人教A版高中数学选择性必修第一册第一章1.4.1第2课时空间中直线、平面的平行课件

第2课时空间中直线、平面的平行第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系整体感知[学习目标]

1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？[讨论交流]

问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1直线与直线平行探究问题1由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？[提示]

平行．[新知生成]两直线平行的判定方法设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔______⇔∃λ∈R，使得_______．【教用·微提醒】

利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．u1∥u2u1＝λu2

反思领悟

向量法证明线线平行的两种思路[学以致用]

1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1.

探究2直线与平面平行探究问题2

观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？[提示]

垂直．[新知生成]直线和平面平行的判定方法设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔______⇔_________．【教用·微提醒】

(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直．(2)特别强调直线在平面外．u⊥nu·n＝0【链接·教材例题】例3如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1?

[典例讲评]

2．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB．

反思领悟

利用空间向量证明线面平行的三种方法(1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．[学以致用]

2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.

探究3平面与平面平行探究问题3如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？[提示]

平行．[新知生成]平面和平面平行的判定方法设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔_________⇔∃λ∈R，使得_________．【教用·微提醒】

证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．n1∥n2n1＝λn2【链接·教材例题】例2证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：如图1.4-11，a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α.求证：α∥β.[分析]

设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量．

[典例讲评]

3．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．

反思领悟

证明面面平行问题的方法(1)转化为相应的线线平行或线面平行．(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．[学以致用]

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点，

求证：平面BMN∥平面PCD．[证明]

连接BD，PM，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BM⊥AD，又PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD，所以以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

【教用·备选题】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

应用迁移23题号411．若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(

)A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)√B

[根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l∥α，则m·n＝0，由此分析选项，对于A，m·n＝－3≠0，不符合题意；对于B，m·n＝－4＋4＝0，符合题意；对于C，m·n＝－11≠0，不符合题意；对于D，m·n＝－3≠0，不符合题意．故选B．]23题号4123题号41

√

23题号41

－8

23题号41

平行1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线平行．(2)利用向量证明直线和平面平行．(3)利用向量证明平面和平面平行．2．方法链：坐标法、转化化归．3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两直线平行的向量表达式是什么？[提示]

设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1＝λμ2.2．直线和平面平行的向量表达式是什么？[提示]

设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n＝0.3．平面和平面平行的向量表达式是什么？[提示]

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.4．证明线面平行有哪些方法？[提示]

(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．课时分层作业(八)空间中直线、平面的平行题号135246879101112131415

√A

[根据题意，因为l∥α，且直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的法向量为n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，则有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5.故选A．]题号135246879101112131415题号135246879101112131415

√√题号135246879101112131415

题号3524687910111213141513．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(

)A．2

B．－4C．4

D．－2√

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，－1，1)，且l∥α，则m＝________．5

[根据题意，设直线l的方向向量为a＝(1，m，2)，平面α的一个法向量为b＝(3，－1，1)，若l∥α，必有a⊥b，则有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5.]5题号352468791011121314151

题号3524687910111213141518．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________．

－3

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151题号35246879101112131415111．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(

)

A．异面

B．平行C．垂直不相交

D．垂直且相交√题号352468791011121314151

题号35246879101112131415112．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．

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