2025人教版物理重难点-选择性必修1.3.2带电粒子在复合场中的运动（（含答案））

2025人教版物理重难点-选择性必修1.3.2带电粒子在复合场中的运动（（含答案））1.32带电粒子在复合场中的运动原卷版目录TOC\o"1-1"\h\u一、【带电粒子在磁场和电场的组合场中运动知识点梳理】 1二、【带电粒子在磁场和电场重力场叠加场中的运动知识点梳理】 6三、【带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动知识点梳理】 9四、【带电粒子在电场和重力场中的运动知识点梳理】 11【带电粒子在磁场和电场的组合场中运动知识点梳理】组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现1．带电粒子在匀强电场、匀强磁场中可能的运动性质在电场强度为E的匀强电场中在磁感应强度为B的匀强磁场中初速度为零做初速度为零的匀加速直线运动保持静止初速度垂直场线做匀变速曲线运动(类平抛运动)做匀速圆周运动初速度平行场线做匀变速直线运动做匀速直线运动特点受恒力作用，做匀变速运动洛伦兹力不做功，动能不变2.“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入匀强磁场(磁偏转)垂直进入匀强电场(电偏转)情景图受力FB＝qv0B，大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动r＝eq\f(mv0,Bq)，T＝eq\f(2πm,Bq)类平抛运动vx＝v0，vy＝eq\f(Eq,m)tx＝v0t，y＝eq\f(Eq,2m)t2运动时间t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(θm,Bq)t＝eq\f(L,v0)，具有等时性动能不变变化电场中：加速直线运动⇓磁场中：匀速圆周运动电场中：类平抛运动⇓磁场中：匀速圆周运动磁场中：匀速圆周运动⇓eq\x(v与E同向或反向)电场中：匀变速直线运动磁场中：匀速圆周运动⇓eq\x(v与E垂直)电场中：类平抛运动规律运用及思路①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识分析；②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理；③注意带电粒子从一种场进入另一种场时的衔接速度．【带电粒子在磁场和电场的组合场中运动举一反三练习】1．如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为和；Ⅱ区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为。一质量为、带电量为的带负电粒子（不计重力）从左边界O点正上方的M点以速度水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求：（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；（2）匀强磁场区域OP的宽度；（3）粒子从M点出发到第一次速度变为0所经历的时间。

2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第三象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。M、N两平行金属板之间的电压为U，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从靠近N板的S点由静止开始加速，从y轴上的A点垂直于y轴射入电场，经x轴上的C点与x轴负方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴上的D点垂直于y轴射出磁场，粒子重力不计。求：（1）粒子在A点射入电场速度v0的大小；（2）A、C两点间的电势差UAC和粒子在磁场中运动的轨道半径r；（3）粒子从A到C的时间t1和从C到D的时间t2之比。3．如图所示，的区域存在沿x轴负方向的匀强电场，的区域存在垂直xOy纸面向外的匀强磁场，P（，0）点处有一个粒子源，可以向的区域发射质量为m，电荷量为q，速度大小为的带正电粒子，在所有到达y轴的粒子中，位置M（0，）点的粒子与P点距离最远，不计重力及粒子间的相互作用。（1）求磁感应强度大小，及粒子进入电场前，在磁场中运动的最短时间；（2）若第一次从M点射出磁场的粒子，第二次从OM的中点N射出磁场，求电场强度大小。

4．如图所示，在坐标系的的区域内分布着沿轴正方向的匀强电场，在的区域内分布着垂直于平面向里的匀强磁场，为电场和磁场的交界面，为磁场的上边界。现从原点处沿轴正方向发射出速率为、比荷（电荷量与质量之比）为的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与相切并返回磁场。已知电场强度，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求：（1）粒子第一次穿过时的速度大小和水平位移的大小；（2）磁场的磁感应强度的大小；（3）交界线上坐标为处有一粒子接收器，若某一粒子从原点处发射时开始计时，什么时刻粒子接收器能将该粒子捕获？（粒子接收器开启即可捕获粒子，不计捕获所需时间）

5．如图所示，在竖直面内的直角坐标系中，轴竖直，两点的坐标分别为和，第一象限内有方向与轴正方向夹角的匀强电场；第二象限内有匀强电场（图中未画出）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；第三象限内有匀强电场（图中未画出）和方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小与第二象限内磁场的磁感应强度大小相等。现有一质量为、电荷量为的带正电小球，从点由静止开始沿直线运动，通过点后在第二象限内做匀速圆周运动，垂直通过轴上的点后做匀速直线运动，通过点（图中未画出）时立即撤去第三象限内的磁场，经过一段时间后小球通过轴上的点。重力加速度大小为，不计空气阻力。求：（1）第一象限内电场的电场强度大小和第二象限内电场的电场强度大小；（2）第二象限内磁场的磁感应强度大小；（3）小球从点运动到点的时间。

6．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内某区域存在着垂直纸面向外圆形的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从x轴上坐标为的P点沿y轴正方向以速率进入电场，并从y轴上坐标为的Q点进入第一象限，最终从x轴的M点（图中未画出）沿y轴负方向进入第四象限，不计粒子的重力，求：（1）匀强电场的电场强度；（2）圆形磁场区域的最小面积；（3）粒子在第一象限内运动的最短时间。

7．不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成角的速度从y轴上的a点射入图中第一象限所在区域。为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，求：（1）这个圆形磁场区域的最小面积；（2）粒子在最小圆形磁场中运动的时间。

8．如图所示，平行板器件中存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度，方向垂直纸面向里，电场强度。坐标系紧靠平行板的右侧边缘，第一象限内有与y轴正方向成的边界AO，边界线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度，边界线下方有竖直向上的匀强电场，电场强度，一束带正电的离子，电荷量、质量，从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为的Q点垂直y轴射入磁场区，并多次穿越边界线OA。（不计离子重力，取）求：（1）离子运动的速度；（2）离子从进入磁场到第二次穿越边界线OA所需的时间；（3）离子第四次穿越边界线OA的位置坐标，并定性画出粒子运动的轨迹。

9．如图所示，水平直线是电场和磁场的分界线，分界线一侧为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一电荷量为、质量为m的粒子从水平直线上的P点以初速度沿垂直于磁场的方向射入磁场，与之间的夹角为30°，此后粒子第三次经过分界面时，恰好返回P点。假设场区足够大，不计粒子重力。（1）求电场强度的大小E；（2）求磁场的上边界与电场的下边界之间的最小距离d；（3）求粒子第n次经过分界线时所用的时间。

【带电粒子在磁场和电场重力场叠加场中的运动知识点梳理】情况一、若电场力和重力平衡，则带电粒子在叠加场中做圆周运动可以用带电粒子在磁场中的偏转的知识来解决。情况二、若电场力和重力不平衡，则需要用配速法将电场力和重力的合力平衡，再求解配速法原理：带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力（和重力）不平衡而做复杂的曲线运动时，为带电粒子配上一对等大反向的速度或对带电粒子的初速度进行拆分，那么带电粒子复杂的曲线运动就可等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合成。这实际上是借助等效原理和运动的合成分解原理，在全新的数理模型基础上简化了问题，我们将这种方法称之为“配速法”。在复合场中（如电磁场）由于洛伦兹力与运动速度始终垂直。一般带电粒子的运动轨迹为曲线，这时有关运动的独立性知识可派上用场。【带电粒子在磁场和电场重力场叠加场中的运动举一反三练习】10．如图所示，真空中某区域存在一正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为，方向竖直向上，磁场方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从点射入电磁场区域恰好能做匀速圆周运动，已知带电粒子电荷量为，在入射点的速度方向与电场方向夹角为，大小为，一段时间后粒子经过点的水平线的某位置（图中末画出），点到点的距离为．重力加速度为，求：（1）带电粒子的质量；（2）磁场磁感应强度的大小和带电粒子第一次运动到点所用的时间。11．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第Ⅳ象限存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B=2T、方向垂直于xOy平面向外，电场平行于y轴；在第Ⅲ象限存在沿x轴正方向的匀强电场，已知场强、的大小相等。一可视为质点、比荷为的带正电的小球，从y轴上的点以初速度水平向右抛出，经过x轴上的点进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限恰能做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度，。求：（1）小球从A点抛出的初速度大小；（2）小球在第Ⅳ象限的运动的半径；（3）小球第一次经过y轴负半轴的坐标；（4）小球从A点出发到第二次经过y轴负半轴所用的总时间。

12．如图所示，在直角坐标系中，存在着场强为，方向竖直向上的匀强电场，在第二、三象限内存在着磁感应强度均为，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一长为的绝缘细线，一端固定在点，另一端拴着质量为、电荷量为的正电小球，现将细线拉直到水平位置，使小球由静止释放，当小球运动到最高点时，细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断裂。当细线断裂，小球进入第二象限后做曲线运动，并多次经过轴。已知在第二象限内小球第一次到轴的坐标绝对值为，重力加速度为，求：（1）细线能承受的最大拉力；（2）小球进入第二象限后运动过程中的最小速率；（3）小球从进入第二象限开始至第一次到达轴所用的时间。

13．如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的小球从A点以速度v0沿直线AO运动，AO与x轴负方向成53°角。在y轴与MN之间的区域I内加一电场强度最小的匀强电场后，可使小球继续做直线运动到MN上的C点，MN与PQ之间区域Ⅱ内存在宽度为d的竖直向上匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动并恰好不能从右边界飞出，已知小球在C点的速度大小为2v0，重力加速度为g，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）第二象限内电场强度E1的大小和磁感应强度B1的大小；（2）区域I内最小电场强度E2的大小和方向；（3）区域Ⅱ内磁感应强度B2的大小。【带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动知识点梳理】同理：采用配速法解决带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动（详情见二）【带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动举一反三练习】14．如图空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，、为Ⅰ区域的上下边界，Ⅰ区域高度，Ⅱ区域的范围足够大。匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里和向外。一个质量为、带电荷量为的带电小球，从距的高度为的点由静止开始下落，进入Ⅰ区域后，恰能做匀速圆周运动，取。求：（1）试判断小球的电性并求出电场强度的大小；（2）若带电小球能进入区域Ⅱ，则应满足什么条件？（3）若想带电小球运动一定时间后恰能回到点，应该等于多少？

15．如图所示，第一象限内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E（E未知），第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从x轴上的A点以初速度垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点进入第二象限。已知第二、三象限内磁感应强度的大小均为，A点的横坐标为，P点的纵坐标为L，不计粒子重力。求：（1）电场强度E的大小；（2）粒子进入第二象限的磁场区域后，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离；（3）粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离。16．如图所示，直角坐标系的第一象限内有竖直向上的匀强电场，第二象限内既有沿轴负方向的匀强磁场，又有沿轴负方向的匀强电场，电场强度与第一象限内的电场强度等大。现有一质量为、电荷量为的粒子从轴上的点，以初速度沿轴负方向进入第一象限，经轴上的点进入第二象限内，在以后的运动过程中恰好未从过轴的水平面飞出电磁场.已知、到坐标原点的距离分别为、，不计粒子重力，求：（1）电场强度的大小及粒子到达点时速度的大小；（2）匀强磁场的磁感应强度大小；（3）粒子在磁场中运动第二次与过轴的水平面相交时沿轴方向位移的大小.17．如图所示，在空间直角坐标系中，平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为的M点发射一质量为m，电荷量为的粒子，粒子的初速度大小为、方向沿平面，与x轴正方向的夹角为；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入平面右侧，轨迹上离平面最远的点恰好落在平面上，不计粒子的重力。求：（1）在平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；（2）在平面右侧匀强电场的电场强度E；（3）粒子第2次经过平面时的位置坐标。

【带电粒子在电场和重力场中的运动知识点梳理】等效重力场：力场、电场等叠加而成的复合场。重等效重力：重力、电场力的合力处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。过圆心做等效重力的平行线与圆相交。③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理【带电粒子在电场和重力场中的运动举一反三练习】18．如图所示，用一条长为L绝缘细线悬挂一带正电的小球，小球的质量为m，所带电量为q。现加水平方向匀强电场，平衡时绝缘细线与竖直方向夹角为，重力加速度为g，求：（1）匀强电场的电场强度；（2）把小球拉至最低点后静止释放，小球的最大速度；（3）求小球速度最大时细绳的拉力多大。

19．如图，整个空间存在水平向左的匀强电场，竖直面内有一直角坐标系xOy，以y轴为对称轴的光滑圆弧形绝缘轨道ABC放置在x轴下方，轨道与y轴交于B点，与x轴交于A（-0.4，0）、C（0.4，0）两点。现有一个可视为质点的带电绝缘小球沿PA所在直线向A点匀加速运动，从A点沿切线方向进入轨道，一段时间后从C点离开。若小球在轨道内运动过程中恰好不脱离轨道，已知小球质量m=0.3kg，电荷量q=0.4C，P点的坐标为（0，0.3），重力加速度为，g=10m/s2，不考虑空气阻力的影响。求：（1）匀强电场电场强度的大小；（2）小球对轨道压力的最大值；（3）当小球从C点飞出后，再落到x轴上的位置坐标。

20．如图所示，某竖直平面内有一水平向右的匀强电场，场强大小，有一半径的光滑竖直绝缘环形轨道，轨道的内侧有一质量为，带电量为的小球，它恰好能沿圆环做圆周运动，取圆环的最低点为重力势能和电势能的零势能点，g取，求：（1）小球速度的最小值；（2）小球机械能的最小值；（3）重力势能和电势能的和的最小值

21．半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电荷的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图所示。珠子所受静电力是重力的，将珠子从环上的最低点A由静止释放（重力加速度为g），则：（1）珠子所能获得的最大动能是多少？珠子对圆环的最大压力是多少？（2）在A点给珠子水平向右的初速度v0至少为多大，恰好可以使珠子在竖直圆环上做完整的圆周运动？

22．如图所示，水平地面上方有水平向右的、范围足够大的匀强电场，从地面上的A点竖直向上以初速度抛出一个质量为、电荷量为的带电小球，B点为其运动轨迹的最高点，小球落在水平地面上的C点时速度与水平方向的夹角，取重力加速度大小，，，忽略空气阻力的影响，求：（1）电场强度E的大小；（2）小球运动到C点时水平方向的分位移大小x；（3）以从A点开始运动作为计时起点，经过多长时间小球的速度最小，最小值为多少？

1.32带电粒子在复合场中的运动解析版目录TOC\o"1-1"\h\u一、【带电粒子在磁场和电场的组合场中运动知识点梳理】 1二、【带电粒子在磁场和电场重力场叠加场中的运动知识点梳理】 6三、【带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动知识点梳理】 9四、【带电粒子在电场和重力场中的运动知识点梳理】 11【带电粒子在磁场和电场的组合场中运动知识点梳理】组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现1．带电粒子在匀强电场、匀强磁场中可能的运动性质在电场强度为E的匀强电场中在磁感应强度为B的匀强磁场中初速度为零做初速度为零的匀加速直线运动保持静止初速度垂直场线做匀变速曲线运动(类平抛运动)做匀速圆周运动初速度平行场线做匀变速直线运动做匀速直线运动特点受恒力作用，做匀变速运动洛伦兹力不做功，动能不变2.“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入匀强磁场(磁偏转)垂直进入匀强电场(电偏转)情景图受力FB＝qv0B，大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动r＝eq\f(mv0,Bq)，T＝eq\f(2πm,Bq)类平抛运动vx＝v0，vy＝eq\f(Eq,m)tx＝v0t，y＝eq\f(Eq,2m)t2运动时间t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(θm,Bq)t＝eq\f(L,v0)，具有等时性动能不变变化电场中：加速直线运动⇓磁场中：匀速圆周运动电场中：类平抛运动⇓磁场中：匀速圆周运动磁场中：匀速圆周运动⇓eq\x(v与E同向或反向)电场中：匀变速直线运动磁场中：匀速圆周运动⇓eq\x(v与E垂直)电场中：类平抛运动规律运用及思路①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识分析；②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理；③注意带电粒子从一种场进入另一种场时的衔接速度．【带电粒子在磁场和电场的组合场中运动举一反三练习】1．如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为和；Ⅱ区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为。一质量为、带电量为的带负电粒子（不计重力）从左边界O点正上方的M点以速度水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求：（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；（2）匀强磁场区域OP的宽度；（3）粒子从M点出发到第一次速度变为0所经历的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）由题意，可画出粒子的运动轨迹如图所示

粒子在匀强电场区域Ⅰ中做类平抛运动，设粒子过A点时速度为，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得所以由类平抛规律知可得粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径（2）粒子在区域Ⅰ中做类平抛运动，则有联立求得由几何知识可得得可得匀强磁场区域OP的宽度（3）粒子在Ⅱ区域中运动的时间为求得粒子在Ⅲ区域的匀强电场中做匀减速直线运动，速度减为0时，在该区域运动时间为求得则粒子从M点出发到第一次速度变为0所经历的时间为2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第三象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。M、N两平行金属板之间的电压为U，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从靠近N板的S点由静止开始加速，从y轴上的A点垂直于y轴射入电场，经x轴上的C点与x轴负方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴上的D点垂直于y轴射出磁场，粒子重力不计。求：（1）粒子在A点射入电场速度v0的大小；（2）A、C两点间的电势差UAC和粒子在磁场中运动的轨道半径r；（3）粒子从A到C的时间t1和从C到D的时间t2之比。【答案】（1）；（2），；（3）【详解】（1）设粒子在A点射入磁场的速度大小为v0，由动能定理得解得（2）设粒子过C点时速度为v，有得粒子从A到C，有解得如答图所示粒子在磁场中以为圆心做匀速圆周运动，半径为r，有得（3）由几何关系得粒子在电场中运动的时间t1，有解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期粒子在磁场中运动的时间t2，有解得则粒子从A到C的时间和从C到D的时间之比为3．如图所示，的区域存在沿x轴负方向的匀强电场，的区域存在垂直xOy纸面向外的匀强磁场，P（，0）点处有一个粒子源，可以向的区域发射质量为m，电荷量为q，速度大小为的带正电粒子，在所有到达y轴的粒子中，位置M（0，）点的粒子与P点距离最远，不计重力及粒子间的相互作用。（1）求磁感应强度大小，及粒子进入电场前，在磁场中运动的最短时间；（2）若第一次从M点射出磁场的粒子，第二次从OM的中点N射出磁场，求电场强度大小。

【答案】（1），；（2）【详解】（1）M点为粒子到达的最远点，则PM为粒子运动轨迹的直径，可得粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得联立解得运动时间最短的粒子为从坐标原点O出射的粒子，该粒子对应的弧长最短，由于可知最短时间轨迹对应的圆心角为60°，则有（2）若第一次从M点射出磁场的粒子，第二次从OM的中点N射出磁场，如图所示

记粒子由y轴上的Q点回到磁场，由粒子在电场中运动的对称性可知，粒子在Q点的速度大小为，方向与y轴负方向的夹角为60°；由几何关系可知弦长可得电场中竖直方向上的位移为在电场中竖直方向有水平方向上有，联立解得4．如图所示，在坐标系的的区域内分布着沿轴正方向的匀强电场，在的区域内分布着垂直于平面向里的匀强磁场，为电场和磁场的交界面，为磁场的上边界。现从原点处沿轴正方向发射出速率为、比荷（电荷量与质量之比）为的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与相切并返回磁场。已知电场强度，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求：（1）粒子第一次穿过时的速度大小和水平位移的大小；（2）磁场的磁感应强度的大小；（3）交界线上坐标为处有一粒子接收器，若某一粒子从原点处发射时开始计时，什么时刻粒子接收器能将该粒子捕获？（粒子接收器开启即可捕获粒子，不计捕获所需时间）

【答案】（1），；（2）；（3）或者【详解】（1）根据动能定理可知解得粒子在电场中做类平抛运动，有两方程联立解得（2）粒子的运动轨迹如图所示

设粒子以与轴正方向成角进入磁场，则解得根据几何关系解得由牛顿第二定律可得解得（3）粒子将以上图的轨迹周期性运动，第一次在磁场中运动的时间为一个完整周期的时间为坐标为为粒子运动轨迹中第三个周期或第四周期上的点，即从原点处发射时开始计时，需要经过或粒子接收器能将该粒子捕获。5．如图所示，在竖直面内的直角坐标系中，轴竖直，两点的坐标分别为和，第一象限内有方向与轴正方向夹角的匀强电场；第二象限内有匀强电场（图中未画出）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；第三象限内有匀强电场（图中未画出）和方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小与第二象限内磁场的磁感应强度大小相等。现有一质量为、电荷量为的带正电小球，从点由静止开始沿直线运动，通过点后在第二象限内做匀速圆周运动，垂直通过轴上的点后做匀速直线运动，通过点（图中未画出）时立即撤去第三象限内的磁场，经过一段时间后小球通过轴上的点。重力加速度大小为，不计空气阻力。求：（1）第一象限内电场的电场强度大小和第二象限内电场的电场强度大小；（2）第二象限内磁场的磁感应强度大小；（3）小球从点运动到点的时间。

【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）根据题意可知，小球的运动轨迹如图所示

由于小球沿MN方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以重力与电场力的合力方向沿MN方向，有解得经分析可知解得小球在第二象限内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，有解得（2）根据题意，设小球通过轴时的速度大小为，有根据牛顿第二定律有设小球在第二象限内运动的轨迹半径为r，则由几何关系可得又有解得（3）小球沿方向做匀速直线运动，则电场力与重力的合力与洛伦兹力平衡，设撤去磁场后小球的加速度大小为，显然的方向沿x轴正方向，有撤去磁场后，小球做类平抛运动，有解得6．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内某区域存在着垂直纸面向外圆形的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从x轴上坐标为的P点沿y轴正方向以速率进入电场，并从y轴上坐标为的Q点进入第一象限，最终从x轴的M点（图中未画出）沿y轴负方向进入第四象限，不计粒子的重力，求：（1）匀强电场的电场强度；（2）圆形磁场区域的最小面积；（3）粒子在第一象限内运动的最短时间。

【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有粒子的加速度为解得（2）粒子水平方向的速度为速度与轴的夹角正切值解得粒子出电场的速度由题意可知，粒子在第一象限的运动轨迹图如图所示

粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有解得当粒子的运动轨迹对应的弦恰好为圆形磁场的直径时，圆形磁场的半径具有最小值，由几何关系可得故圆形磁场区域得最小面积（3）粒子在磁场中的运动周期为由几何关系可知则粒子在磁场中运动最小时间为当粒子从Q点直接进入圆形磁场时，M点的横坐标具有最小值，粒子在第一象限内运动时间有最小值，如图所示，由几何关系可得粒子出磁场后到x轴的距离为可知粒子在第一象限内运动的最小时间是

7．不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成角的速度从y轴上的a点射入图中第一象限所在区域。为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，求：（1）这个圆形磁场区域的最小面积；（2）粒子在最小圆形磁场中运动的时间。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）根据牛顿第二定律则粒子在磁场中做圆周的半径根据题意，反向延长在b点的速度方向如虚线所示，粒子做圆周运动的圆周与虚线和v0的方向相切，如图所示，

则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R的O′点就是圆周的圆心，粒子在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆上的圆弧ef，而e点和f点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过e、f两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef连线为直径的圆周．即得圆形区域的最小半径则这个圆形区域磁场的最小面积（2）粒子在最小圆形磁场中运动的时间8．如图所示，平行板器件中存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度，方向垂直纸面向里，电场强度。坐标系紧靠平行板的右侧边缘，第一象限内有与y轴正方向成的边界AO，边界线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度，边界线下方有竖直向上的匀强电场，电场强度，一束带正电的离子，电荷量、质量，从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为的Q点垂直y轴射入磁场区，并多次穿越边界线OA。（不计离子重力，取）求：（1）离子运动的速度；（2）离子从进入磁场到第二次穿越边界线OA所需的时间；（3）离子第四次穿越边界线OA的位置坐标，并定性画出粒子运动的轨迹。

【答案】（1）；（2）；（3），

【详解】（1）离子做直线运动，有解得（2）离子进入磁感应强度为的磁场中做匀速圆周运动，有解得作出离子的运动轨迹，交OA边界C点，如图所示

圆弧对应圆心角，其运动时间为解得离子过C点速度方向竖直向下，平行于电场线进入电场做匀减速直线运动，加速度为解得返回边界上的C点时间，由匀变速直线运动规律知解得所以离子从进入磁场到第二次穿越边界OA所用时间解得（3）离子的运动轨迹如图所示

离子第二次穿越边界线OA的位量C点的坐标，则，离子第三次穿越边界线OA的位置D点的坐标，则，离子垂直进入电场做类平抛运动，垂直电场线位移为x，沿电场线位移y，则，解得所以第四次穿越边界的E点，坐标为，由几何关系得，即离子第四次穿越OA的位置坐标为。9．如图所示，水平直线是电场和磁场的分界线，分界线一侧为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一电荷量为、质量为m的粒子从水平直线上的P点以初速度沿垂直于磁场的方向射入磁场，与之间的夹角为30°，此后粒子第三次经过分界面时，恰好返回P点。假设场区足够大，不计粒子重力。（1）求电场强度的大小E；（2）求磁场的上边界与电场的下边界之间的最小距离d；（3）求粒子第n次经过分界线时所用的时间。

【答案】（1）；（2）；（3）（n为奇数），（n为偶数）【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得粒子在电场中做类斜抛运动，水平方向做匀速直线运动竖直方向做匀变速直线运动解得（2）由几何关系可知粒子在磁场中运动时与之间的最大距离粒子在电场中运动时与之间的最大距离磁场的上边界与电场的下边界之间的最小距离解得（3）粒子在磁场中运动一次的时间当n为奇数时当n为偶数时解得（n为奇数）（n为偶数）【带电粒子在磁场和电场重力场叠加场中的运动知识点梳理】情况一、若电场力和重力平衡，则带电粒子在叠加场中做圆周运动可以用带电粒子在磁场中的偏转的知识来解决。情况二、若电场力和重力不平衡，则需要用配速法将电场力和重力的合力平衡，再求解配速法原理：带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力（和重力）不平衡而做复杂的曲线运动时，为带电粒子配上一对等大反向的速度或对带电粒子的初速度进行拆分，那么带电粒子复杂的曲线运动就可等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合成。这实际上是借助等效原理和运动的合成分解原理，在全新的数理模型基础上简化了问题，我们将这种方法称之为“配速法”。在复合场中（如电磁场）由于洛伦兹力与运动速度始终垂直。一般带电粒子的运动轨迹为曲线，这时有关运动的独立性知识可派上用场。【带电粒子在磁场和电场重力场叠加场中的运动举一反三练习】10．如图所示，真空中某区域存在一正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为，方向竖直向上，磁场方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从点射入电磁场区域恰好能做匀速圆周运动，已知带电粒子电荷量为，在入射点的速度方向与电场方向夹角为，大小为，一段时间后粒子经过点的水平线的某位置（图中末画出），点到点的距离为．重力加速度为，求：（1）带电粒子的质量；（2）磁场磁感应强度的大小和带电粒子第一次运动到点所用的时间。【答案】（1）；（2），【详解】（1）粒子恰能做匀速圆周运动，重力与电场力平衡可得（2）洛伦兹力提供粒子圆周运动向心力由几何关系可知联立可得设粒子圆周运动周期为T，则粒子从O点到P点所用时间满足：联立可得11．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第Ⅳ象限存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B=2T、方向垂直于xOy平面向外，电场平行于y轴；在第Ⅲ象限存在沿x轴正方向的匀强电场，已知场强、的大小相等。一可视为质点、比荷为的带正电的小球，从y轴上的点以初速度水平向右抛出，经过x轴上的点进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限恰能做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度，。求：（1）小球从A点抛出的初速度大小；（2）小球在第Ⅳ象限的运动的半径；（3）小球第一次经过y轴负半轴的坐标；（4）小球从A点出发到第二次经过y轴负半轴所用的总时间。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0.91s【详解】（1）小球在第I象限做平抛运动，由运动学规律得，可得，（2）设小球平抛到M点时的速度大小为v，方向与x轴正方向夹角为，竖直分速度为，则解得，在第IV象限，洛仑兹力提供向心力，故解得轨道半径（3）分析可知小球刚好经过半个圆周到达y轴的N点，如图所示。

由几何关系可知，N点的坐标为（3）小球第一次在第IV象限运动的时间为接着，小球沿与y轴成夹角方向进入第III象限，由于电场力和重力大小相等，其合力恰与小球进入第III象限的初速度v方向相反，故小球在第III象限做类竖直上抛运动，则由牛顿第二定律可得由运动规律可知则小球从A点出发到第二次经过y轴负半轴所用的总时间为12．如图所示，在直角坐标系中，存在着场强为，方向竖直向上的匀强电场，在第二、三象限内存在着磁感应强度均为，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一长为的绝缘细线，一端固定在点，另一端拴着质量为、电荷量为的正电小球，现将细线拉直到水平位置，使小球由静止释放，当小球运动到最高点时，细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断裂。当细线断裂，小球进入第二象限后做曲线运动，并多次经过轴。已知在第二象限内小球第一次到轴的坐标绝对值为，重力加速度为，求：（1）细线能承受的最大拉力；（2）小球进入第二象限后运动过程中的最小速率；（3）小球从进入第二象限开始至第一次到达轴所用的时间。

【答案】（1）；（2）0；（3）【详解】（1）小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点有根据动能定理有解得（2）小球进入第二象限后向下偏转，多次经过x轴，由于洛伦兹力不做功，由动能定理联立可知，，，所以，小球运动到x轴时有最小速率为0。小球进入第二象限后，做复杂曲线运动。将任意时刻的速度沿x轴和y轴分解为和，洛伦兹力也分解成对应的，由动量定理知x方向即y方向即得13．如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的小球从A点以速度v0沿直线AO运动，AO与x轴负方向成53°角。在y轴与MN之间的区域I内加一电场强度最小的匀强电场后，可使小球继续做直线运动到MN上的C点，MN与PQ之间区域Ⅱ内存在宽度为d的竖直向上匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动并恰好不能从右边界飞出，已知小球在C点的速度大小为2v0，重力加速度为g，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）第二象限内电场强度E1的大小和磁感应强度B1的大小；（2）区域I内最小电场强度E2的大小和方向；（3）区域Ⅱ内磁感应强度B2的大小。【答案】（1），；（2），方向为垂直AO且与y轴正向成53°角；（3）【详解】（1）根据题意分析可知小球沿AO做匀速直线运动，则解得又解得（2）要使小球在区域I做直线运动，电场强度最小，则需要满足解得方向为垂直AO且与y轴正向成53°角；（3）小球恰好不从右边界飞出，如图所示由几何关系可知解得根据解得【带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动知识点梳理】同理：采用配速法解决带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动（详情见二）【带电粒子在磁场和电场的叠加场中的运动举一反三练习】14．如图空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，、为Ⅰ区域的上下边界，Ⅰ区域高度，Ⅱ区域的范围足够大。匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里和向外。一个质量为、带电荷量为的带电小球，从距的高度为的点由静止开始下落，进入Ⅰ区域后，恰能做匀速圆周运动，取。求：（1）试判断小球的电性并求出电场强度的大小；（2）若带电小球能进入区域Ⅱ，则应满足什么条件？（3）若想带电小球运动一定时间后恰能回到点，应该等于多少？

【答案】（1）0.25N/C；（2）h>0.45m；（3）0.6m【详解】（1）带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，即所受合力为洛伦兹力，则重力与电场力大小相等，方向相反，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电。则有解得E=0.25N/C（2）假设下落高度为h0时，带电小球在I区域做圆周运动的圆弧与PQ相切时，运动轨迹如图甲所示，由几何知识可知，小球的轨道半径R=d带电小球在进入磁场前做自由落体运动，由机械能守恒定律得带电小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得联立解得h0=0.45m则当h>h0时，即h>0.45m时带电小球能进入区域Ⅱ。（3）带电小球的轨迹如图乙所示。以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内角为60°，由几何关系知由牛顿第二定律得由机械能守恒定律得解得h=0.6m

15．如图所示，第一象限内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E（E未知），第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从x轴上的A点以初速度垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点进入第二象限。已知第二、三象限内磁感应强度的大小均为，A点的横坐标为，P点的纵坐标为L，不计粒子重力。求：（1）电场强度E的大小；（2）粒子进入第二象限的磁场区域后，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离；（3）粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）粒子在第一象限电场中做类平抛运动，如图所示，竖直方向有水平方向有联立解得解得（2）设粒子离开电场时，速度大小为v，方向与y轴正方向夹角为，则速度大小解得由几何关系得解得设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得解得则圆心恰好落在x轴上。粒子第一次与x轴相交时到坐标原点的距离解得（3）由解析图可知，粒子进入第三象限时的速度大小为方向竖直向下，可在水平方向上配上水平向左的速度和水平向右的速度，使满足由此可知与的合速度大小与x轴方向的夹角所以粒子进入第三象限后以做匀速圆周运动的同时以向左做匀速直线运动。设粒子做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得解得由几何关系得解得16．如图所示，直角坐标系的第一象限内有竖直向上的匀强电场，第二象限内既有沿轴负方向的匀强磁场，又有沿轴负方向的匀强电场，电场强度与第一象限内的电场强度等大。现有一质量为、电荷量为的粒子从轴上的点，以初速度沿轴负方向进入第一象限，经轴上的点进入第二象限内，在以后的运动过程中恰好未从过轴的水平面飞出电磁场.已知、到坐标原点的距离分别为、，不计粒子重力，求：（1）电场强度的大小及粒子到达点时速度的大小；（2）匀强磁场的磁感应强度大小；（3）粒子在磁场中运动第二次与过轴的水平面相交时沿轴方向位移的大小.【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）由题可知，从P到Q粒子做类平抛运动，则解得由动能定理可知解得（2）将速度沿坐标轴分解如图所示故粒子的运动可看成为沿负方向的匀加速直线运动和竖直反向匀速圆周运动的合运动由题可知圆周运动的半径为根据圆周运动的基本规律得解得（3）粒子沿轴负方向做匀加速直线运动，故粒子在磁场中从进入磁场运动到第二次与过轴的水平面相交所用的时间为联立解得17．如图所示，在空间直角坐标系中，平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为的M点发射一质量为m，电荷量为的粒子，粒子的初速度大小为、方向沿平面，与x轴正方向的夹角为；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入平面右侧，轨迹上离平面最远的点恰好落在平面上，不计粒子的重力。求：（1）在平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；（2）在平面右侧匀强电场的电场强度E；（3）粒子第2次经过平面时的位置坐标。

【答案】（1）；（2）；（3）（0，-3d，4d）【详解】（1）粒子在平面做圆周运动的半径根据可得左侧匀强磁场的磁感应强度（2）粒子第一次经过y轴后在y方向向下做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离平面最远的点恰好落在平面上，可知粒子到达平面上时恰好做个圆周运动，则用时间竖直方向解得（3）粒子第2次经过平面时做半个圆周运动，则所用时间为则沿y轴负方向做匀加速运动，因在O点上方和下方用时间相等，可知位置坐标沿z轴坐标即粒子第2次经过平面时的位置坐标（0，-3d，4d）。【带电粒子在电场和重力场中的运动知识点梳理】等效重力场：力场、电场等叠加而成的复合场。重等效重力：重力、电场力的合力处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。过圆心做等效重力的平行线与圆相交。③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理【带电粒子在电场和重力场中的运动举一反三练习】18．如图所示，用一条长为L绝缘细线悬挂一带正电的小球，小球的质量为m，所带电量为q。现加水平方向匀强电场，平衡时绝缘细线与竖直方向夹角为，重力加速度为g，求：（