2024-2025学年上海市奉贤区高三上册11月期中数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市奉贤区高三上学期11月期中数学检测试卷一、填空题1.设集合，且，则实数的取值范围为_________.2.已知是虚数单位，复数满足，若复数为纯虚数，则实数的值为_____.3.经过点且法向量为的直线方程为_____.4.二项式的展开式中，常数项为_____5.设，若抛物线的焦点为坐标原点，则_____.6.设，函数图象一条对称轴为，则_____.7.今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道.现抽取2024年前11个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第75百分位数是_____月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黄金价格(元/克)6246166306917087167147377437688158.圆锥的顶点为，将该圆锥的侧面沿母线剪开并展平得到一个圆心角为，半径为1的扇形，则该圆锥的体积为_____9.锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______10.设，满足，则_____.11.已知数列各项均为正整数，对任意和中有且仅有一个成立，且.记.给出下列四个结论.①不可能是等差数列；②中最大项为；③不存在最大值；④的最小值为34.其中所有正确结论的序号是_____.12.如图所示，正八面体的棱长为2，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为________二、选择题13.在中，""是为钝角三角形的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.已知事件和相互独立，且则（）A B. C. D.15.已知函数若存在，使得，则的取值范围是（）A B. C. D.16.已知数列为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”.现有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则是数列是“阶弱减数列”的充分条件；②数列为无穷数列且（为正整数），则存在，使得数列是“阶弱减数列”的充要条件是.那么（）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题三、解答题17.已知钝角，满足.（1）求的值；（2）求函数值域.18.如图所示四棱锥，其中交BD于点.（1）求证：平面；（2）若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.19.为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率（2）求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望.20.设.（1）当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）设函数的定义域为，若对任意的成立，求的取值范围.21.已知椭圆的左、右、下顶点分别为点、、，点为椭圆上的动点、点（1）点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求线段的长；（2）求面积的最大值；（3）过点的直线与椭圆交于、两点(异于点、)，试探究直线、BD的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.2024-2025学年上海市奉贤区高三上学期11月期中数学检测试卷一、填空题1.设集合，且，则实数的取值范围为_________.【正确答案】【分析】先解二次不等式化简集合，再利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为，，又，故，解得，则实数的取值范围为.故2.已知是虚数单位，复数满足，若复数为纯虚数，则实数的值为_____.【正确答案】【分析】设，根据复数的运算以及复数相等可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.【详解】根据题意，设，则，根据复数相等可得，解得.故答案为.3.经过点且法向量为直线方程为_____.【正确答案】【分析】首先求出直线的斜率，再由点斜式计算可得.【详解】因为直线的法向量为，则直线的斜率，所以直线方程为，即.故4.二项式的展开式中，常数项为_____【正确答案】１５【详解】常数项为第5项，所以常数项为5.设，若抛物线的焦点为坐标原点，则_____.【正确答案】##【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，再由图象平移规则即可得解.【详解】易知抛物线的焦点坐标为，将抛物线向上或向下平移个单位可得到抛物线，由焦点坐标变为，可得.故答案为.6.设，函数图象的一条对称轴为，则_____.【正确答案】【分析】根据三角函数的对称性与最值的关系，可得，即可化简求解.【详解】的图象的一条对称轴为，故是函数的最大值或者最小值，即，故，化简可得，故，即，故7.今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道.现抽取2024年前11个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第75百分位数是_____月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黄金价格(元/克)624616630691708716714737743768815【正确答案】743【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】个数据按从小到大的顺序排列为：，因为，所以这组黄金价格数据的第75百分位数是第九个数据，为.故答案为.8.圆锥的顶点为，将该圆锥的侧面沿母线剪开并展平得到一个圆心角为，半径为1的扇形，则该圆锥的体积为_____【正确答案】【分析】由题意可得圆锥底面圆的半径，从而可得圆锥的高，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆锥的母线，设底面圆的半径为，则，解得，所以圆锥的高，则圆锥的体积为.故9.锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______【正确答案】【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围.【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列，则，解得，不妨设角为最小角，设等差数列、、的公差为，则，，所以，，，由题意可知，因、为锐角，且，即，解得，则，所以，.故答案为.10.设，满足，则_____.【正确答案】4【分析】构造函数，利用函数的奇偶性，以及用导数判断单调性，即可求解.【详解】因为，所以，设函数，都有且，所以函数是奇函数，又因为，因为，所以恒成立，所以函数在上单调递增，又因为，所以所以，解得，故答案为:4.11.已知数列各项均为正整数，对任意的和中有且仅有一个成立，且.记.给出下列四个结论.①不可能是等差数列；②中最大项为；③不存在最大值；④的最小值为34.其中所有正确结论的序号是_____.【正确答案】③④【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出最小值判断④作答.【详解】对于①，当时,由得,由得,于是与仅只一个为1,即,因此数列不能是等差数列,①错误;对于④，令,依题意,与均为整数,且有且仅有一个为1(即隔项为1),若,则,,而,因此,当且仅当数列为时取等号,若,则,,而,因此,当且仅当数列为时取等号,从而的最小值为34,④正确;对于②，当时,取,数列为:,满足题意,取p=2,a8=16>12=对于③，由于的任意性,即无最大值,因此不存在最大值,③正确,所以所有正确结论的序号是③④.故答案为:③④.关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.12.如图所示，正八面体的棱长为2，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为________【正确答案】【分析】设交于点，，分析可知可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面，建系，设点，可得，进而确定截面的形状，整理可得，分析长度的最值即可得解.【详解】设交于点，且，的中点为，因为，则，即，可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面，如图，以为坐标运算，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设点，则，可得，可得，直线上的点满足，结合可得，可知直线与平面的交点为，同理可得：平面与直线的交点依次为，又因为，注意到，则，即，可知平面，当点为与平面的交点时，取到最小值，可设，可得，结合可得，即，则，所以取到最小值，检验可知：当点为时，取到最大值，所以取到最大值；综上所述：的取值范围为.故答案为.关键点点睛：本题的关键在于利用空间向量求平面上的点满足的关系式，进而确定平面与正八面体的棱的交点，进而分析求解.二、选择题13.在中，""是为钝角三角形的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】由，可得，所以为钝角，是钝角三角形，所以由可以得出为钝角三角形，若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，所以在中，""是为钝角三角形的充分不必要条件，故选：A.14.已知事件和相互独立，且则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式，相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得.【详解】由事件A与事件B相互独立，得.故选：C15.已知函数若存在，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】分，，三种情况讨论，由题意分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得到答案；【详解】当时，，所以，即，所以，则，因为在0,1上递增，所以；当，，所以，所以，不存在，使得；当时，，因为，所以，所以，则，令，则，因为，所以，，所以，所以，即，所以在上单调递增，所以，即，综上所述，的取值范围是，故选：D.关键点点睛：本题的关键是分，，三种情况讨论，再结合题意分别确定的范围.16.已知数列为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”.现有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则是数列是“阶弱减数列”的充分条件；②数列为无穷数列且（为正整数），则存在，使得数列是“阶弱减数列”的充要条件是.那么（）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题【正确答案】A【分析】分别证明①是真命题，②是假命题，即可得到答案.【详解】下面证明：①是真命题，②是假命题.对于①，若，则.若，由可得，故，从而.所以只要，就一定有，所以①是真命题.对于②，由于当时，对任意的都有c2+l故不是“阶弱减数列”，从而②的充分性不成立，所以②是假命题.综上，①是真命题，②是假命题.故选：A.关键点点睛：本题的关键在于理解弱减数列的定义，只有理解了定义，方能解决相应的问题.三、解答题17.已知钝角，满足.（1）求的值；（2）求函数的值域.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由同角三角函数的关系结合诱导公式，二倍角公式即可求解；（2）确定函数单调性即可求解.【小问1详解】由，又，又为钝角，两方程联立求解可得：，又为钝角，所以可得：，【小问2详解】由（1）可得：，，在上单调递增,在上单调递减，所以在单调递减，

当x=0时,有最大值，当时有最小值，函数的值域为18.如图所示四棱锥，其中交BD于点.（1）求证：平面；（2）若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】因为，所以均在BD的垂直平分线上，所以，图为，所以，图为，所以，又圀为平面平面，所以平面，【小问2详解】因为平面，所以平面平面.由(1)可知，以为原点，所在直线分别为轴，过点垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，所以，从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知，由(1)可知，所以，由(1)可知，而平面平面平面平面，且二面角为，所以，所以与轴所在直线的夹角为，所以，因为，所以，设平面的法向量为，则，令，解得，所以平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.为迎接“五一小长假”到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率（2）求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望.【正确答案】（1）（2）顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、（3）分布列答案见解析，【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；（2）根据古典概型概率公式及组合数公式计算可得；（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，则，利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望.【小问1详解】设顾客第次摸到红球为，则；【小问2详解】由题意知，，，，，因此，顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、；【小问3详解】由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，则，所以，，，，则分布列为：123数学期望.20.设.（1）当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）设函数的定义域为，若对任意的成立，求的取值范围.【正确答案】（1）.（2）上是严格增函数，上是严格减函数.（3）.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解.（2）求出导数，判断导数值正负求出单调区间.（3）先探求不等式成立的必要条件，再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即可证明.【小问1详解】当时，，求导，则，所以切线方程为，即.【小问2详解】当时，