中考数学一轮考点复习精讲精练专题14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形【考点精讲】（解析版）

专题14直角三角形、等腰三角形、等边三角形等腰三角形（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.

（3）判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.等边三角形（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.（2）性质:①等边三角形的三边相等，三角相等,且都等于60°;②“三线合一”;③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

（3）判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

直角三角形（1）性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.

（3）勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.考点1：等腰三角形的性质与判定【例1】（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【例2】（2022·浙江台州·中考真题）如图，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列命题中，假命题是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．【例3】（2021·江苏扬州市）如图，在SKIPIF1<0的正方形网格中有两个格点A、B，连接SKIPIF1<0，在网格中再找一个格点C，使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．【详解】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【详解】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．3．如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（）A．120° B．75° C．60° D．30°【分析】分三种情形讨论即可：a、当点O为等腰三角形顶点．b、当点A为等腰三角形顶点．C、当点P为顶点．【解答】解：当点O为等腰三角形顶点时，∠A＝75°，当点A为等腰三角形顶点时，∠A＝120°，当点P为顶点时，∠A＝30°，综上，∠A的度数为30°或75°或120°，一定不可能等于60°，故选：C．4．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．【答案】40°或100°【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．5．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中SKIPIF1<0，立柱SKIPIF1<0，且顶角SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小为_______．【答案】30°##30度【分析】先由等边对等角得到SKIPIF1<0，再根据三角形的内角和进行求解即可．【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：30°．6．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．【分析】分别以A、O为圆心AO长为半径画弧，作AO的垂直平分线，即可在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形．【详解】解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．故答案为：4．7．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．【答案】6【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．考点2：等边三角形的性质与判定【例4】如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2，根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的周长为6，∴SKIPIF1<0∵E，F是边BC上的三等分点，∴EF=SKIPIF1<0，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是SKIPIF1<0×3=2．故选：B．【例5】（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加SKIPIF1<0，理由如下：SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）．（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.1．如图，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是中线，延长SKIPIF1<0至E，使SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．2．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点在同一直线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等边三角形，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：下列结论中正确的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的说法是正确的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，SKIPIF1<0，过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，∴SKIPIF1<0，∴CG=CH，∴SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴③的说法是正确的；无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．3．下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是SKIPIF1<0的三角形 B．有一个角是SKIPIF1<0的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形【答案】D【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60°且两边相等、有两个内角为60°这三个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案.【详解】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，故本选项不合题意；B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；故答案为D.4．（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，点E是AC的中点，且SKIPIF1<0（1）尺规作图：作SKIPIF1<0的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出SKIPIF1<0的平分线AF即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到SKIPIF1<0并求出SKIPIF1<0，再根据等腰三角形三线合一性质得出SKIPIF1<0，从而得到EF为中位线，进而可证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF平分SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AF平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为等边三角形．5．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图1，求SKIPIF1<0的长；（2）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，M是高SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形SKIPIF1<0的边长为3，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形SKIPIF1<0，其中点F、G都在直线SKIPIF1<0上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0即可；（2）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，可证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在A处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．可得点SKIPIF1<0运动的路径的长SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，可证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．可求点SKIPIF1<0所经过的路径的长SKIPIF1<0；（4）连接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的SKIPIF1<0上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即，可求SKIPIF1<0，点G所经过的路径长为SKIPIF1<0长=SKIPIF1<0，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0．【详解】解:（1）∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在A处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．∴点SKIPIF1<0运动的路径的长SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，∴点SKIPIF1<0所经过的路径的长SKIPIF1<0；（4）连接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的SKIPIF1<0上运动，∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，∴∠COB=90°，设OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，点G所经过的路径长为SKIPIF1<0长=SKIPIF1<0，点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧SKIPIF1<0上运动，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长度，∵点G运动圆周的四分之一，∴点H也运动圆周的四分一，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长=SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．考点3：直角三角形的性质【例6】（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故选：A．【例7】（2022·湖南永州）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵点D为边AC的中点，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=SKIPIF1<0，故选：C．1．（2022·广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为SKIPIF1<0，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，过点C作CD⊥AB1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上，满足已知条件的三角形的第三边长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：C．2．如图，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P是SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直角边，点C为直角顶点，作等腰SKIPIF1<0，下列结论：①点A与点D的距离为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，其中正确结论有是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【答案】C【分析】连结AD，由等腰SKIPIF1<0，可得AC=BC，等腰SKIPIF1<0，可得CD=CP，由余角性质可∠DCA=∠PCB，可证△ADC≌△BPC（SAS）SKIPIF1<0可判断①，由勾股定理DP=SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求BD=2SKIPIF1<0，由勾股定理AB=SKIPIF1<0，可判断③，由面积SKIPIF1<0可判断④即可【详解】连结AD，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴AC=BC，∵SKIPIF1<0是等腰三角形，∴CD=CP，∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠DCA=∠PCB，在△ADC和△BPC中，AC=BC，∠DCA=∠PCB，DC=PC，∴△ADC≌△BPC（SAS），∴SKIPIF1<0，①点A与点D的距离为SKIPIF1<0正确，在Rt△DCP中，由勾股定理DP=SKIPIF1<0，在△ADP中，SKIPIF1<0，∴△ADP为等腰直角三角形，∴AD⊥DP，②SKIPIF1<0正确；BD=BP+PD=2SKIPIF1<0，在Rt△ADB中，由勾股定理，AB=SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0不正确；SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0不正确．故选择：C．3．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点F，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0之间的数量关系是_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先利用同角的余角相等得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，再通过证SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，再利用三角形内角和得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，最后利用角的和差即可得到答案，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【详解】证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．4．（2020·南通市通州区平潮初级中学初二期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=．【答案】2．【解析】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质．作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°．∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2．5．（2022·贵州遵义）如图，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0的值最小时，SKIPIF1<0的长为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0取得最小值，证明SKIPIF1<0，即可求解．【详解】如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图1所示，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0取得最小值，此时如图2所示，SKIPIF1<0在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．图1

图2考点4：勾股定理及其逆定理【例8】（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿SKIPIF1<0方向架桥修路，为加快施工进度，在直线SKIPIF1<0上湖的另一边的SKIPIF1<0处同时施工．取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离是_________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图所示：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0，再根据勾股定理即可求出SKIPIF1<0的长．【详解】如图所示：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则∠BEC=∠DEC=90°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴∠BCE=90°-30°=60°，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴∠ECD=45°=∠D，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【例9】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）．A．100 B．200 C．300 D．400【答案】C【分析】根据题意SKIPIF1<0，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：SKIPIF1<0，那么原式则为SKIPIF1<0，再将AB的值代入即可求出答案．【详解】解：∵在SKIPIF1<0中，且SKIPIF1<0，∴AB为SKIPIF1<0的斜边，∴根据勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C．（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.（3）用于证明平方关系的问题.1．（2022·贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，进而等面积法即可求解．【详解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<