人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-3-1第2课时等比数列的性质及应用课件

第2课时等比数列的性质及应用第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念整体感知[学习目标]

1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算)2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理)(教师用书)首先，我们先来看下面两道小题：(1)若{an}为等比数列，a3＝2，a7＝8，则a4a6＝________．(2)若{an}为等比数列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，则a7＋a8＋a9＝________．大家试着做一做，你会发现我们可以用基本量a1，q完成计算，但计算过程比较麻烦，等比数列“继承”了指数函数的特点，计算量大，如果我们掌握一定的技巧，会不会更容易解决问题呢？[讨论交流]

问题1．等比数列有哪些性质？问题2．解决等比数列实际应用问题的关键是什么？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1等比数列的性质探究问题1类比等差数列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否发现等比数列中相似的性质？

[新知生成]1．推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．2．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝________．ap·aq

积

pq

[典例讲评]

1．(1)在等比数列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，则an＝________．(2)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝8，则log2a2＋log2a14＝________．(3)若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________．[思路引导]利用等比数列的性质，整体代换求解．

(3)易知{anbn}为等比数列，则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12.]

[学以致用]

1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________．2

[设等比数列{an}的公比为q，则由题意T13＝4T9，可得a1a2…a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4.由等比数列的性质可得a8a15＝a10a13＝a11a12，所以a8·a15＝±2.又因为{an}是递减等比数列，所以q＞0，所以a8·a15＝2.]2探究2灵活设元解决等比数列问题【链接·教材例题】例3数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列．分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．

[典例讲评]

2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数．

[学以致用]

2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．

45探究3等比数列的实际应用【链接·教材例题】例4用10000元购买某个理财产品一年．(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)?(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于(1)中按月结算的利息(精确到10-5)?分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…构成等比数列．[解]

(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以a12＝104(1＋0.400%)12≈10490.702.所以，12个月后的利息为10490.702－104≈490.70(元)．(2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104(1＋r)，公比为1＋r，于是b4＝104(1＋r)4.因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104(1＋r)4－104]元．解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得r≥1.205%.所以，当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．[典例讲评]

3．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(精确到0.1)[解]

(1)从第一年起，每辆车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)，a3＝13.5×(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1.∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元)．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．反思领悟

等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答．[学以致用]

3．某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其投入资金开始超过7000万元．(参考数据：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845)12

243题号1应用迁移√

23题号142．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(

)A．12 B．24C．30 D．32√

23题号14

23题号41√

243题号14．某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第________年这个工厂的产值将超过2a.8

[由题意知每年的产值构成以1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，则an＝a·1.1n.所以a·1.1n＞2a.因为1.17＜2，1.18＞2，所以n