中考数学一轮考点复习精讲精练专题04 一次方程（组）【考点精讲】（原卷版）

专题04一次方程（组）一、一元一次方程一元一次方程概念只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).解法解法依据是等式的基本性质.性质①：若a=b，则a±m=b±m；性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则SKIPIF1<0(d≠0).解法的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.二、二元一次方程（组）二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二元一次方程组定义形如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是二元一次方程组解法代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;d.将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.加减法解二元一次方程组的一般步骤:a.方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;b.把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;c.解这个一元一次方程;d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.三、方程的运用常见运用题型解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总;追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程利润问题：利润=卖价-进价；利润率=SKIPIF1<0×100%.数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字分配问题等【考点1】等式性质【例1】（2022·山东滨州）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：SKIPIF1<0去分母得SKIPIF1<0，那么其变形的依据是（

）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2运用等式的性质的注意事项（1）等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.（3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母.1．（2022·河南郑州·七年级期末）已知等式SKIPIF1<0，则下列式子中不成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河北保定·七年级期末）已知SKIPIF1<0是有理数（

）A．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0 B．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0C．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0 D．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<03．（2022·湖北十堰·七年级期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<04．下列判断错误的是（）A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么acC．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b【考点2】一次方程（组）概念与解法【例2】解方程：SKIPIF1<0【例3】（2021·广东）二元一次方程组SKIPIF1<0的解为．1．解一元一次方程的基本步骤.①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.2．解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法3．解二元一次方程组的方法选择当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法1．（2022·福建三明·八年级期末）下面各组数值中，二元一次方程2x＋y＝10的解是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足方程组SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·广东深圳·八年级期末）已知方程组SKIPIF1<0的解满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<04．（2022·浙江台州）解方程组：SKIPIF1<0．【考点3】含参方程【例4】已知SKIPIF1<0是二元一次方程kx＋4y＝7的一个解，则k＝（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例5】（2021·重庆·七年级阶段练习）在解方程组由于粗心，甲看错了方程组SKIPIF1<0中的a，得到的解为SKIPIF1<0，乙看错了方程组中的b，得解SKIPIF1<0，则原方程组中的正确的解为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01．（2020·江西·新余四中七年级期中）若方程SKIPIF1<0的解与关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解相同，求SKIPIF1<0的值．2．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）若SKIPIF1<0是关于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一个解，则SKIPIF1<0的值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·山东滨州·二模）已知关于x、y的方程组SKIPIF1<0的解满足x+y=5，则k的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．54．（2022·贵州毕节·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程SKIPIF1<0的解，也是方程SKIPIF1<0的解，则m的值为（

）A．-3 B．-2 C．2 D．无法计算5．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）如果关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的解相同，则SKIPIF1<0的值（

）A．1 B．2 C．－1 D．0【考点4】方程运用1：工程问题【例6】（2022·山东济宁·七年级期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要16天．甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程队加入该工程施工，问还需多少天可以完成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？2．（2021·黑龙江道里·七年级期末）振兴东北“滨滨有礼、智领未来”，哈尔滨市地铁“三号线”正在进行修建中，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为10吨和15吨的卡车共20辆，全部车辆运输一次可以运输260吨残土．（1）求该车队有载重量为10吨和15吨的卡车各有多少辆；（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于360吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共8辆，求该车队新购进的卡车中最多购进载重量为10吨的卡车多少辆？3．（2021·陕西韩城·七年级期末）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组SKIPIF1<0，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表示的含义；（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？【考点5】方程运用2：行程问题【例7】（2022·甘肃武威）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例8】（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．1．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）八年级期末）某学校体育有场的环形跑道长SKIPIF1<0，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．同时同地出发，如果反向而行，那么他们每隔SKIPIF1<0相遇一次．如果同向而行，那么每隔SKIPIF1<0乙就追上甲一次，设甲的速度为SKIPIF1<0，乙的速度为SKIPIF1<0，则可列方程组为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·吉林·九年级专题练习）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？3．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了SKIPIF1<0的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【考点6】方程运用3：历史文献问题【例9】（2022·江苏苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例10】（2022·江苏扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有SKIPIF1<0只，兔有SKIPIF1<0只，那么可列方程组为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01．（2022·四川成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有SKIPIF1<0个，甜果有SKIPIF1<0个，则可列方程组为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2022·浙江宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为SKIPIF1<0．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江苏宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【考点7】方程运用4：数字问题【例11】（2022·河北临漳·八年级期末）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01．（2022·宁夏中宁县第三中学七年级期末）一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？2．（2021·广东·深圳中学八年级期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数．【考点8】方程运用5：几何图形问题【例12】如图，一个长方形图案是由8个大小相同的小长方形拼成，宽为SKIPIF1<0，设每个小长方形的长为SKIPIF1<0，宽为SKIPIF1<0，根据题意可列方程组为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例13】（2022·江苏泰州）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？1．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为SKIPIF1<0厘米，宽为SKIPIF1<0厘米，则依题意列二元一次方程组正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（）A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm3．（2022·辽宁大连·七年级期末）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这