2022年新教材高中数学第八章立体几何初步2立体图形的直观图练习（含解析）

立体图形的直观图【基础全面练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2021·海淀高一检测)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等边三角形【解析】选C.因为O′C′＝O′A′＝2O′B′，所以原图形△ABC中，OC＝OA＝OB，且OB⊥AC，所以△ABC是等腰直角三角形．2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图O′A′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为()A．eq\r(2)B．4eq\r(2)C．8eq\r(2)D．2eq\r(2)【解析】选C.由已知直观图O′A′B′C′的面积为4，所以原来图形的面积S＝4×2eq\r(2)＝8eq\r(2).【加固训练】(2021·武汉高一检测)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′＝1，那么原三角形ABO的面积是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．2eq\r(2)【解析】选B.由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′＝1，所以O′B′＝eq\f(\r(2),2)，所以OA＝2，OB＝eq\f(\r(2),2)；所以△AOB的面积为S△AOB＝eq\f(1,2)×OB×OA＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×2＝eq\f(\r(2),2).3．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是BC的中点，且AB＝BC＝2，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则△ACD在原图中的对应三角形的面积为()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．2D．8【解析】选C.因为三角形的直观图中点D是BC的中点，且AB＝BC＝2，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，所以S直观图ABC＝eq\f(1,2)×2×2×sin45°＝eq\r(2)，又因为S原图＝2eq\r(2)·S直观图＝2eq\r(2)×eq\r(2)＝4，所以△ACD在原图中的对应三角形的面积为：eq\f(1,2)S原图＝2.4．(2021·成都高一检测)把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A′B′C′D′(如图所示)，其中B′O′＝O′C′＝2，O′D′＝eq\r(3)，则四边形ABCD一定是一个()A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形【解析】选A.把平行四边形A′B′C′D′还原回原图形，过程如下：在平面直角坐标系中，在x轴上截取BC＝4，且使O为BC的中点，在y轴上截取OD＝2eq\r(3)，过D向左作x轴的平行线段DA，使DA＝4，连接AB，CD，可得平行四边形ABCD.因为OC＝2，OD＝2eq\r(3)，所以CD＝eq\r(22＋（2\r(3)）2)＝4.所以平行四边形ABCD为菱形．二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)6．(2021·赣州高一检测)某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，它是底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的周长为________．【解析】根据题意画出图形，如图所示；原来的平面图形是直角梯形，上底是1，下底是1＋eq\r(2)，高是2，另一腰长是eq\r(2＋4)＝eq\r(6)，所以它的周长是1＋2＋1＋eq\r(2)＋eq\r(6)＝4＋eq\r(2)＋eq\r(6).答案：4＋eq\r(2)＋eq\r(6)三、解答题7．(10分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．【解析】(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝eq\f(3\r(3),2)cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝eq\f(1,2)ED＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．【综合突破练】(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为()A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．2cm，0.5cm，1cm，0.8cm【解析】选C.由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.2．(多选题)下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有()A．三角形的直观图是三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．菱形的直观图是菱形D．正方形的直观图是正方形【解析】选AB.由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以A正确；根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以B正确；根据x′轴y′轴的夹角为45°或135°知，菱形的直观图不是菱形，所以C错误；根据平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半知，正方形的直观图不是正方形，所以D错误．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝2，则△ABC的面积是________．【解析】把直观图还原为原图形，如图所示：由题意知，BC＝B′C′＝4，OA＝2O′A′＝2eq\r(2)×2＝4eq\r(2)，所以△ABC的面积是S△ABC＝eq\f(1,2)BC·OA＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)4．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，梯形ABCD水平放置的直观图的面积为________．【解析】在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)，所以梯形的高为eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面积为eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).答案：eq\f(3\r(2),8)三、解答题5．(10分)画出一个上、下底面边长分别为1cm，2cm，高为2cm的正三棱台的直观图．【解析】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2cm，在y轴上取线段O