专题02 整式加减及其运算（6大考点）（原卷版）

第一部分数与式

专题02整式加减及其运算（6大考点）

核心考点一列代数式及代数式求值

核心考点二整式的有关概念及运算

核心考点三乘法公式的应用

核心考点

核心考点四整式的化简求值

核心考点五因式分解

核心考点六规律探索题

新题速递

核心考点一列代数式及代数式求值

4432234

例1（2022·贵州六盘水·中考真题）已知xya1xa2xya3xya4xya5y，则a1a2a3a4a5

的值是（）

A．4B．8C．16D．12

例2（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3ab2，求代数式

6a2b1的值．”可以这样解：6a2b123ab12213．根据阅读材料，解决问题：若x2是

关于x的一元一次方程axb3的解，则代数式4a24abb24a2b1的值是________．

例3（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，

其中不能使用的面积为M．

(1)用含a，M的代数式表示A中能使用的面积___________；

(2)若ab10，ab5，求A比B多出的使用面积．

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代数式及求值

(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代

数式．单．独．的．一．个．数．或．一．个．字．母．也．是．代．数．式．；．

(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；

(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．

【变式1】（2022·山东济宁·三模）若m，n是方程2x24x70的两个根，则2m23mn的值为（）

A．9B．8C．7D．5

【变式2】（2022·甘肃·平凉市第十中学三模）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号fx的形式来表示关

于x的多项式，把x等于某数n时一的多项式的值用fn来表示．例如x1时，多项式fx2x2x3的

值可以记为f1，即f14．我们定义fxax33x22bx5．若f318，则f3的值为（）

A．18B．22C．26D．32

【变式3】（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足mn3，m2nmn230．

（1）若mn，则mn_______；

（2）若np5，则代数式m2pn2pm3mn2的值是______________．

【变式4】（2022·福建省福州屏东中学模拟预测）已知m23na，n23ma，且mn，则代数式

m22mnn2的值是______．

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【变式5】（2022·安徽芜湖·模拟预测）阅读下列材料，完成后面的问题．

材料1：如果一个四位数为abcd（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位

数，其中a为1～9的自然数，b，c，d为0～9的自然数），我们可以将其表示为：abcd1000a100b10cd；

材料2：把一个自然数（个位不为0）的各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数．我们称该数

为原数的兄弟数．如数“123”的兄弟数为“321”．

(1)四位数x5y5______；（用含x，y的代数式表示）

(2)设有一个两位数xy，它的兄弟数比原数大63，请求出所有可能的数xy；

(3)求证：四位数abab一定能被101整除．

核心考点二整式的有关概念及运算

例1（2021·四川绵阳·中考真题）整式3xy2的系数是（）

A．-3B．3C．3xD．3x

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例2（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，

它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威

力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中

小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数

学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：

YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；

JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；

103

QGYW（强国有我）：我知道21024,101000，所以我估计2200比1060大．

其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．

例3（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：

222

第1个等式：21122122，

222

第2个等式：22134134，

222

第3个等式：23146146，

222

第4个等式：24158158，

……

按照以上规律．解决下列问题：

(1)写出第5个等式：________；

(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

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整式及有关概念

(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次

数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单．独．的．数．、．字．母．也．是．单．项．式．；

(2)多项式：由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一

个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；

(3)整式：单项式和多项式统称为整式；

(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类

项．

整式的运算

1．同底数幂的乘法法则：amanamn（m,n都是正整数）

同．底．数．幂．相．乘．，．底．数．不．变．，．指．数．相．加．。

mnmn

2．幂的乘方法则：(a)a（m,n都是正整数）

幂．的．乘．方．，．底．数．不．变．，．指．数．相．乘．。

幂的乘方法则可以逆用：即amn(am)n(an)m

nnn

3．积的乘方法则：(ab)ab（n是正整数）。

积．的．乘．方．，．等．于．各．因．数．乘．方．的．积．。

4．同底数幂的除法法则：amanamn（a0,m,n都是正整数，且mn)

同．底．数．幂．相．除．，．底．数．不．变．，．指．数．相．减．。

0

5．零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即a1（a．≠．0．）

6．负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即

p1

a(．a．≠．0．,．p．是．正．整．数．)．。

ap

7．单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同

它的指数作为积的一个因式。

8．单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

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即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)。

9．多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

10．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含

有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

11．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的

的商相加。

12．添括号法则：

括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。

括号前面是—号，放进括号里面的每一项都要变号。

【变式1】（2022·河南南阳·二模）下列运算正确的是（）

A．(a2)2a22a4B．(x2)3x6

C．2a3b5abD．x2x2x4

【变式2】（2022·重庆文德中学校二模）我们知道，三个正整数a、b、c满足a2b2c2，那么，a、b、c

成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即mx2y2，那么称m为广

义勾股数，则下面的结论：

①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；

④两个广义勾股数的积是广义勾股数：⑤若xm2n2，y2mn，zm2n2，其中x，y，z，m，n是正

整数，则x，y，z是一组勾股数；

其中正确的结论是（）．

A．①③④⑤B．②④C．②③⑤D．②④⑤

【变式3】（2022·浙江杭州·模拟预测）若单项式2ax2yn1与3axmy4的差是ax2y4，则2m3n____．

AB2x6

【变式4】（2022·山东·临清市教育和体育局教科研中心一模）已知，则

x12xx1x2

AB______．

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【变式5】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）现有甲乙两个矩形，其边长如图所示（a＞0），周

长分别为C甲和C乙，面积分别为S甲和S乙．

(1)用含a的代数式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．

(2)通过观察，小明发现“甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关”；小亮发现“a值越大，甲、乙两个矩形

的面积之差越大”．你认为两位同学的结论都正确吗？如果不正确，请对错误同学的结论说明理由．

核心考点三乘法公式的应用

例1（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足m2n22mn，则(2m3n)2(m2n)(m2n)的

最大值为（）

4416

A．24B．C．D．4

33

例2（2022·江苏泰州·中考真题）已知a2m2mn,bmn2n2,cm2n2(mn)用“＜”表示a、b、c的

大小关系为________.

例3（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史

的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何

给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面

各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

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公式①：abcdadbdcd

公式②：abcdacadbcbd

2

公式③：aba22abb2

2

公式④：aba22abb2

图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；

(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式ababa2b2的方法，如图5，请写出

证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点

重合），过点E作EGBC于点G，作EHADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG

与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．

S

①若E为边AC的中点，则1的值为_______；

S2

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

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乘法公式

22

1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即(ab)(ab)ab

2．完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍。即：（．a．+．b．）．

2．=．a．2．+．b．2．+．2．a．b．

3.完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的2倍。即：（．a．-．b．）．

2．=．a．2．+．b．2．-．2．a．b．

(ab)2a22abb2

完．全．平．方．公．式．的．口．诀．：．首．平．方．，．尾．平．方．，．首．尾．2．倍．中．间．放．，．符．号．和．前．一．个．样．。

【变式1】（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）若整式4x2M1是完全平方式，下列不满足要求

的是（）

A．M1B．M4xC．M4x4D．M0

【变式2】（2022·山东山东·三模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和

谐数”．如83212，165232，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和

等于（）

A．255054B．255064C．250554D．255024

3x22xy12y247

【变式】（浙江丽水一模）已知，满足方程组，

32022··xy22

2xxy8y36

（1）代数式x24y2的值是_____．

11

（2）代数式的值是______．

x2y

【变式4】（2022·江苏南通·二模）已知实数a，b，c满足ab4，a2b216c，当1c2时，多项式

11

a2abb2的最大值为m，最小值为n，则mn______．

22

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【变式5】（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）已知：整式An21，B2n，Cn21，整式C0．

(1)当n1999时，写出整式AB的值______（用科学记数法表示结果）；

(2)求整式A2B2；

(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．

核心考点四整式的化简求值

例1（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（）

A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2

C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2

例2（2022·青海西宁·中考真题）3x22xy3=_________

1

例3（2022·广西·中考真题）先化简，再求值xyxyxy22xyx，其中x1,y．

2

合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（3）合并同类项时要注意以下三点：

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①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；

字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化

简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数

不变．

【变式1】（2022·河北唐山·三模）在化简3a2bab2a2bab◆2ab题中，◆表示＋，－，×，÷四个运

算符号中的某一个．当a2，b1时，3a2bab2a2bab◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（）

A．B．C．＋D．－

【变式2】（2022·重庆巴蜀中学三模）已知：Mx2ax3，Nx1（其中为a整数，且a0）；有下列

结论，其中正确的结论个数有（）

M17

①若M·N中不含x2项，则a1；②若为整式，则a2；③若a是MN0的一个根，则a2．

Na24

A．0个B．1个C．2个D．3个

【变式3】（2022·河北唐山·一模）若（x+1）（x+a）＝x2+bx-3，则ab的值为_______．

【变式4】（2022·河北保定·二模）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙

的面积分别为S1，S2．

（1）S1与S2的大小关系为：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）

（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．

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【变式5】（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：(xy)(2xy)(xy)2x2，其中

x20231，y20231．

核心考点五因式分解

例1（2022·青海·中考真题）下列运算正确的是（）

2

A．3x24x37x5B．xyx2y2

C．23x23x9x24D．2xy4xy22xy12y

例2（2022·贵州黔东南·中考真题）分解因式：2022x24044x2022_______．

例3（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

将2a3ab46b因式分解．

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式2a3ab46ba23b223b23ba2

解法二：原式2a43ab6b2a23ba2a223b

【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式

法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方

程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

【类比】

(1)请用分组分解法将x2a2xa因式分解；

【挑战】

(2)请用分组分解法将axa22abbxb2因式分解；

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【应用】

(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直

角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和bab，

斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a42a3b2a2b22ab3b4因式分解，再求值．

因式分解

1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.分解因式的一般方法：

（1）提公共因式法.

（2）运用公式法.

①平方差公式：a2b2abab

2

②完全平方公式：a22abb2ab

（3）十．字．相．乘．法．。．利．用．十．字．交．叉．线．来．分．解．系．数．，．把．二．次．三．项．式．分．解．因．式．的．方．法．叫．做．十．字．相．乘．法．．.

pqc

①对于二次三项式x2bxc，若存在，则x2bxcxpxq

pqb

②首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式2中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项

3.axbxc(a≠0)aaa1a2c

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可以分解成两个因数之积，即，把，，，排列如下：

cc1c2a1a2c1c2

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式2的一次项系数，即

4.a1c2a2c1axbxcb

，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即

a1c2a2c1ba1xc1a2xc2

2

axbxca1xc1a2xc2.

（4）分组分解法

5.对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，

即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目

进行分组，然后再分解因式.

6.分解因式的步骤：

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

7.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab

＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.

【变式1】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）解决次数较高的代数式问题时，通常可以

用降次的思想方法．已知：x2x10，且x0，则x42x33x的值是（）

A．15B．15C．35D．35

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【变式2】（2022·安徽·模拟预测）若a1b24b40，则ab的值为（）

A．3B．-3C．1D．-1

2

【变式3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模）分解因式：mn4mmn4m2________．

【变式4】（2022·江苏南京·二模）一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．若

x281x2022是完全平方数，则正整数x的值为______．

【变式5】（2022·重庆文德中学校二模）两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则成这两

个多位数互为“友好数”．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是37，82，378210，

37和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是123，51，123516，

123和51互为“友好数”．

(1)直接写出103的所有两位数的“友好数”；

(2)若两个不同的三位数m100a40b、n20010c(1„a„5，0„b„5，0„c„9，且a、b、c为整数）互为友

mn

好数，且mn是11的倍数，记P，求P的所有值．

11

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核心考点六规律探索题

例1（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第

二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是

（）

A．297B．301C．303D．400

例2（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形

的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得

名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六

代勾股树中正方形的个数为______．

例3（2022·浙江嘉兴·中考真题）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4

时，a5表示的两位数是45．

(1)尝试：

①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；

②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；

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③当a＝3时，352＝1225＝；

……

2

(2)归纳：a5与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．

2

(3)运用：若a5与100a的差为2525，求a的值．

找规律

解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候

还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：

⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.

⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.

⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系.

⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，

进而观察商和余数.

⑸数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.

常见的数列规律：

⑴1，3，5，7，9，…，2n1（n为正整数）．

⑵2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．

⑶2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．

⑷2，5，10，17，26，…，n21（n为正整数）．

⑸0,3,8,15，24，…，n21（n为正整数）．

⑹2，6，12，20，…，n(n1)（n为正整数）．

⑺x，x，x，x，x，x，…，(1)nx（n为正整数）．

⑻x，x，x，x，x，x，…，(1)n1x（n为正整数）．

⑼特殊数列：

第17页共28页.

①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的

和.

n(n1)

②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.

2

【变式1】（2022·云南·昆明市第一中学西山学校一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，

11a8b2，…，第8个单项式是（）

A．17a14b2B．17a8b4C．15a7b14D．152a14b2

【变式2】（2022·浙江·北大附属台州书生学校二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳

动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，

第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动

、、

下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1P2P3Pn在一条

直线上，则点P从0跳动（）次可到达P14的位置．

A．887B．903C．90D．1024

【变式3】（2022·宁夏·银川外国语实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的

两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边做正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线为边做正方形

以此类推，则正方形的边长是

OB2B3C3……OB2020B2021C2021_____________

第18页共28页.

【变式4】（2022·辽宁鞍山·二模）如图，正方形ABCB1，中，AB1，AB与直线l的夹角为30，延长CB1

交直线于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点

A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2022B2022________．

【变式5】（2022·山东青岛·一模）数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？

为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：

数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种

不同的取法？

为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化：

（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：1＋4，2＋3，2＋4，3＋2，3＋4，4＋1，4＋2，4＋3；而1＋4与4＋1，2＋3与3

122342

＋2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有4种不同的取法．

24

（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：1＋5，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋2，4＋3，4＋5；5＋1，5＋2，5＋3，5＋4，

而1＋5与5＋1，2＋4与4＋2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

12234521

6种不同的取法．

24

（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：1＋6，2＋5，2＋6，3＋4，3＋5，3＋6，4＋3，4＋5，4＋6，5＋2，5＋3，5＋4，

5＋6，6＋1，6＋2，6＋3，6＋4，6＋5；而1＋6与6＋1，2＋5与5＋2，…是同一种取法，所以上述每一

12334562

种取法都重复过一次，因此共有9种不同的取法．

24

（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种不同的取法？

根据题意，有下列取法：1＋7，2＋6，2＋7，3＋5，3＋6，3＋7，4＋5，4＋6，4＋7，5+3，5+4，5+6，5+7，

6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7＋4，7＋5，7＋6；而1＋7与7＋1，2＋6与6＋2，…是

第19页共28页.

1233456721

同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有12种不同的取法…

24

问题解决：

依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题：

（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有种不同

的取法；（只填结果）

（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有种

不同的取法；（只填最简算式）

（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有种

不同的取法；（只填最简算式）

（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）

问题拓展：

（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有种不

同的取法；（只填结果）

（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果）

（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果）

第20页共28页.

【新题速递】

1．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）在下列运算中，正确的是（）．

3

A．(2x)2x34x6B．x2xxC．4x24x6D．3x2(2x)2x2

2．（2022·广西贺州·三模）观察下列一行数：2,1,4,1,8,1,16,1，…，则第16个数与第17个数的和为（）

A．128B．128C．129D．129

3．（2022·浙江绍兴·二模）数独顾名思义----每个数字只能出现一次，数独源自18世纪末的瑞士．数独盘面

是个九宫，每一宫又分为九个小格，虽然玩法简单，但数字排列方式却千变万化，如图，在★处应填的数

字是（）

A．2B．6C．7D．8

113

4．（2022·山东滨州·二模）若m3，则m2m1的值是（）

m22

31

A．2B．0C．D．

22

5．（2022·河北邯郸·二模）若202220222022202020232022n2021，则n的值是（）

A．2023B．2022C．2021D．2020

b2ab

6．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室模拟预测）若ab2，则代数式a的值为（）

aa

11

A．B．C．2D．－2

22

7．（2022·重庆市育才中学二模）已知多项式Ax22ym和By22xn（m，n为常数），以下结论中

正确的是（）

①当x2且mn1时，无论y取何值，都有AB≥0；

②当mn0时，AB所得的结果中不含一次项；

③当xy时，一定有AB；

第21页共28页.

④若mn2且AB0，则xy；

⑤若mn，AB1且x，y为整数，则xy1．

A．①②④B．①②⑤C．①④⑤D．③④⑤

8．（2022·重庆市育才中学一模）下列四种说法中正确的有（）

①关于x、y的方程2x6y199存在整数解．

②若两个不等实数a、b满足2(a4b4)(a2b2)2，则a、b互为相反数．

③若(ac)24(ab)(bc)0，则2bac．

④若x2yzy2xzz2xy，则xyz．

A．①④B．②③C．①②④D．②③④

2

9．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）若m202210，则m2021m2023______．

10．（2022·山东烟台·一模）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损

术”，执行该程序框图，如果输出m的值为5，那么输入x的值为______．

11．（2022·北京·二模）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号fx来表示，把x等于某数a时的

22

多项式的值用fa表示．例如多项式fxxx1，当x4时，多项式的值为f444113．已

知多项式fxmx3nx3，若f12022，则f1的值为______．

12．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶

第22页共28页.

x8

数时，fx；当x为奇数时，f（x）＝3x＋1．例如：f（1）＝3×1＋1，f84．设x1＝8，x2＝f

22

（x1），x3＝f（x2），…，xn＝f（xn－1）．以此规律，得到一列数x1、x2、x3，…，x2022，则这2022个数之和

x1x2x3x2021x2022等于___________．

13．（2022·湖北十堰·三模）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分精

彩的一页，上图是其中的一部分．“杨辉三角”蕴含了许多优美的规律，小明对此非常着迷．一次，他把写的

杨辉三角数表用书本遮盖住，只漏出其中某一行的一部分的5个数字；1，10，45，120，210，让同桌小聪

说出第6个数字，小聪稍加思索，便说出正确答案，正确答案是_________．

14．（2022·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a21可以用如下方法分

解因式：

①a21a2aa1aa1a1a1a1；

又比如多项式a31可以这样分解：

②a31a3a2a2aa1a2a1aa1a1a1a2a1；

仿照以上方法，分解多项式a51的结果是______．

15．（2022·重庆·模拟预测）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价相同，D

种水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果销

量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种水果第一

天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果打八折售卖，

其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第一天一样，

若A种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B种水果和D种水果第一天的单价之和不超过

35元，则第二天四种水果总销售额最多为____元．

22

16．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x，S2＝4x﹣x．

第23页共28页.

(1)用x表示图中S3；

(2)求长方体的表面积．

17．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）嘉嘉准备完成题目：

她发现“口”内的系数与“”内的运算符号印刷不清楚，淇淇告诉嘉嘉“”是，中的某一个．

(1)若“口”内为2，“”内为，请化简原式；

(2)在（1）的情况下，是否存在实数x，使原式的值为﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明

理由；

(3)若不论x取何实数，原式的值都是一个固定的常数，请直接写出原题中“口”内的数、“”内的运算符号

以及原式的值．

第24页共28页.

18．（2022·宁夏吴忠·一模）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，

直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．

x

对数的定义：一般地，若aNa0,a1，那么x叫做以a为底N的对数，记作：xlogaN．比如指

42

数式216可以转化为4log216，对数式2log525可以转化为525．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：logaMNlogaMlogaNa0,a1,M0,N0；理由

如下：

mn

设logaMm，logaNn，则Ma，Na

mnmn

∴MNaaa，由对数的定义得mnlogaMN

又∵mnlogaMlogaN

∴logaMNlogaMlogaN

解决以下问题：

(1)将指数4364转化为对数式：______．