专题09 二次函数的图象与性质（6大考点）（原卷版）

第三部分函数

专题09二次函数的图象与性质（6大考点）

核心考点一二次函数的图象与性质

核心考点二与二次函数图象有关的判断

核心考点三与系数a、b、c有关的判断

核心考点

核心考点四二次函数与一元二次方程的关系

核心考点五二次函数图象与性质综合应用

核心考点六二次函数图象的变换

新题速递

核心考点一二次函数的图象与性质

2

例1（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）+n的图象上．若

y1＜y2，则m的取值范围为（）

33

A．m>2B．mC．m1D．m2

22

例2（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y(a1)x2，当x0时，y随x增大而增大，则实数

a的取值范围是（）

A．a0B．a1C．a1D．a1

例3（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数y=x22x3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等

于m，则m的值为________．

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知识点：二次函数的概念及表达式

1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

2.二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．

（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．

（3）交点式：，其中x，x是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．

yaxx1xx212

知识点：二次函数的图象及性质

1．二次函数的图象与性质

解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）

b

对称轴x=–

2a

b4acb2

顶点（–，）

2a4a

a的符号a>0a<0

图象

开口方向开口向上开口向下

bb

当x=–时，当x=–时，

2a2a

最值

4acb24acb2

y最小值=y最大值=

4a4a

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

bb

当x<–时，y随x的增大而减小；当当x<–时，y随x的增大而增大；当x>

2a2a

增减性

bb

x>–时，y随x的增大而增大–时，y随x的增大而减小

2a2a

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【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线yax2bxc过点1,0，0,1，顶点在第四象限，

记P2ab，则P的取值范围是（）

A．0P1B．1P2C．0P2D．不能确定

【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线yax2bxc过点1,0，0,1，顶点在第四象限，

记P2ab，则P的取值范围是（）

A．0P1B．1P2C．0P2D．不能确定

【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA

绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A4,0，点P

是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是______．

【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称

2

为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数yxmm与

正方形OABC有公共点时m的最大值是__________．

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【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线yax2k(a0,k0)与x轴交于A，B两点(点B在点A

1

的右侧)，其顶点为C，点P为线段OC上一点，且PCOC．过点P作DE∥AB，分别交抛物线于D，E

4

两点(点E在点D的右侧)，连接OD，DC．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(用含a，k的式子表示)

(2)猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若ODC90，k4，求a的值．

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核心考点二与二次函数图象有关的判断

2

例1（2021·广西河池·统考中考真题）点x1,y1,x2,y2均在抛物线yx1上，下列说法正确的是（）

A．若y1y2，则x1x2B．若x1x2，则y1y2

C．若0x1x2，则y1y2D．若x1x20，则y1y2

例2（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数yx22的图象与反比例函数

2

y的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（）

x

111133

A．0xB．xC．xD．x1

0440220440

222

例3（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线y1xx1，y2x2x1，y3x3x1，

给出下列结论：①这三条抛物线都经过点C0,1；②抛物线y3的对称轴可由抛物线y1的对称轴向右平移1

个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线y1的交点中，相邻两点

之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．

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知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小

完全相同，只是顶点的位置不同.

知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法

2

b4acb2b4acb2

(1)公式法：yax2bxcax，∴顶点是（，），

2a4a2a4a

b

对称轴是直线x.

2a

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，

得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛

物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

知识点、直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数2的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程

yaxbxcxx1x2

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ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；

③没有交点0抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxn

的解的数目来确定：

2

yaxbxc

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

2

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于

bc

x、x是方程ax2bxc0的两个根，故xx,xx

1212a12a

22

22b4cb4ac

ABxxxxxx4xx

12121212aaaa

【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数yax2bxc（a0）的自变量x与函数y的部分对

应值如下表：

x…101234…

yax2bxc…830103…

则这个函数图像的顶点坐标是（）

A．(2,-1)B．1，2C．1,8D．4,3

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2

【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设A2,y1，B1,y2，C2,y3是抛物线yx12上的三点，

则y1，y2，y3的大小关系为（）

A．y1y2y3B．y1y3y2

C．y3y2y1D．y3y1y2

22=2

【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数y1a1x，y2a2x，y3a3x的图

.

象如图，则a1，a2，a3的大小关系为______（用“”连接）

【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线yax2bxc与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，

0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是______．

【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax24ax2．

(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y轴的交点坐标为_______；

(2)若当x满足1x5时，y的最小值为6，求此时y的最大值．

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核心考点三与系数a、b、c有关的判断

例1（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，对称轴为直线

x=1，有以下结论：①abc<0；②若t为任意实数，则有abtat2b；③当图象经过点(1,3)时，方程

2

axbxc30的两根为x1，x2（x1x2），则x13x20，其中，正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

3

例2（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+（ca≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x，

2

1

且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点,y1，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；

2

④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例3（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）

两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．

①4a+b＝0；

②5a+3b+2c＞0；

3

③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；

4

④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有

3个．

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知识点、二次函数图象的特征与a，b，c的关系

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=0对称轴为y轴

bab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧

ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

b2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）

b2–4acb2–4ac>0与x轴有两个交点

b2–4ac<0与x轴没有交点

常用公式及方法：

（1）二次函数三种表达式：

表达式顶点坐标对称轴

2

2b4acbb

一般式yaxbxc,x

2a4a2a

顶点式yaxh2kh,kxh

xxaxx2xx

交点式121212

yaxx1xx2,x

242

（2）韦达定理：若二次函数2图象与x轴有两个交点且交点坐标为（，0）和（，0），

yaxbxcx1x2

bc

则xx，xx。

12a12a

（3）赋值法：在二次函数yax2bxc中，令x1，则yabc；令x1，则yabc；

令x2，则y4a2bc；令x2，则y4a2bc；利用图象上对应点的位置来判断含有a、b、

c的关系式的正确性。

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【变式1】（2022·辽宁丹东·校考二模）二次函数yax2bxc(a、b、c为常数，且a0)的x与y的部分

对应值如下表：（其中n1）

x31n

y33n

有下列结论：①a0；②4a2b10；③x3是关于x的一元二次方程ax2b1xc0的一个根；

2

④当3xn时，axb1xc0．其中正确结论的个数为（）A．4B．3C．2D．1

【变式2】（2022·四川广安·统考二模）对称轴为直线x1的抛物线yax2bxc(a，b，c为常数，且a0)

如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc<0，②b24ac，③4a2bc0，④3ac0，

⑤abmamb(m为任意实数)，⑥当x1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为()

A．3B．4C．5D．6

2

【变式3】（2022·黑龙江大庆·统考二模）二次函数yaxbxca0的图象如图所示．下列结论：

222

①abc0；②2ab0；③m为任意实数，则abambm；④abc0；⑤若ax1bx1ax2bx2

且x1x2，则x1x22．其中正确的有___________

【变式4】（2022·山东泰安·校考二模）如图所示，已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A，B两

点，与y轴交于点C，对称轴为直线x1．直线yxc与抛物线yax2bxc交于C，D两点，D点在

x轴下方且横坐标等于3，则下列结论：①abc<0；②3ac0；③xaxbab；④ax2b1x0

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的解集为0x3中正确的结论是______（只填写序号）．

【变式5】（2022·河南·校联考二模）已知抛物线ymx22mxn交x轴于A，B两点交y轴于C点．

(1)若A1,0，C0,1．

①求该抛物线的解析式及点B坐标；

②设直线BC的解析式为ykxb，直接写出不等式kxbmx22mxn的解集；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点．若nm4，抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内

（不包含边界）恰有7个整点，直接写出m的取值范围．

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核心考点四二次函数与一元二次方程的关系

例1（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C，若OACOCB．则ac的值为（）

11

A．1B．2C．D．

23

2

例2（2021·山东日照·统考中考真题）抛物线yaxbxca0的对称轴是直线x=1，其图象如图所

22x,yx,y

示．下列结论：①abc<0；②4ac2b；③若11和22是抛物线上的两点，则当x11x21

2

时，y1y2；④抛物线的顶点坐标为1,m，则关于x的方程axbxcm1无实数根．其中正确结论的

个数是（）

A．4B．3C．2D．1

例3（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线yx26x5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，

点Dm，m1是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为_________．

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知识点：二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．

2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．

3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．

【变式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x的一元二次方程ax2bxc0有

两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：

①方程x22x80是倍根方程；

1

②若x2mxn0是倍根方程，则mn或mn；

4

③若方程ax2bxc0是倍根方程，且相异两点M2t,s，N4t,s都在抛物线yax2bxc上，则

方程ax2bxc0的一个根为2．

其中，正确说法的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

2

【变式2】（2022·浙江舟山·校联考三模）二次函数yx2xmm0图象与x轴有两个交点x1,0，

2

x2,0x1x2，关于x的方程x2xm10有两个非零实数根x3，x4x3x4，则下列关系式一定成立

的是（）

xx

14

A．x1x3x2x4B．01C．01D．x1x3x4x2

x3x2

【变式3】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于x的方程x22bx3c0的两个根分别是

m6m

x,x，若点A是二次函数yx22bx3c的图象与y轴的交点，过A作ABy轴交抛物线于另

1222

一交点B，则AB的长为_____．

【变式4】（2022·贵州遵义·统考二模）已知二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，a0）的部分图像

如图所示，m，nmn是关于x的一元二次方程ax2bxc0的两根，则下列结论正确的有______．（填

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序号即可）．

①abc<0

②7m6

③存在实数x，使得ax24bx20

551

④若x0时，y，则a

2248

【变式5】（2022·浙江宁波·校考一模）已知二次函数yax2bxc的图象经过点(2，0),(4，0)，与y轴交于点

(0，4)．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点x，y在该二次函数上．

3

①当y时，求x的值；

2

1

②当mxm2时，y的最小值为，求m的取值范围．

2

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核心考点五二次函数图象与性质综合应用

例1（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边

BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的△距离为x，DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致

是（）△

A．B．C．D．

例2（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线yx22mxm22与y轴交于点C，过点C作直线l垂直

于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点Mm1,y1，

Nm1,y2为图形G上两点，若y1y2，则m的取值范围是（）

11

A．m1或m0B．mC．0m2D．1m1

22

x22x3(x2)

例3（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，函数y＝39的图象由抛物线的一部分和一条

x(x2)

42

射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2

x1y1x2y2

＜x3）．设t＝，则t的取值范围是_____．

x3y3

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知识点：二次函数的综合

1、函数存在性问题

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐

标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式

，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．

2、函数动点问题

（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数

综合题．

（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表

达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇

总成最终答案．

（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或

抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行

计算．

【变式1】（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点

A1，0、点B与y轴相交于点C0，3，下列结论：①b2；②B点坐标为3，0；③抛物线的顶点坐标

为1，3；④直线yh与抛物线交于点D、E，若DE2，则h的取值范围是3h4；⑤在抛物线的对称

轴上存在一点Q，使△QAC的周长最小，则Q点坐标为1，2．其中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

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【变式2】（2022·山东济南·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx22mxm21与y

轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，

，，

组成图形G．点Mx1y1，Nx2y2为图形G上任意两点．若对于x1m3，x2m3，都有y1y2，

则m的取值范围（）

A．0x3B．3x0C．x3D．3x3

【变式3】（2022·安徽合肥·合肥38中校考模拟预测）已知抛物线y＝x＋ax＋a（a为常数，a≠0）．

（1）若a＝2，则此抛物线的对称轴为________

（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2，当x1＋x2＞4时，都有y1＜y2，则a的

取值范围是________

【变式4】（2022·山东淄博·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24xca0经过点

A3,4和B0,2．将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x3翻折，

得到图象N．若过点C9,4的直线ykxb与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，则b的取值范围

______．

【变式5】（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴分别交于

点A(1,0)和点B，与y轴交于点C0,3，连接BC．

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；

(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，

求线段PQ长度的最大值．

(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的

速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形

是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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核心考点六二次函数图象的变换

例1（2022·四川巴中·统考中考真题）函数yax2bxca0,b24ac0的图象是由函数

yax2bxca0,b24ac0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则

下列结论正确的是（）

①2ab0；②c3；③abc0；④将图象向上平移1个单位后与直线y5有3个交点．

A．①②B．①③C．②③④D．①③④

例2（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线yx2kxk2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向

右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）

A．5或2B．5C．2D．2

例3（2020·湖北武汉·中考真题）抛物线yax2bxc（a，b，c为常数，a<0）经过A(2,0)，B(4,0)

两点，下列四个结论：

2

①一元二次方程axbxc0的根为x12，x24；

②若点C5,y1，D,y2在该抛物线上，则y1y2；

③对于任意实数t，总有at2btab；

④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2bxcp（p为常数，p0）的根为整数，则p的值只有

两个．

其中正确的结论是________（填写序号）．

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知识点：抛物线的平移

1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．:

2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

3．注意

二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式

中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移

求出变化后的解析式．

知识点、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2.关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

3.关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；

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22

yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

b2

yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc；

2a

22

yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

5.关于点m，n对称

22

yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求

抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原

抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，

然后再写出其对称抛物线的表达式．

【变式1】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）已知两条抛物线P和Q的解析式分别是关于y与

22

x的关系式：P：yx22mxm2与Q：yx2mxm1．对上述抛物线说法正确的序号是（）

①两条抛物线与y轴的交点一定不在x轴的上方；

②在抛物线P、Q中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线；

③在抛物线P、Q中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线；

④两条抛物线的顶点之间的距离为1．

A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④

【变式2】（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线yx22tx2t2(t0)与y轴交于点A，将该抛物线平移，

使平移后的抛物线经过点A，且与x轴交于B、C两点，其中，点B的坐标为(t,0)．若线段OABC1，

那么t的值为（）

111

A．B．或1C．D．1或1

222

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2

【变式3】（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，抛物线yaxbxca<0交x轴于点A、B，交y轴于点

C0，3，其中点B坐标为1，0，同时抛物线还经过点2，5．

（1）抛物线的解析式为_____________；

（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移nn0个

单位，当EO平分CEH时，则n的值为_____________．

【变式4】（2021·四川乐山·统考三模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值

y，都满足﹣M＜y＜M，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是

有界函数，其边界值是1．

1

（1）判断函数y＝（x＞0）是否为有界函数___（填“是”或“否”）；

x

3

（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，若≤t≤1则m

4

的取值范围是___．

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【变式5】（2023·上海静安·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx6（a0）

1

与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，ABC的余切值为，AB8，点P

3

在抛物线上，且POPB.

(1)求上述抛物线的表达式；

(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．

①求新抛物线的对称轴；

②点F在新抛物线对称轴上，且EOFPCO，求点F的坐标．

第23页共27页.

【新题速递】

1．（2022·江苏无锡·校考一模）将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛

物线的解析式是（）

2222

A．yx21B．yx21C．yx21D．yx21

2．（2022·辽宁盘锦·统考二模）如图，直线l的解析式为yx4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点，

点C为线段OA上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D，点C从原点O出发，沿OA以每秒1

个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别

在CD两侧）．若CDE和OAB的重