中考数学一轮考点复习精讲精练专题02 二次根式【考点精讲】（解析版）

考点02二次根式一、二次根式及相关概念1．二次根式：形如SKIPIF1<0(a≥0)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如eq\r(8)与eq\r(2)是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．二、二次根式的性质（1）(SKIPIF1<0)2＝a(a≥0)．（2）SKIPIF1<0＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))（3）SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0(a≥0，b≥0)．（4）SKIPIF1<0(a≥0，b>0)．（5）双重非负性：二次根式SKIPIF1<0⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))三、二次根式的运算1．二次根式的加减：先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除（1）二次根式的乘法：SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：SKIPIF1<0＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)；（3）二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式或整式．3．二次根式的开方：SKIPIF1<0＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．【考点1】二次根式的概念【例1】（2022·江苏连云港）函数SKIPIF1<0中自变量SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．【解析】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选A．【例2】下列二次根式中，与SKIPIF1<0是同类二次根式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解析】A.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0不是同类二次根式；C.SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0被开方数相同，故是同类二次根式；D.SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．【例3】下列各式是最简二次根式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解析】解：A、SKIPIF1<0是最简二次根式，故选项正确；B、SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，不是最简二次根式，故选项错误；C、SKIPIF1<0，不是最简二次根式，故选项错误；D、SKIPIF1<0，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.牢记二次根式相关概念：1．二次根式：式子SKIPIF1<0叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式SKIPIF1<0有意义，那么实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．【详解】根据题意知SKIPIF1<0≥0，解得SKIPIF1<0，故选：B．2．（2022·广西桂林）化简SKIPIF1<0的结果是（

）A．2SKIPIF1<0 B．3 C．2SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2SKIPIF1<0．【详解】解：SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，故选：A．3．下列各式中与SKIPIF1<0是同类二次根式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.【详解】解：A、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是最简二次根式，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的被开方数不同，故A选项错误；B、SKIPIF1<0，3不是二次根式，故B选项错误；C、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的被开方数相同，故C选项正确；D、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的被开方数不同，故D选项错误；故选：C.4．（2022·云南）若代数式SKIPIF1<0有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】x≥﹣1【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x+1≥0，即可求得．【详解】解：∵代数式SKIPIF1<0有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．5．（2022·四川南充）若SKIPIF1<0为整数，x为正整数，则x的值是_______________．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据SKIPIF1<0为整数即可得SKIPIF1<0的值．【详解】解：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0为正整数∴SKIPIF1<0可以为1、2、3、4、5、6、7、8∵SKIPIF1<0为整数∴SKIPIF1<0为4或7或8故答案为：4或7或8．【考点2】二次根式的性质【例4】（2021·湖南娄底市）SKIPIF1<0是某三角形三边的长，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．10 D．4【分析】先根据三角形三边的关系求出SKIPIF1<0的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：SKIPIF1<0是三角形的三边，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．1．（2022·四川凉山）化简：SKIPIF1<0＝（

）A．±2 B．－2 C．4 D．2【答案】D【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．【详解】解：SKIPIF1<0，故选：D．2．（2022·河北·一模）已知SKIPIF1<0，则代数式SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据二次根式的非负性可知SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，代值求解即可．【详解】解：对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A．3．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简SKIPIF1<0______．【答案】2【分析】利用数轴可得出SKIPIF1<0，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2．故答案为：2．【考点3】二次根式的运算【例5】（2022·山东青岛）计算SKIPIF1<0的结果是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【分析】把括号内的每一项分别乘以SKIPIF1<0再合并即可．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B．【例6】（2022·四川宜宾）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为SKIPIF1<0．现有周长为18的三角形的三边满足SKIPIF1<0，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据周长为18的三角形的三边满足SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，代入公式即可求解．【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【例7】计算下列各题（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0【分析】（1）先化为最简二次根式，再计算加减法；（2）先算乘方和开方，去绝对值，再算加减法；（3）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算；（4）先化为最简二次根式，再算加减法，然后计算乘除，最后合并．【详解】解：（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0二次根式运算的注意事项1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).2．运算结果要化成最简形式.3．在二次根式的运算中,要注意SKIPIF1<0与次SKIPIF1<0的区别.①取值不同:前者的a为任意实数,后者的a为非负数;②化简结果不同:SKIPIF1<0=|a|,SKIPIF1<0=a.1．（2022·黑龙江哈尔滨）计算SKIPIF1<0的结果是___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．2．（2022·天津）计算SKIPIF1<0的结果等于___________．【答案】18【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：SKIPIF1<0，故答案为：18．3．（2022·湖南衡阳）计算：SKIPIF1<0＝_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．4．（2022·山西）计算SKIPIF1<0的结果是________．【答案】3【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．【详解】解：原式＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝3．故答案为：3．5．（2022·重庆）估计SKIPIF1<0的值应在（

）A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间【答案】B【分析】先化简SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，从而判定即可．【详解】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B．6．列各式不成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．【详解】SKIPIF1<0，A选项成立，不符合题意；SKIPIF1<0，B选项成立，不符合题意；SKIPIF1<0，C选项不成立，符合题意；SKIPIF1<0，D选项成立，不符合题意；故选C．7．（2022·甘肃武威）计算：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0.8．（2022·贵州遵义）（1）计算：SKIPIF1<0（2）先化简SKIPIF1<0，再求值，其中SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解；（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】（1）解：原式＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）解：原式＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，原式SKIPIF1<0．SKIPIF1<0【考点4】二次根式综合运用【例8】（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0（结论不需要证明）例如：SKIPIF1<0根据以上阅读，请解决下列问题：【基础训练】（1）求SKIPIF1<0的值；【能力提升】（2）设SKIPIF1<0，求S的整数部分．【拓展升华】（3）已知SKIPIF1<0，其中，且SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取得最小值时，求x的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)S的整数部分2019(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是SKIPIF1<0【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0||取最小值时，确定x的取值范围．(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴S的整数部分2019；(3)由已知得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴原式SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；∴当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为2，∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：SKIPIF1<0．1.阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）SKIPIF1<0的有理化因式可以是___________，SKIPIF1<0分母有理化得___________．（2）计算：①已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；②SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①14；②SKIPIF1<0【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【详解】解：（1）SKIPIF1<0的有理化因式可以是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．②原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2.阅读下面问题：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－1；1/SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1×(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)/(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)/(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0