人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-3-2第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件

第2课时等比数列前n项和的性质及应用第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式整体感知[学习目标]

1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算)2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)(教师用书)远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题，文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味．题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？[讨论交流]

问题1．等比数列前n项和有哪些性质？问题2．运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的关键是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1等比数列前n项和的性质探究问题在等比数列{an}中，你能否用Sm，Sn来表示Sm＋n?[提示]

思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.

qnSm3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，____________仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是____．【教用·微提醒】

当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列．S3n－S2nqn【链接·教材例题】例9已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn.证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．[证明]

当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1.

[典例讲评]

1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值；(2)若a1＝1，项数为偶数，且S奇＝85，S偶＝170，求公比与项数．

[母题探究]1．将本例(1)中的条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“各项均为正项的等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．

2．将本例(1)中条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．

qS2nqS偶S2n＋1qn

√120

探究2等比数列前n项和的实际应用【链接·教材例题】例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，….(1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r为常数；(3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1)．分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn＋1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答．

反思领悟

与等比数列前n项和有关的实际问题解题方法(1)构建数列模型．(2)根据题意将实际问题直接转化为等比数列问题，或寻找递推公式，再转化为等比数列．(3)利用等比数列前n项和公式进行计算．

探究3等比数列的前n项和在几何图形中的应用【链接·教材例题】例10如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．

(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．

[典例讲评]

3．(源于北师大版教材)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和．

反思领悟

解决与等比数列前n项和公式有关问题时应注意的问题(1)首先将题目问题转化为等比数列问题．(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．[学以致用]

3．如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及S2025.

243题号1应用迁移√1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1013，偶数项之和为2026，则这个数列的公比为(

)A．8

B．－2

C．4

D．2

23题号142．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(

)A．1025 B．1024C．10250 D．20240√C

[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn＞0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250，故选C.]23题号41√3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2014年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元．从2015年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2025年的年薪为(参考数据：1.111≈2.853，1.110≈2.594)(

)A．9.3万元 B．10.4万元C．12.14万元 D．14万元

243题号14．一个项数为偶数的等比数列{an}，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列{an}的通项公式an＝______________．

1．知识链：(1)等比数列前n项和公式的性质．(2)等比数列前n项和公式的实际应用．(3)等比数列前n项和公式的综合应用．2．方法链：公式法、分类讨论法、转化法．3