人教A版高中数学选择性必修第二册第五章5-3-2第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用课件

第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值整体感知[学习目标]

1．进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．(数学运算)2．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理)(教师用书)如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC＝1.2km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC＝1.6km.现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上．已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元．那么，铺设输油管的最少花费是多少？[讨论交流]

问题

如何应用导数解决生活中的实际问题？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1导数在实际问题中的应用【链接·教材例题】例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

因此，当半径r＞2时，f′(r)＞0，f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜2时，f′(r)＜0，f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．(1)半径为6cm时，利润最大．(2)半径为2cm时，利润最小，这时f(2)＜0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．[典例讲评]

1．(源自北师大版教材)如图1所示，一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2所示．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[解]

(1)根据题意，可得V＝V(x)＝(48－2x)2x.由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}．根据导数公式表及导数的运算法则，可得V′(x)＝－4x(48－2x)＋(48－2x)2＝(48－2x)(－6x＋48)＝12(x－24)(x－8)．解方程V′(x)＝0，得x1＝8，x2＝24.根据x1，x2列出表如下，分析V′(x)的符号、V(x)的单调性和极值点．x(0，8)8(8，24)V′(x)＋0－V＝V(x)

极大值

根据表中V′(x)与V(x)的变化情况可知，x＝8是函数V＝V(x)的极大值点，相应的极大值为V＝V(8)＝(48－16)2×8＝8192(cm3)．V＝(48－2x)2x的大致图象如图．根据对函数变化规律的讨论可知：当0＜x≤8时，函数V＝V(x)单调递增；当8≤x＜24时，函数V＝V(x)单调递减．(2)区间(0，24)上任意点的函数值都不超过V(8)，因此，x＝8是函数的最大值点．此时V＝V(8)＝8192(cm3)是函数V＝V(x)在区间(0，24)内的最大值．即当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192cm3.反思领悟

1．解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．2．利用导数解决生活中优化问题的四个步骤第一步：设出恰当的未知量，并确定未知量的取值集合(即函数的定义域)．第二步：依题意将所求最值的量表示为未知量的函数．第三步：求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点．第四步：通过单调性确定出函数的极值点及最值．[学以致用]

1．(源自湘教版教材)某企业要生产容积为Vm3的圆柱形密闭容器(如图所示)，已知该容器侧面耗材为1元/m2，上下底面的耗材为1.5元/m2.问：如何设计圆柱的高度hm和上下底面的半径r

m，使得费用最少？

探究2利用导数研究函数的零点或方程的根【链接·教材例题】例7给定函数f(x)＝(x＋1)ex.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．[解]

(1)函数的定义域为R.f′(x)＝(x＋1)′ex＋(x＋1)(ex)′＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，

解得x＝－2.f′(x)，f(x)的变化情况如表5.3-4所示．表5.3-4x(－∞，－2)－2(－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减单调递增

根据以上信息，我们画出f(x)的大致图象如图5.3-17所示．

反思领悟

函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据函数零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的统一．[学以致用]

2．已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．[解]

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；

反思领悟

利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)＞0(或＜0)的形式；(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．[学以致用]

3．已知x＞0，证明：1＋2x＜e2x.[证明]

设f(x)＝1＋2x－e2x，则f′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)．当x＞0时，2x＞0，e2x＞e0＝1，∴f′(x)＝2(1－e2x)＜0，∴函数f(x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上单调递减．∵函数f(x)＝1＋2x－e2x是连续函数，∴当x＞0时，f(x)＜f(0)＝0，∴当x＞0时，1＋2x－e2x＜0，即1＋2x＜e2x.243题号1应用迁移√1．设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为(

)A

B

C

D243题号1C

[根据题意，f(x)为偶函数，则其导函数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B，D.又由于函数f(x)在(0，1)上存在极大值，则其导函数在(0，1)上存在零点，且零点左侧导函数值符号为正，右侧导函数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意．]23题号14

√

23题号41√3．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，－4)B．(－4，0)C．(－∞，－4)∪(0，＋∞)D．(0，＋∞)23题号41B

[设f(x)＝x3－6x2＋9x，可得f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＞0，即(x－1)(x－3)＞0，解得x＜1或x＞3，令f′(x)＜0，即(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，所以函数f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，则当x＝1时，函数f(x)取得极大值f(1)＝4，当x＝3时，函数f(x)取得极小值f(3)＝0，要使得方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有三个不同的交点，所以0＜－m＜4，解得－4＜m＜0，即实数m的取值范围是(－4，0)．]243题号14．在区间(0，π)上，sinx与x的大小关系是________．sinx＜x

[构造函数f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)，则f′(x)＝cosx－1＜0，故函数f(x)在(0，π)上单调递减，所以f(x)＜f(0)＝0，故sinx＜x.]sinx＜x1．知识链：(1)导数在实际问题中的应用．(2)研究求函数零点的方法．(3)利用导数证明不等式．2．方法链：转化法、数形结合法、分类讨论法．3．警示牌：不能正确分析函数图象的变化趋势，从而不能正确得到函数零点的个数．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．用导数解决优化问题的实质是什么？[提示]

生活中常常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，用导数解决这些优化问题的实质是求函数的最值．2．用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是什么？[提示]

①审题：理解文字表达的题意，分析实际问题中各量之间的关系．②建模：将文字语言转化为数学语言，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系．③解模：把数学问题划归为求最值问题．ⅰ.求函数的导数，解导数值为0的方程；ⅱ.比较函数在区间端点和使导数值为0的点处的函数值的大小，即得最大(小)值．④写出答案．注意：在将实际问题转化为数学问题时，要注意所设变量的取值范围．3．用导数解决实际问题中的最值问题应注意哪些事项？[提示]

①要注意考虑实际问题的意义，不符合题意的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在该点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值．③要注意问题中涉及的变量关系用函数式表示，以及确定函数关系式中自变量的取值范围．