专题17 平行四边形与多边形（6大考点）（解析版）

第五部分四边形

专题17平行四边形与多边形（6大考点）

核心考点一平行四边形的判定

核心考点二平行四边形的性质

核心考点三平行四边形中的折叠问题

核心考点

核心考点四平行四边形中的动点问题

核心考点五平行四边形的综合性问题

核心考点六多边形及其性质

新题速递

核心考点一平行四边形的判定

例1（2022·湖南益阳·统考中考真题）1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接

DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行

四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．

【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8，

∴CD＝AB＝8，AB∥CD，

∵AE＝3，

∴BE＝AB﹣AE＝5，

∵CF∥DE，

∴四边形DEFC是平行四边形，

∴DC＝EF＝8，

第1页共109页.

∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．

故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．

例2（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABDC，请添加一个条件，使四

边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________（写一个即可）．

【答案】AB∥DC(答案不唯一)

【分析】根据平行四边形的判定条件解答即可．

【详解】解：∵AB=DC，

再加AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：AB∥DC(答案不唯一)

【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

例3（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BEAC，DFAC，

垂足分别为点E，F，且BEDF，ABDBDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】见解析

【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得ABE≌CDF，则其对应

边相等：ABCD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．

【详解】证明：ABDBDC，

AB∥CD．

BAEDCF．

在ABE与CDF中，

第2页共109页.

BAEDCF

AEBCFD90．

BEDF

ABE≌CDF(AAS)．

ABCD．

四边形ABCD是平行四边形．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的

判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

平行四边形的判定定理：

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四

边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

【变式1】（2021·河北邯郸·一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝

CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程：

①∵AE＝CF，∴BE＝FD；

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD；

③∴DE＝BF，

④∴四边形EBFD是平行四边形．

证明步骤正确的顺序是（）

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A．①→②→③→④B．①→④→②→③C．②→①→④→③D．②→④→①→③

【答案】C

【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝FD，得四边形EBFD是平行四边形，即可

得出结论．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AE＝CF，

∴BE＝FD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∴DE＝BF，

则证明步骤正确的顺序是②→①→④→③，

故选：C．

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握判定和性质是解决问题的关键．

【变式2】（2021·山东青岛·一模）如图，将矩形ABCD沿BE，DF折叠，使点A，C的对应点A',C分别落

在对角线BD上，连接EF，交BD于点O．若AB＝6，AD＝8，则OE的长度是（）

A．5B．10C．25D．210

【答案】B

【分析】首先通过ASA证明ABE≌△CDF，得AE＝CF，可得四边形BFDE是平行四边形，在RtABD中，

由勾股定理得：BD＝10，得△OD＝5，在RtA'DE中，由勾股定理得：A'E2+42＝（8﹣A'E）2，解△得：A'E＝

3，再利用勾股定理求OE即可．△

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，

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∴∠A＝∠C＝90°，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，

∴∠ABD＝∠CDB，

∵将矩形ABCD沿BE，DF折叠，使点A，C的对应点A'，C′分别落在对角线BD上，

11

∴∠ABE＝∠EBD＝ABD，∠CDF＝∠FDB＝CDB，

22

∴∠ABE＝∠CDF，

在ABE与CDF中，

AC

△△

ABCD，

ABECDF

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∴AD﹣AE＝BC﹣CF，

∴DE＝BF，

∵AD∥BC，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴OD＝OB，

在RtABD中，由勾股定理得：BD＝AB2AD2628210，

△1

∴OD＝BD5，

2

由折叠性质可得：A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，

∴∠EA'D＝90°，A'D＝BD﹣A'B＝10﹣6＝4，

∴OA'＝OD﹣A'D＝5﹣4＝1，

由折叠性质得：AE＝A'E，

∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣A'E＝8﹣A'E，

在RtA'DE中，由勾股定理得：

∴A'E△2+42＝（8﹣A'E）2，

解得：A'E＝3，

在RtA'OE中，由勾股定理得：OE＝OA2AE2123210．

故选：△B．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，

第5页共109页.

勾股定理等知识，灵活运用勾股定理列方程是解题的关键．

k

【变式3】（2022·山东泰安·统考一模）如图，反比例函数y（k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，

x

直线AB与x轴交于点B(4，0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，

使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是_____．

【答案】（2，2）或（2，6）或（6，-2）

8

【分析】由图象过点A求出反比例函数解析式y，进而求出点C坐标（4，2），利用中点公式求点D

x

的坐标．

k

【详解】解：∵反比例函数y（k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)

x

∴k=2×4=8

8

∴反比例函数解析式为y

x

∵点B(4，0)，BC⊥x轴，交反比例函数的图象于点C

∴当x=4时，y=2

即点C的坐标为（4，2）

令点D的坐标为（x，y）

244x

①当AB，CD为对角线时

402y

x2

解得

y2

∴点D的坐标为（2，2）

244x

②当AC，BD为对角线时

420y

x2

解得

y6

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∴点D的坐标为（2，6）

2x44

③当AD，BC为对角线时

4y02

x6

解得

y2

∴点D的坐标为（6，-2）

综上可知，点D的坐标为（2，2）或（2，6）或（6，-2）

故答案为：（2，2）或（2，6）或（6，-2）.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求两函数的交点坐标，利用中点公式分情况求构成

平行四边形的点坐标．

【变式4】（2022·辽宁铁岭·统考一模）如图，将边长为4的等边ABC沿射线BC平移得到DEF，点M，

N分别为AC，DF的中点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC．当△APC为直角三角形时，BE_____．

【答案】4或8

【分析】分∠APC=90°和∠ACP=90°两种情形求解即可．

【详解】如图1，当∠APC=90°时，

∵AM=MC，AC=4，

∴PM是APC斜边上的中线，

∴AM=CM△=PM=2，

∴PN=2，

∴MN=4，

第7页共109页.

故将ABC向右平移4个单位即可，

∴BE△=4；

如图2，当∠ACP=90°时，

∵ABC是等边三角形，AM=MC，

∴∠△BMC=90°，

∴∠BMC=∠ACP，

∴BM∥CP，

∵ABC是等边三角形，DEF是等边三角形，M，N分别是AC，DF的中点，

∴∠△ACB=∠DFE=60°，C△M=NF，

∴MC∥NF，

∴四边形MCFN是平行四边形，

∴MP∥BC，

∴四边形BCPM是平行四边形，

∴PM=4，

∴PN=4，

∴MN=8，

故将ABC向右平移8个单位即可，

∴BE△=8；

故答案为：4或8．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，平移的基本规律，

熟练掌握平移的基本特点，灵活运用等边三角形的性质，平行四边形的判定是解题的关键．

【变式5】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）（1）如图1，点E，F均在正方形ABCD内

部，且BEEFFD2，EF90．

①求证：四边形BEDF是平行四边形；

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②求正方形ABCD的边长；

（2）如图2，点E，F，G，H均在正方形ABCD内部，且BEEFFGGHHD2，

EFGH90，求正方形ABCD的边长．

【答案】（1）见解析；（2）10（3）26

【分析】（1）①连接BF,DE,BD交EF于点O，证明DFO≌BEO(AAS)，则OFOE,ODOB，即可得

证；

②根据勾股定理以及全等三角形的性质得出BD，即可求解；

（2）连接FH,BF,BD,BG,BD交FG于点K，过点B作BMGF交GF的延长线于点M，证明BKDK，

勾股定理求得BK，进而即可求解．

【详解】（1）①证明：如图，连接BF,DE,BD交EF于点O

∵DOFBOE，DFOBEO90,DFBE，

∴DFO≌BEO(AAS)，

∴OFOE,ODOB，

∴四边形BEDF是平行四边形；

②∵DFEFBE2，OFOE1,OFOBEO90，

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∴OBOD22125，

∴BD2OB25，

∴四边形ABCD是正方形，

2

∴BCBD10；

2

（2）连接FH,BF,BD,BG,BD交FG于点K，过点B作BMGF交GF的延长线于点M，如图，

∴EFB,FGH,EFG是等腰直角三角形，

∴EFBGFH45，

∵EFG90，

∴EFBEFGGFH180，

∴B,F,H三点共线，

同理可得D,G,E三点共线，

∵DHBE，BH∥DE，

∴四边形BEDH是平行四边形，

∴BH∥DE,BHDE，

∵BFFH,BGDG，

∴BFDG，

∵BFKDGK，BKFDKG，

∴BKF≌DKG(AAS)，

∴FKKG1,BKDK，

∵MBEFBFM90，

∴四边形BEFM是矩形，

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∵BEEF，

∴四边形BEFM是正方形，

∴BMFM2，MKMFFK3，

∴BKBM2MK22232=13，

∴BD13，

∵四边形ABCD是正方形，

2

∴BCBD26．

2

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定

理，正确的添加辅助线是解题的关键．

核心考点二平行四边形的性质

例1（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，

∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（）

A．100°B．80°C．70°D．60°

【答案】B

【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平

行线的性质，即可得到∠EGC的度数．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ABDC，

∴∠AEG=∠EGC，

∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，

∴∠GEF=30°，

∴∠GEA=80°，

∴∠EGC=80°．

第11页共109页.

故选：B．

【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

例2（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在YABCD中，CAAB，若B50，则CAD的度数是

______．

【答案】40##40度

【分析】根据平行四边形对边平行可得AD∥BC，利用平行线的性质可得CADACB，因此利用直角

三角形两个锐角互余求出ACB即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴CADACB，

∵CAAB，

∴BAC90，

∵B50，

∴ACB90B40，

∴CADACB40，

故答案为：40．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够

综合运用上述知识．

例3（2022·广西·统考中考真题）如图，在YABCD中，BD是它的一条对角线，

(1)求证：△ABD≌△CDB；

(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；

(3)连接BE，若DBE25，求AEB的度数．

【答案】(1)见解析

第12页共109页.

(2)见解析

(3)50°

【分析】（1）由平行四边形的性质得出ABCD,ADBC，可利用“SSS”证明三角形全等；

（2）根据垂直平分线的作法即可解答；

（3）根据垂直平分线的性质可得BEDE，由等腰三角形的性质可得DBEBDE，再根据三角形外角

的性质求解即可．

【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，

ABCD,ADCB，

BDDB，

△ABD≌△CDB(SSS)

（2）如图，EF即为所求；

（3）BD的垂直平分线为EF，

BEDE，

DBEBDE，

QDBE25，

DBEBDE25，

AEBBDEDBE50．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角

形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

第13页共109页.

1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；

特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角

相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三

边的不等关系来解决.

【变式1】（2023·山西临汾·统考一模）如图，在YABCD中，过点A作AEBC，垂足为E．若BC4，

C105，BDC45，则AE的长为（）．

13

A．B．13C．23D．223

2

【答案】B

【分析】过点A作AHBD于点H，根据平行四边形性质可知ABDBDC45，

BDA180CBDC30，求出BD长度，再跟据平行四边形面积公式，列出方程解答即可．

【详解】

如图过点A作AHBD于点H，

∵四边形ABCD为平行四边形，C105，BDC45，

第14页共109页.

∴BDA180CBDC30，ABDBDC45，

∴BAHABD45，

∴BHAH，

∵ADBC4，

AH2

1DH23

∴BHAHAD2，tanBDA3，

2

3

∴BDBHHD223，

∵SABCDBCAESABDSBCD2SABD，

1

∴4AE2AHBD443，

2

443

∴AE13；

4

故选：B．

【点睛】本题考查了平行四边形及其对角线的性质，特殊角的三角函数，平行四边形的面积等知识点，熟

练掌握上述知识点是解答本题的关键．

【变式2】（2022·安徽合肥·合肥38中校考模拟预测）在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，

过点C作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，接EF、CF，则下列结论错误的是（）

1

A．∠DCF＝∠BCDB．∠DFE＝3∠AEF

2

C．EF＝CFD．SBEC＝2SCEF

△△

【答案】D

【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之

间关系进而得出答案．

【详解】解：∵F是AD的中点，

∴AF＝FD，

∵在▱ABCD中，AD＝2AB，

∴AF＝FD＝CD，

第15页共109页.

∴∠DFC＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC＝∠FCB，

∴∠DCF＝∠BCF，

1

∴∠DCF＝∠BCD，故此选项A正确；

2

设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，

∴∠DCF＝∠DFC＝90°−x，

∴∠EFC＝180°−2x，

∴∠EFD＝90°−x＋180°−2x＝270°−3x，

∵∠AEF＝90°−x，

∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项B正确；

延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF＝FD，

在△AEF和△DFM中，

AFDM

AFFD，

AFEDFM

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，

∵CE⊥AB，

第16页共109页.

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ECD＝90°，

∵EF＝MF，

∴CF＝MF，即CF＝EF，故选项C正确；

∵EF＝MF，

∴SEFC＝SCFM，

△△

∵MC＞BE，

∴SBEC＜2SEFC

△△

故SBEC＝2SCEF错误；故选项D不成立；

△△

故选D

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是

解题关键．

【变式3】（2022·辽宁营口·一模）如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，BD2AB，以A为

1

圆心，AO长为半径作弧，交OB于点G，分别以O，G为圆心，大于OC的长为半径作弧，两弧交于点M，

2

作射线AM交BD于点E，交BC于点F，EO2，BG1，则AC_____．

【答案】45

【分析】利用基本作图可判断得AM垂直平分OG，所以EGOG2，AEBAEO90，则

BO5，BE3，再根据平行四边形的性质得到OBOD，OCOA，由BD2AB，所以ABBO5，然

后利用勾股定理可先计算出AE，再计算出OA，从而得到AC的长．

【详解】解：由作法得AM垂直平分OG，

∴EGOG2，AEBAEO90，

∵BG1，

∴BO5，BE3，

∵四边形ABCD为平行四边形，

第17页共109页.

∴OBOD，OCOA，

∵BD2AB，

∴ABBO5，

在Rt△ABE中，AE52324，

在Rt△AOE中，OA=22+42=25，

∴AC2OA45．

故答案为：45．

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性

质，勾股定理等知识，解题的关键是得到AM垂直平分OG．

【变式4】（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图，E、F分别是YABCD的边AB、CD上的点，AF与DE

222

相交于点P，BF与CE相交于点Q，若SAPD14cm，SBQC26cm，SABCD200cm，则阴影部分的面

积为________cm2．

【答案】60

2

【分析】连接E、F两点，过点E作EMDC于点M，求解SDEC100cm，证明SEFCSBCF，可得SEFQSBCQ，

2

同理：SEFDSADF，可得SEFPSADP，可得S四边形EFPQ142640cm，从而可得答案．

【详解】解：连接E、F两点，过点E作EMDC于点M，

1

∵SDCEM，SDCEM200cm2，

DEC2ABCD

2

∴SDEC100cm，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

第18页共109页.

∴EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，

∴SEFCSBCF，

∴SEFQSBCQ，

同理：SEFDSADF，

∴SEFPSADP，

22

∵SAPD14cm，SBQC26cm，

2

∴S四边形EFPQ142640cm，

2

故阴影部分的面积为SDECS四边形EPFQ1004060cm．

故答案为：60．

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，平行线的性质，掌握“同底等高的两个三角形的面积相等”是解本

题的关键．

【变式5】（2023·湖南衡阳·校考一模）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，ADAO，

点E为OA的中点，

(1)若DECD，CD6，AD=25，求DE的长．

(2)证明：CD2DE．

【答案】(1)3

(2)详见解析

11

【分析】（1）根据题意可得OEAOAD5，OCAOAD25，再根据勾股定理求解即可；

22

（2）取AD的中点F，连接OF，通过证明ADE≌AOF和中位线定理，即可求证．

【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OAOC，

∵点E为OA中点，ADAO，AD25，

第19页共109页.

11

∴OEAOAD5，OCAOAD25，

22

∴CEOEOC35，

∵DECD，CD6，

∴DECE2CD23；

（2）证明：取AD的中点F，连接OF，

∵ADAO，点E为OA中点，

∴AEAF，

在VADE和AOF中，

ADAO

EADEAO，

AEAF

∴ADE≌AOFSAS，

∴DEOF，

∵OAOC，AFDF，

∴CD2OF，

∴CD2DE．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握平行四

边形对边平行且相等，对角线互相平分．

核心考点三平行四边形中的折叠问题

例1（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若

156，242，则A的度数为()

第20页共109页.

A．108B．109C．110D．111

【答案】C

【分析】先根据平行四边形的性质，得出ABCD，根据平行线的性质，得出ABE156，根据折叠

1

得出ABDABE28，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．

2

【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴ABCD，

ABE156，

根据折叠可知，ABDEBD，

11

∴ABDABE5628，

22

242，

∴A180ABD2110，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条

件求出ABD28是解题的关键．

例2（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，

把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．连接MF，

若MFBM，AB6cm，则AD的长是____________cm．

第21页共109页.

【答案】53

【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形AOAM是平行四边形，再证明AOM是等边三角形，

分别根据直角三角形中的三角函数求出AM和DM，从而得到答案．

【详解】解：如下图所示，设AE交BM于点O，连接AO，

∵点E是中点，

∴在RtABM和RtABM中，AOOMOB,OAOBOM,

∴OAEOBE,OBAOAB，

∵OBEOBA，

∴OAEOAB，

∵OAEAOE90,OABOAM90，

∴AOEOAM，

∴AO//AM，

∵AM//OA

∴四边形AOAM是平行四边形，

∴AMOA

∴AMAOOM,

∴AOM是等边三角形，

∴AMOOMA60

AB

∴tanAMOtan60

AM

∴AM23，

∵MFBM，OMA60，

∴AMF30，

第22页共109页.

∴DMF18015030，

1

∵DFAB3，

2

DF

∴MD33，

tan30

∴ADAMMD53，

故答案为：53．

【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明AOM是等边三角形

以及熟练掌握直角三角形中的三角函数．

例3（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，

在YABCD中，BEAD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并

加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将YABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，

点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将YABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使

A'BCD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此YABCD的

面积为20，边长AB5，BC25，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接

写出结果．

22

【答案】（1）EFBF；见解析；（2）AGBG，见解析；（3）．

3

【分析】（1）如图，分别延长AD，BF相交于点P，根据平行四边形的性质可得AD//BC，根据平行线的

性质可得PDFC，PFBC，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得FPFB，

1

根据直角三角形斜边中线的性质可得EFBP，即可得EFBF；

2

1

（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得

2

第23页共109页.

∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得

1

DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=AB，可得AG=BG；

2

（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，

∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据A'BCD可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，

根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的

性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，

根据S阴=SA′MB-SA′NH即可得答案．

△△

【详解】（1）EFBF．

如图，分别延长AD，BF相交于点P，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴PDFC，PFBC,

∵F为CD的中点，

∴DFCF，

PFBC

在△PDF和△BCF中，PDFC，

DFCF

∴△PDF≌△BCF，

∴FPFB，即F为BP的中点，

1

∴BFBP，

2

∵BEAD，

∴BEP90，

1

∴EFBP，

2

∴EFBF．

第24页共109页.

（2）AGBG．

∵将YABCD沿着BF所在直线折叠，点C的对应点为C'，

1

∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，'，

2FCFC

∵F为CD的中点，

1

∴FCFDCD，

2

∴FC'FD，

∴∠FDC′=∠FC′D，

∵CFC'=∠FDC′+∠FC′D，

1

∴FC'DCFC'，

2

∴∠FC′D=∠C′FB，

∴DG//FB，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC//AB，DC=AB，

∴四边形DGBF为平行四边形，

∴BGDF，

1

∴BGAB，

2

∴AGBG．

（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，

∵YABCD的面积为20，边长AB5，A'BCD于点H，

∴BH=50÷5=4，

第25页共109页.

∴CH=BC2BH22，A′H=A′B-BH=1，

∵将YABCD沿过点B的直线折叠，点A的对应点为A'，

∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，

∵A'BCD于点H，AB//CD，

∴A'BAB，

∴∠MBH=45°，

∴△MBQ是等腰直角三角形，

∴MQ=BQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

∴∠A′=∠C，

∵∠A′HN=∠CHB，

∴△A′NH∽△CBH，

CHBH24

∴，即，

A'HNH1NH

解得：NH=2，

∵A'BCD，MQ⊥A′B，

∴NH//MQ，

∴△A′NH∽△A′MQ，

A'HNH12

∴，即，

A'QMQ5MQMQ

10

解得：MQ=，

3

11110122

∴S阴=SA′MB-SA′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．

222323

△△

【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定

第26页共109页.

与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

（1）折叠的性质

①重叠部分全等

②折痕是对称轴，对称点的连线被对称轴垂直平分.

（2）对称的定义（折叠是对称的一种特殊情况）

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应

点到对称轴的距离都是相等的.

（3）认真识别折叠前后的图形是解题的关键.

【重点聚焦】

（1）折叠问题通常涉及平行四边形的性质和判定、折叠的性质、对角线的性质、平行的性质等知识点.

（2）“利用折叠的性质得到等边等角“和”识别折叠前后的图形“是解决折叠问题的关键.

（3）审题时，应养成良好的做题习惯：把已知条件的等边关系、等角关系、角的度数等内容均在图形做好

标记.

【变式1】（2022·贵州遵义·统考一模）在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD

边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，

G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且AD6，则四边形BEGF的面积是（）

33

A．63B．33C．23D．

2

【答案】A

第27页共109页.

【分析】先由折叠性质和点F是AB的中点得出AF与DF的数量关系，由勾股定理求得AF与DF，再平行

四边形的面积公式求得BCDF的面积，进而求得四边形BEGF的面积．

【详解】】解：由折叠性质得BE=GE=CE，BF=GF，CD=DG，

∵四边形BCDF为平行四边形，

∴CD=BF，DF=BC，

∵AF=BF，

∴AF=BF=FG=DG，

∴2AF=DF，

在RtADF中，DF2-AF2=AD2，即4AF2-AF2=62，

∴AF=23，

∴BF=23，

∴S▱BCDF＝BF•AD＝123，

∵DG=FG，

∴SEDG=SEFG，

△△

由折叠性质知SCDE=SEDG=SRFG=SBEF，

△△△△

1

∴SBEGF＝S▱BCDF＝．

四边形263

故选：A．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，平行四边形的面积计

算，折叠的性质，关键在应用勾股定理求出AF的长度．

【变式2】（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在

CD上的点Q处，折痕为AP．再将PCQ，ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一

AB

点R处．当AD＝CP时，则的值△为（△）

QR

A．3B．23C．2D．2

第28页共109页.

【答案】A

【分析】由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，

∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，由平行线的性

质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，

AB=3PB，即可求解．

【详解】解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，

∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，

∵∠QRA+∠QRP=180°，

∴∠D+∠C=180°，

∴AD∥BC，

∴∠B+∠DAB=180°，

∵∠DQR+∠CQR=180°，

∴∠DQA+∠CQP=90°，

∴∠AQP=90°，

∴∠B=∠AQP=90°，

∴∠DAB=90°，

∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，

由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，

∵四边形APCD是平行四边形，

∴AD=PC，

∴AR=PR，

又∵∠AQP=90°，

1

∴QR=AP，

2

∵∠PAB=30°，∠B=90°，

∴AP=2PB，AB=3PB，

∴PB=QR，

AB

∴3，

QR

故选：A．

【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本

第29页共109页.

题的关键．

【变式3】（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，将ACD沿着AC所在的直线折叠

得到△ACE，AE交BC于点F，连接BE，若ABC60，ACB45，AC23，则BE的长是______．

【答案】2

【分析】利用折叠的性质，以及平行四边形的性质，得到EFC90，分别解Rt△AFC，Rt△EFC，Rt△EFB，

即可得解．

【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，ABC60，

∴DABC60,BCD18060120，ADBC，

∵ACB45，

∴ACD1204575，

∵将ACD沿着AC所在的直线折叠得到△ACE，

∴ACEACD75,CECD,AECD60,AEAD，

∴ECF754530，

∴EFC180603090，

∴AFC180EFC90，

∵ACB45，AC23，

2

∴AFCFAC6，

2

3

∴EFCFtan3062，

3

∵BCADAE,AFCF，

∴BCCFAEAF，即：BFEF2，

∴BE2EF2；

故答案为：2．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，

第30页共109页.

得到BCAE，是解决本题的关键．

【变式4】（2022·河南·模拟预测）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠A＝45，AB33，点E为AD

边上一动点．将ABE沿直线BE折叠，点A的对应点为A′，再将BEA′沿直线A′B折叠，点E的对应点为

E′．当点E′在BC△上方，且BE′与平行四边形ABCD的一边垂直时，△A′E′的长为______．

【答案】6或2

【分析】分两种情况讨论：当BE’⊥AB时，当BE’⊥AD，垂足为点H时，结合平行四边形的性质及直角

三角形的性质进行解答即可．

【详解】如图1，当BE’⊥AB时，过过点E作EH⊥AB，

∵BE’⊥AB，

∴∠ABE’=90°，

∵将ABE沿直线BE折叠，再将BEA′沿直线A′B折叠，

∴∠A△BE=∠A’BE=∠A’BE’=30°，△

设HE=x，

∴RtBHE中，BH3HE3x，

∵Rt△AEH中，∠A＝45，

∴AH△=HE，

∴AB=x3x33，

解得：x3，

第31页共109页.

∴EH3，

∴A'E'AE'2EH6，

如图2，当BE’⊥AD，垂足为点H时，

∵BE’⊥AD，

∴∠AHB=90°，

∵RtABH中，∠A＝45，

△22

∴AH=HB=AB33，

22

∵将ABE沿直线BE折叠，再将BEA′沿直线A′B折叠，

∴∠A△BE=∠A’BE=∠A’BE’=15°，△

∴∠HBE=30°，

33262

∴RtBHE中，HEBH33，

3322

△262

∴A'E'AEAHEH332；

22

故答案为：6或2．

【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，平行四边形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握翻折变换和

直角三角形的性质，正确画出图形是解题的关键．

【变式5】（2020·广西贵港·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB10，AD16，A60，P

是射线AD上一点，连接PB，沿PB将APB折叠，得APB．

（1）如图所示，当DPA10时，APB_______度；

第32页共109页.

（2）如图所示，当PABC时，求线段PA的长度；

（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A、B重合的一个动点，将APF沿PF折叠，得到APF，

连接BA，求BAF周长的最小值．

【答案】（1）85；（2）535；（3）2221

【分析】（1）求出APA，利用翻折不变性解决问题即可．

（2）如图2中，作BH⊥AD于H．根据30度角所对