人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.3.1两条直线的交点坐标课件

2.3.1两条直线的交点坐标第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式整体感知[学习目标]

1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算)2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算)(教师用书)点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1

y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点．下面我们就来研究两直线的交点问题．[讨论交流]

问题1．如何通过两条直线的方程确定两条直线的交点坐标？问题2．两条直线的方程组的解满足什么条件时，两条直线平行、重合？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究建构探究1求直线的交点坐标探究问题已知两条直线l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y－2＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？

[新知生成]两条直线的交点已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组__________________的解．

【教用·微提醒】

(1)解方程组时需注意，消元法的使用，可用加减消元或代入消元．(2)图象可以大致判断交点位置，使解方程组更为准确．【链接·教材例题】例1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x＋4y－2＝0；l2：2x＋y＋2＝0．

[典例讲评]

1．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(

)A．3x－19y＝0

B．19x－3y＝0C．19x＋3y＝0

D．3x＋19y＝0√

反思领悟

求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解．[学以致用]

1．直线l1：2x－3y＋5＝0与l2：x＋y－10＝0的交点坐标是(

)A．(5，5)

B．(2，3)

C．(3，7)

D．(8，5)

√探究2判断两条直线的位置关系[新知生成]两直线的位置关系和方程组解的个数的关系直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系____________相交重合平行【链接·教材例题】例2判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)l1：x－y＝0，

l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，

l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，

l2：6x＋8y－10＝0．[分析]

解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1∥l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合．

[典例讲评]

2．(源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．

[学以致用]

2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．

探究3直线系过定点[典例讲评]

3．求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．[证明]法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，故l1与l2的交点为(－3，3)．将点(－3，3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上，∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)．

反思领悟

1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0．3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．[学以致用]

3．已知直线l1：x＋ay－2a＝0过定点A，直线l2：ax－(2a－3)y－6＝0过定点B，求线段AB的中点C的坐标．

【教用·备选题】已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．

应用迁移23题号411．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(

)A．(3，2)

B．(2，3)C．(－2，－3)

D．(－3，－2)√

23题号412．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(

)A．(－3，－1)

B．(－2，－1)C．(－3，1)

D．(－2，1)√

23题号413．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________________．

2x＋y－4＝0

23题号414．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为________．10

[将(2，－1)代入3x＋my－1＝0得m＝5，将(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得n＝5，所以m＋n＝10．]10

1．知识链：(1)两条直线的交点．(2)直线过定点问题．2．方法链：消元法、方程思想．3．警示牌：解方程组出现计算错误．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何求两直线的交点坐标？[提示]

解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？[提示]

当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点．3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两直线相交、平行和垂直的充要条件是什么？[提示]

l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1；l1与l2平行⇔A1B2＝A2B1；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．课时分层作业(十七)两条直线的交点坐标题号135246879101112131415一、选择题1．直线y＝x与直线y＝－x＋2的交点坐标为(

)A．(－1，－1)

B．(1，1)C．(－1，1)

D．(1，－1)√

题号135246879101112131415

√

题号3524687910111213141513．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为(

)A．k≠1且k≠9

B．k≠1且k≠－9C．k≠－1且k≠9

D．k≠－1且k≠－9√B

[∵直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，可得两直线不平行，当两直线平行时，3(2k－3)－k·[－(k＋2)]＝0⇒k2＋8k－9＝0，解得k＝1或k＝－9，∴直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为k≠1且k≠－9．故选B．]题号352468791011121314151

√

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．过两直线2023x－2022y－1＝0和2022x＋2023y＋1＝0的交点且过原点的直线方程为________________．4045x＋y＝0

[由题意可设，所求的直线方程为2023x－2022y－1＋λ(2022x＋2023y＋1)＝0，由于该直线过原点(0，0)，故λ＝1，故所求方程为4045x＋y＝0．]4045x＋y＝0

题号3524687910111213141517．直线l1：3x－y＋12＝0，l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．

9

题号3524687910111213141518．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为____________．

题号352468791011121314151三、解答题9．已知三条直线l1：3x－4y＋11＝0，l2：x＋2y－3＝0和l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0．(1)若l1∥l3，求实数m的值；(2)若三条直线相交于一点，求实数m的值．题号352468791011121314151

题号35246879101112131415110．(多选)若三条直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a的值为(

)A．1

B．2C．－2

D．－1√√AC

[由直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，所以这三条直线必有两条直线平行，又直线2x＋y－4＝0与x－y＋1＝0不平行，所以当直线2x＋y－4＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝－2；当直线x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝1．综上知，实数a的值为1或－