2024-2025学年高中数学模块综合评估一习题含解析北师大版必修3

模块综合评估(一)eq\o(\s\up7(时间：120分钟满分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．当前，某省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房惊慌问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采纳分层抽样的方法确定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为(B)A．40B．30C．20D．36解析：抽样比为eq\f(90,360＋270＋180)＝eq\f(1,9)，故应在乙社区抽取270×eq\f(1,9)＝30(户)．2．下列各组事务中，不是互斥事务的是(B)A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成果，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%解析：A中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不行能同时发生，故A中两事务为互斥事务；B中，当平均分数等于90分时，两个事务同时发生，故B中两事务不为互斥事务；C中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不行能同时发生，故C中两事务为互斥事务；D中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不行能同时发生，故D中两事务为互斥事务．故选B.3．计算机执行如图所示的程序段后，输出的结果是(D)eq\x(\a\al(a＝1,a＝a＋2,a＝a＋3,输出a))A．2B．3C．5D．6解析：模拟程序的运行，可得a＝1，a＝1＋2＝3，a＝3＋3＝6，输出a的值为6.故选D.4.在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是(B)A．23与26B．31与26C．24与30D．26与30解析：由众数、中位数的定义知众数是31，中位数是26.5．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是eq\x\to(x)，数据y1，y2，…，yn的平均数是eq\x\to(y)，则数据2x1－3y1,2x2－3y2，…，2xn－3yn的平均数是(B)A．3eq\x\to(x)－2eq\x\to(y)B．2eq\x\to(x)－3eq\x\to(y)C．4eq\x\to(x)－9eq\x\to(y)D．9eq\x\to(x)－4eq\x\to(y)解析：eq\f(2x1－3y1＋2x2－3y2＋…＋2xn－3yn,n)＝eq\f(2x1＋x2＋…＋xn－3y1＋y2＋…＋yn,n)＝2eq\x\to(x)－3eq\x\to(y).6．某中学举办电脑学问竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成果进行整理后分成五组：第一组[50,60)，其次组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]．其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而其次小组的频数是40，则参赛的人数以及成果优秀的频率分别是(C)A．50,0.15B．50,0.75C．100,0.15D．100,0.75解析：由已知得其次小组的频率是1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频数为40，设共有参赛学生x人，则0.4x＝40，解得x＝100.成果优秀的频率为0.10＋0.05＝0.15，故选C.7．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为(A)A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．1D.eq\f(1,2)8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1内随意取点，则该点落在四棱锥B1­ABCDA.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：∵VB1­ABCD＝eq\f(1,3)V长方体，故点落在四棱锥B1­ABCD内部的概率为eq\f(1,3).9．为了在运行完下面的程序之后输出y＝16，输入的x应当是(C)输入xIfx<0Theny＝(x＋1)*(x＋1)Elsey＝(x－1)*(x－1)EndIf输出yA．3或－3B．－5C．－5或5D．5或－3解析：本程序含义为：输入x，假如x<0，执行y＝(x＋1)2，否则，执行y＝(x－1)2.因为输出y＝16，由y＝(x＋1)2可得x＝－5；由y＝(x－1)2可得x＝5，故x＝5或－5.故选C.10．在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形．若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的eq\f(1,4)，且样本容量为160，则中间一组的频数是(A)A．32B．20C．40D．25解析：设中间一组的频率为P，则由P＝eq\f(1,4)(1－P)得P＝eq\f(1,5).所以中间一组的频数为eq\f(1,5)×160＝32.11.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势状况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用如图所示的茎叶图表示上述两组树苗高度(单位：cm)的数据．对两块地抽取树苗高度的平均数eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙和方差进行比较，下面结论正确的是(B)A.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，乙块地树苗高度比甲块地树苗高度更稳定B.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，甲块地树苗高度比乙块地树苗高度更稳定C.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，乙块地树苗高度比甲块地树苗高度更稳定D.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，甲块地树苗高度比乙块地树苗高度更稳定解析：依据茎叶图，得①甲块地树苗高度的平均数eq\x\to(x)甲＝28cm，乙块地树苗高度的平均数eq\x\to(x)乙＝35cm，eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙．②甲块地树苗高度分布在19～41之间，成单峰分布，且比较集中在平均数左右；乙块地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，且相对分散．所以甲块地树苗高度与乙块地树苗高度比较，方差相对较小，更稳定．故选B.12．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(C)A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4解析：当取出的小球标注的数字之和为3时，只有{1,2}一种取法；当取出的小球标注的数字之和为6时，有{1,5}，{2,4}两种取法，所以符合条件的取法有3种，而全部的取法有10种，故所求的概率为eq\f(3,10)＝0.3.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场竞赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场竞赛中得分的方差为6.8.eq\o(\s\up7(0),\s\do5(1))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(89),\s\do5(035))))解析：依题意知，运动员在5次竞赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11.由方差公式得s2＝eq\f(1,5)[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝eq\f(1,5)(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.14．某工厂生产A，B两种元件，现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得A，B两种元件检测数据的平均数相等，方差也相等，则xy＝72.解析：因为eq\x\to(x)A＝eq\f(1,5)×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，eq\x\to(x)B＝eq\f(1,5)×(6＋x＋8.5＋8.5＋y)，由eq\x\to(x)A＝eq\x\to(x)B，得x＋y＝17.①seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)×[4＋(x－8)2＋0.25＋0.25＋(y－8)2]，由seq\o\al(2,A)＝seq\o\al(2,B)，得(x－8)2＋(y－8)2＝1.②由①②，解得xy＝72.15．甲盒子里装有分别标有数字1,2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是eq\f(1,2).解析：数字之和为奇数的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)，共4种状况，而从两个盒子中各抽取一张卡片共有8种状况，所以所求概率为eq\f(1,2).16．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：万元)与月储蓄yi(单位：万元)的数据资料，算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.家庭的月储蓄y对月收入x的线性回来方程为y＝bx＋a.若该居民区某家庭的月储蓄为2万元，预料该家庭的月收入为8万元．(附：线性回来方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x))解析：由题意知，n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,y)i＝2，b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(184－10×8×2,720－10×82)＝0.3，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝2－0.3×8＝－0.4，所以线性回来方程为y＝0.3x－0.4.当y＝2时，x＝8.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)右面算法框图表示了一个什么样的算法？试用当型循环写出它的算法及算法框图．解：这是一个计算10个数的平均数的算法．当型循环的算法如下：(1)S＝0.(2)I＝1.(3)假如I小于等于10，执行第4步；否则，转第7步．(4)输入G.(5)S＝S＋G.(6)I＝I＋1，转第3步．(7)A＝eq\f(S,10).(8)输出A.算法框图如右：18．(本题满分12分)某学校共有教职工900人，分成三个批次进行教化再培训，在三个批次中男、女教职工人数如表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到其次批次中女教职工的概率是0.16.第一批次其次批次第三批次女教职工196xy男教职工204156z(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．解：(1)∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到其次批次中女教职工的概率是0.16，∴eq\f(x,900)＝0.16，解得x＝144.(2)第三批次的人数为y＋z＝900－(196＋204)－(144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m名，则eq\f(m,200)＝eq\f(54,900)，解得m＝12.∴应在第三批次中抽取教职工12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事务为A，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y，z)，由(2)知y＋z＝200(y，z∈N，y≥96，z≥96)，则基本领件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个，而事务A包含的基本领件有：(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共4个，∴P(A)＝eq\f(4,9).19．(本题满分12分)某连锁经营公司下属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额x(千万元)35679利润额y(百万元)23345(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法求利润额y对销售额x的线性回来方程．解：(1)散点图如图所示．(2)由(1)散点图可知，销售额和利润额具有相关关系，成正相关．设其线性回来方程为y＝bx＋a.经计算得eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝200，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112，b＝eq\f(112－5×6×3.4,200－5×62)＝0.5，a＝3.4－0.5×6＝0.4，所以线性回来方程为y＝0.5x＋0.4.20．(本题满分12分)我国是世界上严峻缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了激励居民节约用水，安排在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解全市市民月用水量的分布状况，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据依据[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)96000.理由：由频率分布直方图可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12＝96000.(3)2.9.理由：∵前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85，∴2.5≤x<3.由0.3(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．21.(本题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)依据茎叶图推断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于162cm～179cm之间，而乙班身高集中于170cm～179cm之间．因此乙班平均身高高于甲班．(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170(cm)．甲班的样本方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．(3)设“身高为176cm的同学被抽中”为事务A，从乙班10名同学中抽