2024-2025学年天津五十五中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津五十五中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.经过A(0,3)、B(−1,0)两点的直线的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π32.已知AB=(13,13,−13)A.39 B.33 C.3.如图是一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面上升1m后，桥洞内水面宽为(

)A.4m B.43m C.84.设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线CA.x242−y232=15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1A.y23+x24=1 B.6.直线l：ax+y−1=0被圆C：x2+y2A.6 B.25 C.47.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，O为坐标原点，右焦点为F，过点FA.42 B.4 C.28.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线x2a2−y2标原点，若△OAB的面积等于83，则双曲线的离心率为A.3 B.13 C.229.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与y轴相交于A.2 B.3 C.3二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为3的点到其焦点的距离为4，则p=______．11.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的一条渐近线为12.经过两圆x2+y2+6x−4=0和x13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，左顶点为A，点P在椭圆上，且PF⊥AF14.已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A、B关于直线15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O且斜率为正数的直线MN分别交双曲线的左、右两支于点N，M，记四边形F1N三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知直线2x−y−3=0与直线x−3y+1=0交于点P．

(1)求过点P且垂直于直线x+y+2=0的直线l1的方程；

(2)求过点P并且在两坐标轴上的截距相等的直线l217.(本小题15分)

已知圆C经过点(0,1)，(0,3)，(2,1)．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．18.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=4x，过点(−1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P．

(I)求点P的坐标；

(Ⅱ)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程．19.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，F为B1C1的中点，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．

(Ⅰ)求证：A1F//平面BDE；

20.(本小题16分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为−14．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)点M(3,12)在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为(1,0)，过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点参考答案1.B

2.B

3.C

4.A

5.D

6.D

7.C

8.B

9.D

10.2

11.3

12.x213.1214.(−∞,−15.616.解：(1)由

2x−y−3=0x−3y+1=0，

得

x=2y=1，∴交点P(2,1)，

由题直线

l1的斜率k=1，

则直线l1的方程为y−1=x−2，即x−y−1=0．

(2)当直线

l2过原点时，

直线l2斜率为12，此时直线方程为：y=12x，即x−2y=0，

当直线

l2不过原点时，设直线l2：xa+ya=1，

代入点

P(2,1)得217.解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

根据题中条件知，

1+E+F=09+3E+F=05+2D+E+F=0，解得D=−2E=−4F=3，

所以圆C的方程为x2+y2−2x−4y+3=0，即(x−1)2+(y−2)2=2，

所以圆C的方程为x2+y2−2x−4y+3=0，

即(x−1)2+(y−2)2=2；

(2)因为直线l经过原点，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx−y=0，

则圆心C(1,2)到直线l的距离d=|k−2|k2+1，

又被圆C截得的弦长为2，圆C的半径为2，

则18.解：(Ⅰ)由题意知可设过点(−1,0)的直线方程为x=ty−1，

联立y2=4xx=ty−1，得：y2−4ty+4=0.①

∵直线与抛物线相切，∴△=16t2−16=0，即t=±1．

∵P为第一象限的切点，∴t=1，

则①化为y2−4y+4=0，解得y=2，此时x=1，

则点P坐标为(1,2)；

(Ⅱ)设直线l的方程为：x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y2=4xx=my+2，得y2−4my−8=0，

则△=16m2+32>0恒成立，

y1y219.(Ⅰ)证明：取BE的中点G，连接FG，DG，则FG//CC1//AA1，

因为F为B1C1的中点，

所以FG=C1E+BB12=1+32=2，

所以FG//A1D且FG=A1D，

所以四边形A1DGF为平行四边形，

所以A1F//DG，

又A1F⊄平面BDE，DG⊂平面BDE，

A1F/​/平面BDE．

(Ⅱ)

解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，

以C为原点，以CA,CB,CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(2,0,1)，

所以BE=(0,−2,2),BD=(2,−2,1)，

设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BE=0n⋅BD20.解：(1)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为B(0,b)，

左顶点为D(−a,0)，右顶点为E(−a,0)，

因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为−14，

所以ba⋅b−a=−1