第1课时一次函数的概念课件苏科版数学八年级上册

第6章

一次函数6.2第1课时

一次函数的概念廖益阳2024/12/2时间是一个“常量”，但对于勤奋者来说，却是一个“变量”，我们应当在有限的时间内做出伟大的事业！回顾旧知什么是函数?在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.函数有图象、列表、关系式三种表达方式.函数就在我们身边加油站百盛电信局市政府东中海陵南路海陵北路204国道204国道步行街红兰路老王家望海西路望海东路老王的一天情景一7：30老王师傅到加油站加油.

已知某种汽油4.50元/升，请写出加油费用y(元）与加油量x（升）之间的函数关系.y=4.5x

如果加油前老王师傅的汽车油箱里还剩6L汽油，那么在加油过程中，油箱中的油量Q(L)与时间t(min)之间有怎样的函数关系.Q=25t+6

加油枪的流量25L/min，那么在加油过程中，油箱中的油量Q(L)与时间t(min)之间有怎样的函数关系.Q=25t情景二8：00老王师傅来到电信局.

电信公司小灵通市话服务收费标准为月租费20元，通话费为每分钟0.2元（不足1min按1min计算）,那么每月应缴费用y(元)随通话时间t(min)之间的函数关系.y=0.2t+20情景三8：30老王师傅来到百盛超市.

已知体育用品专柜购进一批福娃毛绒玩具纪念品，每只销售单价为78元，老王买福娃毛绒玩具纪念品花费的钱y（元）与福娃毛绒玩具纪念品只数x（只）之间的函数关系.y=78x8：30老王师傅来到百盛超市.

如果超市共购进福娃毛绒玩具纪念品2000件，预计每天可销售150件福娃毛绒玩具，用y（件）表示销售x天后剩余福娃毛绒玩具的件数，请写出y与x的函数关系.y=-150x+2000讨论交流观察上述得到的函数表达式：（1）y=4.5x（2）Q=25t（3）Q=25t+6（4）y=0.2t+20（5）y=78x（6）y=-150x+20002.函数式右边是关于自变量x的几次式？1.每个函数式中各有几个变量？3.假如用常数k表示一次项的系数，常数b表示常数项，那么上面的三个式子可以统一表示成什么关系式?4.请你用k、b的形式写出函数式。定义一般地，形如y=kx+b

(k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数．kx是一次项，k叫做

比例系数或一次项系数，b叫做

常数项

。特别地，当b＝0时，y＝kx

(k为常数，k≠0),y

叫做x的正比例函数．说明：正比例函数是特殊的一次函数．一次函数正比例函数练习1判断下列说法是否正确：1.一次函数是正比例函数。（

）2.正比例函数不是一次函数。（）3.不是正比例函数就不是一次函数。（）4.正比例函数是一次函数。（）√×××下列说法中，正确的是()A.

一次函数是正比例函数B.

正比例函数是一次函数C.

正比例函数不是一次函数 D.一次函数不可能是正比例函数B变式1.1正比例函数y＝kx怎样理解一次函数:1.一次:指自变量的指数为12.自变量的系数不为0：k≠011.一次:指自变量的指数为12.自变量的系数不为0：k≠03.常数项为0：b=01+0方法小结下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？（1）y=-x-4它是一次函数，不是正比例函数。（2）y=5x2+6它不是一次函数，也不是正比例函数。（3）y=2πx它是一次函数，也是正比例函数。它不是一次函数，也不是正比例函数(5)y=-8x它是一次函数，也是正比例函数。(4)练习2变式2.1(1)函数表达式的右边是否是整式的形式，需要化简的应先化简；判断函数是否为一次函数的方法：(2)看它是否符合一次函数表达式y=kx+b的结构特征：

①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可以为任意实数.(3)当b=0时，既是正比例函数，又是一次函数.判断下列函数是不是一次函数,如果是一次函数,是不是正比例函数?(1)y＝2x－1(2)y＝3x2＋2(3)m＝－5n(5)y＝2(t－5)(4)y=6－3x(6)2y＝x－1它不是一次函数，也不是正比例函数。它是一次函数，也是正比例函数。一次函数一次函数一次函数一次函数变式2.2

解：(1)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，所以y＝3x2－x(3x－2)是一次函数；变式2.3

(2)x2＋y＝1，即y＝1－x2.因为x的次数是2，所以x2＋y＝1不是一次函数；右图反映的是正比例函数与一次函数的从属关系，A表示____函数，B表示____函数AB一次函数正比例函数练习3下列函数关系式中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(4)y=2πx(1)y=-2x(2)y=2x-6(3)y=x3(5)y=(6)y=5+3x（1）（2）（4）（6）正比例函数有：（1）（4）解：一次函数有：

变式3.1①s=2h2②x2y+1③y=5x+2④y-2=2(x-1)⑤xy=1⑥x+y=0⑦

属于一次函数的有属于正比例函数的有③④⑥⑦④⑥⑦变式3.21.已知下列函数:y=2x+1;;s=60t;y=100-25x,其中表示一次函数的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个D变式3.3下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？解：（1）（4）（5）（6）（8）是一次函数，

（1）（5）（6）是正比例函数.

变式3.4

A

B变式3.5下列函数中，属于正比例函数的是（

A

）A.

y

＝－8

x

B.

y

＝－8

x

＋1C.

y

＝8

x2＋1D.

y

＝－

A.

2个B.

3个C.

4个D.

5个AB123456789101112变式3.6②④⑤⑥②④⑥变式3.7有下列函数：其中一定是一次函数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个B变式3.8（1）m取何值时，是一次函数？（2）

m取何值时，是正比例函数？解：（1）由题意得：

所以m≠-1m+1≠0m+1≠0（2）由题意得：所以m=1且m2-1=0练习4已知关于x的函数y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4．(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？解：(1)根据题意，得2－|m|＝1，①m＋1≠0，②由①，得m＝±1，由②，得m≠－1．∴当m＝1，n

为任意实数时，这个函数是一次函数.变式4.1(2)由题意，得2－|m|＝1，m＋1≠0，n＋4＝0.

解得m＝1，n＝－4.∴当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．已知函数y=(m-1)x+1-m2（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?解：由题意可得m-1≠0，解得m≠1.即m≠1时，这个函数是一次函数.变式4.2（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?解：由题意可得m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.即m=-1时，这个函数是正比例函数.已知函数y=(m-1)x+1-m2

1

1变式4.31.若y＝(m－1)x＋5是一次函数,则

.2.若y＝2x

m2－3

－4是一次函数,则

.3.若关于x的函数

是正比例函数，则m=______，n=_____.m≠1m=±2-224.在一次函数y=-3x-6中，自变量x的系数是

，常数项是

。-3-65.若y=(m-2)x+m2

-4是关于x的正比例函数，则m

；若是关于x的一次函数，则m

.=-2≠2

变式4.4

解：(1)根据一次函数的定义，得m2－3=1，m－2≠0，解得m=－2.

解：(2)根据正比例函数的定义，得m2－3＝1，m－2≠0，且n＋1＝0，∴m＝－2，n＝－1.∴当m＝－2，n＝－1时，y是x的正比例函数．变式4.5函数

y

＝（

m

－2）

x

＋

m2－4（

m

为常数）.（1）当

m

取何值时，

y

是

x

的正比例函数？解：（1）由题意，得

m2－4＝0，且

m

－2≠0，∴

m

＝－2.∴当

m

＝－2时，

y

是

x

的正比例函数.（2）当

m

取何值时，

y

是

x

的一次函数？解：（2）由题意，得

m

－2≠0，∴

m

≠2.∴当

m

≠2时，

y

是

x

的一次

函数.1234567891011121314变式4.6已知函数y=(2-m)x+2m-6.求当m满足什么条件，（1）函数为一次函数；（2）函数为正比例函数？解：（1）2-m≠0即m≠2∴当m≠2时，函数y=(2-m)x+2m-6为一次函数（2）2m-6=0即m=3∴当m=3时，函数y=(2-m)x+2m-6为正比例函数变式4.7当m满足什么条件时，函数y＝(m－2)x|m|－1＋4是一次函数？请写出其表达式.解:当|m|－1＝1，且m－2≠0，即m＝－2时，y＝

(m－2)x|m|－1＋4是一次函数，其表达式是y＝－4x＋4.变式4.81.若y＝(m－1)x＋5是一次函数,则

.2.若y＝2x

m2－3

－4是一次函数,则

.3.若关于x的函数

是正比例函数，则m=______，n=_____.m≠1m=±2-22变式4.9已知y=(3-a)x+4-2a,当a

时,这个函数是一次函数,当a

时,这个函数是正比例函数.

≠3=2变式4.10将函数3x+2y=1改写成y=kx+b的形式,并指出k和b的值.已知函数y=(m+1)x+(m2-1)，当m

时，

y是x的一次函数；当m

时,y是x的正比例函数.变式4.11已知函数

y

＝（

k

＋1）

x

＋

k

－1，当

k

⁠

时，它是一次函数；当

k

时，它是正比例函数.≠－

1

＝1

123456789101112练习5水池中有水465m3，每小时排水15m3，排水th后，水池中还有水

ym3．试写出y

与t之间的函数表达式，并判断y是否为

t的一次函数，是否为t的正比例函数；写出自变量的取值范围.解：y＝－15t＋465y是t的一次函数，但不是正比例函数.（0≤t≤31）交流用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间关系，并指出其中的一次函数、正比例函数。（1）正方形面积S

随边长x

变化而变化；

解：

S＝

x2

，S

不是x

的一次函数.解：

C＝4x，

C是x

的一次函数，也是正比例函数．（2）正方形周长C

随边长x变化而变化．交流用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间关系，并指出其中的一次函数、正比例函数。（3）长方形的长为常量a

时，面积S随宽x变化而变化；

解：S＝ax，S

是x

的一次函数，也是正比例函数．Aykm解：（4）

y与x之间的函数关系为：y＝300x，y是x的一次函数，也是正比例函数.交流用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间关系，并指出其中的一次函数、正比例函数。（4）列车以300km／h的速度驶离A站，列车行驶路程y(km)随行驶时间

x(h)变化而变化；AB200kmCykm解：（5）

y与x之间的函数关系为：y＝120x＋200，y是x的一次函数；但不是正比例函数.交流（5）如图，A、B两地相距200km，一列火车从B地出发以120km/h的速度驶向C，火车离A地的路程y(km)随行驶时间x(h)变化而变化．一盘蚊香长105cm，点燃后，每小时缩短10cm.(1)写出蚊香点燃后的长度y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数表达式；解：蚊香点燃后，每小时缩短10cm，th将缩短10tcm，所以y(cm)与t(h)之间的函数表达式为：y＝105－10t.例题(2)该盘蚊香可燃烧多长时间?

一个长方形的长为15cm，宽为10cm．如果将长方形的长减少xcm，宽不变，那么长方形的面积y(cm2)与x(cm)之间有怎样的函数表达式？判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数.解：y是x的一次函数，但不是正比例函数.（0≤x≤15），y＝150－10x变式5.1写出下列各题中y关于x的函数表达式,并判断y是不是x的一次函数,是不是x的正比例函数.(1)长方形的面积为20,长方形的长y与宽x之间的关系;(2)刚上市时西瓜每千克3.6元,买西瓜的总价y(元)与所买西瓜的质量x(千克)之间的关系;(3)仓库内有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系;(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入10000元,以后每个月存入500元,存入总钱数y(元)与月数x之间的关系.变式5.2写出下列各题中x与y之间表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数.(1)每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系；

(2)一个长方形的面积是16平方厘米，它的一边长y(厘米)与其邻边长x(厘米)的关系.

变式5.3用长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙(足够长)，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，与其相邻的另一边长为y米.解：(3)由题意得y＋2x＝12，∴y＝－2x＋12.y是x的一次函数．某学校要建一块长方形菜地供学生劳动实践，菜地的一边靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，木栏总长40m.如图，设长方形的一边长为

x

m，另一边长为

y

m，当

x

在一定范围内变化时，

y

随

x

的变化而变化，则

y

与

x

之间满足

（填“正比例函数关系”或“一次函数关系”）.（第7题）一次函数关系

1234567891011121314变式5.4某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水

的进价是5元.现在每桶水的销售价格为8元，用

x

（桶）表示每天的销售

数量，用

y

（元）表示每天的利润（利润＝总销售额－固定成本－售出

水的成本）.（1）试写出

y

与

x

之间的函数表达式.解：（1）

y

与

x

之间的函数表达式为

y

＝8

x

－5

x

－200＝3

x

－200.1234567891011121314变式5.5（2）若固定成本增加了5％，每桶水的进价增加了1元，求此时

y

与

x

之

间的函数表达式.解：（2）

y

与

x

之间的函数表达式为

y

＝8

x

－（5＋1）

x

－200×（1＋

5％）＝2

x

－210.1234567891011121314已知A、B两地相距30km，B、C两地相距48km，某人骑自行车以

12km/h的速度从A地出发，经过B地到达C地.设此人的骑车时间为

x

h，

与B地的距离为

y

km.（1）当此人在A、B两地之间时，求

y

与

x

之间的函数表达式及自变量

x

的取值范围.解：（1）由题意，得

y

＝30－12

x

（0≤

x

≤2.5）.（2）当此人在B、C两地之间时，求

y

与

x

之间的函数表达式及自变量

x

的取值范围.解：（2）由题意，得

y

＝12

x

－30（2.5≤

x

≤6.5）.1234567891011121314变式5.6

甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/千

克，如果一次购买4千克以上，那么超过4千克的部分按标价的6折售卖.（1）文文购买3千克苹果需付

元；购买5千克苹果需付

元.（2）设购买苹果

x

千克，付费

y

元.求

y

关于

x

的函数表达式.

30

46

1234567891011121314变式5.7（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的

标价也为10元/千克，且全部按标价的8折售卖.如果文文要购买10千克苹

果，那么她在哪家超市购买更划算？解：（3）文文在甲超市购买10千克苹果需付6×10＋16＝76（元）；

文文在乙超市购买10千克苹果需付10×10×0.8＝80（元）.∵

76＜80，

∴文文在甲超市购买更划算.1234567891011121314甲、乙两地相距100km，一辆汽车以每小时40km的速度从甲地开往乙地，t小时与乙地相距skm，s与t的函数关系式是

s＝100－40t

⁠；经过2h汽车与乙地的距离是

20

km

⁠；经过

2.1

⁠h，汽车与乙地相距16km.

s＝100－40t20

km2.1变式5.8据测试:拧不紧的水龙头每秒钟会滴下两滴水，每滴水约0.05毫升.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后水龙头滴了y毫升水.你能写出y与x之间的关系式吗？y是x的一次函数吗？解:因为1小时＝3600秒，所以y与x的关系式是y＝360x，是一次函数.变式5.9容积为800升的水池内已贮水200升，若每分钟注入的水量是15升，设池内的水量为Q(升)，注水时间为t(分钟).(1)请写出Q与t的函数关系式.解:(1)Q＝15t＋200(0≤t≤40)；(2)注水多长时间可以把水池注满？解:(2)40分钟；(3)当注水时间为0.2小时时，池中水量是多少？解:(3)0.2小时＝12分钟，Q＝380(升).变式5.10写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数.(1)小王每天记忆10个英语单词，x天后他记忆的单词总量为y个.解:(1)y＝10x，y是x的一次函数，也是正比例函数.变式5.11(2)将一根长为100cm的铁丝制作成一个长方形，其中一边长为xcm，与其相邻的另一边长为ycm.解:(2)y＝50－x(0＜x＜50)，y是x的一次函数，但不是正比例函数.（1）在速度为70km/h的运动中，路程

y

（km）与时间

x

（h）之间

的关系；解：（1）根据题意，可得

y

＝70

x

，

y

是

x

的一次函数（2）居民用电价格是0.53元/（千瓦·时），电费

y

（元）与用电量

x

（千瓦·时）之间的关系；解：（2）根据题意，可得

y

＝0.53

x

，

y

是

x

的一次函数写出下列各题中

y

与

x

之间的函数表达式，并判断

y

是否是

x

的一

次函数.123456789101112变式5.12（4）某人每个月的收入为3

500元，这个人的总收入

y

（元）与工作时

间

x

（月）之间的关系.解：（4）根据题意，可得

y

＝3

500

x

，

y

是

x

的一次函数（3）汽车离A站4km，以40km/h的速度向远离A站的方向行驶了

x

h，汽

车离A站的距离

y

（km）与时间

x

（h）之间的关系；解：（3）根据题意，可得

y

＝4＋40

x

，

y

是

x

的一次函数123456789101112

12.某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居

民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标

准如下表：医疗费用范围报销比例标准不超过800元不予报销超过800元且不超过3

000元的部分50％超过3

000元且不超过5

000元的部分60％超过5

000元的部分70％123456789101112变式5.13设享受医保的某居民某次的大病住院医疗费用为

x

元，且800＜

x

≤3

000，按上述标准报销后，该居民实际支出的金额为

y

元，求

y

关于

x

的

函数表达式.解：

y

＝800＋（1－50％）×（

x

－800）＝0.5

x

＋400123456789101112（1）有人发现,在20~25oC时,蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t（℃）有关,即c的值大约是t的7倍与35的差；c=7t-35(20≤t≤25)（2）某地电费的单价为0.8元/（kW·h），请用表达式表示电费y（元）与所用电量x（kW·h）之间的函数关系.y=0.8x变式5.14（3）某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0.1元/分收取）.y=0.1x+22（x≥0）（4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变,长方形的面积y（cm2）随x

的变化而变化.y=-5x+50下列变化过程中，y是x的正比例函数是()A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y(单位：)随该村人数x(单位：人)的变化而变化B．一天内，温岭市气温y(单位：)随时间x(单位：时)的变化而变化C．汽车油箱内的存油y(单位：升)随行驶时间x(单位：时)的变化而变化D．某人一年总收入y(单位：元)随年内平均月收入x(单位：元)的变化而变化D变式5.15

下列各组变量的关系中，成正比例关系的有（

D

）A.人的身高与年龄B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度C.正方形的面积与它的边长D.圆的周长与它的半径D1234567891011121314变式5.16下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是(

)路程一定时，时间y和速度x

B.长10米的铁丝折成长为y、宽为x的长方形

C.圆的面积y与它的半径x

D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和xB变式5.17新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b(a≠0，a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2]的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第____象限．解：∵“关联数”为[3，m-2]的一次函数是正比例函数，∴y＝3x+m-2是正比例函数，∴m-2＝0，解得：m＝2，则1-m＝-1，1+m＝3，故点（1-m，1+m）在第二象限．练习6

规定：[

k

，

b