专题07 一次函数（5大考点）（解析版）

第三部分函数

专题07一次函数（5大考点）

核心考点一一次函数的概念

核心考点二一次函数的图象与性质

核心考点核心考点三一次函数图象的平移、旋转和对称

核心考点四一次函数与方程、不等式的关系

核心考点五一次函数的应用

新题速递

核心考点一一次函数的概念

例1（2022·山东济南·统考中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，

另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围

内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（）

A．正比例函数关系B．一次函数关系

C．反比例函数关系D．二次函数关系

【答案】B

【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．

【详解】解：根据题意得：

2xy40，

∴y2x40，

∴y与x满足的函数关系是一次函数；

故选：B．

【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．

例2（2021·江苏盐城·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y2x1的图像分别交x、

第1页共72页.

y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是

__________．

1

【答案】yx1

3

【分析】先根据一次函数y2x1求得A、B坐标，再过A作BC的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理

和正余弦公式求得OC的长度，得到C点坐标，从而得到直线BC的函数表达式.

15

【详解】因为一次函数y2x1的图像分别交x、y轴于点A、B，则A,0，B0,1，则AB．过

22

10

A作ADBC于点D，因为ABC=45，所以由勾股定理得AD，设BCx，则

4

21110

ACOCOAx1，根据等面积可得：ACOBBCAD，即x21x，解得x10．则

224

1

OC3，即C3,0，所以直线BC的函数表达式是yx1．

3

【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的

表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.

例3（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数ykxb(k0)的图象经过点(4,3)，

(2,0)，且与y轴交于点A．

(1)求该函数的解析式及点A的坐标；

(2)当x0时，对于x的每一个值，函数yxn的值大于函数ykxb(k0)的值，直接写出n的取值范

围．

1

【答案】(1)yx1，A0,1

2

(2)n1

【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当x0时，求出y即可求解．

1

（2）根据题意xnx1结合x0解出不等式即可求解．

2

【详解】（1）解：将(4,3)，(2,0)代入函数解析式得，

第2页共72页.

1

3=4kbk

，解得2，

02kb

b1

1

∴函数的解析式为：yx1，

2

当x0时，得y1，

∴点A的坐标为(0,1)．

（2）由题意得，

1

xnx1，即x22n，

2

又由x0，得22n0，

解得n1，

∴n的取值范围为n1．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性

质是解题的关键．

知识点、定义

一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.

特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正

比例函数．

一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.

注意：

（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.

（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.

（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任

意实数．

（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.

（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.

知识点、一次函数表达式的确定

先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫

第3页共72页.

做待定系数法。

待定系数法求一次函数解析式的一般步骤

设：设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．

列：把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一

次方程组．

解：解二元一次方程组，求出k，b．

还原：将求得的k，b的值代入解析式．

【变式1】（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，等边AOB的顶点O在原点上，

OA在x轴上，OA4，C为AB边的中点，将等边AOB向右平移，当点C落在直线MN：yx4上时，

点C的对应点C'的坐标为（）

A．2,3B．13,3C．3,3D．43,3

【答案】D

【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得出ABOBOA4，求出OE，根据勾股定理求

出BE，求出点C的纵坐标，根据平移的性质得出平移后点C的纵坐标不变，把点C的纵坐标代入yx4，

求出x即可．

【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，

△AOB是等边三角形，OA4，

ABOBOA4，

BEOA，

第4页共72页.

AEOE2，

由勾股定理得：BEOB2OE2422223，

C为AB的中点，

11

点C的纵坐标是BE233，

22

当将等边AOB向右平移，当点C落在直线MN上时，点C的纵坐标还是3，

把y3代入yx4得：3x4，

解得：x43，

即点C的坐标是（43，3），

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，等边三角形的性质和勾股定理

等知识点，能求出点C的纵坐标是解此题的关键．

【变式2】（2021·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）定义：对于给定的一次函数

axbx0

yaxb（a、b为常数，且a0，把形如y的函数称为一次函数yaxb的“相依函数”，

axbx0

已知一次函数yx1，若点P2,m在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m的值是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】找出一次函数yx1的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．

x1x0

【详解】解：一次函数yx1的“相依函数”为y，

x1x0

∵点P（−2，m）在一次函数的“相依函数”图象上，

∴m＝−1×（−2）−1＝1．

故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数yx1的“相依

函数”是解题的关键．

【变式3】（2022·贵州遵义·统考一模）在平面直角坐标系中，若一次函数yxb的图象过点A0,2022，

B2022,m，则m的值为______．

第5页共72页.

【答案】4044

【分析】把代入A0,2022代入一次函数yxb求得b2022，进而代入x=2022即可求得m的值．

【详解】解：一次函数yxb的图象过点A0,2022，

20220b，

解得b2022，

yx2022，

yx2022过B2022,m，

m202220224044，

故答案为-4044．

【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征,把点的坐标代入求解一元-次方程即可．

【变式4】（2021·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐

标为（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x＋b与菱形OABC有交点，则b的取值范围是___．

【答案】0b93##0b39

【分析】作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，求出B的坐标，然后代入一次函数解析式中，求出b的最

大值，再将原点代入一次函数解析式中求出b的最小值即可．

【详解】解：作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，

∵∠AOC=60°，∠CMO=90°，

1

∴OM＝OC，

2

第6页共72页.

∵在菱形OABC中，A（2，0），

∴OC=OA=2=CB，

∴OM=1，

∴CM＝OC2OM2＝2212＝3，

∴C(1，3)，

∴B的横坐标为3，

∵OA∥CB，

∴BN=CM=3，

∴B的纵坐标也为3，即B(3，3)，

当y=-3x+b过O（0，0）时，b最小，最小值为0，

当y=-3x+b过B(3，3)时，b最大，

把B(3，3)代入y=-3x+b，

解得：b＝3+9，

∴b的取值范围为：0b≤3+9，

故答案为：0b3+⩽9．

【点睛】本题⩽考⩽查了菱形的性质和待定系数法，关键是求出点B的坐标.

【变式5】（2022·广东佛山·校考三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不

动点．

(1)请直接写出函数y2x的不动点M的坐标；

3x8

(2)若函数y有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；

xa

(3)已知函数yax2(b1)x(b1)，若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a的取值

范围．

【答案】(1)M(1,1)

(2)a3

(3)0a1

【分析】（1）设函数y=2-x的不动点M为（m,m），根据定义得到2-m=m，求出m即可求M点坐标；

yx

（2）由题意可知AB所在直线解析式为y=x，联立方程组3x8，再由根与系数的关系得3-a=0，即可

y

xa

求a的值；

第7页共72页.

（3）由题意可得ax2(b1)x（b1）x，则b24a(b1)0恒成立，对于关于b的一元二次不等式恒成

立，只需16a216a0，即可．△

（1）△

解：设函数y2x的不动点M为(m,m)，

2mm，

解得m1，

M(1,1)；

（2）

A、B关于原点对称，且是函数的不动点，

AB所在直线解析式为yx，

yx

联立方程组3x8，

y

xa

整理得，x2(a3)x80，

3a0，

a3；

（3）

由题意可知，ax2(b1)x(b1)x，

整理得，ax2bx(b1)0，

函数恒有两个相异的不动点，

b24a(b1)0，

△b24ab4a0恒成立，

关于b的一元二次不等式恒成立，

16a216a0，

解△得0a1．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式Δ与

根的关系是解题的关键．

核心考点二一次函数的图象与性质

第8页共72页.

例1（2022·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y3x3与x轴交于点A，与y轴

交于点B，将AOB绕O点逆时针旋转到如图△AOB的位置，A的对应点A恰好落在直线AB上，连接BB，

则BB的长度为（）

333

A．B．3C．2D．

22

【答案】B

【分析】先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB=60°，利用旋转的性质和等边三角形

的判定与性质证明AOA和△BOB为等边三角形得到OBOB即可求解.

【详解】解：对于y3x3，

当x0时，y3，当y0时，由03x3得：x1，

则A（1，0），B（0，3），

∴OA1，OB3，

OB

∴tanOAB3，则∠OAB=60°，

OA

由旋转性质得：OAOA，OBOB，AOABOB，

∴AOA是等边三角形，

∴AOABOB60，又OBOB

∴△BOB是等边三角形，

∴BBOB3，

故选：B．

【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角

形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得△BOB是等边三角形是解答的关键．

例2（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的

中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．

第9页共72页.

【答案】2

【分析】根据一次函数解析式求出点B的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出点E的坐标，从而得

出点C的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．

【详解】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，

∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．

∵点D为OB的中点，

11

∴OD＝OB＝×4＝2．

22

∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，

∴DE∥x轴．

当y＝2时，2x+4＝2，

解得：x＝﹣1，

∴点E的坐标为（﹣1，2），

∴DE＝1，

∴OC＝1，

∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键．

1

例3（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，

2

经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．

第10页共72页.

(1)求点A′的坐标；

(2)确定直线A′B对应的函数表达式．

【答案】(1)A′（2，0）

(2)y＝﹣x+2

【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；

（2）利用待定系数法解答即可．

1

【详解】（1）解：令y＝0，则x+1＝0，

2

∴x＝﹣2，

∴A（﹣2，0）．

∵点A关于y轴的对称点为A′，

∴A′（2，0）．

（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，

2kb0

∴，

b2

k1

解得：，

b2

∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．

【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的

解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．

2、一次函数图象与性质

一次函数y=kx+b(k≠0)

k>0k<0

k，b的符号

b0b0b0b0b0b0

大致图像

经过的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四

第11页共72页.

性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小

与坐标轴的

与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为.

交点

k

【变式1】（2022·山东济南·统考三模）函数ykx5与yk0在同一坐标系内的图象可能是（）

x

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】分别讨论k＞0和k＜0时，一次函数和反比例函数的性质及图像特征，即可得到答案．

【详解】解：若k＞0，则k＜0，一次函数单调递减且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递减，过二、

三、四象限；反比例函数图像在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．

若k＜0，则k＞0，一次函数单调递增且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递增，过一、三、四象限；

反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．

故选：C．

【点睛】本题考查一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质；熟练掌握相关知识是解题的关键．

【变式2】（2022·山东临沂·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线y3x向上平移3个单位，与y

k

轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数y(x0)

x

的图象经过点C，则k的值为（）

第12页共72页.

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE

（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝SAOB＋SABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图

△△

象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比

例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．

【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，

∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，

∴∠ECF＝90°．

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，

∴∠ACF＝∠BCE．

在△ACF和△BCE中，

AFC＝BEC＝90

ACF＝BCE，

AC＝BC

第13页共72页.

∴△ACF≌△BCE（AAS），

∴SACF＝SBCE，

△△

∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝SAOB＋SABC．

△△

∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，

∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，

∴点A（0，3），点B（1，0），

∴AB＝OA2＋OB210，

∵△ABC为等腰直角三角形，

2

∴ACBCAB5，

2

11

∴SOECF＝SAOB＋SABC＝×1×3＋55＝4．

矩形22

△△

k

∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，

x

∴k＝4，

故选C．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标

特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角

的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．

2abab

【变式3】（2022·江苏泰州·校考一模）定义一个新的运算：abb2则运算x2的最小值为

(ab)

a

_________．

【答案】-2

【分析】分x≤2和x＞2两种情况分别求得关于x的函数关系式，然后再求得最小值即可．

【详解】解：当x≤2时，x⊕2=-2x+2，

k=-2＜0，函数值随x的增大而减小，

此时当x=2时有最小值-2；

224

当x＞2时，x⊕2=＞2，

xx

综上，最小值为-2．

故答案为-2．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题

第14页共72页.

的关键．

【变式4】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴，y轴分别交于点D，

点E，点F为直线y=x+6上一点，横坐标为-4．把直线DE绕F点顺时针旋转，与x轴负半轴，y轴正半轴

分别交于点A，点C，若SADF=SFEC，则直线AC的解析式为______．

△△

1

【答案】y=x+3

4

【分析】由SADF=SFEC，推出SADF+S四边形CODF=SFEC+S四边形CODF，即SAOC=SEOD，

设直线AC的△解析式为△y=kx+b，根据题△意得出b2-9b+18=0，继△续计算即可求解．△△

【详解】解：令x=0，则y=6，令y=0，则x=-6，

∴点D(-6，0)，点E(0，6)，

∴OD=OE=6，

∵点F为直线y=x+6上一点，横坐标为-4，

∴y=-4+6=2，

∴点F(-4，2)，

∵SADF=SFEC，

△△

∴SADF+S四边形CODF=SFEC+S四边形CODF，

∴S△AOC=SEOD，△

设直△线AC的△解析式为y=kx+b，

b

则点A(-，0)，点E(0，b)，

k

b

∴OA=，OC=b，

k

1b1

根据题意得：b66，4kb2，

2k2

整理得：b2-9b+18=0，

解得：b=6(舍去)或b=3，

第15页共72页.

1

当b=3时，k=，

4

1

∴直线AC的解析式为y=x+3，

4

1

故答案为：y=x+3．

4

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积公式

结合SADF=SFEC，找出关于b的一元二次方程．

△△

【变式5】（2022·河北保定·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中

m＞0，直线y＝kx﹣1与y轴相交于C点．

(1)求点C坐标．

(2)若m＝2，

①求△ABC的面积；

②若点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，求k的取值范围；

(3)当k＝﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB的交点为P点（不与A点、B点重合），且AP＜2，求m的取值

范围．

【答案】(1)（0，-1）

3

(2)①6；②3k

5

(3)2<m<4

【分析】（1）求x=0时y的值，即可得到点C的坐标；

（2）①当m=2时，A（-5，2），B（-1，2），延长线段AB交y轴于点D，求出CD，AB，利用面积公式计

算即可；

②求出直线AC和直线BC的解析式，即可得到；

（3）当k=-1时，直线为y=-x-1，当x=-5时，y=4，只有A3B3情况时，直线y=-x-1与线段AB相交，且P不

第16页共72页.

与A、B点重合，此时m<4；得到点P的坐标，求出AP的长度，即可得到答案．

【详解】（1）解：直线y=kx-1与y轴交于点C，

当x=0时y=-1，故C（0，-1），

故答案为（0，-1）；

（2）①当m=2时，A（-5，2），B（-1，2），

∵点A、B纵坐标相同，

∴AB∥x轴，AB⊥y轴，

延长线段AB交y轴于点D，

∴线段CD为△ABC以AB边为底的高，

∵CD=2-(-1)=3，AB=-1-（-5）=4，

1

∴SABCD6；

ABC2

②设直线AC的解析式为y=kx+b，

3

5kb2k

∴，解得5，

b1

b1

3

∴直线AC的解析式为yx1，

5

设直线BC的解析式为y=mx+n，

kb2k3

∴，解得，

b1b1

∴直线BC的解析式为y3x1，

∵点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，

∴kBCkkAC,

3

∴3k；

5

（3）当k=-1时，直线为y=-x-1，

当x=-5时，y=4，

第17页共72页.

如图，只有A3B3情况时，直线y=-x-1与线段AB相交，且P不与A、B点重合，此时m<4；

当x=m-3时y=2-m，

由图知2-m<m，

∴m>1，

∴1<m<4，

当y=m时，x=-1-m，

∴点P坐标为（-1-m，m），

∴AP51mm4，

∵AP<2，

∴m4<2，

∵1<m<4，

∴m-4<0，

∴m4=4-m，

∴4-m<2，

∴m>2，

综上，2<m<4．

【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键．

核心考点三一次函数图象的平移、旋转和对称

第18页共72页.

例1（2021·山东菏泽·统考中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC//x

轴，直线y2x1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上

平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（）

A．5B．25C．8D．10

【答案】C

【分析】根据平移的距离b可以判断出矩形BC边的长，根据a的最大值和平移的距离b可以求得矩形AB

边的长，从而求得面积

【详解】如图：根据平移的距离b在4至7的时候线段长度不变，

可知图中BF743,

根据图像的对称性，AECF1，

BCBFFC314

由图（2）知线段最大值为5，即BE5

根据勾股定理ABBE2AE2(5)2122

矩形ABCD的面积为ABBC248

第19页共72页.

故答案为：C

【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点

的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．

例2（2022·宁夏·中考真题）如图，点B的坐标是（0，3），将OAB沿x轴向右平移至CDE，点B的对

应点E恰好落在直线y2x3上，则点A移动的距离是______．

【答案】3

【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出OAB

沿x轴向右平移3个单位得到CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．△

【详解】解：当y2x33时△，x3，

点E的坐标为3,3，

OAB沿x轴向右平移3个单位得到CDE，

点A与其对应点间的距离为3，

即点A移动的距离是3．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解

析式中求出点E的横坐标是解题的关键．

例3（2022·辽宁阜新·统考中考真题）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生

着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整．

第20页共72页.

(1)如图1，将一次函数yx2的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度；

(2)将一次函数y2x4的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______

个单位长度；

(3)综上，对于一次函数ykxbk0的图像而言，将它向下平移m(m0)个单位长度，相当于将它向______

（填“左”或“右”）（k0时）或将它向______（填“左”或“右”）（k0时）平移了n(n0)个单位长度，且m，

n，k满足等式_______．

【答案】(1)1

1

(2)左，

2

(3)右，左，mnk

【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；

（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；

（3）根据（1）（2）题得出结论即可．

（1）

解：∵将一次函数yx2的图像向下平移1个单位长度得到yx21x12，

相当于将它向右平移了1个单位长度，

故答案为：1；

（2）

1

解：将一次函数y2x4的图像向下平移1个单位长度得到y2x412x4，

2

相当于将它向左平移了1个单位长度；

2

故答案为：左；1；

2

第21页共72页.

（3）

解：综上，对于一次函数ykxbk0的图像而言，将它向下平移m(m0)个单位长度，相当于将它向右

(k0时)或将它向左(k0时)平移了n(n0)个单位长度，且m，n，k满足等式mnk．

故答案为：右，左，mnk．

【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”，关键

是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．

3、一次函数图象的平移

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平

移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度

4、两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：

①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；

②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；

③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；

④当k1·k2=–1时，两直线垂直．

【变式1】（2022·河南许昌·统考二模）如图，ABC的顶点A4,0，B1,4，点C在y轴的正半轴上，

ABAC，将ABC向右平移得到ABC，若AB经过点C，则点C的坐标为（）

第22页共72页.

77

A．,3B．3,C．2,3D．3,2

44

【答案】A

【分析】设点C的坐标为（0，m），利用勾股定理分别求出AB，AC的长，结合AB=AC，即可求出点C的

7

坐标，求出直线AB的解析式，即可求出直线AB的解析式，从而推出直线AB相当于直线AB向右平移个

4

单位得到的，由此即可得到答案．

【详解】解：设点C的坐标为（0，m），

则由勾股定理得：22，22，

AB14405AC4m

∴AB=AC，

2

∴4m25，

∴m3或m3（舍去），

∴点C的坐标为（0，3），

设直线AB的解析式为ykxb，

4kb0

∴，

kb4

4

k

3

∴，

16

b

3

416

∴直线AB的解析式为yx，

33

∵AB是经过AB平移得到的，

4

∴可设直线AB的解析式为yxn，

3

∵AB经过点C，

第23页共72页.

∴n3，

44716

∴直线AB的解析式为yx3x，

3343

7

∴直线AB相当于直线AB向右平移个单位得到的，

4

7

∴点C的坐标为,3，

4

故选A．

【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等等，熟知一次函数

的相关知识是解题的关键．

【变式2】（2022·湖北孝感·统考三模）如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余

各边均与坐标轴平行，直线l：y=x-1沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直

线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m（米），平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，

则图②中b的值为（）

A．32B．52C．62D．102

【答案】B

【分析】连接AC，根据直线与坐标轴的交点得出直线与AC平行，因此当直线向上平移到A点时被正方形

ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，由图②可知此时a=5，由速度求出AB的长再根据勾股定理即可解

答；

【详解】解：如图连接AC，

第24页共72页.

由y=x-1可得，当x=0时，y=-1，当y=0时，x=1，

∴直线与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，

∴直线与x轴的夹角是45°，

∵正方形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∠ACB=45°，

∴直线l与AC平行，

∴当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，

由图②可知，当a=5时，直线平移到A点，

∴AB=1×5=5米

∴b=AC=525252米，

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数的平移，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，根据题意弄

懂图象所表达的含义是解题关键．

1

【变式3】（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，直线yx2与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方

2

1

作等腰直角三角形OAB，将OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线yx2上时，则OAB平移的距离是

2

__．

【答案】6

【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点BC、OC的长度，即点B的纵坐标，表示出B′的坐标，代入函

数解析式，即可求出平移的距离．

1

【详解】解：yx2，

2

1

当y0时，x20，

2

解得：x4，

即OA4，

过B作BCOA于C，

第25页共72页.

OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形，

BCOCAC2，

即B点的坐标是(2,2)，

设平移的距离为a，

则B点的对称点B的坐标为(a2,2)，

11

代入yx2得：2(a2)2，

22

解得：a6，

即OAB平移的距离是6，

故答案为：6．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出B′的

坐标是解此题的关键．

1x1x1

【变式4】（2022·浙江杭州·校联考一模）已知直线y＝x+2与函数y＝的图象交于A，B两

3x1x1

点（点A在点B的左边）．

（1）点A的坐标是_____；

（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，

B′，连结OA′，OB′．当m＝_____时，|OA'﹣OB'|取最大值．

95

【答案】（-，）；6．

44

11

yx2yx2

【分析】（1）分别求解如下两个方程组3，3，再根据已知条件即可得答案；

yx1yx1

1

（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．即直线yx2平移后过原点即可，平移的距离为

3

1

m，平移后的直线为yxm2把原点坐标代入计算即可．

3

第26页共72页.

9

1x=-

yx2495

【详解】（1）联立3，解得，则交点坐标为（-，），

544

yx1y

4

3

1x=

yx2235

联立3，解得，则交点坐标为（，），

522

yx1y

2

95

又点A在点B的左边，所以A（-，），

44

95

故答案为：（-，）；

44

（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．

1

即直线yx2平移后过原点即可，平移的距离为m，

3

1

平移后的直线为yxm2，

3

1

则00m2，

3

解得m6，

当m＝6时，|OA'﹣OB'|取最大值．

故答案为：6．

【点睛】本题考查一次函数与分段函数综合问题，会识别分段函数与一次函数的交点在哪一分支上，会利

用平移解决最大距离问题是解题关．

【变式5】（2021·山东滨州·二模）阅读下面材料：

我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C

|Ax0By0C|

＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点