专题22 尺规作图（5大考点）（解析版）

第六部分图形的变化

专题22尺规作图（5大考点）

核心考点一尺规作图—作线段

核心考点二尺规作图—作角（角平分线）

核心考点核心考点三尺规作图—作三角形（等腰三角形）

核心考点四尺规作图—作圆

核心考点五格点作图题

新题速递

核心考点一尺规作图—作线段

例1（2022·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】

小明的作法：

（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；

老师的问题：

（2）以B为圆心，AB长为半经画弧，交BF于点C；

已知：如图，AE∥BF．

（3）连接CD．

求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF,AE上．

四边形ABCD就是所求作的菱形，

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．

【答案】见解析

【分析】由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据AE∥BF可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB可

得结论．

【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC，

第1页共64页.

∵AE∥BF，即AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AD＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形．

【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．

例2（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段m，n．求作ABC，使A90,ABm,BCn．

【答案】见解析

【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取ABm；作BCn；即可得到ABC．

【详解】解：如图所示：ABC为所求．

注：（1）作直线l及l上一点A；

（2）过点A作l的垂线；

（3）在l上截取ABm；

（4）作BCn．

【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

例3（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在YABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，

在AD上截取AFBE，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

第2页共64页.

（2）请用无．刻．度．的．直．尺．在YABCD内找一点P，使APB90（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作

法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF∥BE，由作图过程可知AF=BE，结合AB=BE即

可证明；

（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF，交点即为点P．

【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∵AF=BE，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AB=BE，

∴平行四边形ABEF为菱形；

（2）如图，点P即为所作图形，

∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，

∴∠APB=90°．

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图．

作一条线段等于已知线段。先用直尺画一条射线，再用圆规量取已知线段长度，再在画出的直线段上

量取等长线段即可。这种是最简单的尺规作图，但是要学会用准确的语言表述作图的基本步骤。

【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知在ABC中，BD2CD．请用尺规作图法，在BC边上

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1

求作一点E，SS．（保留作图痕迹，不写作法）

△ABE6△ABC

【答案】见解析

【分析】以点B为圆心，CD为半径画弧，与BC交于点F，再作线段BF的垂直平分线，与BC交于点E即

可．

【详解】解：如图，点E即为所求，

1

由作图可知：BFDFCD，且BEBF，

2

1

∴BEBC，

6

1

∴SS．

△ABE6△ABC

【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是理解题意，根据面积的关系确定线段的关系．

【变式2】（2023·福建福州·统考一模）如图，P为O外一点，M为OP中点．

(1)过点P作O的一条切线PQ，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)在（1）的条件下，若PQ3PM，求证：点M在O上．

【答案】(1)见解析；

第4页共64页.

(2)见解析．

【分析】（1）以点M为圆心，OM的长为半径画弧交O于点Q，连接PQ，则PQ即为所求；

（2）连接OQ，设PMx，则PQ3x，可得OMPMx，OP2PM2x，在Rt△OPQ中，由勾股

定理可得OQx，从而得到O的半径rx，即可求解．

【详解】（1）解：如图，PQ为所求作的O的切线，其中Q为切点．

理由：如图，连接OQ，

由作法得：QMOM，

∵M为OP中点，

∴QMOMPM，

∴MOQOQM,PPQM，

∴MOQPOQMPQM，

即MOQPOQP，

∵MOQPOQP180，

∴OQP90，

即OQPQ，

∵OQ为O的半径，

∴PQ与O相切；

（2）解：由（1）得，PQ与O相切于点Q．

连接OQ，

OQPQ，

第5页共64页.

OQP90．

设PMx，则PQ3x．

M是OP的中点，

OMPMx，OP2PM2x，

在Rt△OPQ中，OQOP2PQ2x，

即O的半径rx，

OMr，

点M在O上．

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，点与圆的位置关系，勾股定理，尺规作图等知识，熟练掌握

切线的判定和性质，点与圆的位置关系是解题的关键．

【变式3】（2022·河南安阳·模拟预测）阅读材料：

我们曾经解决过如下问题：“如图，点M，N分别在直线AB同侧，如何在直线AB上找到一个点P，使得

PMPN最小？”

我们可以经过如下步骤解决这个问题：

①画草图（或目标图）分析思路：在直线AB上任取一点P'，连接P'M，P'N，根据题目需要，作点M关

于直线AB的对称点M'，将P'MP'N转化为P'M'P'N，“化曲为直”寻找P'M'P'N的最小值；

②设计画图步骤；

③回答结论并验证．

借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：

已知三条线段h，m，c，求作ABC，使其BC边上的高AHh，中线ADm，ABc．

(1)请先画草图(画出一个即可)，并叙述简要的作图思路(即实现目标图的大致作图步骤)；

(2)完成尺规作图(不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可)．

【答案】(1)草图见解析，作图思路：画一条直线，在直线上取一点H，过点H作垂线，在垂线上截取AHh，

第6页共64页.

以A为端点，画出ADm交直线于点D，画ABc交直线于点B，在直线上取CDBD．

(2)图见解析

【分析】（1）根据作图思路画出草图即可；

（2）先画一条直线，在直线上任意取一点H，以H为圆心，适当长度为半径画弧，得到一条线段，作线段

的垂直平分线，在垂直平分线上截取AHh，再以点A为圆心，分别以m、c的长为半径画弧，交直线于

点D、B，以点D为圆心，BD长为半径画弧交直线于点C，连接AB，AC即可画出图形．

【详解】（1）草图如图所示，

作图思路：画一条直线，在直线上取一点H，过点H作垂线，在垂线上截取AHh，以A为端点，画出ADm

交直线于点D，画ABc交直线于点B，在直线上取CDBD．

（2）如图，ABC即为所求，

【点睛】本题主要考查了基本作图，解题时时注意：解决此类题目需要熟悉基本几何图形的步骤，结合几

何图形的基本特点把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

核心考点二尺规作图—作角（角平分线）

例1（2022·宁夏·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，ABBC，ADDC于点D．

第7页共64页.

(1)用尺规作ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；

（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出CBEBEC，可得BCEC，求出ABEC，可得四边形

ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．

【详解】（1）解：如图所示．

（2）证明：BE是ABC的角平分线，

ABECBE，

∵AB∥CD，

ABEBEC，

CBEBEC，

BCEC，

ABBC，

ABEC，

四边形ABCE为平行四边形，

ABBC，

平行四边形ABCE为菱形．

【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以

及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．

例2（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．

第8页共64页.

(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)求证：AD＝AE．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．

（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．

【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求．

（2）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，

11

∴ABDABC，ACEACB，

22

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，∠A＝∠A，

∴△ACE≌△ABD（ASA），

∴AD＝AE．

第9页共64页.

【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的

判定与性质是解答本题的关键．

例3（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：ABC．

(1)尺规作图：用直尺和圆规作出ABC内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）

(2)如果ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求ABC的面积．

【答案】(1)作图见详解

(2)9.1

【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平

分线即可；

（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角

形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而

求出三角形的面积．

【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点，

（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

第10页共64页.

∵内切圆的半径为1.3cm，

∴OD=OF=OE=1.3，

∵三角形ABC的周长为14，

∴AB+BC+AC=14，

111

则S△S△S△S△ABODBCOEACOF

ABCAOBCOBAOC222

11

1.3(ABBCAC)1.3149.1

22

故三角形ABC的面积为9.1．

【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质

与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．

1、作角：作一个角等于已知角。它的基本原理是利用全等三角形的判定和性质，作射线O'A';以点O

为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA,OB于点C,D;以点O'为圆心，以OC为半径作弧，交O'A'于点C';

以点C'为圆心，以CD为半径作弧，交O'B'于点D';.经过点D'作射线O'B'，则角A'O'B'就是所求的角。

2、作角平分线：作已知角的角平分线。作出△ABC的角平分线BD，用圆规在BA、BC边上分别截取等

长的两线段BD、BE；分别以点D、点E为圆心，以相同半径画弧，两弧交点为O；连接BO；射线BO便是角

ABC的平分线。这样做的原理，实际上是利用了三角形全等的一个判定定理（边边边定理）。

【变式1】（2023·广东云浮·校考一模）如图，在ABC中，D是边BC上的一点，ABBD．

第11页共64页.

(1)尺规作图：作BE平分ABC，交AC于点E，连接DE（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)求证：AEBDEB．

【答案】(1)画图见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先根据角平分线的尺规作图方法作出点E的位置，再连接DE即可；

（2）只需要利用SAS证明△ABE≌△DBE即可证明AEBDEB．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵BE平分ABC，

∴ABE=DBE，

在ABE和DBE中，

ABDB

ABEDBE，

BEBE

∴△ABE≌△DBESAS，

∴AEBDEB．

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出对

应的图形是解题的关键．

【变式2】（2023·山西忻州·统考一模）如图，OM平分AOB，E，F分别是射线OA，OB上的点，连接EF

交OM于点N．

第12页共64页.

(1)尺规作图：作FP平分EFB，并交OM于点P；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的情况下，若EFB120，AOB60，连接EP．试判断四边形OEPF的形状，并加以证明．

【答案】(1)见解析

(2)四边形OEPF是菱形，见解析

【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；

1

（2）先根据角平分线的定义求出PFBEFOEFB60AOB，从而得出PF∥AO，结合三角形外角

2

的性质可求OPF30POF，由等角对等边可得OFPF，证明EOF是等边三角形，可得

EOFOPF，从可证四边形OEPF是平行四边形，最后根据菱形的定义即可得证．

【详解】（1）解：如图，点P即为所求，

（2）解：四边形OEPF是菱形．

证明：如图，

第13页共64页.

∵FP平分EFB，EFB120，

1

∴PFBEFOEFB60，

2

又AOB60，

∴AOBPFB，

∴PF∥AO，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMBOMAOB30，

2

∴OPFPFBBOM30，

∴OPFPOF，

∴PFOF，

∵AOBEFO60，

∴EOF是等边三角形，

∴EOFO，

∴EOPF，

又PF∥AO，

∴四边形OEPF是平行四边形，

又EOFO，

∴平行四边形OEPF是菱形．

【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，灵活运用

所学知识进行解答是解题的关键．

【变式3】（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1和图2所示，在平行四边形ABCD中，点M为对角线

AC上的一点，点N为边BC上的一点，且点A和点N关于直线BM对称．

(1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置（保留作图痕迹，不用写出作法）；

(2)如图2所示，若ABC60，ACB45，AB103．

第14页共64页.

①求B，M两点之间的距离；

②连接DN，请直接写出CN和DN的长为多少，不用说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)①103；②CN1553，DN152

【分析】（1）先画弧得出ABNB，再作出ABN的平分线交AC于点M，则点M即为所求作；

（2）①证明BACBMA75，可得结论；②连接AN，过点A作AFBC于点F，可得ABN是等边

三角形，根据勾股定理求出相关线段的长度即可．

【详解】（1）画图如下：

故点A和点N关于直线BM对称．

（2）①ABC60,ACB45，

BAC75，

由（1）的作法可得，BM平分ABC，

ABM30，

BMA75，

∴BACBMA75，

BMAB103

②连接AN，过点A作AFBC于点F，如图，

由作法可得，ABN是等边三角形，

第15页共64页.

1

ANAB，BFFNAB53，

2

在RtABF中，由股定理得，AFAB2BF215,

ACF45，

∴CAF45，

∴AFFC

∴ACAF2FC2152

∵ABCD

∴ANCD，且BC∥AD

∴四边形ANCD是等腰梯形，

DNAC152，

CNFCFN1553

【点睛】本题主要考查了基本作图：作角平分线、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出

图形是解答本题的关键．

核心考点三尺规作图—三角形（等腰三角形）

例1（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，已知P是O外一点．用两种不同的方法过点P作O的一

条切线．要求：

（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【答案】答案见解析．

第16页共64页.

【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交O于点

Q，连结PQ，PQ即为所求．

方法二：根据等腰三角形的性质三线合一作O的切线，作射线PO，交O于点M,N，以P为圆心，PO

为半径作P,以O为圆心，MN的长为半径画弧交P于点A，连接PA,OA,OA交O于点B，则PAO是

1

等腰三角形，OBOA，则PBOA，PB即为所求．

2

【详解】解：

1

作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；

2

以点A为圆心，PA长为半径画弧，交O于点Q，连结PQ，PQ即为所求．

作法：作射线PO，交O于点M,N，以P为圆心，PO为半径作P,以O为圆心，MN的长为半径画弧交

1

P于点A，连接PA,OA,OA交O于点B，则PAO是等腰三角形，OBOA，则PBOA，PB即为所

2

求．

【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，

圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性

第17页共64页.

质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

例2（广西贵港·中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知ABC，请根

据“SAS”基本事实作出DEF，使DEFABC

.

【答案】见解析.

【分析】先作一个DA，然后在D的两边分别截取EDBA，DFAC，连接EF即可得到DEF；

【详解】解：如图，

DEF即为所求．

【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法-解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复

杂作图拆解成基本作图，逐.步操作也考查了全等三角形的判定

例3（山东青岛·统考中考真题）.已知：∠α，直线l及l上两.点A，B．

求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．

【答案】见解析

【分析】先作∠DAB=α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．

【详解】解：如图，△ABC为所作．

第18页共64页.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

1

【变式1】（2022·吉林·统考二模）如图，点D为线段BC中点，分别以B，C为圆心，大于BC长为半径

2

画弧，两弧交于点A．连接AB，AC，过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，求证DEDF．

【答案】见解析

【分析】由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC可判断△ABC为等腰三角形，于是得到AD

为∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得DEDF．

【详解】连接AD，

由尺规作图可知ABAC，

第19页共64页.

∵D为BC中点，

∴AD平分BAC．

∵DEAB，DFAC，

∴DEDF．

【点睛】此题考查作图问题，关键是根据角平分线的性质得DEDF．

【变式2】（2022·福建福州·福州三牧中学校考一模）如图，已知MON090，OP是MON的

平分线，点A是OM上一点，AEON于点E交OP于点D，OAE的平分线AG与OP交于点F．

(1)作点A关于OP对称点B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)写出一个的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD2AF（点A不与点O重合），并证明．

【答案】(1)见解析

(2)当45时使得对于射线OM上任意的点A总有OD2AF，

【分析】（1）以O为圆心，AO长为半径画圆，根据等腰三角形的三线合一可得圆与射线ON交点即为B；

（2）当45时总有OD2AF，只需证明AB=OD=2AC，AF2AC即可．

【详解】（1）图形如图所示，点B即为所求：

第20页共64页.

（2）当45时使得对于射线OM上任意的点A总有OD2AF，证明如下：

设AB交OP于C

∵45

∴AOEOAE45

∴AEOE

∵OP是MON的平分线，OAE的平分线AG与OP交于点F

∴ÐGAE=ÐDOE=22.5°

由（1）得OA=OB

∴AB⊥OP，AB=2AC

∴DOEEAB90OBA22.5

∴FACEABEAG45

∴AF2AC

在△ODE和△ABE中

OEDBEA

OEAE,

DOEEAB

∴ODEABE（ASA）

∴OD=AB

∴ODAB2AC2AF

【点睛】本题考查全等三角形的综合，熟记等腰三角形三线合一性质、等腰直角三角形特点是解题的关键．

【变式3】（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）如图，在510的网格中，小正方形的边长为1，

小正方形的顶点称为格点，格点ABC如图所示，请按要求在网格中画格点三角形．

第21页共64页.

(1)在图1中画等腰VADE，使VADE与ABC面积相等但不全等．

(2)在图2中画PBC，使PBC与ABC面积相等，且满足BAC2BPC．

【答案】(1)画图见解析

(2)画图见解析

【分析】（1）画一个底为8，高为3的等腰三角形即可；

（2）如图，取格点P，使AP=5，P到BC的距离为4，再顺次连接P，B，C即可．

(1)

解：（1）如图1中，△ADE即为所求；

(2)

（2）如图2中，△PBC即为所求．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

第22页共64页.

核心考点四尺规作图—作圆

例1（2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．

(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tanADB

的值．

【答案】(1)作图见解析

51

(2)

2

【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；

（2）根据题意，作出图形，设ADB，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是

正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解BErtan，再判定△ABE≌△CDF，根据

AE

BEDFrtan，DEDFEFrtanr，在Rt△ADE中，利用tanADE，得到

DE

51

tan2tan10，求解得到tan∠ADB的值为．

2

【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：

（2）解：根据题意，作出图形如下：

第23页共64页.

设ADB，⊙A的半径为r，

∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，

∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，

∵CF⊥BD，

∴∠EFG＝90°，

∴四边形AEFG是矩形，

又AEAGr，

∴四边形AEFG是正方形，

∴EFAEr，

在Rt△AEB和Rt△DAB中，BAEABD90，ADBABD90，

∴BAEADB，

BE

在Rt△ABE中，tanBAE，

AE

∴BErtan，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴ABECDF，又AEBCFD90，

∴△ABE≌△CDF，

∴BEDFrtan，

∴DEDFEFrtanr，

AE

在Rt△ADE中，tanADE，即DEtanAE，

DE

∴rtanrtanr，即tan2tan10，

∵tan0，

第24页共64页.

51

∴tan51，即tan∠ADB的值为．

22

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判

定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题

的关键．

例2（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角ABC中，ACBC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB的平分线CD；作ABC的外接圆O；（不写作

法，保留作图痕迹）

48

（2）在（1）的条件下，若AB，O的半径为5，则sinB________．（如需画草图，请使用图2）

5

4

【答案】（1）见详解；（2）

5

【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作ACB的平分线CD，作出AC的中垂线交CD于点O，

再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；

24

（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可

5

求解．

【详解】解：（1）如图所示：

（2）连接OA，

∵ACBC，ACB的平分线CD，

第25页共64页.

114824

∴AD=BD=AB，CD⊥AB，

2255

∵O的半径为5，

2

222247

∴OD=OAAD5，

55

732

∴CD=CO+OD=5+=，

55

22

222432

∴BC=BDCD8，

55

32

∴CD4．

sinB5

BC85

4

故答案是：．

5

【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形

外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键．

例3（2022·甘肃武威·统考中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人

自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何

作图题：

原文释义

甲乙丙为定直角．

如图2，ABC为直角．

以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；

以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，

以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点

E；

己；

以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DE交于点F；

再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点

庚；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DE交于点G；

乙与己及庚相连作线．作射线BF，BG．

第26页共64页.

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)根据（1）完成的图，直接写出DBG，GBF，FBE的大小关系．

【答案】(1)见解析

(2)DBGGBFFBE

【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）连接DF，EG，可得VBDF和BEG均为等边三角形，DBFEBG60，进而可得

DBGGBFFBE30．

【详解】（1）解：（1）如图：

（2）DBGGBFFBE．

理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG

即VBDF和BEG均为等边三角形

∴DBFEBG60

第27页共64页.

∵ABC90

∴DBGGBFFBE30

【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．

作圆：过不在同一直线上的三点作圆。连接三个不在一条直线的点可以确定一个且只有一个三角形因

为是三角形的外接圆圆心到三个点的距离等于半径所以随便取两条边做两条边的垂直平分线两条不平行的

直线可以确定唯一的一个点，以此点为圆心，到三角形任意一顶点为半径画圆，这个圆就是此三角形的外

接圆。

【变式1】（2023·山东青岛·统考一模）已知：ABC．求作：ABC的外接圆内的点P，使P2A，

PBPC．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

【答案】见解析

【分析】作出ABC的外接圆，即可得出点P的位置．

【详解】如图，点P即为所求．

【点睛】本题主要考查了复杂作图，正确掌握三角形外接圆的作法是解题的关键．

【变式2】（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

如图，BAC45，D，E在AB上，作O经过D，E两点且与AC相切．

第28页共64页.

【答案】见解析

【分析】先作AE的垂直平分线得到中点P，则以AE为直径可作P，再过D点作AB的垂线交P于Q点，

接着在AC上截取AFAQ，然后过F点作AC的垂线交DE的垂直平分线于O点，则以O点为圆心，OF为

半径作圆即可．

【详解】如图，⊙O为所作．

【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．

【变式3】12．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知ABC中，A22.5，B45．

(1)求作：O，使得圆心O落在AB边上，且O经过A、C两点；（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作

法）

(2)在（1）所作的图形中，若与AB相交于D，连接CD，

①求证：直线BC是O的切线；

②求tanBCD的值．

【答案】(1)图见解析

(2)①见解析②21．

【分析】（1）作线段AC的中垂线，交AB于点O，O点即为圆心，以OA为半径画圆即可；

第29页共64页.

（2）①连接OC，根据圆周角定理，可得COD2A45，进而得到OCB90，即可得证；

②易证OACBCD，过点C作CHAD于点H，得到CHO为等腰直角三角形，求出CH,OH的长，

进而求出AH的长，即可得解．

【详解】（1）解：如图所示，O即为所求；

（2）①证明：连接OC，则：COD2A45，

∵B45，

∴OCB90，即：OCBC，

∵OC为O的半径，

∴BC为O的切线；

②解：∵OAOC2，AD是O的直径，

∴OACOCA,ACD90，

∴OACOCDOCAOCDBCDOCD90，

∴OACBCD，

过点C作CHAD于点H，则：CHO=90，

第30页共64页.

∵COD45，

2

∴CHOHOC2，

2

∴AHOAOH22，

CH2

∴tanBCDtanA21．

AH22

【点睛】本题考查基本作图—中垂线，画圆，以及圆周角定理，切线的判定，解直角三角形．熟练掌握相

关知识点，并灵活运用，是解题的关键．

核心考点五格点作图题

例1（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格．点．

线．段．（线段的端点在格点上），并写出结论．

(1)在图1中画一条线段垂直AB．

(2)在图2中画一条线段平分AB．

【答案】(1)图见解析，BCAB（答案不唯一）

(2)图见解析，EF平分AB（答案不唯一）

第31页共64页.

【分析】（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得；

（2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得．

（1）

解：如图1，线段BC即为所求，满足BCAB．

（2）

解：如图2，线段EF即为所求，满足EF平分AB．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质画图、矩形的判定与性质画图，熟练掌握全等三角形和矩形

的性质是解题关键．

例2（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民

和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城

河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．

第32页共64页.

(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；

(3)建立平面直角坐标系，设M0,2，N2,0，停车位Px,y，请写出y与x之间的关系式，在图中画出

停车带，并判断点P4,4是否在停车带上．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

1

(3)yx2(2x2)，图见解析，点P4,4不在停车带上

4

【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得；

（2）根据网格特点，找出三个点使得它们到水城河与到凉都宫点F的距离相等即可；

（3）先求出点P到水城河的距离，再求出点F的坐标，利用两点之间的距离公式可得PF的长，然后根据

点P到水城河与到凉都宫点F的距离相等即可得函数关系式，最后画出函数图象即为停车带，由此即可得

出结论．

（1）

解：如图，线段FQ的长即为所求．

第33页共64页.

（2）

解：如图，点P1，P2，P3即为所求．

（3）

解：如图，建立平面直角坐标系．

则F(0,1)，水城河所在的直线为y1，南环路所在的直线为y1，

停车位Px,y到水城河的距离为y1，

PF(x0)2(y1)2x2y22y1，

每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，

x2y22y1y1，

1

整理得：yx2，

4

第34页共64页.

1

当y1时，x21，解得x2，

4

又要在水城河与南环路之间设计一条停车带，

2x2，

1

y与x之间的关系式为yx2(2x2)，

4

画出停车带如下：

因为42，

所以点P4,4不在停车带上．

【点睛】本题考查了作垂线、二次函数的应用、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确求

出函数关系式是解题关键．

格点作图问题作为中考的新宠儿，自从登上中考试卷之后，迅速的在初中各年级考试当中铺开，并且难度

有逐年加大的趋势.

格点作图的基本技巧

（一）水平or竖直方向上画任意有理长度

诀窍：利用相似和比例线段相关知识，综合使用“A型相似”或者“X型相似”.

（二）任意点关于任意有理网格线的对称点

诀窍：两线相交可定点，故作直线关于网格线的对称来确定对称点，而直线的对称又通过特殊点关于网格

线对称进行表述.

第35页共64页.

（三）任意点关于任意有理网格线的垂线或者平行线

诀窍：对称点相连即可得平行or垂直

（四）平移：任意点进行水平or竖直方向上任意有理长度的平移

诀窍：两线相交可定点.根据(三)可作过点A的平行线，同时结合过点A的蓝色直线平移便可得到A`.蓝

色直线的平移转化成特殊点的平移.

（五）任意线段取任意有理等分点

诀窍：由(四)可知，可作任意点关于任意有理长度在水平或者竖直方向的平移，所以取线段AB的三等分点

构建X型相似即可.点A往下平移1个单位长度变成，点B往上平移两个单位长度变成.

【变式1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1，ABC

的顶点均为格点

(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出ABC的高CM；

(2)在图②中，连接点B与格点D．点P是BC的中点，点Q为BD上的一动点，当CPQ的周长最小时，请

利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出CPQ．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）在图①网格中，根据勾股定理画出ABC的高CM即可；

（2）在图②网格中，根据矩形的对角线相等且互相平分找到点P，连接AP交BD于点Q，即可画出CPQ．

【详解】（1）解：如图所示，

过点C作34格对角线，

第36页共64页.

因为AB是34格对角线，

所以CMAB．

则CM即为所求；

（2）解：如图所示，CPQ即为所求．

理由：设网格的边长为1，则AB32425，又BC5，

ABBC,

ABC为等腰三角形，

D为AC的中点，

BD为AC的垂直平分线，

A与C关于BD对称，

PCQ的周长QCQPPCAQQPPC,

当A、Q、P三点共线时，

△PCQ的周长最小．

【点睛】本题考查了作图应用与设计作图、轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．

【变式2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）图1、图2均是66的正方形网格，每个小正方形的边

长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，

分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出作法．

1

(1)在图1中的线段AB上找一点D，连结CD，使SS；

ACD2ABC

第37页共64页.

1

(2)在图2中的线段AB上找一点E，连结CE，使SVSV．

ACE4ABC

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用平行四边形的性质，寻找点D，使点D为线段AB的中点，连接CD即可；

（2）利用相似三角形的判定与性质，寻找点E使得AE∶EB1∶3，连接CE即可．

【详解】（1）解：如图1中，点D即为所求，

；

（2）解：如图2中，点E即为所求，

．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，