上海科技版（沪科版）初中数学八年级下册全册教案

第16章二次根式

16.1二次根式

教学目标教学反思

1.经历二次根式概念的形成过程，了解二次根式是开平方运算引出的结果，

理解二次根式中被开方数。的实际意义，即。是非负数，以及伤的非负性.

2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，理解二次根式的性

质1、性质2,了解其区别与联系,并能运用性质1,2解决一些问题.

3.在二次根式概念、性质的形成和探索中,鼓励学生积极探究,乐于合作与

交流，发展学数学用数学意识、分类讨论的意识，了解由特殊到一般再到具体的

处理数学问题的思想.

教学重难点

重点：经历二次根式的概念、性质的探索和形成过程.

难点：正确理解IaI

-a（a<0）.

教学过程

导入新课

问题1什么叫做平方根？

一般地，如果一个数的平方等于小那么这个数叫做。的平方根.

问题2什么叫做算术平方根？

如果产=。（120）,那么x称为。的算术平方根，用仿（〃20）表示.

问题3什么数有算术平方根？

我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能

是正数或0.

思考：用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？

（1）若一个正方形的面积为3,则其边长为m；一个面积为S的正方形，

其边长为m.

（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为m.

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间，（单位：s）与开始落

下的高度。（单位：m）满足关系力=5凡如果用含有〃的式子表示b那么，

答案：（1）6VS（2）V65（3）电

探究新知

探究一二次根式的定义

一般地，形如孤（"20）的式子叫做二次根式，其中。是被开方数.

判断一个数（或式）是不是二次根式必须同时满足：①根指数为2;②被开

方数为非负数.

【学生活动】观察“思考”中得出的问题答案，分析它们的结构形式，总

结它们的特征.

【教师活动】根据学生提供的结论，得出二次根式的定义.

探究二二次根式的性质

问题1二次根式（声）2的被开方数。的取值范围是什么？它本身的值又

是什么？

22

当a>0,g表示。的算术平方根的平方，因此(气)=4；教学反思

当a=0,(Va)2表示0的算术平方根的平方，因此(G)2=0；

这就是说，当。20时，(VH)2=a.

类似地，计算

o

L2B7L2

(V5)=_5_»(Jg)=—'VO)=0.

【学生活动】根据所探究的内容先填空，再在小组内交流，总结(逅)2

在4的值一定时，(VH)2的值与0的关系.

【师生总结】①(伤)2的被开方数。的取值范围是。20；

2

②(Va)=a(心0).

问题2二次根式后的被开方数。的取值范围是什么？它本身的值又是

什么？

当a>0,后表示a2的算术平方根，因此病=/

当用0,而表示0的算术平方根，因此必二0；

当aVO,后表示a2的算术平方根，因此m=-&

这就是说，当时，当a〈0时，y/a^=-a.

类似地，计算

J(^2=1,Vo?52=0.5,VQ2=_o,

7._______

产=-，V(-0.5)2=0.5

5

【学生活动】根据所探究的内容先填空，再在小组内交流，总结房的值

与a的取值关系.

【师生总结】GI小卜

-a(a<0).

例题讲解

【例1】说一说下列各式哪些是二次根式.

(1)V32;(2)6；(3)7^12；

(4)y/-m(wWO)；(5)y/xy；(6)Va24-1;(7)V5.

【解】(1)(4)(6)是二次根式.

(2)没有开方运算；

(3)被开方数是负数；

(5)q可能是负数；

(6)根指数不是2.

【学生活动】指出每一个式子的特点，初步判断，不是二次根式的说出理由.

【师生总结】判定一个式子是不是二次根式有两个条件：一是不是含有二

次根号；二被开方数是不是非负数.

跟踪练习1.下列各式是否为二次根式？说明理由.

(1)75；

(2)7^6；

(3)V7：

(4)(a<0).

解：(1)遥是二次根式；

(2)口，被开方数小于零，不是二次根式；

(是三次根式；

3)V7»教学反思

(4)产1(a<0)是二次根式.

【例2】工为何值时，下列式子在实数范围内有意义？

(l)Vx+3;

⑵足.

【解】⑴要使有意义泌须x+320.

解这个不等式,得了2-3.

即当时，在实数范围内有意义.

(2)因为x为任何实数时都有炉20,

所以当x为一切实数时，足在实数范围内都有意义.

【学生活动】根据二次根式的定义，确定被开方数为非负数列不等式求

解，写出解题过程，小组内交流.

【师生总结】二次根式有意义的条件是：被开方式是非负数.

跟踪训练2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)VGI—1;(2)y/2a+3:(3)y［—a;(4)

【解】(1)。-120,/.心1；

3

(2)V2。+320，・•・；

2

(3)•・•-启0,，aWO；

(4)V5-。>0,/.a<5.

【例3】计算：

(1)Ves)7：

(2)J(1-V2)2.

【解［(1)J(-5)2:屈=5或、/(-5)2=|-5|=5；

(2)J(l-V2)2=|l-V2I=-(l-V2)=V2-1.

【例4】先化简再求值N%2一27rx+目2,其中尸4.

［解］y/x2-2TTX4-n2=7(^-TT)2=Ix-nI,

当x=4时,Ix-nI=I4一兀|=4-71.

:.当x=4时，yjx2-2TIX+n2=4~n.

【教师活动】教师分析先化简再求值的题目，一般情况下，根号下是完全

平方式时，根据必=IaI求出结果再代入求值.

【学生活动】先分析，在老师的指导下自主完成，小组内交流，对出现的

错误及时纠正.

跟踪训练3.先化简，再求值.

已知a=VL求27a2-4a+4+(a+1)(a-l)的值.

解：2-y/a2-4a+4+(a+1)(a-l)

=2-y/(a-2)2+a2-l

=2~|a-2|+a2-l,

当々=应时，原式=2-(2-V2)+(V2)2-1=2-2+72+2-1=V2+1.

课堂练习

1.在非,小，行中，二次根式有.

2.当分别取什么实数时，下列各式有意义？

(1)V12-3a.⑵忌(3)Va2+1

9

3.计算:

教学反思

(1)(Vib)2：(2)(-VO25)2；

(3)f(Iy；(4)-7(2X3)2.

4.化简ylx2-2x+\+V(x-2)2.

(1)当xvl时，(2)当1VXV2时，(3)当x>2时.

5.⑴已知4为实数，求代数拼族不I+V_4_2a+V淳的值.

(2)已知。为实数，求代数式的值.

参考答案

1.V5,Va^

2.解：(1):12一3。20,aW4；

(2)Va+2>0,Ja>~2；

(3)Va2+l^0,Aa取任意实数.

3.解：(1)10(2)0.25(3)-(4)-6

_________4__________________

4.解:yJx2-2x+1+J(x-2)Lj(x—1)2+J(x—2)2.

(1)当xv1时VO,尸2<0,・二原式=1-4+2-x=3-2x;

(2)当lvxv2时，x_l>0,x_2<0,/.原式K~1+2-X=1;

(3)当x>2时,尸1>0,尸2>0,；・原式=xT+x-2=2r~3.

5.解：(1)由题意，得。+220,-4-2。20,

a=-2.

/.-a+2+，-4-2a+V^=J(-2)2=2.

(2)由题意,得-小》(),,.•。220,...。2=0,.・.a-Q

>Ja+4+V9—a+V—a2=\/4+V9=2+3=5.

课堂小结

1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方

数为非负数.

2.二次根式的性质：

_2

(Va)=a(a20)：

Ja(aeO)，

y/a2=IaI=，

-a(a<0).

3.利用二次根式的性质进行化简.

布置作业

教材第4页练习

板书设计

16.1二次根式

1.二次根式的定义及其判断依据.

2.二次根式的性质：

(Va)=a(a20)；

Ja(a'O)，

va2=IAI=-

-a(a<0).

第16章二次根式

16.2二次根式的运算

第1课时二次根式的乘法与积的算术平方根

教学目标教学反思

1.理解二次根式的乘法法则.

2.理解积的算术平方根的性质.

3.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.

教学重难点

重点：理解二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.

难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行笥单运算.

教学过程

复习巩固

1.二次根式的概念：••般地，我们把形如伞的式子叫做二次根式.

“厂”叫做二次根号，〃叫做被开方数.

2.二次根式的性质：

(DVa的性质：

即二次根式的被开方数非负；迎20,即二次根式的值非负.

(2)简的性质：值=|4|=卜3»°)，

[—a(a<0).

导入新课

问题1运用运教火箭发射航天飞行器时，火箭必须达到一定的速度(第

一宇宙速度)，才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一

宇宙速度P与地球半径〃之间存在如下关系：U|2=gR,其中g是重力加速度.请

用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度也.

问题2飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称

为第二宇宙速度.第二宇宙速度为F2=V2F.,请结合问题1用含g,左的代数式表

示出第二宇宙速度外.

【答案】(1)第一宇宙速度叱屈.

(2)第二宇宙速度年〃病.

探究新知

探究点一二次根式的乘法

活动1(自学提纲，生成问题)阅读教材P6的内容，完成下面的练习.

问题1分别计算下列各题你有什么发现？

(1)V4X眄与"3T5；

(2)V9XV5I与'9X81；

(3)V025X与JO.25x100.

【解】⑴V4X79=2X3=6,

•\/4x9=V36=6.

(2)V9X781=3X9=27,

V9x81=7729=27.

(3)x/025XV100=0.5X10=5,

V0.25X100=x/25=5.

教学反思

发现：V4XV9=V43T9；V9XV81=V9x81；V025XV100=

V0.25x100.

思考：(学生交流，教师点评)

你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？

学生回答：y/a,Vb=Vab(a>0,b>0).

【师生总结】

二次根式的乘法法则:如果力20,那么有-yfb=y[ab.

即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.

【教师活动】你能对这条性质进行证明吗？

【学生活动】小组交流，在老师的指导下，写出证明过程.

_222

因为当力20时，=(Va)(乃)=ab,

又(VHS)2=48,4〃的算术平方根只有一个，所以=

【教师活动】若是三个或三个以上的二次根式相乘，该法则是否适合？

拓展：

二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘,即

\[a»4b....yfk=(々20,620,220).

【教师活动】利用二次根式的性质进行计算时，应注意什么问题？

【学生活动】学生根据二次根式有意义的条件，进行小组总结.即利用二次

根式的性质进行计算时，注意被开方数必须是非负数.

【教师活动】根据等式的基本性质，二次根式的乘法法则如何写？

【学生活动】可以写成疯=、0-V5.即积的算术平方根，等于积中各因式

的算术平方根的积.

【教师活动】(引发学生思考:利用二次根式积的算术平方根的性质进行化

简时，需要注意什么？

【学生活动】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则

的逆用，注意被开方数必须是非负数.

【师生总结】

通过上面的计算可得出下面的结论：

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.

用式子表示为属=迎・A/5(。20,620).

例题讲解

【例1】计算：

(1)V3xV5；(2)V27；(3)V2xV3xV5.

【解】⑴>/3xV5=V15；

(2)/xV27=RX27=眄=3；

(3)V2xV3xV5=A/2T3XV5=V6XV5=V30.

【教师活动】指导学生第三小题使用先使用乘法结合律，再运用乘法法则

进行计算.

【学生活动】利用二次根式的乘法法则进行计算，总结规律.

归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法

则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘.

跟踪训练1.计算：

⑴石X币;⑵出X79；

(3)>/9XV36；(4)金义瓜

【教师活动】(引导学生思考;要利用二次根式的乘法法则进行计算.

教学反思

解：⑴小义币=后3=屈.

(2)AX内=gx9=75・

(3)MXV36=V9x36=7324=18.

⑷&义«=炉=百，

【例2】计算：(1)275x3夕；(2)4>/27xf-l>/3j.

【解】⑴2V5x3夕=(2x3)(V3xV7)=6V21.

⑵4后X(_g石)=4x(-3)(V27X73)=-iX9=-1.

【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化

简时，需要注意什么？

【学生活动】根据老师的指导独立完成计算过程，再在小组内交流总结二

次根式乘法的计算方法.

【师生总结】当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式

的法则计算，即〃2遍•八历(a，0,〃》0).

跟踪训练2.计算：

(1)V6xV27;(2)(-3V5)X2V10.

解：(1)V6xV27=-6x27R2x3x33/VIx收=9技

(2)(-3V5)x2V10=(-3)XV5X2XV10=-6V5x10=-6V52V2

=-30V2.

【例3】化简：

(1)716^81；(2)V4a^Q20,620)；(3)V532-282.

【解】(1)J16x81=屈义厮=469=36.

(2)/4a2b3=V4•y[a^•=2a>/b-b2=2atrjb.

(3)V532-282=V(53-28)(53+28)

R53-28XV53+28=V25X厕=45.

【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简

时，需要注意什么？

【学生活动】根据积的算术平方根等于算术平方根的积进行运算，交流在做

题中的注意事项，对此类题的解题方法进行总结.

【题后总结】(学生总结，老师点评)运用性质进行二次根式的运算过程中，

可以把被开方数中的“完全平方因式(因数)”，用它的算术平方根代替，由根号

内移到根号外，从而对二次根式进行化简.

跟踪训练3.化简：

(1)7(-144)X(-169)；(2)-36X256;(3)V132-122.

解：⑴J(-144)X(-169)=V144X169=71^5xVI^=12X3=156.

(2)V36x256=V36XV256=6X16=96.

(3)V132-122=7(13-12)(134-12)=V13-12XV13+12=1XV25=5.

【总结】

化简二次根式的步骤：

1.把被开方数分解因式(或因数).

2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根

的积.

3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用必把这个因式(或因数)开

出来，将二次根式化简.

课堂练习^______教学反思

1.若-6)=V^•\/x—6,贝ij()

A-r26BJC^O

C.0WxW6Dj为一切实数

2.下列运算正确的是()

A.2V18x3V5=6V80

B.V52-32=V52-V32=5-3=2

C.J(-4)x(-16)=Vz4xVz16=(-2)x(-4)=8

D.V52x32=V§2XV32=5X3=15

3.计算：

(1)V3xVi5=；(2)vwn=；

(3)V3X2V2=.

4.化简：

(l)x/20;(2)718；

(3)x/24；(4)Jl2a2b2(心0力20).

5.计算：⑴2A/3x5^1；

⑵3氐(弯｝

(3)3V2x2V10xV5；

(4)、-而•(心0力20).

6.设长方形的面积为S,相邻两边分别为〃，b.己知a=V§,b=g,求S.

参考答案

1.A

2.D

3.(1)3V5(2)6V2(3)276

4魂轴(1)720=275；(2)M=3及；

(3)姨=2"；(4)y)\2a2b2=2ab+.

5.解：(1)2百x5vH=2x5X，3x21=l(h/^V7=30斤.

(2)373x(-孚)=3x(一；)xV3xV18=-1x732x6

=--x3x>/6=-->/6.

44

(3)3A/2x2\410xV5=6V2x10x5=6x10=60.

=42a，b?=V«Vg2a=.

6.解:S=ab=M义瓜i

=J8x12="2x2x3=4卡.

课堂小结

1.二次根式的乘法法则.

2.两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.用式子

・VF=VHF(a20,b20)；4a,VK.........%=Ja/g・,gfc(心0,

b20,k20).

3.积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积用式子表示为弼=依・

\[b（。20,力，0）.

布置作业教学反思

教材第7页练习

板书设计

第1课时二次根式的乘法与积的算术平方根

一、二次根式的乘法法则

4a•4b=\la»b力20）.

两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.

二、积的算术平方根

y/ab=\/a•4b（心0,后0）.

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.

第16章二次根式

16.2二次根式的运算

第2课时二次根式的除法与商的算术平方根

教学目标教学反思

1.理解二次根式的除法法则；理解商的算术平方根的性质.

2.会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算.

3.理解最简二次根式的概念，会运用分母有理化将二次根式化简.

4.了解比较两个不含字母的二次根式的大小.

教学重难点

重点：理解二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质，理解最简二次

根式.

难点：会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单

运算.

教学过程

复习巩固

1.二次根式的乘法法则

\[a9\[b=y[ab(。20420).

两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.

2.积的算术平方根

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.

用式子表示为(々20,b》o).

3.二次根式的性质

(1)G的性质：

即二次根式的被开方数非负：伤20,即二次根式的值非负.

(2)必的性质：

/心20),

Va2=\a\=<

-a(a<0).

导入新课

活动1阅读教材P7的内容，完成下面的练习.

计算：(1)篇=------------------；居----------------

⑵亲=------------------；启=---------------

通过上面的计算，你有什么发现？

【教师活动】提问：你能用字母表示你所发现的规律吗？

【学生活动】计算每个式子的结果，进行比较试着用字母表示规隼

探究新知

教学反思

探究点一二次根式的除法

问题1在前面发现的规律乎=#中，a,b的取值范围有没有限制呢？

\lb\b

学生思考并回答：a20,b>0.

【教师活动】通过上面的探究我们得到两个二次根式相除的运算法则：

宗=（（心。"•

即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.

探究点二商的算术平方根

【教师活动】我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平

方根的性质.

类似地，把二次根式的除法法则黑=13204>0）反过来，就得到

二次根式的商的算术平方根的性质：

展亲心0"）.

商的算术平方根，等于两个算术平方根的商.

探究三最简二次根式

计算：（1）回+6；（2）4+

【解】⑴依+依=嚼=噜嘤=*我=2或；

V5V5XV55

（2）"E=口1=f712=74^=4.

寸3y］12y/312\3

［教师活动］（引发学生思考:要利用二次根式的除法运算法则进行计算.

【学生活动】先根据老师的提示进行计算，把最后的结果要化成最简的形

式分析计算结果，总结规律.

【教师活动】根据上面（1）的计算，发现我们把分子、分母同乘以一个

相同的二次根式，这样分母中的根号就去掉了，这种方法就是分母有理化.

二次根式的除法运算,通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的

根号的方法来进行,把分母中的根号化去,就是分母有理化.

对于二次根式运算的结果,我‘门通常还需把它化成最简.

满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式.

（1）被开方数的因数是整数,因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

化简时注意：

（1）有时需将被开方数分解因式；

（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化.

例题讲解

【例1】计算：

⑴暮:⑵；⑶票;（4）2旦需

【解】（1）=瓜=2五.

(3)教学反思

(4)

=(2x2)xJ|-s-1=4x

=4x3=12.

【教师活动】（引导学生思考）类似（4）中被开方数中含有带分数，应先将

带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算；巡视学生做题情况，

及时纠正错误.

【学生活动】在老师的指导下，利用二次根式的除法法则进行计算.

跟踪训练1.计算：

⑴丁⑵卜⑶石

【探索思路】（引导学生思考）利用二次根式的除法运算法则进行计算，需要注

意什么？

解:（1）=y/4=2.

出卜期保=炉="=2.

⑷年喟=囱=2技

【题后总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的除法运算法则进行计

算时，注意被开方数必须是非负数.

【例2】化简：⑴届；⑵唇⑶层

【解】⑴忌=%=需

[75_

（2）方法1：/F73_7?_5

V27-V3^33

方法2：

叵=尸_再_9

V25x2,5x）2而示5/

【教师活动】（引发学生思考:利用商的算术平方根的性质进行计算，分别

用两种不同的方法计算.

【学生活动】小组内同学分两部分，分别用不同的方法，计算结束后交流

做题结果，总结做题过程中注意的问题.

【师生总结】（学生总结，老师点评）商的平方根是二次根式除法法则的逆

用，注意被开方数必须是非负数.

跟踪训练2.化简：

⑴岛⑵辰

(3)VL25.

教学反思

【例3］比较2百和3企的大小.

［解］2V3=V4xV3=V4X~3=>/T2,

3>/2=V9xV2=V9xl=V18.

V12<18,/.V12<718；

A2V3<3V2.

你还有其他的证明方法吗？

方法1：2y/3-3V2=V2xV3(V2-V3)<0,A273<3V2.

方法・・

2：.3V2=(，V巴3)V［2=V.3<1，.2V3<3V2.

【教师活动】(引发学生思考:比较两个有理数的大小方法有哪些？我们是

不是可以类比有理数的大小比较来比较二次根式的大小.

【学生活动】学生根据自己想到的方法对二次根式进行比较，小组内进行

交流,小绢间进行交流,总结二次根式的大小比较.进行总结.

【归纳】比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大

小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方

数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用作差法、作商法、

平方法等.

跟踪训练3.比较大小：

(1)2Vs与3V3；

(2)-2VT5与-3Vs.

解：(1),:2®回K产而,3V3=V32T3=V27,

且20V27,:.V20<V27,即2遥V3J5.

(2)V-2V13=-V22x13=-V52>

-3V6=-V32V6=-A/54,

且52V54,・♦・V52<V54,

:.-V52>->/54,即一2尺>一3遍.

课堂练习

1.化简VT5+近的结果是()

A.9B.3C.3V2D.2V3

2.下列各式的计算中，结果为2遍的是()

A.V104-V2B.V2xV5

D.V8xV5

3.若使式子^半W成立,则实数2取值范围是(

)

Vk-l

A.^lBQ2

C.1VZ2D.1WZ2

4.下列根式中，是最简二次根式的是()

A.V18B.V24C.V30D.V36

5.把下列根式化成最简二次根式：

(1)存(2)V9；(3)V12.

6.化简：

教学反思

(1)隼；(2)705；(3)七；(4)^^.

V3V3-1V6+V5

7.计算：2位X@+3>/L

4

参考答案

LB2.C3.B4.C

5.解:⑴卡=冬(2)a=3；(3)\/l2=2V3.

6.解：(1)普==V16=4；

⑵历=店=舄=噜；

⑶看=昌靛=中3-

(4)半邙=繇黑喀隼=(遥一花)2=1卜2回.

V6+x/5(V6+V5)(V6-V5i1)

7.解：2712x^^372

4

=(2x；+3)x，12x3+2

=-V18=-x3A/2=—.

662

课堂小结

(学生总结，老师点评)

法则赍.

(a2(U〉O)

拓展法则：，小/a+n\/b=(fn+n)da+b(a20,b>0)

艮:口=再\心0,b>0)

二次根式的除法<商的算术平方木

U4b

⑴二次根式被开方数不含分母；

最简二次根式・(2)被开方数中所有因数(或因式)的暴

的指数都小于2

布置作业

教材第9页练习第1,2题.

板书设计

第2课时二次根式的除法与商的算术平方根

一、二次根式的除法法则

,。20力>0.

两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.

二、商的算术平方根

辱知妾0…）.教学反思

商的算术平方根，等于两个算术平方根的商.

三、最简二次根式

（1）二次根式被开方数不含分母；

（2）被开方数中所有因数（或因式）的累的指数都小于2.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

第16章二次根式

16.2二次根式的运算

第3课时二次根式的加减

教学目标教学反思

1.理解同类二次根式的概念.

2.掌握二次根式的加、减法运算法则.

3.会运用二次根式的加、减法运算法则进行简单的运算.

教学重难点

重点：掌握二次根式的加、减法运算法则.

难点：会运用二次根式的加、减法运算法则进行简单的运算.

教学过程

复习巩固

1.合并同类项法则：

把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

2.整式加减的一般步骤：

先去括号，再合并同类项.

3.最简二次根式：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

4.化简二次根式的步骤：

（1）把被开方数分解因式（或因数）；

（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数］的算术

平方根的积；

（3）如果因式中有平方式（或平方数），应用值=同把这个因式（或因数）

开出来，将二次根式化简.

导入新课

活动1（学生交流，教师点评）

化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点？

（1）V8,V18,后；

（2）780,V45,V20.

【教师活动】（引发学生思考）要利用二次根式的乘法运算法则进行化简.

（1）V§=2V2,V18=3V2,VO5=—；

（2）V80=4V5,V45=3V5,廊=2瓜

【学生活动】化简二次根式，交流化简的结果发现每一小题化简后被开方

数分别相同.

探究新知

探究点一同类二次根式

活动2（合作探究，归纳总结）

根据活动1可得（1）中各式化简后得到2VL3近，巴

2

（2）中各式化简后得到4西，3A，2V5.教学反思

【教师活动】观察上述（1）（2）的结果，总结同类二次根式的定义.

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，像这样的二次根

式称为同类二次根式.

探究点二二次根式的加减

活动3阅读教材P10的内容，完成下面的练习学生互学）

V18+V32-V50=3V2+4>/2-5>/2=（3+4-5）y［2=2yf2.

【教师活动】在运算过程中，每一个二次根式先化简成最简二次根式，仿

照实数的运算性质进行运算.

【学生活动】仿照实数的合并同类项进行运算.

【师生总结】二次根式加减法运算步骤：

一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同

类二次根式合并.

例题讲解

【例1］若最简根式—V3m-根与V5可以合并，求标的值.

^_4

【解】由题意，得［2n+1=2,解得?

（3m-2n=3,1

所以J+；=4.

【教师活动】指出3m-2n的指数和被开方数分别是什么?若两个二

次根式能够合并，则这两个二次根式是同类二次根式.

【学生活动】根据同类二次根式的定义列方程组求解.

【师生总结】确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数

相同，根指数都为2,列关于待定字母的方程求解即可.

跟踪训练1.如果最简二次根式43a-8与V17-2a是同类二次根式,

那么要使式子华3有意义,求x的取值范围.

【探索思路】（引发学生思考）要利用同类二次根式的定义进行计算.

解：由题意，得34-8=17-20，

/•4=5,

•Jx-aJx-5

・•・20—2x20,x-5>0,

・•・5VxW10.

2.下列二次根式中，与也是同类二次根式的有哪些?

3\/2,y/s♦f—\/2,-J1A.

解：与正是同类二次根式的有3&,我,-72.

【例2】W：(1)780-^(45：(2)V9a+V25a：

(

⑶应+4)3712-K.

【解】⑴廊-屈=4石-3石=石；

⑵瓦+X/5^=3G+5G=86；

(3)yjs+.1—=2\/2H—=2\/2+--=—\/2；

V5055/21010

(4)3向6=6而赤=6方-£=教学反思

【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式加减法运算步骤进行计算.

【学生活动】先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式.小组内交流

判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.

【师生总结】通过上面的计算可得出合并同类二次根式的方法：

(1)化为最简二次根式；

(2)系数相加减；

(3)二次根式不变.如：myla+ny/a=(rn+n)Va.

跟踪训练2.计算：⑴3V5-2V5；(2)3伞+4疯

【探索思路】(引发学生思考)类比利用合并同类项法则进行计算时，需要

注意什么？

解：(1)36-2怖=(3-2)V3=V3；

(2)3>fa4-4yfa=(3+4)4a=ly[a.

【题后总结】注意把同类二次根式的系数相加，所得的结果作为系数，相

同的二次根式不变.

【例3】计算：

<1)2V126gI3V48;(2)(V12IV20)+(V3V5).

【解】⑴2712-6+3V48=4V3-2V3+12V3=14>/3；

(2)(V12+V20)+(V5-回=V12+A^O+A/3-V5

=2V3+2V5+V3-V5=3V3+底

【教师活动】分析两个小题的特征，第一个先把每一个二次根式化成最简

的二次根式再加减，第二个先去括号，再化简每个二次根式，最后再加减.

【学生活动】两名学生到黑板上板书，其他学生先独立思考，再小组交流,

再纠正整理.

跟踪训练(学生独学)3.计算：⑴历+R+g;

⑵3&+腐-而+有；

(3)27124-3V48-4^75.

解:⑴历+'+V12=3>/3+—+2A/3=-^73.

V333

Q)30+弧-瓜+亚=30+4百-2垃+氏=丘+56.

(3)2x/12+3V48-4V75=473+126-2073=-475.

课堂练习

1.下列根式中，与V5是同类二次根式的是()

A.及B.75

C.V8D.V12

2.下列计算正确的是()

A.V2+V2=2B.3+V2=3V2

C.V12-V3=V3D.V3+V2=>/5

3.与最简二次根式Vm+1能合并,则m=.

4.下列二次根式，不能与g合并的是(填序号).

①质②-③y:©V18.

5.已知一个长方形的长为画，宽为VTL则其周长为.

6.三角形的三边长分别为两，V40,V45,则这个三角形的周长为.

教学反思

7.计算：(1)5V2+718=；

(2)4V18-9V2-；

(3)10V2+(3>/8-7V2)=；

(4)5V12-(3V8+2V27)=.

8.计算：

(1)5V8-2X/27+V18；(2)2\/18-V50+^745；

(3)V44-(3V11+11V2)；(4)(V48-4Q一(3木-4V05).

参考答案

l.D2.C3.1

4.②④

5.12百

6.5V5+2710

7.(1)8及(2)3V2(3)9鱼(4)4百-6立

8.解：(1)5V8-2V27+V18=1'3V2-6V3+3V2=13V2-6V3；

(2)2718-V50+1V45=6V2-5V2+V5=V2+V5；

(3)V44-(3V11+11V2)=2V11-(3V11+11V2)

=2Vn-3g-11V2=-vli-11V2；

(4)(V48-4J)-(34-4V0^)=V48-4

=4遍-4x--3x34x—=473一企一V5+2a=3百+V2.

432

课堂小结（学生总结，老师点评）

布置作业

教材第12页练习第3,4题.

板书设计

第3课时二次根式的加减

一、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，像这样的二次根

式称为同类二次根式.

二、二次根式的加减

一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同

类二次根式合并.

第16章二次根式

16.2二次根式的运算

第4课时二次根式的混合运算

教学目标教学反思

1.掌握二次根式的混合运算的运算法则.

2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.

教学重难点

重点：掌握二次根式的混合运算的运算法则.

难点：会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.

教学过程

复习巩固

1.二次根式的化简包括的两个主要方面

(1)如果被开方数中含有完全平方的因数(或因式)，可利用积的算术平方根

的性质，将它们“开方”出来；

(2)如果被开方数中含有分母，通常可利用分数(或分式)的基本性质

将分母“配”成完全平方，再将它们“开方”出来.

(3)化简的关键是把被开方数中的完全平方因数(或因式)开出来.

2.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次

根式称为同类二次根式.

3.二次根式的运算

\[a,\[b=yfab（a》0,b20）；比＞0）.

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相

同的二次根式进行合并.

导入新课

问题1单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?

rn(a+b+c)=汁〃ic；

(m+n)(a+b)=nui+mb+na+nb.

问题2多项式与单项式的除法法则是什么？

(ma+mb+mc)a+b+c.

问题3实数的运算顺序：

先算乘方，开方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号内的.

讲授新知

探究点二次根式