专题02 有理数的运算（考点清单10个考点清单+10种题型解读）-七年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

PAGE1专题02有理数的运算（考点清单，10个考点清单+10种题型解读）【清单01】有理数加法运算1.加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．有理数加法运算的步骤2.有理数加法的运算律运算律文字叙述用字母表示加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变a＋b=b＋a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变(a＋b)＋c=a＋(b＋c)3.加法运算律的运用技巧(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”；(3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”；(4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”；(5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”.【清单02】有理数减法运算1.减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．2.两数相减差的符号(1)较大的数－较小的数=正数，即若a>b，则a－b>0.(2)较小的数－较大的数=负数，即若a<b，则a－b<0.(3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0.特别解读减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变.【清单03】有理数加减混合运算1.有理数加减混合运算的方法(1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式.(2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便.如：(＋7)－(＋10)＋(－3)－(－8)=(＋7)＋(－10)＋(－3)＋8=(7＋8)＋[(－10)＋(－3)]=15＋(－13)=2.2.省略和式中的括号和加号将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20－3＋2－5.这个式子有两种读法：(1)按加法的结果来读：负20、负3、正2、负5的和；(2)按运算来读：负20减3加2减5.【清单04】有理数乘法运算1.有理数的乘法法则(1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.(2)任何数与0相乘，都得0.2.有理数乘法的符号法则a

与b

乘积的符号a

与b

的符号正同号，即a>0，b>0

或a<0，b<0负同号，即a>0，b>0

或a<0，b<00至少一个为0，即a=0

或b=03.倒数定义乘积是1的两个数互为倒数.倒数与相反数之间的关系不同点相同点定义表示性质判定倒数乘积是1

的两个数互为倒数a(a

≠

0)的倒数是若a

，

b

互为倒数，

则a·b=1若a·b=1，则a，b

互为倒数都成对出现相反数只有符号不同的两个数叫作互为相反数a

的相反数是－a若a，b

互为相反数，

则a＋b=0若a＋b=0，则a，b

互为相反数4.乘法运算律运算律文字表示用字母表示乘法交换律两个数相乘，交换乘数的位置，积不变ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变(ab)c=a(bc)分配律一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a(b＋c)=ab＋ac【清单05】有理数除法运算除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.方法点拨：除法法则的选用原则3.分数的化简（1）实质分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程.（2）分数的符号法则分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变.【清单06】有理数乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算顺序在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算.【清单07】有理数乘方运算1.乘方运算的意义概念示例乘方求n

个相同乘数的积的运算，叫作乘方读作“a

的n

次方”幂乘方的结果叫作幂底数和指数an

中，a

叫作底数，n叫作指数an，－an和(－a)n的联系与区别知识拓展：(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数；(2)乘方运算中,当底数有“－”号时,底数要加括号；(3)当底数互为相反数时,它们的奇次幂也互为相反数,偶次幂相等.3.乘方的运算法则(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；(2)正数的任何次幂都是正数；(3)0的任何正整数次幂都是0.【清单08】有理数混合运算有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【清单09】科学记数法1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．2.科学记数法表示数的步骤3.还原科学记数法表示的数4.方法点拨：比较用科学记数法表示的两个数大小的方法【清单10】近似数1.准确数：与实际完全符合的数，称为准确数.2.近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数.3.近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.近似数的精确度的表述方法：(1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等；(2)用小数表示，如精确到0.1，精确到0.01等；(3)对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg，精确到1m等.4.取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法.【考点题型一】有理数的加法（共3题）1．（2023秋•泸县校级期末）计算：．【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．2．（2023秋•合江县校级期末）计算：．【分析】先把加法写成省略加号、括号和的形式，再利用加法的交换律、结合律求解．【解答】解：原式．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握加法的运算法则、运算律是解决本题的关键．3．（2021秋•凉山州期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：．解：原式．上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方式计算：．【分析】根据题目所提供的计算方法，写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的关键．【考点题型二】有理数的减法（共4题）1．（2023秋•济南期末）计算：．【分析】根据有理数的运算法则进行计算，即可求解．【解答】解：．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键．2．（2023秋•太湖县期末）．【分析】根据有理数的加减法混合运算的法则：在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式计算即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查了有理数的加减法混合运算的法则，解题时牢记法则是关键．3．（2023秋•叙永县校级期末）计算：．【分析】先根据有理数的减法法则把减法化成加法，小数化成分数，写成省略加号和的形式，再进行简便计算即可．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．4．（2023秋•商南县校级期末）小虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：，，，，，，．（1）小虫离开出发点最远是厘米．（2）小虫是否回到了原点？（3）在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？【分析】（1）分别计算每次距地的距离，进行比较即可；（2）直接将所有数据相加得出答案；（3）所有记录数的绝对值的和，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，第一次距点；第二次距点；第三次距点；第四次距点；第五次距点；第六次距点；第七次距点；所以在第三次小虫距点最远，为；故答案为：12；（2），故小虫最后回到出发点；（3）由题意可得：，（粒，则小虫一共可以得到54粒芝麻．【点评】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【考点题型三】有理数的乘除（共6题）1．（2023秋•渌口区期末）已知，，且，求的值．【分析】先根据绝对值的性质求出、的值，然后根据进一步确定、的值，从而求出的值．【解答】解：，，，，，，或，，当，时，；当，时，；综上所述，的值为40或．【点评】本题考查了有理数的乘法、加法，绝对值，得出，或，是解题的关键．2．（2023秋•昌邑区校级期末）．【分析】根据有理数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，可得计算结果．【解答】解：．【点评】本题考查了有理数的除法，先把除法变成乘法，再根据乘法分配律相乘，把所得的积相加，注意运算符号．3．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题．计算：，下面是两位同学的解法：小方：原式；小杨：原式．（1）两位同学的解法中，谁的解法较好？（2）请你写出另一种更好的解法．【分析】（1）根据计算，小杨利用了乘法分配律计算更简便；（2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算更加简便．【解答】解：（1）小杨的解法较好；（2）．【点评】本题考查了有理数的乘法，主要训练了利用运算定律简便运算，读懂题目信息是解题的关键．4．（2023秋•绥阳县期末）数学老师布置了一道思考题“计算”：小华的解法：．大白的解法：原式的倒数为第一步，第二步，第三步，第四步．所以分析两位同学的解法，请你回答下列问题：（1）两位同学的解法中，同学的解答正确；（2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是．（3）用一种你喜欢的方法计算：．【分析】（1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确；（2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律；（3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值，【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知：两位同学的解法中，大白同学的解答正确，故答案为：大白；（2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律；（3）因为原式的倒数为：，所以．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．5．（2023秋•射阳县期末）已知：，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）根据绝对值的性质求出、的值，然后确定出、的对应情况，再相乘即可得解；（2）根据绝对值的性质求出、的值，然后根据异号得负确定出、的对应情况，再代入解答即可．【解答】解：（1），，，，，时，，，时，，，综上所述，的值是；（2），，，，，时，，，时，，，综上所述，的值为．【点评】本题主要考查有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，有理数的减法，解答的关键是理解清楚题意，找到符合题意的相应的，的值．6．（2023秋•淮北期末）阅读理解：计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：解：设为，为，则原式．请用上面方法计算：①②．【分析】（1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值；（2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值．【解答】解：（1）设为，为，原式；（2）设为，为，原式．【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键．【考点题型四】有理数的乘方（共8题）1．（2023秋•曲靖期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是A．6 B．4 C．2 D．8【分析】根据尾数的循环性得出结论即可．【解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，，的个位数字与相同，为6，故选：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环得出结论是解题的关键．2．（2023秋•德城区期末）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是．【分析】先根据题目中所给运算结果归纳出尾数的出现规律，再运用该规律进行求解．【解答】解：，，，，，，，尾数按1，7，9，3，四次一循环周期的规律出现，且，，，即的结果的个位数字是0，故答案为：0．【点评】此题考查了算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解．3．（2023秋•龙湖区期末）已知，都是有理数，若，则．【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质，进而得出，的值，即可得出答案．【解答】解：，，，解得：，，故．故答案为：．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．4．（2023秋•合肥期末）计算：．【分析】根据混合运算法则，先算乘方，再算绝对值符号里面的，最后算乘除即可．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握实数混合运算法则．5．（2023秋•隆回县期末）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，继而计算减法即可；（2）先计算括号内的运算和乘方，再计算乘法，最后计算加法即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．6．（2023秋•凉州区校级期末）已知，满足，求的值．【分析】根据绝对值、偶次方的非负性求出、，再根据有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：，，，，，．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记绝对值、偶次方具有非负性是解题的关键．7．（2023秋•射阳县期末）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目：（1）；（2）归纳、概括：；（3）如果，，运用以上的结论，计算：．【分析】①直接利用已知计算得出答案；②利用①中所求进而得出答案；③利用②中所求，将原式变形进而得出答案．【解答】解：①；②归纳、概括：；③如果，，运用以上的结论，计算：．故答案为：，，100．【点评】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键．8．（2023秋•东城区期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序．（1）当输入，时，求输出的值为多少？（2）若，的值大于4，直接写出一个符合条件的的值．【分析】（1）根据题目中的数值转换程序，可以计算出，时，对应的的值；（2）根据图形中的信息和题意，可以列出相应的不等式，然后即可写出一个符合要求的的值．【解答】解：（1），，，；（2）当时，令，得或，，此种情况不符合实际；当时，令，得，，可以为．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【考点题型五】科学记数法与有效数字（共5题）1．（2023秋•长寿区期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是A．0.1（精确到 B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解答】解：、（精确到，所以此选项正确，故不符合题意；、（精确到百分位），所以此选项正确，故不符合题意；、（精确到千分位），所以此选项错误，故符合题意；、（精确到，所以此选项正确，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解题的关键．2．（2023秋•蓬江区期末）用四舍五入法把数25.862精确到十分位，所得的近似数是A．25.8 B．25.9 C．25.86 D．25.87【分析】根据一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位，进行解答即可．【解答】解：用四舍五入法把数25.862精确到十分位，所得的近似数是25.9．故选：．【点评】本题考查近似数，掌握一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位是关键．3．（2023秋•惠城区期末）是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：，故选：．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．4．（2023秋•罗湖区期末）2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．5．（2023秋•龙华区期末）红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．【考点题型六】有理数运算的实际应用（共4题）1．（2023秋•万州区期末）张阿姨水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：与标准质量的差值（单位：千克）0箱数143453（1）这20箱樱桃的总质量是多少千克？（2）张阿姨水果店购进这批樱桃需要付运费100元，计划把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，按照全部销售完后获得的利润为成本的作为销售目标，并制定零售价为30元千克，在实际销售时，第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，把剩余的樱桃按原零售价的七折售完．（提示：成本总进价运费）计算该水果店在实际销售这批樱桃的过程中共盈利多少元？是否达成原定销售目标？【分析】（1）用标准质量的差值之和加上标准质量即可求出答案；（2）根据题意分别求出第一天和第二天的销售额，再计算出总销售额，根据利润总销售额成本即可求出答案．【解答】解：（1）根据题意，（千克），20箱樱桃的总质量是（千克）．答：这20箱樱桃的总质量是205千克；（2）第一天水果店以该零售价售出了总质量的，销售额为（元，第二天按原零售价的七折出售，则每千克的售价为（元，第二天销售额为（元，这批樱桃的总销售额为（元，实际利润为（元，所以，该水果店在实际销售这批樱桃的过程中共盈利1312元．【点评】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则是关键．2．（2023秋•安溪县期末）某水果店以每箱180元的价格从水果批发市场购进20箱草莓，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：与标准重量的差值（单位：千克）00.250.30.5箱数233552（1）求这20箱草莓的总重量；（2）若水果店打算以每千克25元销售这批草莓，则全部售出可获利多少元？【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（2）结合（1）中所求列式计算即可．【解答】解：（1）（千克），即这20箱草莓的总重量为202千克；（2）（元，即全部售出可获利1450元．【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．3．（2023秋•莲都区期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为．（1）问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？（2）若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数．【分析】（1）根据图1中的数据求出两个叠的纸杯放在一起的高度即可；（2）根据总高度求出纸杯的个数即可．【解答】解：（1）根据题意得：，则2个叠放在一起的纸杯的高是；（2）根据题意得：（个，则纸杯个数为101个．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键．4．（2023秋•襄城县期末）小华有5张写着不同数的卡片如图，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是；（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是；（3）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）．【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数，所以选和；（2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝对值越小大越好，所以就要选和3，且为分子；（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为30，方法不唯一，用加减乘除只要结果是30即可，如：抽取、、0、，则；再如：抽取、、、，则．【解答】解：（1），故答案为：24；（2），故答案为：；（3）方法不唯一，如：抽取、、0、，则，如：抽取、、、，则．【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键．【考点题型七】有理数的新定义运算（共7题）1．（2023秋•郏县期末）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题：（1）求7※的值；（2）7※与※7的值相等吗？【分析】（1）把所给定义式中的换成7、换成代入计算即可．（2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※与※7的值，然后比较计算结果即可．【解答】解：（1）7※（2）不相等．理由是：※，※，即：※与※7的值不相等．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序．2．（2023秋•江州区期末）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以．（1）填空：，；（2）如果，求的值；（3）若，求的值．【分析】（1）根据“如果，，，则”进行解答即可；（2）根据新定义的运算，得出，再根据绝对值的定义求出答案即可；（3）根据新定义的运算求出，，进而得到，再根据新定义运算求出结果即可．【解答】解：（1），，又，而，，故答案为：1，4；（2），，解得或，答：的值为29或；（3），，，，即，，当时，．【点评】本题考查绝对值，有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法以及绝对值的定义是正确解答的关键．3．（2023秋•成都期末）【初探】从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以．（1）；（2）一定是整数吗？请说明理由；【拓广】从这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为，，．（3）若，，，且，求的值．【分析】（1）根据已知条件中的新定义，直接列出算式，求出的值即可；（2）根据已知条件中的新定义，列出算式，进行化简即可；（3）根据定义，列出代数式，进行化简，求出，，的值，再根据题意，列出方程，进行代换即可．【解答】解：（1），故答案为：9；（2）一定是整数，理由如下：由题意得：，，都是整数，也是整数，一定是整数；（3）由题意得：，，，，，，，，，，，．【点评】本题主要考查新定义的应用，解题关键是弄清题意，根据题意．列出算式．4．（2023秋•莲池区校级期末）【思考】定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？3※，※※，3※3※，※【归纳】（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加任何数同0进行“※”运算，都得．【运用】（2）计算：※※；（3）化简：※．（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．【分析】（1）观察表格可得答案；（2）根据新定义计算；（3）分三种情况讨论即可．【解答】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值；故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值；（2）※※※4；（3）当时，※；当时，※；当时，※．【点评】本题考查有理数混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．5．（2023秋•辉县市期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”．（1）通过计算判断数对是不是“共生有理数对”；（2）若是“共生有理数对”，则“共生有理数对”（填“是”或“不是”；（3）如果是“共生有理数对”，且，求的值．【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义，进行求解即可；（2）根据“共生有理数对”的定义，进行判断即可；（3）根据“共生有理数对”的定义求出的值，代入求解即可．【解答】解：（1），，，数对不是“共生有理数对”；（2）是“共生有理数对”，，，是“共生有理数对”，故答案为：是；（3）是“共生有理数对”，，，，．【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是理解并掌握“共生有理数对”的定义．6．（2023秋•梁山县期末）有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题：（1），；（2）已知，，，求的值；（3）当，，时，求的值．【分析】（1）根据的定义，的定义即可求解；（2）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解；（3）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解．【解答】解：（1），．故答案为：3，2；（2），，，，解得，则，，；（3），，，，解得或8，当时，；当时，．故的值为或．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握的定义，的定义是解题关键．7．（2023秋•大荔县期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”；若到、的距离之和为6，则叫做和的“幸福中心”．（1）若点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是；（2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中，整数之和是多少？【分析】（1）根据“幸福点”定义可得的幸福点所表示的数即可；（2）根据题意列出绝对值方程，分类讨论符合条件的值，最后相加即可．【解答】解：（1）根据幸福点的定义可知：的幸福点所表示的数应该是：和1；故答案为：和1．（2）设点表示的数为，由题意得：丨丨丨丨，丨丨丨丨，当时，丨丨丨丨，不符合题意；当时，丨丨丨丨，符合题意；当时，丨丨丨丨，不符合题意；当时，丨丨丨丨，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中整数有：，，0，1，2，3，4．满足条件的整数之和为：．【点评】本题考查了有理数的加法，分类讨论是解答本题的关键．【考点题型八】与绝对值有关的动点、最值综合问题（共4题）1．（2023秋•太和县期末）已知：是最大的负整数，且、、满足，（1）直接写出，，．（2），，所对应的点分别为，，，若点以每秒个单位长度的速度运动，点和点分别以每秒3个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．①当点向右运动，且时，请问：的值是否随着时间的变化而变化．②当的值不随着时间的变化而变化，求的值．【分析】（1）根据是最大的负整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得，，的值；（2）①表示出秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，得出，，求出的值即可；②分两种情况：当点向右运动时，点表示的数为，当点向左运动时，点表示的数为，分别求出的值即可．【解答】解：（1）是最大的负整数，，，，，解得：，，故答案为：；1；6．（2）①的值不变；理由如下：秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，，，，的值保持不变；②当点向右运动时，点表示的数为，，，，的值不随着时间的变化而变化，，解得：，，不符合题意舍去；当点向左运动时，点表示的数为，，，的值不随着时间的变化而变化，，解得：；综上分析可知，当的值不随着时间的变化而变化时，的值为．【点评】本题考查了整式加减的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．2．（2023秋•赣州期末）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】（1）；（2）利用数轴，解决下列问题：①若，则；②若，请直接写出所有的整数：；③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由．【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题；（2）①根据绝对值的定义可以解答本题；②根据绝对值的定义可以解答本题；③根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：（1），故答案为：4；（2）①，或，解得：或，故答案为：2或；②，当时，，解得：（舍去），当时，，当时，，解得（舍去），由上可得符合要求的整数是，，0，1，2，3，故答案为：，，0，1，2，3．③存在，要使有最大值，则可知为与3之间的距离，即最大值为，此时的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）．【点评】本题考查数轴、绝对值，有理数及有理数的加法，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答．3．（2023秋•成都期末）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题（1）请直接写出、、的值．，，（2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【分析】（1）根据是最小的正整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得，，的值；（2）根据的范围，确定，，的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出，，从而得出．【解答】解：（1）是最小的正整数，．根据题意得：且，，，．故答案为：；1；5；（2）当时，，，，则：；当时，，，．；（3）不变．理由如下：秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为．，，，即的值不随着时间的变化而改变．（另解）点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，、之间的距离每秒钟增加3个单位长度；点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，、之间的距离每秒钟增加3个单位长度．又，的值不随着时间的变化而改变．【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．4．（2023秋•凤翔区期末）【数学概念】如图，、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“靠近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“靠近距离”．【概念理解】如图①，点表示的数是，点表示的数是2．（1）若点表示的数是，则点到线段的“靠近距离”为；（2）若点表示的数是，点到线段的“靠近距离”为3，则的值为（写出所有结果）；【概念应用】（3）如图②，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为秒，当点到线段的“靠近距离”为2时，求的值．【分析】（1）由“靠近距离”的定义，可得答案；（2）点到线段的“靠近距离”为3时，分情况列出方程即可；（3）按照和分类讨论计算即可．【解答】解：（1）点表示的数是，点表示的数是2，若点表示的数是，，，则点到线段的“靠近距离”为2，故答案为：2；（2）根据两点间的距离可得，，，当时，解得或，当时，解得或，故的值为或或5；（3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，，，当时，解得或0.5，当时，解得或6，综上，的值为2.5或0.5或10或6．【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，数形结合并分类讨论，是解题的关键．【考点题型九】数轴上的动点综合问题（共4题）1．（2023秋•广州期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度．（1）点表示的数为，点表示的数为，两点之间的距离为；（2）若点为数轴上一点，且，求的值；（3）若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？【分析】（1）先由点在原点的左边，距离原点12个单位长度确定点对应的数是，同理可得点表示的数，根据右边的数左边的数两点的距离可得，两点的距离；（2）分点在点的左边和右边，根据线段的和差可得的长；（3）设移动的时间为秒，分别表示三个动点，，表示的数，分四种情况讨论，列等式可解答．【解答】解：（1）点在原点的左边，距离原点12个单位长度，点对应的数是，同理可得点表示的数为2，，两点之间的距离为：，故答案为：，2，14；（2）分两种情况：①当点在点的右边时，；②当点在点的左边时，；综上，的值是16或12；（3）设移动的时间为秒，则动点，，对应的数分别为，，，分三种情况：①点是的中点时，，，，此时，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：．②点是的中点时，，，（舍，③点是的中点时，因为点的速度小，所以此种情况不存在．④与重合时，，，；这时三个点表示的数各是：，，．【点评】此题重点考查解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示移动过程中的点对应的数是解题的关键．2．（2023秋•泰兴市期末）已知点、、、在数轴上，点和点表示的数分别为、2，点在点的右侧，点在点的右侧，且，．（1）直接写出点和点表示的数分别为：、；（2）若线段沿着数轴向右以2个单位长度秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度秒的速度运动，设运动的时间为（秒，．①若和重合，则的值为，若和重合，则的值为；②若线段和线段重叠部分为1个单位长度，求运动时间的值；③当时，下面两个式子：①；②中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是（填写序号），并求这个定值．【分析】（1）点表示的数为，且，得到点表示的数；点表示的数为2，，得到点表示的数．（2）①由和重合，得，可求，由和重合，得，可求．②当点超过点1个单位长度时，可得，可求，当点超过点3个单位长度时，可得，可求．③根据和时，求出点和点表示的数的范围，同理求出点和点表示的数的范围，再判断定值即可．【解答】解：（1）点表示的数为，点在点的右侧，且，点表示的数为，点表示的数为2，点在点的右侧，，点表示的数为，故答案为：，4．（2）①若和重合，则，；若和重合，则，；故答案为：，．②当点超过点1个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度，，；当点超过点3个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度，，；故答案为：分钟或分钟；③答：①是定值，定值是6．解：当和时，点表示的数为和，故当时，点表示的数在和之间；当和时，点表示的数为和，故当时，点表示的数在和之间，；当和时，点表示的数为和，故当时，点表示的数在和之间；当和时，点表示的数为和，故当时，点表示的数在和之间，；，故答案为：①，6．【点评】本题考查了数轴的知识，根据题意列出方程是解题关键．3．（2023秋•台江区期末）数轴上两点、对应的数分别是、，、满足．若有一动点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒．（1），，并在数轴上面标出、两点；（2）【解决问题】①当秒时，数轴上点所表示的数是，所表示的数；②问点运动多少秒与点相距3个单位长度？【分析】（1）根据非负性的性质列等式，进而求出，的值，再在数轴上标出，两点即可；（2）【解决问题】①当秒时，根据，和点和的运动方式即可求出点，的值；②根据点和点的运动，先表示出和，分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别计算即可．【解答】解：（1），，，，，故答案为：8，，在数轴上面标出、两点，如图：；（2）①当秒时，点在点的右侧，点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，点表示的数是，点在点的左侧，动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，点表示的数是，故答案为：5，；②运动时间为秒，根据，的运动，则，，，分两种情况：当点在点的右侧时，，，当点在点的左侧时，，，点运动秒或3秒时与点相距3个单位长度．【点评】本题考查数轴和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分情况讨论．4．（2023秋•高新区校级期末）已知数轴上的点，对应的数分别是，，且，点为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度秒．（1）求点，两点之间的距离；（2）若点向右运动，速度为10单位长度秒，点向左运动，速度为20单位长度秒，点，和三点同时开始运动，点先向右运动，遇到点后立即掉后向左运动，遇到点再立即掉头向右运动，如此往返，当，两点相距30个单位长度时，点立即停止运动，求此时点移动的路程为多少个单位长度？（3）若点，，三个点都向右运动，点，的速度分别为10单位长度秒，20单位长度秒，点、分别是、的中点，设运动的时间为，在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【分析】（1）根据非负数的性质求出，的值，利用两点间的距离公式即可求出点，两点之间的距离；（2）设点运动时间为秒时，，两点相距30个单位长度，依此列出方程，解方程求出的值，再根据路程速度时间即可求解；（3）先求出运动秒后、、三点所表示的数为，，，再利用利用中点的定义得出表示的数为，表示的数为，进而求解即可．【解答】解：（1）、、（2）设点运动时间为秒时，，两点相距30个单位长度．由题意得，解得，则此时点移动的路程为．答：走的路程为270；（3）运动秒后、、三点所表示的数为，，，，，，，，为中点，为中点，表示的数为，表示的数为，，，．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【考点题型十】数轴上的中点、分点综合问题（共3题）1．（2023秋•双流区期末）点在线段上，在线段，，中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称点为线段的“半分点”．（1）当点是线段的中点时，点线段的“半分点”（填“是”或“不是”；（2）已知，若点为线段的“半分点”，求线段的长度；（3）已知点，，是数轴上互不重合的三个点，点为原点，点表示的数是，若存在这三个点中，一个点是另外两个点为端点的线段的“半分点”，求点表示的数的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．【分析】（1）根据“半分点”的定义即可解答；（2）分三种情况：①，②，③，分别列式计算即可解答；（3）当点在点右侧，且时取最大值，当点在点左侧时，且时取最小值，以此列出代数式求解即可．【解答】解：（1）当点是线段的中点，，根据“半分点”的定义，点为线段的“半分点”，故答案为：是；（2）①当时，点为线段的“半分点”，，，②当时，点为线段的“半分点”，则，，．③当时，点为线段的“半分点”，则，，．综上，的长为或或；（3）点表示的数的最大值与最小值的差为，理由如下：当点在点的右侧，且时取最大值，点表示的数是，，即点表示的数为，当点在点的左侧，且时取最小值，点表示的数是，，即点表示的数为，点表示的数的最大值与最小值的差为．【点评】本题主要考查数轴、列代