专题14 全等三角形（5大考点）（解析版）

第四部分三角形

专题14全等三角形（5大考点）

核心考点一全等三角形的判定

核心考点二全等三角形的性质

核心考点核心考点三全等三角形中的倍长中线模型

核心考点四全等三角形中的旋转模型

核心考点五全等三角形综合问题

新题速递

核心考点一全等三角形的判定

例1（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一

点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是

（）

A．24B．22C．20D．18

【答案】B

【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确

定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求

解．

【详解】∵CG∥AB，

∴∠B＝∠MCG，

∵M是BC的中点，

∴BM＝CM，

在△BMH和△CMG中，

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BNCG

BMCM，

BMHCMG

∴△BMH≌△CMG（ASA），

∴HM＝GM，BH＝CG，

∵AB＝6，AC＝8，

∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，

∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，

∵∠A＝90°，MH⊥AB，

∴GH∥AC，

∴四边形ACGH为矩形，

∴GH＝8，

∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，

故选：B．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．

例2（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线

上，且BEDF，连接EF交边AD于点G．过点A作ANEF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE5，

CN8，则线段AN的长为_________

【答案】434

【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得△ABE≌△ADFSAS，AE=AF，可证得AN垂直平分EF，可得

EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．

第2页共95页.

【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，

四边形ABCD是正方形

设AB=BC=CD=AD=a，B=ADF=90，

在△ABE与△ADF中，

AB=AD

B=ADF

BE=DF

△ABE≌△ADFSAS，

AE=AF，

△AEF是等腰三角形，

又AMEF，

AN垂直平分EF，

EN=FN=DNDF=CDCNDFa85a3，

又BE=5，

EC=BCBE=a5，

在Rt△ECN中，EN2=EC2CN2，

22

a3a582，

解得a=20，

AD=20，DN=CDCN=208=12，

在RtVADN中，AN2=AD2DN2，

AN=AD2DN2=202122=434，

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故答案为：434．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分

线的性质，勾股定理，证得AN垂直平分EF是解决本题的关键．

例3（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直

平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．

(1)求证：△ABE≌△FMN；

(2)若AB8，AE6，求ON的长．

【答案】(1)见详解

25

(2)

4

【分析】（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE证得

∠MBO=∠OMF，结合∠A=90°=∠NFM即可证明；

（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，

2222525

在Rt△AME中，AM2AE2ME2，可得(8ME)6ME，解得：ME，即有BMME，

44

再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，则NO可求．

【详解】（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，BC∥AD，

AB∥DC，

∵MF∥AD，∠A=∠D=90°，AB∥DC，

∴四边形ADFM是矩形，

∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，

∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，

∵MN是BE的垂直平分线，

∴MN⊥BE，

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∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，

∴∠MBO=∠OMF，

NFMA90

∵MFAB，

OMFMBO

∴△ABE≌△FMN；

（2）连接ME，如图，

∵AB=8，AE=6，

∴在Rt△ABE中，BEAB2AE2826210，

∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，

∵MN是BE的垂直平分线，

1

∴BO=OE=BE=5，BM=ME，

2

∴AM=AB-BM=8-ME，

∴在Rt△AME中，AM2AE2ME2，

25

∴(8ME)262ME2，解得：ME，

4

25

∴BMME，

4

∴在Rt△BMO中，MO2BM2BO2，

2515

∴MOBM2BO2()252，

44

1525

∴ON=MN-MO=10．

44

25

即NO的长为：．

4

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判

定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．

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知识点、全等三角形的判定

一、全等三角形判定1——“边边边”

定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：如图，如果A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC，则△ABC≌△A'B'C'.

二、全等三角形判定2——“边角边”

定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB＝A'B'，∠A＝∠A'，AC＝A'C'，则△ABC≌△A'B'C'.

注意：1.这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，

也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

三、全等三角形判定3——“角边角”

定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

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要点诠释：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△A'B'C'.

四、全等三角形判定4——“角角边”

定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定

两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△

ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SASAASASA

两角对应相等ASAAAS

两边对应相等SASSSS

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可

以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

3.三角形证全等思路

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找夹角SAS

已知两边找直角HL

找另一边SSS

边为角的对边找任一角AAS

找夹角的另一边SAS

已知一边一角

边为角的邻边找夹边的另一角ASA

找边的对角AAS

找夹边ASA

已知两角

找任一边AAS

五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”

定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.

要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形

的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在

两个三角形前加上“Rt”.

3

【变式1】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在ABC中，ACB90，BC6，cosB，

4

AE平分∠BAC，且AECE于点E，点D为BC的中点，连接DE，则DE的长为（）

7

A．2B．47C．27D．2

2

【答案】B

第8页共95页.

【分析】利用余弦求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长，延长CE交AB于点F，证明

AFE≌ACEASA，得到ACAF27，推出DE是VCBF的中位线，进行求解即可．

3

【详解】解：∵ACB90，BC6，cosB，

4

BC3

∴，

AB4

4

∴ABBC8，

3

∴ACAB2BC227；

延长CE交AB于点F，

∵AE平分∠BAC，AECE，

∴EAFEAC,AECAEF90，

又∵AEAE，

∴AFE≌ACEASA，

∴ACAF27，CEEF，

∴点E为CF的中点，

∵点D为BC的中点，

11

∴DEBFABAF47；

22

故选B．

【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．通过添加辅助线，证

明三角线全等，是解题的关键．

【变式2】（2022·重庆长寿·统考模拟预测）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且

CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边

OC上，则OE的长为（）

第9页共95页.

3394

A．B．C．D．

4243

【答案】B

【分析】连接AD、AD，根据矩形的性质得到BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，即可求得CD、

BD，根据折叠的性质得到AD=AD，根据全等三角形的性质可到AC=BD=1，再根据勾股定理即可求解．

【详解】连接AD、AD，如图，

∵四边形OABC是矩形，

∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，

∵CD=3BD，

∴CD=3，BD=1，

∴CD=AB，

根据翻折的性质有：AD=AD，AEAE，

∴在Rt△ACD和Rt△DBA中，CD=AB，AD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△DBA（HL），

∴AC=BD=1，

∴AO=2，

∵在Rt△AOE中，AO2OE2AE2，

∴22OE2(4OE)2，

第10页共95页.

3

∴OE，

2

故选：B．

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解答本题的

关键．

【变式3】（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图，已知Rt△ABC中，ABC90，以斜

边AC为边向外作正方形ACDE，正方形的对角线交于点O，连接OB．已知BC9，AB6，则

OB________．

【答案】152

2

【分析】如图所示，过点O作OHBC于H，过点A作AGOH于G，则四边形ABHG是矩形，证明

△GAO≌△HOC得到OHAGBH，OGCH，设OGCHx，则BH9x，OHx6，由此求出x

的值，再利用勾股定理求出答案即可．

【详解】解：如图所示，过点O作OHBC于H，过点A作AGOH于G，则四边形ABHG是矩形，

∴GHAB6，∠OHB90，∠AGO∠OHC90，AGBH，

∵四边形ACDE是正方形，

∴OACO，∠AOC90，

∴∠GAO∠GOA90∠GOA∠HOC，

∴∠GAO∠HOC，

∴△GAO≌△HOCAAS，

∴OHAGBH，OGCH，

设OGCHx，则BHBCCH9x，OHOGGHx6，

∴9xx6，

3

∴x，

2

第11页共95页.

15

∴OHBH，

2

152

∴OBOH2BH2，

2

故答案为：152．

2

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确

作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【变式4】（2021·四川眉山·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，

将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；

12

②G为BC的中点；③CF∥AG；④S△，其中正确结论的序号是_______．

EFC5

【答案】①②③④

【分析】用HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG即可判断①；先分别求出DE，CE的长，然后设BG＝FG＝x，

则CG＝6﹣x．在Rt△CEG中利用勾股定理求出CG，BG的长即可判断②；根据GF=GC得到∠GFC＝∠GCF，

只需要证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF即可判断③；先求出△CEG的面积，再根据GF与EF的长

即可求出△EFC的面积，即可判断④．

【详解】解：∵将△ADE沿AE对折至△AFE，四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠B＝90°，AB=AD，

∴AB＝AD＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，

又∵AG＝AG，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；

第12页共95页.

∴BG=FG，

∵CE＝2DE，

1

∴EF＝DE＝CD＝2，

3

∴CE=4，

设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．

在Rt△ECG中，根据勾股定理，得GE2CG2CE2，

∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，

解得x＝3．

∴BG＝3＝CG，

∴点G是BC的中点，故②正确；

∵CG＝BG，BG＝GF，

∴CG＝GF，

∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；

∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，

∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，

∴AG∥CF，故③正确；

11

∵SECG＝GC•CE＝×3×4＝6，EF＝2，GF＝3，

22

△

212

∴SEFC＝6=，故④正确，

325

△

故答案为：①②③④．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形

的性质与判定，平行线的判定，三角形面积等等，熟知相关知识是解题的关键．

【变式5】（2023·陕西西安·统考一模）如图①，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，E为ABC内

一点，连接ED并延长到F，使得EDDF，连接AF、CF．

第13页共95页.

(1)求证：BE∥CF；

1

(2)若EBDBAC，求证：AF2AB2BE2；

2

(3)如图②，探索当BEC与BAC满足什么数量关系时，ACAF，并说明理由．

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

1

(3)BEC180BAC．

2

【分析】（1）证明BDE≌CDF，可得ÐEBD=ÐFCD，即可；

1

（2）由（1）可知BECF，ÐEBD=ÐFCD，再由ABAC，可得ACB180BAC，然后

2

11

EBDBAC，可得FCDBAC，从而得到ACFACBFCD90，再由勾股定理，即可求解；

22

11

（3）连接BF，根据等腰三角形的性质可得AFB180BAF,AFC180CAF,从而得到

22

第14页共95页.

1

CFBAFBAFC180BAC，再证明BCE≌CBF，即可求解．

2

【详解】（1）证明：D是BC的中点，

BDDC，

EDDF，EDBCDF，

BDE≌CDF，

ÐEBD=ÐFCD，

BE∥CF；

（2）证明：由（1）可知BECF，ÐEBD=ÐFCD，

∵ABAC，

1

ACB180BAC，

2

1

EBDBAC，

2

1

∴FCDBAC

2

1

ACFACBFCD180BACFCD90，

2

AF2AC2CF2AB2BE2；

（3）解：连接BF，

ACAF，ABAC，

∴ABAF，

11

AFB180BAF,AFC180CAF,

22

111

CFBAFBAFC180BAF180CAF180BAC，

222

BE∥CF，

第15页共95页.

EBCFCB，

BECF,BCBC，

BCE≌CBF，

BECCFB，

1

BEC180BAC．

2

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，

熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质是解题的关键．

核心考点二全等三角形的性质

例1（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ABC中，ABAC，将ABC以点A为中心逆时针旋转

得到VADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE△DFC；②DA平分BDE；

③CDFBAD，其中所有正确结论的序号是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．

【详解】解：∵将ABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE，

∴ADE≌ABC，

EC，

AFEDFC，

△AFE△DFC，故①正确；

ADE≌ABC，

ABAD，

ABDADB，

ADEABC，

ADBADE，

第16页共95页.

DA平分BDE，故②正确；

ADE≌ABC，

BACDAE，

BADCAE，

△AFE△DFC，

CAECDF，

CDFBAD，

故③正确

故选D

【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握

以上知识是解题的关键．

例2（2021·山东日照·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB8cm，AD12cm，点P从点B出发，

以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向

点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为_____时，

ABP与△PCQ全等．

8

【答案】2或

3

【分析】可分两种情况：①ABPPCQ得到BPCQ，ABPC，②ABPQCP得到BACQ，PBPC，

然后分别计算出t的值，进而得到v的值．

【详解】解：①当BPCQ，ABPC时，ABPPCQ，

AB8cm，

PC8cm，

BP1284(cm)，

\2t=4，解得：t2，

CQBP4cm，

v24，

第17页共95页.

解得：v2；

②当BACQ，PBPC时，ABPQCP，

PBPC，

BPPC6cm，

2t6，解得：t3，

CQAB8cm，

v38，

8

解得：v，

3

8

综上所述，当v2或时，ABP与PQC全等，

3

8

故答案为：2或．

3

【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．

例3（2022·江苏常州·统考中考真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若VOAB≌VOCD，则点

O叫做该四边形的“等形点”．

(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；

(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD42，OA5，BC12，

连接AC，求AC的长；

OF

(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．

OG

【答案】(1)不存在，理由见详解

(2)45

(3)1

【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；

（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，

第18页共95页.

则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股

定理即可求出AC；

（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，

∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．

【详解】（1）不存在，

理由如下：

假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，

∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，

∴∠ABO=90°，

∵△OAB≌△OCD，

∴∠ABO=∠CDO=90°，

∴CD⊥DO，

∵CD⊥BC，

∴DO∥BC，

∵O点在BC上，

∴DO与BC交于点O，

∴假设不成立，

故正方形不存在“等形点”；

（2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，

∵O点是四边形ABCD的“等形点”，

∴△OAB≌△OCD，

∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，

∵CD42，OA=5，BC=12，

∴AB=CD=42，OA=OC=5，

∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，

第19页共95页.

∵AM⊥BC，

∴∠AMO=90°=∠AMB，

∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，

∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM2AB2BM2AO2MO2，

∴AB2BM2AO2MO2，即(42)2(7a)252a2，

解得：a3，即MO3，

∴MC=MO+OC=358，AMAO2MO252324

∴在Rt△AMC中，ACAM2MC2428245，

即AC的长为45；

（3）如图，

∵O点是四边形EFGH的“等形点”，

∴△OEF≌△OGH，

∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，

∵EH∥FG，

∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，

∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，

∴OE=OH，

∵OF=OH，OE=OG，

∴OF=OG，

OF

∴1．

OG

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三

角形的性质是解答本题的关键．

第20页共95页.

知识点、全等三角形的性质

①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质

是今后研究其它全等图形的重要工具.

全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、

旋转前后的图形全等。

【变式1】（2022·重庆·校联考一模）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交

S1S2

于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（）

S

1132

A．B．C．D．

105105

【答案】C

△△

【分析】由折叠可知BDECDE，进而得到S1SDEFSBDE，过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交

13

BA的延长线于M，由BD＝4AD得到SSS，进而得到SSS，再利用三角形面积公

2DEF4BDE124BDE

5

式推出SS，即可求解．

2BDE

【详解】解：由折叠可知△BDE△CDE，

∴S△CDES△BDE，

∴SCEFSDEFSBDE，

∴S1SDEFSBDE①，

过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，

第21页共95页.

11

∴SADEH，SBDEH，

ADE2BDE2

∵BD＝4AD，

11111

∴SBDEHBDEHS，

ADE24424BDE

1

∴SSS②，

2DEF4BDE

3

①－②得：SSS，

124BDE

∵CM⊥AB，

1111

∴SSABCMADBDCMAD4ADCM5ADCM，

ABC2222

11

SBDCM4ADCM，

BDC22

1

∴2S4ADCM，

BDE2

1

5ADCM

S

∴2，

2S1

BDE4ADCM

2

5

∴SS，

2BDE

3

S

SSBDE3

∴124,

5

SS10

2BDE

故选：C．

【点睛】本题考查折叠的性质、全等三角形的性质及三角形面积，解题关键是正确作出辅助线．

【变式2】（2021·辽宁沈阳·统考一模）如图，在ABC中，ACB90，将ABC绕点C顺时针旋转得到

DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一

定正确的是（）

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A．ACDEB．BCEFC．AEFDD．ABDF

【答案】D

【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证

法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．

【详解】由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；

∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，

EFAE

故△AEF△ABC，则=，

BCAB

假设BC=EF，则有AE=AB，

由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；

假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，

故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，

因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°．

又∵∠A=∠D，

∴∠B+∠D=90°．

故AB⊥DF，D选项正确．

故选：D．

【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，

另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．

【变式3】（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=5，AC=4，以

点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE

为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH=2，则△ABG的面积为________．

第23页共95页.

【答案】5

【分析】根据ADF≌AEF，得出AG为BAC的角平分线，得到GM=GH即可求出△ABG的面积．

【详解】

连接DF、EF，过点F作GM⊥AB，交AB于点M

∵在以A为圆心的圆中，AD=AE，以D、E为圆心的半径DF=EF

ADAE

∴DFEF

AFAF

∴ADF≌AEF

∴DAFFAE

∴AG为BAC的角平分线

∵GM⊥AB，GH⊥AC

∴GM=GH=2

11

∴S△ABGM525

ABG22

故答案为：5．

【点睛】本题考查全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的相关知识．

【变式4】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在

同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点△P、Q、K，其中SPQC＝1，则图中三个阴影部分的

面积和为___________．△

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【答案】13

【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥HF，再根据全等三角形对应边相等BC＝CE＝

EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出HF＝3PC，KE＝2PC，所以PC＝DK，设△DQK的边DK为x，

DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的

面积．

【详解】解：∵△ABC≌△DCE≌△HEF，

∴∠ACB＝∠DEC＝∠HFE，BC＝CE＝EF，

∴AC∥DE∥HF，

PCBC1PCBC1

∴，，

KEBE2HFBF3

∴KE＝2PC，HF＝3PC，

又∵DK＝DE﹣KE＝3PC﹣2PC＝PC，

∴△DQK≌△CQP（相似比为1）

设DQK的边DK为x，DK边上的高为h，

1

则△xh＝1，整理得xh＝2，

2

1

∴SBPC＝x•2h＝xh＝2，

2

△1

SCEKQ＝×3x•2h﹣2＝3xh﹣2＝3×2﹣1＝6﹣1＝5，

四边形2

1

SEFH＝×3x•2h＝3xh＝6，

2

∴△三个阴影部分面积的和为：2+5+6＝13．

故答案为：13．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，解题关键是根据平行线分线段成

比例定理找到线段间的关系．

【变式5】（2022·广东梅州·统考一模）如图，在四边形ABDE中，AB//DE，ACDE，ABCDCE90，

点A，C，D依次在同一直线上．

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(1)求证：ABC≌DCE；

(2)当BC8，AC15时，求AE的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)17

【分析】（1）根据AB//DE，可知BACCDE，再结合ABCDCE、ACDE，即可证明ABC≌DCE；

（2）由ABC≌DCE，可知BCCE8，再在RtACE中由勾股定理计算AE的长即可．

【详解】（1）证明：∵AB//DE，

∴BACCDE，

在ABC和DCE中，

ABCDCE

BACCDE，

ACDE

∴ABC≌DCE（AAS）；

（2）由（1）可得BCCE8，

在RtACE中，AEAC2CE21528217．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的知识，解题关键是熟练进行三角形全等

的证明．

核心考点三全等三角形中的倍长中线模型

例1（2021·浙江湖州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，ABBD，AB5，BD4，CD3，

点E是AC的中点，则BE的长为（）．

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5

A．2B．C．5D．3

2

【答案】C

【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求

出BM的长．

【详解】解：延长BE交CD延长线于P，

∵AB∥CD，

∴∠EAB＝∠ECP，

在△AEB和△CEP中，

EABECP

AECE

AEBCEP

∴△AEB≌△CEP（ASA）

∴BE＝PE，CP＝AB＝5

又∵CD＝3，

∴PD=2，

∵BD4

∴BPDP2BD225

1

∴BE＝BP＝．

25

故选：C．

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股

第27页共95页.

定理求出BP．

例2（2021·河南周口·统考二模）如图，在ABC中，AB4，BAC135，D为边BC的中点，若AD1.5，

则AC的长度为______．

【答案】221

【分析】延长AD到E，使得AD=DE，证明△ADB≌△EDC，得CEAB4，过点E作EHAC于H，分

别求出CH和AH的长即可得到结论．

【详解】解：延长AD到E，使得AD=DE，如图，

∵D为边BC的中点，

∴BD=CD

在△ADB和△EDC中，

ADDE

ADBEDC

BDCD

∴△ADB≌△EDC

∴BDCE,CEAB4

∴AB//CE

∴BACACE180

∴ACE18013545

过点E作EHAC于H

在RtEHC中，CE4,HCE45

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∴CHEH22

在RtAHE中，AE2AD3，HE22

∴AHAE2EH21

∴ACAHHC221

故答案为：221．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等

知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．

例3（2021·山东东营·统考中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过

点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．

（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系

是________．

（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否

依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若COD60，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

【答案】（1）OCOD；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②ACBD3OC

【分析】（1）根据三角形全等可得；

（2）方法一：过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明VCOE≌VDOF即可，

方法二：延长CO交BD于点E，证明AOC≌BOE即可；

（3）①方法一：过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明COE≌DOF，

方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明AOC≌BOE；

②延长CO交DB的延长线于点E，证明AOC≌BOE，根据已知条件得出DE3CD．

第29页共95页.

【详解】（1）O是线段AB的中点

OAOB

ACl，BDl

ACOBDO

在△ACO和△BDO中

OAOB

ACOBDO

AOCBOD

△ACO≌△BDO(AAS)

OCOD

（2）数量关系依然成立．

证明（方法一）：过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长AC交EF于点E．

∵EF//CD

∴DCEECDF90

∴四边形CEFD为矩形．

∴OFD90，CEDF

由（1）知，OEOF

∴COE≌DOFSAS，

∴OCOD．

证明（方法二）：延长CO交BD于点E，

第30页共95页.

∵ACCD，BDCD，

∴AC//BD，

∴AB，

∵点O为AB的中点，

∴AOBO，

又∵AOCBOE，

∴AOC≌BOEASA，

∴OCOE，

∵CDE90，

∴ODOC．

（3）①数量关系依然成立．

证明（方法一）：

过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长CA交EF于点E．

∵EF//CD

∴DCEECDF90

∴四边形CEFD为矩形．

∴OFD90，CEDF

由（1）知，OEOF

∴COE≌DOFSAS，

∴OCOD．10分

证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，

第31页共95页.

∵ACCD，BDCD，

∴AC//BD，

∴ACOE，

∴点O为AB的中点，

∴AOBO，

又∵AOCBOE，

∴AOC≌BOEAAS，

∴OCOE，

∵CDE90，

∴ODOC．

②如图，延长CO交DB的延长线于点E，

∵ACCD，BDCD，

∴AC//BD，

∴ACOE，

∴点O为AB的中点，

∴AOBO，

又∵AOCBOE，

∴AOC≌BOEAAS，

∴ACBE，

ACBDBEBDDE

∵CDE90,COD60

第32页共95页.

ODOC

COD60

DCE60

DE

tanDCEtan603

CD

DE3CD

ACBD3OC．

【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，锐角三角函数，根据题意找到全

等的三角形，证明线