，可得答案；对于③，根据求导运算，结合题目中的等式，可得答案；对于④，根据等式可得函数的对称性，结合对称性可得点的坐标，可得等差数列，可得答案.【详解】对于①，由等式，两边求导可得，则，令，则，解得，故①错误；对于②，取点在函数的图象上，易知点关于0,2的对称点为，假设该点也在函数的图象上，可得，消去可得，整理可得，故②正确；对于③，由等式，两边求导可得，则，显然与题意不符，故③错误；对于④，由等式，可得函数的对称中心为0,2，由等式，可得函数的对称中心为1,0，点0,2关于1,0的对称点为也是对称中心，点1,0关于的对称点为3,−4也是对称中心，归纳可得函数图象的对称中心为，当时，，成立；假设当时，成立；当时，，由数学归纳法，则，所以函数图象对称点为，则，易知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故④正确.故选：B.16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，【正确答案】D【分析】构建，结合导数分析fx,gx的单调性和大小关系，利用递推法分析数列的单调性和取值范围，结合选项即可判断【详解】设，可知fx,gx在构建，则，可知Fx在0,+∞当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；可得fx对于选项AC：若，则，且，可得，若，则，且，可得，依此类推，可得，可知数列单调递增，且，即不存在正整数，当时，，故AC错误；对于选项BD：若，则，且，可得，若，则，且，可得，依此类推，可得，可知数列单调递减，且，所以存在正整数，当时，（只需即可），故B错误，D正确；故选：D.关键点点睛：构建，分析两个函数的单调性哈大小关系，结合图象分析数列性质.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望.【正确答案】（1）分（2）分布列见解析，【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图，可得答案；（2）写出变量的可能取值，分别求得概率，写出分布列，利用期望公式，可得答案.【小问1详解】成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为分.【小问2详解】在这六个人中，有两人的分数在分及以上，因此，，，，变量的分布列为：所以的数学期望为.18.已知函数y=fx是定义在−1,1上的奇函数，并且当时，.（1）求函数y=fx（2）求关于x的不等式的解集.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）当时，化简，再根据为奇函数求解当时，函数的解析式；（2）判断函数在上单调性，再根据奇函数的性质解不等式即可.【小问1详解】当时，函数.当时，；当时，，即；因为，所以.因此；【小问2详解】当时，，因此有在上严格单调递增；而当时，因此有在上严格单调递增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．（1）求证：直线平面；（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先证明，再证明平面，从而得到平面；（2）建立空间直角坐标系，然后再求出相关平面的法向量，最后用夹角公式计算即可.【小问1详解】证明：∵，分别是，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，则平面．【小问2详解】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，由题意得：A2,0,0，，，，，∴，，设，则．依题意可得：，即：又与都在的同侧，所以，即于是：，设平面的法向量为则，取，可得再设平面的法向量为m=x,y,z则，取，得于是所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．20.已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值.【正确答案】（1）（2）为定值，（3）【分析】（1）由已知得，可得动点的轨迹为椭圆，然后求出即可得解；（2）设两点的坐标，表示出△的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求△的面积；（3）求出点的轨迹方程曲线，，分类讨论设直线方程，利用韦达定理表示，由直线与曲线有交点确定参数范围，求面积最大值．【小问1详解】，则，则曲线C是以和1,0为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线.【小问2详解】设所以则化简得：，则，又，直线则到直线的距离，所以为定值；【小问3详解】设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l的斜率不存在时：设，代入E中有，则当直线l斜率存在时：设，Ax1,y代入E的方程：，则，，；而l与椭圆C有公共点，代入得：，由有，记，则，综上，面积的最大值为.方法点睛：设而不求结合换元是解决圆锥曲线解答题最常用的方法，也是本题核心解题思路.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围；（3）证明.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）将代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可；（2）分