人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-1第2课时数列的递推公式及前n项和课件

第2课时数列的递推公式及前n项和第四章数列4.1数列的概念整体感知[学习目标]

1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)2．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)3．会用an与Sn的关系求通项公式．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)观察某次智力测试中的一道题：数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是：a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，….(1)你能写出该数列的第8个数吗？(2)你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？[讨论交流]

问题1．递推公式的含义是什么？问题2．一般的数列{an}，该如何表示其前n项和？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1数列的递推公式探究问题1观察钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．自上而下，第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10.若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？[提示]

有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．[新知生成]递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用__________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．【教用·微提醒】

(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列．一个式子【链接·教材例题】例4图4.1－3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．[解]

在图4.1－3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1.

反思领悟

根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式；若项数很大，则应考虑数列的周期性．[学以致用]

1．(源自人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．(1)1，2，4，7，11，…；(2)－1，2，5，8，11，…；(3)1，－2，4，－8，16，….[解]

(1)因为a2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝4－2＝2，a4－a3＝7－4＝3，a5－a4＝11－7＝4，所以an＋1－an＝n，即an＋1＝an＋n.从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22.

探究2

an与Sn的关系探究问题2如果已知数列{an}的前n项和，如何求a6呢？[提示]

用{an}的前6项和减去前5项和．[新知生成]1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_________________．2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．a1＋a2＋…＋an

【教用·微提醒】

由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示．

[典例讲评]

2．已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式．(1)Sn＝3n－7；(2)Sn＝2n2－30n.

(2)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.显然a1＝－28适合上式，所以an＝4n－32，n∈N*.[母题探究]

将本例(2)的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.

发现规律

由前n项和求通项公式的步骤(1)先利用__________，求出a1.(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝____________(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式．(3)注意检验_______时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an.a1＝S1Sn－Sn－1n＝1

反思领悟

由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题)(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决．

√

243题号1应用迁移√1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(

)A．7 B．8C．9 D．17A

[∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝(16－1)－(9－1)＝7.故选A.]23题号14

√A

[由题意得当n＝3时，a3＝2＋0＝2，当n＝4时，a4＝2×1＝2，当n＝5时，a5＝2＋2＝4，当n＝6时，a6＝2×2＝4，当n＝7时，a7＝2＋4＝6，当n＝8时，a8＝2×4＝8，当n＝9时，a9＝2＋6＝8，所以{an}的前9项和S9＝a1＋a2＋…＋a9＝0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＋8＝35.故选A.]23题号413．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，则an＝______________．

243题号1

1．知识链：(1)数列的递推公式．(2)数列的前n项和Sn与an的关系．(3)由递推公式求通项公式．2．方法链：归纳法、累加法、累乘法、迭代法．3．警示牌：(1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式．(2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什